Tính đơn điệu của hàm số

Chia sẻ: Trần Huyền My | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:39

Thêm vào BST

Báo xấu

1.290
lượt xem 231
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu tham khảo ôn tập môn Toán bài số 2: tính đơn điệu của hàm số. Tài liệu gồm lý thuyết và các bài tập mẫu minh hoạ có lời giải rất chi tiết và dễ hiểu dành cho các bạn học sinh.Tính đơn điệu của hàm số Định lý: (điều kiện cần) Định lý: (điều kiện đủ) Định lý mở rộng B. Cực tri của hàm số: Định lý: Định lý: (dấu hiệu thứ nhất) Định lý : (dấu hiệu...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tính đơn điệu của hàm số

Tính đơn điệu của hàm số
HÀM S [1. TÍNH ĐƠN ĐI U C A HÀM S D ng 1: Tính đơn đi u c a hàm s I. Ki n th c cơ b n 1. Đ nh nghĩa Gi s hàm s y = f(x) xác đ nh trên K: + Hàm s y = f(x) đư c g i đ ng bi n trên kho ng K n u: ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) + Hàm s y = f(x) đư c g i là ngh ch bi n trên kho ng K n u: ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) 2. Qui t c xét tính đơn đi u a. Đ nh lí Cho hàm s y = f(x) có đ o hàm trên K: + N u f’(x) > 0 v i m i x thu c K thì hàm s đ ng bi n + N u f’(x) < 0 v i m i x thu c K thì hàm s ngh ch bi n b. Qui t c B1: Tìm t p xác đ nh c a hàm s B2: Tính đ o hàm c a hàm s . Tìm các đi m xi (i = 1, 2,…,n) mà t i đó đ o hàm b ng 0 ho c không xác đ nh. B3: S p x p các đi m xi theo th t tăng d n và l p b ng bi n thiên. B4: Nêu k t lu n v các kho ng đ ng bi n, ngh ch bi n. II. Các ví d Lo i 1: Xét s bi n thiên c a hàm s Ví d 1. Xét s đ ng bi n và ngh c bi n c a hàm s : 1 1 a. y = x3 − x 2 − 2 x + 2 b. y = -x 2 + 3 x + 4 e. y = x ( x − 3), (x > 0) 3 2 x-1 c. y = x 4 − 2 x 2 + 3 d. y = x +1 Ví d 2. Xét s bi n thiên c a các hàm s sau: a. y = 3x 2 − 8 x 3 b. y = x 4 + 8 x 2 + 5 c. y = x 3 − 6 x 2 + 9 x 3- 2x x 2 − 2x + 3 d. y = e. y = f. y = 25-x 2 x+7 x +1 Lo i 2: Ch ng minh hàm s đ ng bi n ho c ngh ch bi n trên kho ng xác đ nh. Phương pháp + D a vào đ nh lí. Ví d 3. Ch ng minh hàm s y = 2 x − x 2 ngh ch bi n trên đo n [1; 2] Ví d 4 a. Ch ng minh hàm s y = x 2 − 9 đ ng bi n trên n a kho ng [3; + ∞ ). 4 b. Hàm s y = x + ngh c bi n trên m i n a kho ng [-2; 0) và (0;2] x Ví d 5. Ch ng minh r ng 3− x a. Hàm s y = ngh ch bi n trên m i kho ng xác đ nh c a nó. 2x +1 2 x 2 + 3x b. Hàm s y = đ ng bi n trên m i kho ng xác đ nh c a nó. 2x +1 c. Hàm s y = − x + x 2 + 8 ngh ch bi n trên R. D ng 2. Tìm giá tr c a tham s đ m t hàm s cho trư c đ ng bi n, ngh ch bi n trên kho ng xác đ nh cho trư c Phương pháp: + S d ng qui t c xét tính đơn điêu c a hàm s . 1
+ S d ng đ nh lí d u c a tam th c b c hai Ví d 6. 1 Tìm giá tr c a tham s a đ hàm s f ( x) = x3 + ax 2 + 4 x + 3 đ ng bi n trên R. 3 Ví d 7. x 2 + 5x + m 2 + 6 Tìm m đ hàm s f ( x) = đ ng bi n trên kho ng (1; +∞) x+3 m Ví d 8. V i giá tr nào c a m, hàm s : y = x + 2 + đ ng bi n trên m i kho ng xác đ nh c a nó. x −1 Ví d 9 x3 Xác đ nh m đ hàm s y = − + (m − 1) x 2 + (m + 3) x đ ng bi n trên kho ng (0; 3) 3 Ví d 10 mx + 4 Cho hàm s y = x+m a. Tìm m đ hàm s tăng trên t ng kho ng xác đ nh b. Tìm m đ hàm s tăng trên (2; +∞) c. Tìm m đ hàm s gi m trên (−∞;1) Ví d 11 Cho hàm s y = x 3 − 3(2m + 1) x 2 + (12m + 5) x + 2 . Tìm m đ hàm s : a. Liên t c trên R b. Tăng trên kho ng (2; +∞) Ví d 12 (ĐH KTQD 1997) Cho hàm s y = x3 − ax 2 − (2a 2 − 7 a + 7) x + 2(a − 1)(2a − 3) đ ng bi n trên [2:+∞) D ng 3. S d ng chi u bi n thiên đ ch ng minh BĐT Phương pháp S d ng các ki n th c sau: + D u hi u đ hàm s đơn đi u trên m t đo n. + f ( x) đ ng bi n trên [a; b] thì f (a) ≤ f ( x) ≤ f () + f(x) ngh ch bi n trên [a; b] thì f (a) ≥ f ( x) ≥ f (b) Ví d 1. Ch ng minh các b t đ ng th c sau: π 1 x2 1 a. tanx > sinx, 0< x < b. 1 + x − < 1 + x < 1 + x, 0 < x < +∞ 2 2 8 2 2 3 x x c. cosx > 1 - ,x ≠ 0 d. sinx > x - , x>0 2 6 Ví d 2. Chohàm s f(x) = 2sinx + tanx – 3x  π a. Ch ng minh r ng hàm s đ ng bi n trên n a kho ng 0;   2 π b. Ch ng minh r ng 2sin x + tan x > 3 x, ∀x ∈ (0; ) 2 Ví d 3 Cho hàm s f ( x) = t anx - x  π a.Ch ng minh hàm s đ ng bi n trên n a kho ng 0;   2 x 3 π b. Ch ng minh tan x > x + , ∀x ∈ (0; ) 3 2 Ví d 3 4 π Cho hàm s f ( x) = x − t anx, x ∈ [0; ] π 4 2
π a. Xét chi u bi n thiên c a hàm s trên [0; ] 4 4 π b. Ch ng minh r ng tan x ≤ x, ∀x ∈ [0; ] π 4 • C C TR C A HÀM S D ng 1. Tìm c c tr c a hàm s Phương pháp: D a vào 2 qui t c đ tìm c c tr c a hàm s y = f(x) Qui t c I. Qui t c II. B1: Tìm t p xác đ nh. B1: Tìm t p xác đ nh. B2: Tính f’(x). Tìm các đi m t i đó f’(x) = 0 ho c B2: Tính f’(x). Gi i phương trình f’(x) = 0 và kí hi u f’(x) không xác đ nh. là xi là các nghi m c a nó. B3. L p b ng bi n thiên. B3: Tính f ”(xi) B4: T b ng bi n thiên suy ra các c c tr B4: D a vào d u c a f ” (xi) suy ra c c tr ( f ”(xi) > 0 thì hàm s có c c ti u t i xi; ( f ”(xi) < 0 thì hàm s có c c đ i t i xi) * Chú ý: Qui t c 2 thư ng dùng v i hàm s lư ng giác ho c vi c gi i phương trình f’(x) = 0 ph c t p. Ví d 1. Tìm c c tr c a hàm s y = 2 x3 + 3x 2 − 36 x − 10 Qui t c I. Qui t c II TXĐ: R TXĐ: R y ' = 6 x + 6 x − 36 2 y ' = 6 x 2 + 6 x − 36 y ' = 0 ⇔ 6 x 2 + 6 x − 36 = 0 y ' = 0 ⇔ 6 x 2 + 6 x − 36 = 0 x = 2 x = 2 ⇔ ⇔  x = −3  x = −3 x -3 2 +∞ y”= 12x + 6 -∞ + - y’’(2) = 30 > 0 nên hàm s đ t c c ti u t i x = 2 và y' 0 0 + yct = - 54 71 +∞ y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm s đ t c c đ i t i x = -3 và y ycđ =71 -∞ - 54 V y x = -3 là đi m c c đ i và ycđ =71 x= 2 là đi m c c ti u và yct = - 54 Bài1. Tìm c c tr c a các hàm s sau: a. y = 10 + 15x + 6x 2 − x 3 b. y = x 4 − 8 x 3 + 432 c. y = x 3 − 3 x 2 − 24 x + 7 d. y = x 4 - 5x 2 + 4 e. y = -5x 3 + 3x 2 - 4x + 5 f. y = - x 3 - 5x Bài 2. Tìm c c tr c a các hàm s sau: x+1 x2 + x − 5 (x - 4) 2 a. y = 2 b. y = c. y = 2 x +8 x +1 x − 2x + 5 9 x − 3x + 3 2 x d. y = x - 3 + e. y = f. y = 2 x-2 x −1 x +4 Bài 3. Tìm c c tr các hàm s 3
x+1 5 - 3x a. y = x 4 - x 2 b. y = c. y = x +1 2 1 - x2 x x3 d. y = e. y = f. y = x 3 - x 10 - x 2 x2 − 6 Bài 4. Tìm c c tr các hàm s : a. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx 1 d. y = sin2x e. y = cosx + cos2x f. y = 2sinx + cos2x víi x ∈ [0; π ] 2 D ng 2. Xác l p hàm s khi bi t c c tr Đ tìm đi u ki n sao cho hàm s y = f(x) đ t c c tr t i x = a B1: Tính y’ = f’(x) B2: Gi i phương trình f’(a) = 0 tìm đư c m B3: Th l i giá tr a có tho mãn đi u ki n đã nêu không ( vì hàm s đ t c c tr t i a thì f’(a) = 0 không k CĐ hay CT) Ví d 1. Tìm m đ hàm s y = x3 – 3mx2 + ( m - 1)x + 2 đ t c c ti u t i x = 2 LG y ' = 3x 2 − 6mx + m − 1 . Hàm s đ t c c tr t i x = 2 thì y’(2) = 0 ⇔ 3.(2) 2 − 6 m.2 + m − 1 = 0 ⇔ m = 1 x = 0 V i m = 1 ta đư c hàm s : y = x3 – 3x2 + 2 có : y ' = 3 x 2 − 6 x ⇒ y ' = 0 ⇔  t i x = 2 hàm s đ t giá tr x = 2 c c ti u V y m = 1 là giá tr c n tìm Bài 1. Xác đ nh m đ hàm s y = mx 3 + 3x 2 + 5x + 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2 2 Bài 2. Tìm m đ hàm s y = x 3 − mx 2 + ( m − ) x + 5 cã cùc trÞ t¹i x = 1. Khi ®ã hµm sè cã C§ hay CT 3 x + mx + 1 2 Bài 3. Tìm m đ hàm s y = ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2 x+m Bài 4. Tìm m đ hàm s y = x 3 − 2mx 2 + m 2 x − 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1 Bài 5. Tìm các h s a, b, c sao cho hàm s : f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c đ t c c ti u t i đi m x = 1, f(1) = -3 và đ th c t tr c tung t i đi m có tung đ b ng 2 q Bài 6. Tìm các s th c q, p sao cho hàm s f ( x ) = xp + đ t c c đ i t i đi m x = -2 và f(-2) = -2 x +1 q Hư ng d n: f '( x ) = 1 − , ∀x ≠ -1 ( x + 1)2 + N u q ≤ 0 th× f'(x) > 0 víi ∀x ≠ -1. Do ®ã hµm sè lu«n ®ång biÕn . Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ. + N u q > 0 thì: x2 + 2 x + 1− q  x = −1 − q f '( x ) = =0⇔  ( x + 1)2  x = −1 + q  L p b ng bi n thiên đ xem hàm đ t c c t i t i giá tr x nào. D ng 3. Tìm đi u ki n đ hàm s có c c tr Bài toán: ‘Tìm m đ hàm s có c c tr và c c tr tho mãn m t tính ch t nào đó.’ Phương pháp B1: Tìm m đ hàm s có c c tr . B2: V n d ng các ki n th c khác Chú ý: • Hàm s y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) có c c tr khi và ch khi phương trình y’ = 0 có hai nghi m phân bi t. 4
p( x ) • C c tr c a hàm phân th c y = . Gi s x0 là đi m c c tr c a y, thì giá tr c a y(x0) có th đư c Q( x ) P( x 0 ) P '( x0 ) tính b ng hai cách: ho c y( x0 ) = hoÆc y(x 0 ) = Q( x0 ) Q '( x0 ) Ví d . Xác đ nh m đ các hàm s sau có c c đ i và c c ti u 1 x 2 + mx − 2m − 4 a. y = x 3 + mx 2 + (m + 6) x − 1 b. y = 3 x+2 Hư ng d n. a. TXĐ: R y ' = x 2 + 2 mx + m + 6 . Đ hàm s có c c tr thì phương trình: x 2 + 2mx + m + 6 = 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖt m > 3 ∆ ' = m2 − m − 6 > 0 ⇔   m < −2 b. TXĐ: ¡ \ {−2} (2 x + m)( x + 2) − ( x 2 + mx − 2 m − 4) x 2 + 4 x + 4 m + 4 y' = = ( x + 2)2 ( x + 2)2 Hµm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu khi y ' = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c -2 ⇔ x 2 + 4 x + 4 m + 4 = 0 ∆ ' > 0 4 − 4 m − 4 > 0 ⇔ ⇔ ⇔ m
Bài1. Tìm c c tr c a các hàm s sau: a. y = 10 + 15x + 6x 2 − x 3 b. y = x 4 − 8 x 3 + 432 c. y = x 3 − 3 x 2 − 24 x + 7 d. y = x 4 - 5x 2 + 4 e. y = -5x 3 + 3x 2 - 4x + 5 f. y = - x 3 - 5x Bài 2. Tìm c c tr c a các hàm s sau: x+1 x2 + x − 5 (x - 4) 2 a. y = 2 b. y = c. y = 2 x +8 x +1 x − 2x + 5 9 x − 3x + 3 2 x d. y = x - 3 + e. y = f. y = 2 x-2 x −1 x +4 Bài 3. Tìm c c tr các hàm s x+1 5 - 3x a. y = x 4 - x 2 b. y = c. y = x +1 2 1 - x2 x x3 d. y = e. y = f. y = x 3 - x 10 - x 2 x2 − 6 Bài 4. Tìm c c tr các hàm s : a. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx 1 d. y = sin2x e. y = cosx + cos2x f. y = 2sinx + cos2x víi x ∈ [0; π ] 2 Bài 5. Xác đ nh m đ hàm s y = mx 3 + 3x 2 + 5x + 2 ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2 2 Bài 6. Tìm m đ hàm s y = x 3 − mx 2 + ( m − ) x + 5 cã cùc trÞ t¹i x = 1. Khi ®ã hµm sè cã C§ hay CT 3 x 2 + mx + 1 Bài 7. Tìm m đ hàm s y = ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 2 x+m Bài 8. Tìm m đ hàm s y = x 3 − 2mx 2 + m 2 x − 2 ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1 Bài 9. Tìm các h s a, b, c sao cho hàm s : f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c đ t c c ti u t i đi m x = 1, f(1) = -3 và đ th c t tr c tung t i đi m có tung đ b ng 2 q Bài 10. Tìm các s th c q, p sao cho hàm s f ( x ) = xp + đ t c c đ i t i đi m x = -2 và f(-2) = -2 x +1 Bài 11. Tìm m đ hàm s y = x 3 − 3mx 2 + 2. V íi gi¸ trÞ nµo cña m th× hµm sè cã C§, CT? x 2 − m(m + 1) x + m 3 + 1 Bài 12. Tìm m đ hàm sô y = luôn có c c đ i và c c ti u. x−m Bài 13. Cho hàm s y = 2 x 3 + ·2 − 12 x − 13 . Tìm a đ hàm s có c c đ i, c c ti u và các đi m c c ti u c a đ th cách đ u tr c tung. m Bài 14. Hàm s y = x 3 − 2(m + 1) x 2 + 4 mx − 1 . Tìm m đ hàm s có c c đ i c c ti u. 3 x 2 + mx Bài 15. Cho hàm y = . Tìm m đ hàm s có c c tr 1− x x 2 + mx − 2m − 4 Bài 16. Cho hàm s y = . Xác đ nh m đ hàm s có c c đ i và c c ti u. x+2 Ž GIÁ TR L N NH T VÀ GIÁ TR NH NH T C A HÀM S D NG 1. Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a hàm s 6
• Đ tìm GTLN, GTNN c a hàm s y = f(x) trên ( a; b ) : +B1: Tính đ o hàm c a hàm s y’ = f’(x) + B2: Xét d u đ o hàm f’(x), l p b ng bi n thiên x a x0 b x a x0 b y' - + y' + - GT LN y y GTNN Trong đó t i x0 thì f’(x0) b ng 0 ho c không xác đ nh • Đ tìm GTLN, GTNN c a hàm s y = f(x) trên [a; b]: B1: Tìm caùc giaù trò xi ∈ [ a; b ] (i = 1, 2, ..., n) laøm cho ñaïo haøm baèng 0 hoaëc khoâng xaùc ñònh . B2: Tính f ( a), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( x n ), f ( b) B3: GTLN = max{ f (a), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( x n ), f (b) } GTNN = Min{ f ( a), f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( x n ), f ( b) } 1 Ví d 1. Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a hàm s y = x + trên kho ng (0;+∞) x Hư ng d n: D th y h àm s liên t c trên (0;+∞) x 0 1 +∞ 1 x −1 2 y' - 0 + y ' = 1− 2 = 2 ⇒ y ' = 0 ⇔ x 2 − 1 = 0 ⇒ x = ±1 . +∞ +∞ x x y D th y x = −1∉ (0;+∞) 2 V y Minf(x) = 2 khi x = 1 và hàm s không có giá tr l n nh t. Ví d 2. x3 Tính GTLN, GTNN c a hàm s y = + 2 x 2 + 3 x − 4 trên đo n [-4; 0] 3 Hư ng d n Hàm s liên t c trên [-4; 0],  x = −1 f '( x ) = x 2 + 4 x + 3 ⇒ f '( x ) = 0 ⇔ x 2 + 4 x + 3 = 0 ⇒   x = −3 −16 −16 f ( −4) = , f (−3) = −4, f ( −1) = , f (0) = −4 3 3 VËy Max y = −4 khi x = -3 hoÆc x = 0 x∈[-4;0] −16 Min y = khi x = -4 hoÆc x = -1 x∈[-4;0] 3 Bài 1. Tìm GTLN, GTNN c a hàm s (n u có): a. f(x) = x 3 + 3 x 2 − 9 x + 1 trªn [-4; 4] b. f(x) = x 3 + 5 x − 4 trªn ®o¹n [-3; 1] c. f(x) = x 4 − 8 x 2 + 16 trªn ®o¹n [-1; 3] d. f(x) = x 3 + 3 x 2 − 9 x − 7 trªn ®o¹n [-4; 3] Bài 2. Tìm GTLN, GTNN c a hàm s (n u có): x 1 a. f(x) = trªn nöa kho¶ng (-2; 4] trªn kho¶ng (1; +∞ ) b. f(x) = x +2 + x +2 x- 1 1 π 3π c. f(x) = x 1 - x 2 d. f(x) = trªn kho¶ng ( ; ) cosx 2 2 • TI M C N C A HÀM S I. Ki n th c c n n m Cho hàm s y = f(x) có đ th là (C) • y = y0 là ti m c n ngang c a n u m t trong hai đi u kiên sau đư c tho mãn: lim f ( x ) = y0 , hoÆc lim f ( x ) = y0 x →+∞ x →−∞ 7
• x = x0 là ti m c n đ ng c a (C) n u m t trong các đi u ki n sau đ ơc tho mãn: lim+ = +∞, lim− = +∞, lim+ = −∞, lim− = −∞ x → x0 x → x0 x → x0 x → x0 • Đư ng th ng y = ax + b ( a ≠ 0 ) đư c g i là ti m c n xiên n u m t trong hai đi u ki n sau tho mãn: lim [f ( x ) − (ax + b)] = 0 hoÆc lim [f ( x ) − (ax+b)]=0 x →+∞ x →−∞ II. Các d ng toán P( x ) D ng 1: Ti m c n hàm s h u t y = Q( x ) Phương pháp • Ti m c n đ ng: Nghi m c a m u không ph i là nghi m c a t cho phép xác đ nh ti m c n đ ng. • Ti m c n ngang, xiên: + Det(P(x)) < Det (Q(x)): Ti m c n ngang y = 0 + Det(P(x)) = Det(Q(x)): Ti m c n ngang là t s hai h s b c cao nh t c a t và m u. + Det (P(x)) = Det(Q(x)) + 1: Không có ti m c n ngang; Ti m c n xiên đư c xác đ nh b ng cách phân tích hàm s thành d ng: f(x) = ax + b + ε ( x ) v i lim ε ( x ) = 0 thì y = ax + b là ti m c n xiên. x →∞ Ví d 1. Tìm các ti m c n c a các hàm s : 2x- 1 x2 − x − 7 x +2 a. y = b. y = c. y = 2 x +2 x −3 x −1 Hư ng d n 2x −1 2x −1 a. Ta th y lim− = −∞; lim+ = +∞ nên đư ng th ng x= 2 là ti m c n đ ng. x →−2 x + 2 x →−2 x + 2 1 2− 2x −1 x = 2 nên y = 2 là ti m c n ngang c a đ th hàm s . Vì lim = lim x →±∞ x + 2 x →±∞ 2 1+ x b. x2 − x − 7 + lim− = −∞ . Nên x = 3 là ti m c n đ ng c a đ th hàm s . x →3 x −3 1 −1 + y = x+2− . Ta th y lim [y - (x + 2)]=lim = 0 V y y = x+ 2 là ti m cân xiên c a đ th hàm s . x −3 x →∞ x →∞ x − 3 x+2 c. Ta th y lim+ = 2 = +∞. Nên x = 1 là đư ng ti m c n đ ng. x →1 x −1 x+2 + lim− 2 = +∞ . Nên x = -1 là ti m c n đ ng. x →−1 x − 1 1 2 + x + 2 x x2 + lim 2 = = 0 . Nên y = 0 là ti m c n ngang c a đ th hàm s . x →+∞ x − 1 1 1− 2 x D ng 2. Ti m c n c a hàm vô t y = ax 2 + bx + c (a > 0) Phương pháp b Ta phân tích ax 2 + bx + c ≈ a x + + ε ( x) 2a b V i lim ε ( x ) = 0 khi đó y = a ( x + ) có ti m c n xiên bên ph i x →+∞ 2a b V i lim ε ( x ) = 0 khi đó y = − a ( x + ) có ti m c n xiên bên tr ái x →−∞ 2a VÝ dô 8
T×m tiÖm cËn cña hµm sè: y = 9 x 2 − 18 x + 20 H-íng dÉn y = 9( x − 2)2 + 6 9
f ( x) C¸c tÝnh giíi h¹n v« cùc cña hµm sè y = g( x ) lim f ( x ) lim g( x ) f ( x) x →x x→x DÊu cña g(x) lim x → x g( x ) 0 0 0 L ±∞ Tuú ý 0 + +∞ L>0 0 - -∞ - +∞ L
[4. kh¶o s¸t vµ vÏ hµm bËc ba D¹ng 1: Kh¶o s¸t vµ vÏ hµm sè y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) Ph-¬ng ph¸p 1. T×m tËp x¸c ®Þnh. 2. XÐt sù biÕn thiªn cña hµm sè a. T×m c¸c giíi h¹n t¹i v« cùc vµ c¸c giíi h¹n t¹i v« cùc (nÕu cã). T×m c¸c ®-êng tiÖm cËn. b. LËp b¶ng biÕn thiªn cña hµm sè, bao gåm: + T×m ®¹o hµm, xÐt dÊu ®¹o hµm, xÐt chiÒu biÕn thiªn vµ t×m cùc trÞ. + §iÒn c¸c kÕt qu¶ vµo b¶ng. 3. VÏ ®å thÞ cña hµm sè. + VÏ ®-êng tiÖm cËn nÕu cã. + X¸c ®Þnh mét sè ®iÓm ®Æc biÖt: Giao víi Ox, Oy, ®iÓm uèn. + NhËn xÐt ®å thÞ: ChØ ra t©m ®èi xøng, trôc ®èi xøng (kh«ng cÇn chøng minh) VÝ dô 1. Cho hµm sè: y = − x 3 + 3x 2 − 1 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b. Tuú theo gi¸ trÞ cña m, biÖn luËn sè nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh: − x 3 + 3x 2 − 1 = m H-íng dÉn a. 1. TX§: D = ¡ 2. Sù biÕn thiªn cña hµm sè a. Giíi h¹n t¹i v« cùc 3 1 lim (− x 3 + 3 x − 1) = lim x 3 (1 + 2 − 3 ) = +∞ x →+∞ x →+∞ x x -∞ +∞ 0 3 1 x 2 lim (− x 3 + 3 x − 1) = lim x 3 (1 + 2 − 3 ) = −∞ - + 0 - x →−∞ x →−∞ x x y' 0 +∞ 3 c. B¶ng biÕn thiªn x = 0 y y ' = −3 x 2 + 6 x ⇒ y ' = 0 ⇔ −3 x 2 + 6 x = 0 ⇒  x = 2 -1 -∞ Hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng (−∞;0) vµ (2; +∞) Vµ nghÞch biÕn trªn kho¶ng (0; 2). Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i ®iÓm x= 2 ; vµ yC§=y(2)= 3 Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm x =0 vµ y CT = y(1) = -1 2 3. §å thÞ + Giao víi Oy: cho x = 0 ⇒ y = 0 . Vëy giao víi Oy t¹i ®iÓm O(0; -1) -5 5 + y '' = 0 ⇔ −6 x + 6 = 0 ⇒ x = 1 . §iÓm A (1; 1) -2 + NhËn ®iÓm A lµm t©m ®èi xøng. b. Sè nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh lµ sè giao ®iÓm cña 2 ®å thÞ y = − x 3 + 3x 2 − 1 vµ y =m Dùa vµo ®å thÞ ta cã kÕt qu¶ biÖn luËn: m > 3: Ph-¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm. m = 3 ph-¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm -1< m < 3: Ph-¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm. m = -1: Ph-¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm m < -1: Ph-¬ng tr×nh cã 1nghiÖm C¸c bµi to¸n vÒ hµm bËc ba Bµi 1(TNTHPT – 2008) Cho hµm sè y = 2 x 3 + 3x 2 − 1 11
a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè. b. BiÖm luËn theo m sè nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh 2 x 3 + 3x 2 − 1 = m Bµi 2 (TN THPT- lÇn 2 – 2008) Cho hµm sè y = x3 - 3x2 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè ®· cho. b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ph-¬ng tr×nh x 3 − 3x 2 − m = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. Bài 3 (TNTHPT - 2007) Cho hàm s y= x 3 − 3x + 2 có đ th là (C) . a/ Kh o sát và v đ th hàm s . b/ Vi t phương trình ti p tuy n t i đi m A(2 ;4) . Bài 4 (TNTHPT - 2006) Cho hàm s y= − x3 + 3x 2 có đ th (C) . a/ Kh o sát và v đ th hàm s . b/ D a vào đ th bi n lu n s nghi m phương trình : − x3 + 3x 2 -m=0 . Bài 5 (TNTHPT – 2004- PB) Cho hàm s y= x 3 − 6 x 2 + 9 x có đ th là (C) . a/ Kh o sát và v đ th hàm s . b/ Vi t phương trình ti p tuy n t i đi m cã hoµnh ®é lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh y’ ’ =0 . c/ V i giá tr nào c a m thì đư ng th ng y=x+m2-m đi qua trung đi m c a đo n th ng n i c c đ i vào c c ti u . Bài 6 (TNTHPT – 2004 - KPB) Cho hàm s y= x 3 − 3mx 2 + 4m3 . a/ Kh o sát và v đ th hàm s khi m=1 . b/ Vi t phương trình ti p tuy n t i đi m có hoành đ x=1 . Bµi 7 (§H- A- 2002) Cho hµm sè y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m3 − m 2 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m= 1 b. T×m k ®Ó ph-¬ng tr×nh: − x 3 + 3x 2 + k 3 − 3k 2 = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt. c. ViÕt ph-¬ng tr×nh ®-êng th¼ng qua 2 ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè (1). Bµi 8 (C§ SP MGTW- 2004) Cho hµm sè y = x3 - 3x2 + 4m a. Chøng minh ®å thÞ hµm sè lu«n cã 2 cùc trÞ. b. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè khi m = 1 Bµi 9 (§H-B- 2007) Cho hµm sè y = − x 3 + 3 x 2 + 3( m 2 − 1) x − 3m 2 − 1 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m =1 b. T×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i cùc tiÓu vµ c¸c ®iÓm cùc trÞ c¸ch ®Òu ®iÓm O. Bµi 10 (§H - D - 2004) Cho hµm sè y = x3 – 3mx2 + 9x + 1 a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 2 b. T×m m ®Ó nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh y’ ’ = 0 thuéc ®-êng th¼ng y = x+ 1 Bµi 8 Cho hµm sè y = (x -1)(x2 + mx + m) 12
a. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt b. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè víi m= 4 Bµi 3 Cho hµm sè y = 2 x 3 + 3(m − 1) x 2 + 6(m − 2) x − 1 a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m =2 b. Víi gi¸ trÞ nµo cña m hµm sè cã cùc ®¹i, cùc tiÓu. Bµi 5 (§H 2006- D) Cho hµm sè y = x 3 − 3x + 2 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè. b. Gäi d lµ ®-êng th¼ng qua ®iÓm A(3; 20) vµ cã hÖ sè gãc m. T×m m ®Ó ®-êng th¼ng d c¾t (C ) t¹i 3 ®iÓm phÇn biÖt. (Gîi ý ®-êng th¼ng d qua M(x0;y0) cã hÖ sè gãc m cã d¹ng: y = m(x - x0) + y 0) Bµi 7 Cho hµm sè y = (x - m)3 - 3x a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1 b. T×m m ®Ó hµm sè ®· cho ®¹t cùc tiÓu t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = 0 Bµi 8 Cho hµm sè y = (x -1)(x2 + mx + m) c. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt d. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè víi m= 4 Bµi 11 Cho hµm sè y = x 3 − 2mx 2 + m 2 x − 2 a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè khi m =1 b. T×m m ®Ó hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 1 13
• Hµm bËc bèn trïng ph-¬ng vµ mét sè bµi tËp cã liªn quan I. Mét sè tÝnh chÊt cña hµm trïng ph-¬ng • Hµm sè lu«n cã cùc trÞ víi mäi gi¸ trÞ cña tham sè sao cho a ≠ 0 • Hµm sè ®¹t gi¸ trÞ cùc ®¹i, cùc tiÓu ⇔ y ' = 0 ⇔ 2 x (2 ax 2 + b ) = 0 cã ba nghiÖm ph©n biÖt b ⇔
Bµi tËp hµm sè trïng ph-¬ng Bµi 1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ c¸c hµm sè sau: a. y= -x 4 + 2 x 2 b. y = x 4 + x 2 − 2 c. y = x 4 − 6 x 2 + 1 1 5 d. y = x 4 − 3 x 2 = e.y = -x 4 +2x 2 +3 f. y = x 4 +2x 2 +1 2 2 Bµi 2. Cho hµm sè y = x 4 − 2m 2 x 2 + 1 a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m =1 b. T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè cã ba cùc trÞ lµ ba ®Ønh cña tam gi¸c vu«ng c©n. Bµi 3 (§H §µ L¹t - 2002) a. Gi¶i ph-¬ng tr×nh x 4 − 2 x 2 + 1 = 0 b. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè y = x 4 − 2 x 2 + 1 c. BiÖn luËn theo m sè nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh x 4 − 2 x 2 + 1 − m = 0 Bµi 4 (§H Th¸i Nguyªn - 2002) Cho hµm sè y = − x 4 + 2 mx 2 (C m ) a. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1 b. H·y x¸c ®Þnh m ®Ó hµm sè ®å thÞ hµm sè cã 3 cùc trÞ Bµi 5. (§H Vinh - 2002) 1. Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè y = − x 4 + 5 x 2 − 4 2. X¸c ®Þnh m ®Ó ph-¬ng tr×nh x 4 − 5x 2 − m 2 + 3 = 0 cã 4 nghiÖm ph©n biÖt. Bµi 6 x4 9 Cho hµm sè y = − 2x2 − 4 4 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè b. BiÖn luËn theo k sè giao ®iÓm cña (C) víi ®å thÞ (P) cña hµm sè y = k − 2 x 2 Bµi 7 Cho hµm sè y = x 4 − 2mx 2 + m3 − m 2 a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè khi m = 1 b. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ (Cm ) cña hµm sè ®· cho tiÕp xóc víi trôc hoµnh t¹i 2 ®iÓm Bµi 8. (§H CÇn th¬ - 2002) Cho hµm sè y = x 4 − 2 x 2 + 2 − m (Cm) a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 0 b. T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ (Cm) cña hµm sè chØ cã hai ®iÓm chung víi Ox c. Chøng minh víi mäi m tam gi¸c cã 3 ®Ønh lµ ba cùc trÞ lµ mét tam gi¸c vu«ng c©n. 15
HOÏ ÑÖÔØNG CONG BAØI TOAÙN TOÅNG QUAÙT: Cho hoï ñöôøng cong (C m ) : y = f ( x, m) ( m laø tham soá ) Bieän luaän theo m soá ñöôøng cong cuûa hoï (C m ) ñi qua ñieåm M 0 ( x0 ; y 0 ) cho tröôùc. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI: Ta coù : Hoï ñöôøng cong (C m ) ñi qua ñieåm M 0 ( x0 ; y 0 ) ⇔ y 0 = f ( x 0 , m) (1) Xem (1) laø phöông trình theo aån m. Tuøy theo soá nghieäm cuûa phöông trình (1) ta suy ra soá ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñi qua M0 Cuï theå: • Neáu phöông trình (1) coù n nghieäm phaân bieät thì coù n ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñi qua M0 • Neáu phöông trình (1) voâ nghieäm thì moïi ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñeàu khoâng ñi qua M0 • Neáu phöông trình (1) nghieäm ñuùng vôùi moïi m thì moïi ñöôøng cong cuûa hoï (Cm) ñeàu ñi qua M 0 Trong tröôøng hôïp naøy ta noùi raèng M0 laø ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñöôøng cong (C m ) D¹ng 1: TÌM ÑIEÅM COÁ ÑÒNH CUÛA HOÏ ÑÖÔØNG CONG BAØI TOAÙN TOÅNG QUAÙT: Cho hoï ñöôøng cong (C m ) : y = f ( x, m) ( m laø tham soá ) Tìm ñieåm coá ñònh cuûa hoï ñöôøng cong (Cm) PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI Böôùc 1: Goïi M 0 ( x0 ; y 0 ) laø ñieåm coá ñònh (neáu coù) maø hoï (Cm) ñi qua. Khi ñoù phöông trình: y0 = f ( x0 , m) nghieäm ñuùng ∀ m (1) Böôùc 2: Bieán ñoåi phöông trình (1) veà moät trong caùc daïng sau: Daïng 1: Am + B = 0 ∀m Daïng 2: Am 2 + Bm + C = 0 ∀m A = 0 AÙp duïng ñònh lyù: Am + B = 0 ∀m ⇔  (2) B = 0 A = 0  Am + Bm + C = 0 ∀m ⇔  B = 0 (3) 2 C = 0  Böôùc 3: Giaûi heä (2) hoaëc (3) ta seõ tìm ñöôïc ( x0 ; y 0 ) Bµi tËp Bµi 1. Cho hä (Cm) y = x 3 − 3( m + 1) x 2 + 2( m 2 + 4 m + 1) x − 4 m(m + 1) . CMR: Khi m thay ®æi th× hä ®-êng cong lu«n qua mét ®iÓm cè ®Þnh. mx + 1 Bµi 2. Cho hä ®å thÞ (Cm): = . T×m c¸c ®iÓm cè ®Þnh mµ ®å thÞ cña hµm sè lu«n ®i qua víi mäi x+m m ≠ ±1 x 2 + mx − m − 1 Bµi 3. Cho hä (Cm) cã ph-¬ng tr×nh: y = . Chøng minh r»ng (Cm) lu«n ®i qua mét ®iÓm x +1 cè ®Þnh. Bµi 4. Cho hµm sè (Cm): y = x 3 − 3mx + 2 m 16
a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1. b. Chøng minh r»ng hä ®-êng cong lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. mx − 1 Bµi 5. Cho hµm sè: y = , m ≠ ±1 . Gäi (Hm) lµ ®å thÞ cña hµm sè ®· cho. x−m a. Chøng minh r»ng víi mäi m ≠ ±1 , hä ®-êng cong lu«n qua 2 ®iÓm cè ®Þnh. b. Gäi M lµ giao ®iÓm cña 2 tiÖm cËn. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M khi m thay ®æi. Bµi 6. Cho hµm sè: y = ( m + 2) x 3 + 2(m + 2) x 2 − ( m + 3) x − 2 m + 1 (C m ) . Chøng minh r»ng hä ®å thÞ lu«n qua ba ®iÓm cè ®Þnh vµ 3 ®iÓm cè ®Þnh ®ã cïng n»m trªn mét ®-êng th¼ng. D¹ng 2: T×m ®iÓm hä ®å thÞ hµm sè kh«ng ®i qua Ph-¬ng ph¸p: B1: Gi¶ sö M(x0; y0) lµ ®iÓm mµ hä ®-êng cong kh«ng thÓ ®i qua. B2: Khi cã ph-¬ng tr×nh: y0 = f ( x0 , m) v« nghiÖm víi m tõ ®ã t×m ®-îc (x0; y0 ) B3: KÕt luËn vÒ ®iÓm mµ hä ®-êng cong kh«ng thÓ ®i qua. Bµi 1. Cho hµm sè y = ( x − 2)( x 2 − 2 mx + m 2 − 1) (C m ) . T×m c¸c ®iÓm mµ (Cm) kh«ng thÓ ®i qua. (3m + 1) x − m 2 + m Bµi 2. Cho hµm sè y = x+m a. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 1. b. T×m c¸c ®iÓm trªn ®-êng th¼ng x = 1, sao cho kh«ng thÓ cã gi¸ trÞ nµo cña m ®Ó ®å thÞ hµm sè ®i qua. Bµi 3. Cho ®å thÞ hµm sè y = 2 x 3 − 3(m + 3) x 2 + 18mx − 8 (C m ) . Chøng minh r»ng trªn ®-êng cong y = x2 cã hai ®iÓm mµ (Cm) kh«ng ®i qua víi mä m. 17
CHUYÊN Đ : PHƯƠNG PHÁP GI I PHƯƠNG TRÌNH VÔ T I. PHƯƠNG PHÁP BI N Đ I TƯƠNG ĐƯƠNG 1. Bình phương 2 v c a phương trình a) Phương pháp ü Thông thư ng n u ta g p phương trình d ng : A + B = C + D , ta thư ng bình phương 2 v , đi u đó đôi khi l i g p khó khăn hãy gi i ví d sau ü 3 A + 3 B = 3 C ⇒ A + B + 3 3 A.B ( 3 ) A+ 3 B =C và ta s d ng phép th : 3 A + 3 B = C ta đư c phương trình : A + B + 3 3 A.B.C = C b) Ví d Bài 1. Gi i phương trình sau : x + 3 + 3x + 1 = 2 x + 2 x + 2 Gi i: Đk x ≥ 0 Bình phương 2 v không âm c a phương trình ta đư c:1 + ( x + 3)( 3x + 1) = x + 2 x ( 2 x + 1) , đ gi i phương trình này dĩ nhiên là không khó nhưng hơi ph c t p m t chút . Phương trình gi i s r t đơn gi n n u ta chuy n v phương trình : 3 x + 1 − 2 x + 2 = 4x − x + 3 Bình phương hai v ta có : 6 x 2 + 8 x + 2 = 4 x 2 + 12 x ⇔ x = 1 Th l i x=1 th a Ø Nh n xét : N u phương trình : f ( x) + g ( x) = h ( x) + k ( x) Mà có : f ( x ) + h ( x ) = g ( x ) + k ( x ) , thì ta bi n đ i phương trình v d ng : f ( x ) − h ( x ) = k ( x ) − g ( x ) sau đó bình phương ,gi i phương trình h qu Bài 2. Gi i phương trình sau : x3 + 1 + x + 1 = x2 − x + 1 + x + 3 x+3 Gi i: Đi u ki n : x ≥ −1 Bình phương 2 v phương trình ? N u chuy n v thì chuy n như th nào? x3 + 1 Ta có nh n xét : . x + 3 = x 2 − x + 1. x + 1 , t nh n xét này ta có l i gi i như sau : x+3 x3 + 1 (2) ⇔ − x + 3 = x2 − x + 1 − x + 1 x+3 x3 + 1 x =1− 3 Bình phương 2 v ta đư c: = x2 − x − 1 ⇔ x2 − 2x − 2 = 0 ⇔  x+3 x =1+ 3  Th l i : x = 1 − 3, x = 1 + 3 l nghi m Qua l i gi i trên ta có nh n xét : N u phương trình : f ( x) + g ( x) = h ( x) + k ( x) Mà có : f ( x ) .h ( x ) = k ( x ) .g ( x ) thì ta bi n đ i f ( x) − h ( x) = k ( x) − g ( x) 2. Tr c căn th c 2.1. Tr c căn th c đ xu t hi n nhân t chung a) Phương pháp M t s phương trình vô t ta có th nh m đư c nghi m x0 như v y phương trình luôn đưa v đư c d ng tích ( x − x0 ) A ( x ) = 0 ta có th gi i phương trình A ( x ) = 0 ho c ch ng minh A ( x ) = 0 vô nghi m , chú ý đi u ki n c a nghi m c a phương trình đ ta có th đánh gía A ( x ) = 0 vô nghi m 18
b) Ví d Bài 1 . Gi i phương trình sau : 3x 2 − 5x + 1 − x 2 − 2 = 3 ( x 2 − x − 1) − x 2 − 3x + 4 Gi i: ( ) ( ) ( ) ( ) Ta nh n th y : 3 x 2 − 5 x + 1 − 3 x 2 − 3 x − 3 = −2 ( x − 2 ) v x 2 − 2 − x 2 − 3 x + 4 = 3 ( x − 2 ) −2 x + 4 3x − 6 Ta có th tr c căn th c 2 v : = 3 x 2 − 5 x + 1 + 3 ( x 2 − x + 1) x − 2 + x 2 − 3x + 4 2 D dàng nh n th y x=2 là nghi m duy nh t c a phương trình . Bài 2. Gi i phương trình sau (OLYMPIC 30/4 đ ngh ) : x 2 + 12 + 5 = 3x + x 2 + 5 5 Gi i: Đ phương trình có nghi m thì : x 2 + 12 − x 2 + 5 = 3 x − 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 Ta nh n th y : x=2 là nghi m c a phương trình , như v y phương trình có th phân tích v d ng ( x − 2 ) A ( x ) = 0 , đ th c hi n đư c đi u đó ta ph i nhóm , tách như sau : x2 − 4 x2 − 4 x + 12 − 4 = 3 x − 6 + x + 5 − 3 ⇔ 2 2 = 3( x − 2) + x 2 + 12 + 4 x2 + 5 + 3  x+2 x +1  ⇔ ( x − 2)  − − 3 = 0 ⇔ x = 2  x + 12 + 4 x2 + 5 + 3  2 x+2 x+2 5 D dàng ch ng minh đư c : − − 3 < 0, ∀x > x 2 + 12 + 4 x2 + 5 + 3 3 Bài 3. Gi i phương trình : 3 x 2 − 1 + x = x3 − 1 Gi i :Đk x ≥ 3 2 Nh n th y x=3 là nghi m c a phương trình , nên ta bi n đ i phương trình    ( x − 3) ( x + 3 x + 9 ) 2  x+3 3 x − 1 − 2 + x − 3 = x − 2 − 5 ⇔ ( x − 3) 1 + 2 3 = ( ) + 2 x −1 + 4  x3 − 2 + 5 2 3 x2 − 1  3 2   x+3 x+3 x 2 + 3x + 9 Ta ch ng minh : 1 + = 1+