TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ***** 1. Nội dung được trình bày ở sách giáo khoa: Về định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến:
Cho K là một khoảng, nửa khoảng hay đoạn nào đó của R và f là hàm số xác định trên K. Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu
2
f x ( ) 2 f x ( ) ) x x , 1 2 x x , 1 K x , 1 K x , 1 x 2 x 2 f x ) ( 1 f x ( 1
f x f x f x
x x x
I I I
Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu 2 Như vậy, nét mới của SGK lần này so với SGK trước đây là ở SGK trước đây chỉ định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến trên một khoảng (a ; b). Về điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến: Định lý: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I
thì hàm số f đồng biến trên khoảng I. thì hàm số f đồng biến trên khoảng I. thì hàm số f không đổi trên khoảng I.
'( ) 0, '( ) 0, '( ) 0,
f x
x
'( ) 0,
a b ( ; )
f x
f x
x
I
I
(hoặc
'( ) 0,
'( ) 0,
a) Nếu b) Nếu c) Nếu
'( ) 0
Mở rộng 1: Khoảng I trong định lý trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc một nửa khoảng. Khi đó phải bổ sung giả thiết “Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a ; b] và có đạo hàm Mở rộng 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Nếu và
thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a ; b]. x ) f x chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I. Về chứng minh thì SGK hiện nay không chứng minh định lý cũng như các mở rộng 1 và mở
2
1
2
x
c
rộng 2 của định lý (theo tinh thần giảm bớt tính hàn lâm của SGK). So với SGK chỉnh lý hợp nhất trước đây, các phần a) và b) của định lý được chứng minh nhờ đưa vào và thừa nhận định lý Lagrange. Thừa nhận mở rộng 2 của định lý, không có mở rộng 1 vì không có khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến trên một đoạn, nửa khoảng. 2. Vấn đề chứng minh định lý và các định lý mở rộng: Ở đây tôi xin trao đổi về vấn đề chứng minh Định lý và các định lý mở rộng: Để chứng minh định lý trên (kể cả phần c) của định lý), ta dùng định lý Lagrange. Cụ thể: Lấy hai x ) trên khoảng I = (a ; b). Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số y = f(x) trên
f x (
)
)
f c '( )
a b ( ; )
1
2
f x ( 1
2
x 1
2
, khi đó tồn tại một số sao cho:
x
x nên , tức là thì x
)
) 0
f c , mặt khác
a b ( ; )
2
2
'( ) 0 1 . Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (a ; b).
0 f x ( f x ( 1
2
f x
x
điểm đoạn a) Nếu f x ( ) ,x x bất kỳ ( 1 x ,x x f x '( ) 0, f x ( 1
)
f x (
),
a b ;
f c nên
'( ) 0,
'( ) 0
a b ( ; )
f x ( 1
x x ; 1
2
2
2
hay . f x ( ) ) 0 f x ( 1
f x
x
) b) Chứng minh tương tự như a) c) Nếu thì Vậy hàm số f không đổi trên khoảng (a ; b).
'( ) 0,
a b ( ; )
x
. Ta chứng minh f đồng biến
a b ;
),
2
2
. Chứng minh định lý mở rộng 1: * Trường hợp K=[a ; b), hàm số f liên tục trên K, trên K. Chứng minh: Theo định lý trên thì f đồng biến trên khoảng (a ; b). Do đó, để chứng minh hàm số f f a đồng biến trên K=[a ; b), ta chỉ cần chứng minh ( )
f x ( 2x bất kỳ thuộc khoảng (a ; b), do hàm số f liên tục trên K=[a ; b) nên f liên tục trên
x
'( ) 0,
c
x
a
f x x nên . Áp dụng định lý Lagrange vào đoạn '( ) 0, a x ( ; )
;
;a x , khi đó tồn tại
f x (
)
f a ( )
2 f c '( )
f c , '( ) 0
2
2
2
x sao cho . Ta có a nên 0
a x hay
a b ( ; ) 2 f a ( )
2
Thật vậy, lấy đoạn 2 ;a x . f x Mặt khác, 2 suy ra (đpcm). ) f a ( ) 0 f x ( ) f x 2( Cách khác : Ta có thể chứng minh trực tiếp bằng phản chứng.
Nguyễn Phi Mãng - Giáo viên trường THPT chuyên Quốc Học Huế. 1
f x ( ),
f a ( )
a b ;
x
.
f a ( )
a b ;
f x (
)
:
0
0
Thật vậy, giả sử có
f a ( )
x
a x ;
f x (
)
,
f x (
)
Theo định lý trên thì f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b). Do đó để chứng minh f đồng biến trên x K= [a ; b) ta chỉ cần chứng minh (1) f x 0(
x 0
0
0
0
f a ( )
0
a
x
x ; sự vô lý này chứng tỏ không thể có
, do đó (2) f a ( ) f x ( ) + Xét trường hợp ) Do hàm số f đồng biến trên khoảng (a ; b) nên f x f x x lim ( ) ( ) a x f x Mặt khác, f liên tục trên [a ; b) nên lim ( )
a b ;
:
f x (
)
f a ( )
f a ( )
f a ( )
0
0
. Từ (1) và (2) ta suy ra
+ Xét trường hợp f a ( ) )
;
x x , 1
0
0
a b
a x Lúc này ta lấy và x 1
;
x 1
0
0
x
x nên ta có sao cho . Như vậy có ) f a ( ) ) x 1 f x 0( 1x sao cho f x ( ) 1
a b
;
a b ;
)
:
f a ( )
f x (
0
x 1
0
. Nhưng theo chứng
f x
x
f x 1( . Vậy không thể có . sao cho minh trên không thể có . Do f đồng biến trên (a ; b) nên với f a ( ) ) f x ( a b
'( ) 0,
a b ( ; )
. Ta chứng minh f đồng biến
a b ;
)
x 1
. f x 1( * Trường hợp K=(a ; b], hàm số f liên tục trên K, trên K. Chứng minh: Theo định lý trên thì f đồng biến trên khoảng (a ; b). Do đó, để chứng minh hàm số f f x đồng biến trên K=(a ; b], ta chỉ cần chứng minh ( 1
f b ( ), 1x bất kỳ thuộc khoảng (a ; b), do hàm số f liên tục trên K=(a ; b] nên f liên tục trên
f
x
x
1;x b . f x
'( ) 0,
a b ( ; )
x b ; 1
Thật vậy, lấy đoạn Mặt khác, nên
1;x b ,
c
f b ( )
)
'( )
f c , '( ) 0
f x ( 1
1
1
sao cho khi đó tồn tại nên suy ra b x 0
f c b x
. Áp dụng định lý Lagrange vào đoạn . Ta có
'( ) 0, x b 1; hay
f x
x
(đpcm) ) 0 f b ( ) ) f x ( 1
'( ) 0,
a b ( ; )
. Ta chứng minh f đồng biến
2
) trên K. x
x f b f x 1( ( ) * Trường hợp K=[a ; b], hàm số f liên tục trên K, trên K. Lấy hai điểm a
2 thì do f đồng biến trên (a ; b) nên ta có
2
,x x bất kỳ ( 1 x 1 b x + Nếu . ) f x ( 1
2
2
a x b + Nếu thì theo trên do f đồng biến trên [a ; b) nên ta có . ) )
2
c
a x b + Nếu thì theo trên do f đồng biến trên (a ; b] nên ta có . ) f x ( f x ( )
;
2
2 x 1
2
a x b b a x a b c + Nếu f x ( ) 2 f x ( 1 f x ( 1 . Do thì ta lấy , lúc đó ta có c và f đồng x 1 x 1 x 1 x 1
a b
x 1 b a c x
, cũng vậy do
2
và f đồng biến trên (a ; b] nên
2
K
x
. biến trên [a ; b) nên f x f c ( ( ) ) ) ) f c ( ) f x ( )
)
f x (
2 x x , 1
2
2
2
f x ( 1
tức là hàm số f đồng biến trên K=[a ; b]. . Từ đó f x 1( f x ( 1 a b x , ; 1
;
x x , 1
2
2
Vậy: ) Việc chứng minh định lý mở rộng 1) cho các kết luận b) và c) tiến hành tương tự. Chứng minh định lý mở rộng 2: Trước hết ta cần chứng tỏ rằng: *Bổ đề: + Nếu f đồng biến trên các nửa khoảng (a ; b] và [b ; c) thì f đồng biến trên khoảng (a ; c). + Nếu f nghịch biến trên các nửa khoảng (a ; b] và [b ; c) thì f nghịch biến trên khoảng (a ; c). Chứng minh: Trường hợp f đồng biến trên các nửa khoảng (a ; b] và [b ; c). x Lấy bất kỳ . Lúc đó ta có một trong 3 khả năng sau xảy ra: sao cho x 1
a c
2
2
x b + , lúc này do f đồng biến trên nửa khoảng (a ; b], nên . ) f x ( ) x 1 f x ( 1
Nguyễn Phi Mãng - Giáo viên trường THPT chuyên Quốc Học Huế. 2
x , lúc này do f đồng biến trên các nửa khoảng (a ; b] và [b ; c), nên và ) f b ( ) f x 1(
2 )
2
2 x
nên . ) f x ( ) f x ( 1
2
2
x
I
f
x
x + 1 f b ( ) b b f x ( , lúc này do f đồng biến trên nửa khoảng [b ; c), nên . ) f x ( ) x 1 f x ( 1
'( ) 0,
a b ;
f x chỉ tại một số hữu hạn điểm
'( ) 0
n
2
x của I (có thể giả sử ,..., x x , 1 + Vậy f đồng biến trên khoảng (a ; c). Rõ ràng với cách chứng minh như trên ta cũng có: + Nếu f đồng biến trên [a ; b] và [b ; c) thì f đồng biến trên khoảng [a ; c). + Nếu f đồng biến trên (a ; b] và [b ; c] thì f đồng biến trên khoảng (a ; c]. + Nếu f đồng biến trên [a ; b] và [b ; c] thì f đồng biến trên khoảng [a ; c]. Trường hợp f nghịch biến trên các nửa khoảng (a ; b] và [b ; c) chứng minh tương tự. Bây giờ, ta áp dụng bổ đề trên để chứng minh định lý mở rộng 2). và Giả sử
n
2
x
x
x x ). ...
,
,...,
x b , n
n
n
2
x x , 1
1
.
,
,
;...;
2
f x với mọi x thuộc các khoảng '( ) 0
x
a x ; 1 x
,
x b , n
n
n
x x , 1
2
1
. Áp dụng bổ đề
x b nên theo kết quả định lý mở ,n ,...,
x x , 1 ,
,
x
x
f
'( ) 0,
a b ;
f x chỉ tại một số
'( ) 0
x 1 Do f liên tục trên (a ; b) nên f liên tục trên các nửa khoảng và đoạn a x Đồng thời ; , 1 rộng 1, ta có f đồng biến trên các nửa khoảng và đoạn a x ; 1 trên, ta suy ra được hàm số f đồng biến trên khoảng (a ; b). Tương tự, ta chứng minh được cho trường hợp “Nếu và hữu hạn điểm của khoảng (a ; b) thì hàm số f nghịch biến trên khoảng (a ; b)”. Chú ý:
y
x
0
1. Nếu hàm số f đồng biến (nghịch biến) trên nửa khoảng (a ; b] và khoảng (b; c) (hoặc trên khoảng (a ; b) và nửa khoảng [b;c)) thì hàm số f xác định trên khoảng (a;c) nhưng chưa chắc đã đồng biến trên khoảng (a;c). Điều này nói lên rằng trong Bổ đề giả thiết hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên các nửa khoảng (a ; b] và [b;c) là quan trọng, không thể thay một trong hai nửa khoảng trên bởi một khoảng. Ví dụ:
f x ( )
2 víi x x 1 víi
0
Cho hàm số
1
x
O
1
;0 và đồng biến trên nửa 0; nhưng f không đồng biến
x Rõ ràng f xác định trên R, đồng biến trên khoảng khoảng trên R.
f
x
x
'( ) 0,
a b ;
'( ) 0
2. Nếu ,
f x chỉ tại một số hữu hạn điểm của khoảng (a ; b) thì hàm số f đồng biến trên khoảng (a ; b) và đương nhiên là liên tục trên khoảng (a ; b). Nhưng ngược lại không đúng.
y
x
0
Ví dụ:
f x ( )
2 víi x x 1 víi
0
Cho hàm số
O
x
-1
x Rõ ràng f xác định trên R, đồng biến trên R nhưng không liên tục trên R do f không liên tục tại điểm x = 0 và đương nhiên không có đạo hàm tại điểm x = 0.
Nguyễn Phi Mãng - Giáo viên trường THPT chuyên Quốc Học Huế. 3
y
3. Lưu ý khi giảng dạy:
Khi giới thiệu định lý mở rộng 1) cần nhấn mạnh việc bổ sung thêm giả thiết “hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó” là quan trọng, không thể thiếu, có thể đưa ra một ví dụ đơn giản để làm rõ điều đó, chẳng hạn: 0 Cho hàm số f x ( ) x 1 víi x x víi
1
0; , đồng biến trên
x
0
O
0; do 0; .
Rõ ràng f xác định trên 0; nhưng không đồng biến trên hàm số f không liên tục trên nửa khoảng
SGK đưa ra ví dụ 3, trang 6;7 nhằm giới thiệu định lý mở rộng 2. Do đó cần nhấn mạnh, áp dụng
;
;
1 2
1 2
định lý mở rộng 1) ta có hàm số đã cho đồng biến trên mỗi nửa khoảng và , từ
đó suy ra hàm số đồng biến trên R. Giáo viên có thể chứng minh và đưa thêm ví dụ ở phần chú ý 1.
x
x
Nhờ mở rộng tính đồng biến, nghịch biến trên nửa khoảng, đoạn mà ta có thể áp dụng đạo hàm để chứng minh các bất đẳng thức mà không cần phải sử dụng định lý Lagrange như trước đây (bài tập 8;9 trong SGK trang 8;9).
tan
x 2 ,
x 0; 2
x
x
x
Chẳng hạn bài tập 9: Chứng minh rằng: sin
f x ( )
sin
tan
2
2
Giải: Xét hàm số . . Trước hết ta chứng minh f đồng biến trên 0;
2
x
x
x
x
Thật vậy, ta có:
f x '( )
cos
2 cos
2 0,
nên
1x
x
x
1 2 cos
1 2 cos
0; 2
0; 2
2
. (vì , ta có 0 cos
). x x cos cos
2
2
f
x
x
x
x
f x ( )
(0) 0,
x 2 ,
tan
sin
0;
0;
2
2 Trước đây, theo SGK chỉnh lý ta phải làm như sau:
x
x
x
và ta có: Mặt khác f(x) liên tục trên 0; . Do đó hàm số f đồng biến trên 0;
f x ( )
sin
tan
2
2
x
trên khoảng (0 ; x) nên theo định lý
f x '( )
cos
2
Xét hàm số , ta có: hàm số f liên tục . Lấy x bất kỳ thuộc khoảng 0;
trên đoạn
0; x và có đạo hàm
2
c
f
1 cos
f x ( )
(0)
0)
x f c x '( )(
2
c
c
c
c
Lagrange, tồn tại số sao cho .
f c '( )
cos
2
cos
. 2 0
Do , từ đó nên 0
0; x
2
2
c
c
0; x 2
1 cos
1 cos
x
f
hay
f x ( )
(0) 0,
f c x '( )(
0) 0
0; 2
x 0; 2
f
x
x
x
x
x
x
x
x
f x ( )
(0),
0;
sin
tan
2
0,
0;
sin
tan
x 2 ,
0;
2
2
2
Đồng thời nên x > 0. Vậy
Nguyễn Phi Mãng - Giáo viên trường THPT chuyên Quốc Học Huế. 4
