Nguyễn Phi Mãng - Giáo viên trường THPT chuyên Quốc Học Huế.
1
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
*****
1. Nội dung được trình bày ở sách giáo khoa:
Về định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến:
Cho K là một khoảng, nửa khoảng hay đoạn nào đó của R và f là hàm số xác định trên K.
Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )
x x K x x f x f x
Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu
1 2 1 2 1 2
, , ( ) ( )
x x K x x f x f x
Như vậy, nét mới của SGK lần này so với SGK trước đây là ở SGK trước đây chỉ định nghĩa hàm số
đồng biến, nghịch biến trên một khoảng (a ; b).
Về điều kiện đủ để hàm số đồng biến, nghịch biến:
Định lý: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I
a) Nếu '( ) 0,
f x x I
thì hàm số f đồng biến trên khoảng I.
b) Nếu '( ) 0,
f x x I
thì hàm số f đồng biến trên khoảng I.
c) Nếu '( ) 0,
f x x I
thì hàm số f không đổi trên khoảng I.
Mở rộng 1: Khoảng I trong định lý trên có thể được thay bởi một đoạn hoặc một nửa khoảng. Khi đó
phải bổ sung giả thiết “Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số f liên
tục trên đoạn [a ; b] và có đạo hàm
'( ) 0, ( ; )
f x x a b
thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a ; b].
Mở rộng 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Nếu '( ) 0,
f x x I
(hoặc '( ) 0,
f x x I
)
và
f x
chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I.
Về chứng minh thì SGK hiện nay không chứng minh định lý cũng như các mở rộng 1 và mở
rộng 2 của định lý (theo tinh thần giảm bớt tính hàn lâm của SGK).
So với SGK chỉnh lý hợp nhất trước đây, các phần a) và b) của định lý được chứng minh nhờ đưa vào
và thừa nhận định lý Lagrange. Thừa nhận mở rộng 2 của định lý, không có mở rộng 1 vì không có khái
niệm hàm số đồng biến, nghịch biến trên một đoạn, nửa khoảng.
2. Vấn đề chứng minh định lý và các định lý mở rộng:
Ở đây tôi xin trao đổi về vấn đề chứng minh Định lý và các định lý mở rộng:
Để chứng minh định lý trên (kể cả phần c) của định lý), ta dùng định lý Lagrange. Cụ thể: Lấy hai
điểm
1 2
,
x x
bất kỳ (
1 2
x x
) trên khoảng I = (a ; b). Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số y = f(x) trên
đoạn
1 2
,
x x
, khi đó tồn tại một số
( ; )
c a b
sao cho:
2 1 2 1
( ) ( ) '( )
f x f x f c x x
a) Nếu
'( ) 0, ( ; )
f x x a b
thì
'( ) 0
f c
, mặt khác 2 1
0
x x
nên 2 1
( ) ( ) 0
f x f x
, tức là
2 1
( ) ( )
f x f x
. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (a ; b).
b) Chứng minh tương tự như a)
c) Nếu
'( ) 0, ( ; )
f x x a b
thì
'( ) 0
f c
nên 2 1
( ) ( ) 0
f x f x
hay
1 2 1 2
( ) ( ), ; ;
f x f x x x a b
.
Vậy hàm số f không đổi trên khoảng (a ; b).
Chứng minh định lý mở rộng 1:
* Trường hợp K=[a ; b), hàm số f liên tục trên K,
'( ) 0, ( ; )
f x x a b
. Ta chứng minh f đồng biến
trên K.
Chứng minh: Theo định lý trên thì f đồng biến trên khoảng (a ; b). Do đó, để chứng minh hàm số f
đồng biến trên K=[a ; b), ta chỉ cần chứng minh
2 2
( ) ( ), ;
f a f x x a b
.
Thật vậy, lấy
2
x
bất kỳ thuộc khoảng (a ; b), do hàm số f liên tục trên K=[a ; b) nên f liên tục trên
đoạn
2
;
a x
.
Mặt khác,
'( ) 0, ( ; )
f x x a b
nên
2
'( ) 0, ( ; )
f x x a x
. Áp dụng định lý Lagrange vào đoạn
2
;
a x
, khi đó tồn tại
2
;
c a x
sao cho
2 2
( ) ( ) '( )
f x f a f c x a
. Ta có
'( ) 0
f c
, 2
0
x a
nên
suy ra 2
( ) ( ) 0
f x f a
hay
2
( ) ( )
f a f x
(đpcm).
Cách khác : Ta có thể chứng minh trực tiếp bằng phản chứng.
Nguyễn Phi Mãng - Giáo viên trường THPT chuyên Quốc Học Huế.
2
Theo định lý trên thì f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b). Do đó để chứng minh f đồng biến trên
K= [a ; b) ta chỉ cần chứng minh
( ) ( ), ;
f a f x x a b
.
Thật vậy, giả sử có
0 0
; : ( ) ( )
x a b f x f a
+ Xét trường hợp 0
( ) ( )
f x f a
(1)
Do hàm số f đồng biến trên khoảng (a ; b) nên
0 0 0 0
; , ( ) ( ) lim ( ) ( )
x a
x a x x x f x f x f x f x
Mặt khác, f liên tục trên [a ; b) nên
lim ( ) ( )
x a
f x f a
, do đó
0
( ) ( )
f a f x
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra
( ) ( )
f a f a
; sự vô lý này chứng tỏ không thể có
0 0
; : ( ) ( )
x a b f x f a
.
+ Xét trường hợp 0
( ) ( )
f x f a
Lúc này ta lấy
1
x
sao cho
1 0
a x x
. Do f đồng biến trên (a ; b) nên với
1 0
, ;
x x a b
và
1 0
x x
nên ta có
1 0
( ) ( )
f x f x
. Như vậy có
1
;
x a b
sao cho 1
( ) ( )
f x f a
. Nhưng theo chứng
minh trên không thể có
1
;
x a b
sao cho 1
( ) ( )
f x f a
. Vậy không thể có
0 0
; : ( ) ( )
x a b f x f a
.
* Trường hợp K=(a ; b], hàm số f liên tục trên K,
'( ) 0, ( ; )
f x x a b
. Ta chứng minh f đồng biến
trên K.
Chứng minh: Theo định lý trên thì f đồng biến trên khoảng (a ; b). Do đó, để chứng minh hàm số f
đồng biến trên K=(a ; b], ta chỉ cần chứng minh
1 1
( ) ( ), ;
f x f b x a b
.
Thật vậy, lấy
1
x
bất kỳ thuộc khoảng (a ; b), do hàm số f liên tục trên K=(a ; b] nên f liên tục trên
đoạn
1
;
x b
.
Mặt khác,
'( ) 0, ( ; )
f x x a b
nên
1
'( ) 0, ;
f x x x b
. Áp dụng định lý Lagrange vào đoạn
1
;
x b
,
khi đó tồn tại
1
;
c x b
sao cho
1 1
( ) ( ) '( )
f b f x f c b x
. Ta có
'( ) 0
f c
, 1
0
b x
nên suy ra
1
( ) ( ) 0
f b f x
hay 1
( ) ( )
f x f b
(đpcm)
* Trường hợp K=[a ; b], hàm số f liên tục trên K,
'( ) 0, ( ; )
f x x a b
. Ta chứng minh f đồng biến
trên K.
Lấy hai điểm
1 2
,
x x
bất kỳ (
1 2
x x
) trên K.
+ Nếu 1 2
a x x b
thì do f đồng biến trên (a ; b) nên ta có
1 2
( ) ( )
f x f x
.
+ Nếu 1 2
a x x b
thì theo trên do f đồng biến trên [a ; b) nên ta có
1 2
( ) ( )
f x f x
.
+ Nếu 1 2
a x x b
thì theo trên do f đồng biến trên (a ; b] nên ta có
1 2
( ) ( )
f x f x
.
+ Nếu 1 2
a x x b
thì ta lấy
;
c a b
, lúc đó ta có 1 2
a x c x b
. Do 1
a x c b
và f đồng
biến trên [a ; b) nên 1
( ) ( )
f x f c
, cũng vậy do 2
a c x b
và f đồng biến trên (a ; b] nên
2
( ) ( )
f c f x
. Từ đó
1 2
( ) ( )
f x f x
.
Vậy:
1 2 1 2 1 2
, ; , ( ) ( )
x x K a b x x f x f x
tức là hàm số f đồng biến trên K=[a ; b].
Việc chứng minh định lý mở rộng 1) cho các kết luận b) và c) tiến hành tương tự.
Chứng minh định lý mở rộng 2:
Trước hết ta cần chứng tỏ rằng:
*Bổ đề:
+ Nếu f đồng biến trên các nửa khoảng (a ; b] và [b ; c) thì f đồng biến trên khoảng (a ; c).
+ Nếu f nghịch biến trên các nửa khoảng (a ; b] và [b ; c) thì f nghịch biến trên khoảng (a ; c).
Chứng minh: Trường hợp f đồng biến trên các nửa khoảng (a ; b] và [b ; c).
Lấy bất kỳ
1 2
, ;
x x a c
sao cho
1 2
x x
. Lúc đó ta có một trong 3 khả năng sau xảy ra:
+ 1 2
x x b
, lúc này do f đồng biến trên nửa khoảng (a ; b], nên
1 2
( ) ( )
f x f x
.
Nguyễn Phi Mãng - Giáo viên trường THPT chuyên Quốc Học Huế.
3
+
1 2
x b x
, lúc này do f đồng biến trên các nửa khoảng (a ; b] và [b ; c), nên 1
( ) ( )
f x f b
và
2
( ) ( )
f b f x
nên
1 2
( ) ( )
f x f x
.
+
1 2
b x x
, lúc này do f đồng biến trên nửa khoảng [b ; c), nên
1 2
( ) ( )
f x f x
.
Vậy f đồng biến trên khoảng (a ; c).
Rõ ràng với cách chứng minh như trên ta cũng có:
+ Nếu f đồng biến trên [a ; b] và [b ; c) thì f đồng biến trên khoảng [a ; c).
+ Nếu f đồng biến trên (a ; b] và [b ; c] thì f đồng biến trên khoảng (a ; c].
+ Nếu f đồng biến trên [a ; b] và [b ; c] thì f đồng biến trên khoảng [a ; c].
Trường hợp f nghịch biến trên các nửa khoảng (a ; b] và [b ; c) chứng minh tương tự.
Bây giờ, ta áp dụng bổ đề trên để chứng minh định lý mở rộng 2).
Giả sử
'( ) 0, ;
f x x I a b
và
'( ) 0
f x
chỉ tại một số hữu hạn điểm 1 2
, ,...,
n
x x x
của I (có thể giả sử
1 2 ...
n
x x x
).
Do f liên tục trên (a ; b) nên f liên tục trên các nửa khoảng và đoạn
1 1 2 1
; , , ,..., , , ,
n n n
a x x x x x x b
.
Đồng thời
f x
với mọi x thuộc các khoảng
1 1 2
, ; , ;...; ,
n
a x x x x b
nên theo kết quả định lý mở
rộng 1, ta có f đồng biến trên các nửa khoảng và đoạn
1 1 2 1
; , , ,..., , , ,
n n n
a x x x x x x b
. Áp dụng bổ đề
trên, ta suy ra được hàm số f đồng biến trên khoảng (a ; b).
Tương tự, ta chứng minh được cho trường hợp “Nếu
'( ) 0, ;
f x x a b
và
f x
chỉ tại một số
hữu hạn điểm của khoảng (a ; b) thì hàm số f nghịch biến trên khoảng (a ; b)”.
Chú ý:
1. Nếu hàm số f đồng biến (nghịch biến) trên nửa khoảng (a ; b] và khoảng (b; c) (hoặc trên khoảng
(a ; b) và nửa khoảng [b;c)) thì hàm số f xác định trên khoảng (a;c) nhưng chưa chắc đã đồng
biến trên khoảng (a;c). Điều này nói lên rằng trong Bổ đề giả thiết hàm số f đồng biến (hoặc
nghịch biến) trên các nửa khoảng (a ; b] và [b;c) là quan trọng, không thể thay một trong hai nửa
khoảng trên bởi một khoảng.
Ví dụ:
Cho hàm số
2
ví i 0
( )
1 ví i 0
x x
f x
x x
Rõ ràng f xác định trên R, đồng biến trên
khoảng
;0
 và đồng biến trên nửa
khoảng
0;

nhưng f không đồng biến
trên R.
x
y
1
1
O
2. Nếu
'( ) 0, ;
f x x a b
,
f x
chỉ tại một số hữu hạn điểm của khoảng (a ; b) thì hàm số
f đồng biến trên khoảng (a ; b) và đương nhiên là liên tục trên khoảng (a ; b). Nhưng ngược lại
không đúng.
Ví dụ:
Cho hàm số
2
ví i 0
( )
1 ví i 0
x x
f x
x x
Rõ ràng f xác định trên R, đồng biến trên R
nhưng không liên tục trên R do f không liên
tục tại điểm x = 0 và đương nhiên không có
đạo hàm tại điểm x = 0.
x
y
-1
O
Nguyễn Phi Mãng - Giáo viên trường THPT chuyên Quốc Học Huế.
4
3. Lưu ý khi giảng dạy:
Khi giới thiệu định lý mở rộng 1) cần nhấn mạnh việc bổ sung thêm giả thiết “hàm số liên tục
trên đoạn hoặc nửa khoảng đó” là quan trọng, không thể thiếu, có thể đưa ra một ví dụ đơn giản
để làm rõ điều đó, chẳng hạn:
Cho hàm số
1 ví i 0
( )
ví i 0
x
f x
x x
Rõ ràng f xác định trên
0;

, đồng biến trên
0;

nhưng không đồng biến trên
0;

do
hàm số f không liên tục trên nửa khoảng
0;

.
x
y
1
O
SGK đưa ra ví dụ 3, trang 6;7 nhằm giới thiệu định lý mở rộng 2. Do đó cần nhấn mạnh, áp dụng
định lý mở rộng 1) ta có hàm số đã cho đồng biến trên mỗi nửa khoảng
1
;
2

và 1;
2

, từ
đó suy ra hàm số đồng biến trên R. Giáo viên có thể chứng minh và đưa thêm ví dụ ở phần chú ý
1.
Nhờ mở rộng tính đồng biến, nghịch biến trên nửa khoảng, đoạn mà ta có thể áp dụng đạo hàm
để chứng minh các bất đẳng thức mà không cần phải sử dụng định lý Lagrange như trước đây
(bài tập 8;9 trong SGK trang 8;9).
Chẳng hạn bài tập 9: Chứng minh rằng:
sin tan 2 , 0;
2
x x x x
Giải: Xét hàm số
( ) sin tan 2
f x x x x
. Trước hết ta chứng minh f đồng biến trên
0;
2
.
Thật vậy, ta có:
2
2 2
1 1
'( ) cos 2 cos 2 0, 0;
cos cos 2
f x x x x
x x
. (vì
0;
2
x
, ta có
0 cos 1
x
nên
2
cos cos
x x
).
Mặt khác f(x) liên tục trên
0;
2
. Do đó hàm số f đồng biến trên
0;
2
và ta có:
( ) (0) 0, 0; sin tan 2 , 0;
2 2
f x f x x x x x
Trước đây, theo SGK chỉnh lý ta phải làm như sau:
Xét hàm số
( ) sin tan 2
f x x x x
. Lấy x bất kỳ thuộc khoảng
0;
2
, ta có: hàm số f liên tục
trên đoạn
0;
x
và có đạo hàm 2
1
'( ) cos 2
cos
f x x
x
trên khoảng (0 ; x) nên theo định lý
Lagrange, tồn tại số
0;
c x
sao cho
( ) (0) '( )( 0)
f x f f c x
.
Do
0;
c x
nên 0
2
c
, từ đó 2
2 2
1 1
'( ) cos 2 cos 2 0
cos cos
f c c c
c c
.
Đồng thời
0;
2
x
nên x > 0. Vậy
'( )( 0) 0
f c x
hay
( ) (0) 0, 0;
2
f x f x
( ) (0), 0; sin tan 2 0, 0; sin tan 2 , 0;
2 2 2
f x f x x x x x x x x x