TOÁN 10-CÁNH DIỀU Điện thoại: 0946798489
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
PHẦN 1. LÝ THUYẾT – VÍ DỤ
BÀI 1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
,x y
là bất phương trình có một trong các dạng sau:
, , , , ax by c ax by c ax by c ax by c
trong đó
, ,a b c
là những số thực cho trước với
,a b
không đồng thời bằng
0; ,x y
là các ẩn.
- Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
, đường thẳng
: d ax by c
chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một
trong hai nửa mặt phẳng (không kể
d
) là miền nghiệm của bất phương trình
ax by c
, nửa mặt phẳng
còn lại (không kể
d
) là miên nghiệm của bât phương trình
ax by c
.
- Các bước biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình
ax by c
trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
:
Buớc 1: Vẽ đường thẳng
: d ax by c
. Đường thẳng
d
chia mặt phẳng toạ độ thành hai nửa mặt phẳng.
Bước 2: Lấy một điểm
0 0
;M x y
không nằm trên
d
(ta thường lấy gốc toạ độ
O
nếu
0c
). Tính
0 0
ax by
và so sánh với
c
.
Bước 3: Kết luận
- Nếu
0 0
ax by c
thì nửa mặt phẳng (không kể
d
) chứa điểm
M
là miền nghiệm của bất phương trình
ax by c
.
- Nếu
0 0
ax by c
thì nửa mặt phẳng (không kể
d
) không chứa điểm
M
là miền nghiệm của bất phương
trình
ax by c
.
B. VÍ DỤ
Vấn đề 1 . Biểu diễn miền nghiệm của một bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ 1. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình:
2 3 x y
.
Giải
- Vẽ đường thẳng
: 2 3 d x y
.
- Lấy điểm
(0;0)O
. Ta có:
0 0 0 3
.
Vậy miền nghiệm của bất phương trình
2 3 x y
là nửa mặt phẳng chứa điểm
(0;0)O
không kể đường
thẳng
d
(nửa mặt phẳng không bị gạch) (Hình 1).
Vấn đề 2. Xác định bất phương trình bậc nhất hai ẩn tương ứng miền nghiệm cho trước
Phương pháp:
Bước 1: Xác định phương trình đường thẳng chia mặt phẳng thành hai phần có dạng
ax by c
.
Bước 2: Lấy một điểm
0 0
;M x y
thuộc miền nghiệm của bất phương trình, thay tọa độ của điểm
M
vào
ax by
rồi so sánh với
c
để xác định bất phương trình cần tìm.
Ví dụ 2. Nửa mặt phẳng không bị gạch (không kể d) ở Hình 2 là miền nghiệm của bất phương trình nào?
ÔN TẬP CHƯƠNG 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
HAI ẨN
•|FanPage: Nguyễn Bảo Vương
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Giải
Nhận thấy, đường thẳng
d
có hệ số góc khác 0 . Gọi phương trình đường thẳng
d
có dạng:
y ax b
. Do
đường thẳng
d
đi qua điểm
(2;0)
và
(0; 2)
nên ta có: 2 0 1
2 2
a b a
b b
Vậy đường thẳng
d
có phương trình
2 y x
hay
2 x y
.
Lấy điểm
(3; 1)M
thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có:
3 ( 1) 4 2.
Vậy nửa mặt phẳng không bị gạch (không kể
d
) ở Hình 2 là miền nghiệm của bất phương trình
2. x y
Vấn đề 3. Ứng dụng
Ví dụ 3. Một gian hàng trưng bày bàn và ghế rộng
2
60 m
. Diện tích để kê một chiếc ghế là
2
0,5 m
, một
chiếc bàn là
2
1,2 m
. Gọi
x
là số chiếc ghế,
y
là số chiếc bàn được kê.
a) Viết bất phương trình bậc nhất hai ẩn
,x y
cho phần mặt sàn để kê bàn và ghế, biết diện tích mặt sàn dành
cho lưu thông tối thiểu là
2
12 m
.
b) Chỉ ra ba nghiệm của bất phương trình trên.
Giải
a) Diện tích để kê
x
chiếc ghế,
y
chiếc bàn là:
2
0,5 1, 2 x y m
.
Diện tích tối đa để kê bàn và ghế là:
2
60 12 48 m
.
Ta có bất phương trình:
0,5 1, 2 48 x y
.
b) Ba nghiệm có thể chỉ ra được của bất phương trình trên là:
(20;30),(30; 20),(50;15).
BÀI 2. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
- Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
x
, y là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn
,x y
. Mỗi nghiệm chung của các bất phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình
đó.
- Miền nghiệm của hệ bất phương trình là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.
- Để biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta làm như sau:
+ Trong cùng mặt phẳng toạ độ, biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ bằng cách gạch
bỏ phần không thuộc miền nghiệm của nó.
+ Phần không bị gạch là miền nghiệm cần tìm.
- Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức dạng
F ax by
, trong đó
,x y
là nghiệm của một
hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
,x y
mà miền nghiệm của hệ đó là một miền đa giác, ta làm như sau:
Bước 1: Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (là một miền đa giác).
Bước 2: Xác định toạ độ các đỉnh của đa giác.
Bước 3: Tính giá trị của biểu thức
F ax by
tại cặp số
( ; )x y
là toạ độ các đỉnh của đa giác rồi so sánh các
giá trị đó. Từ đó, kết luận được giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất cần tìm.
B. VÍ DỤ
Vấn đề 1. Biểu diễn miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ 1. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình: 2 4
5
x y
y x .
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CÁNH DIỀU
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Giải
Vẽ các đường thẳng:
1 2
: 2 4 : 5. d x y d x y
Gạch đi các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần không bị gạch kể cả tia
2
Ad
với 14 1
;
3 3
A (Hình 6).
Vấn đề 2. Tìm giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của một biểu thức hai ẩn với các điều kiện của ẩn là
một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Ví dụ 2
a) Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:
2 10
2 0
2 12
2
x y
x y I
x y
y
b) Tìm
,x y
là nghiệm của hệ bất phương trình (I) sao cho
2 3 F x y
đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Giải
a) Vẽ các đường thẳng:
1 2
3 4
: 2 10; : 2 0
: 2 12; : 2.
d x y d x y
d x y d y
Gạch đi các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác
ABCD
với 34 8
(2;4), ;
5 5
A B ,
(5; 2), ( 1; 2) C D
.
(Hình 7)
b) Thay
,x y
lần lượt là tọa độ các điểm
, , ,A B C D
vào biểu thức
F
:
(2;4)A
34 8
;
5 5
B
(5; 2)
C
( 1; 2)
D
2 3
F x y
16
92
5
4
8
Vậy biểu thức
F
đạt giá trị lớn nhất bằng
92
5
tại
34 8
,
5 5
x y
; đạt giá trị nhỏ nhất bằng
8
tại
1, 2 x y
.
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Vấn đề 3. Ứng dụng
Ví dụ 3. Một phân xưởng sản xuất hai kiểu mũ. Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất nhiều gấp
hai lần thời gian làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai. Nếu chỉ sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai thì trong 1 giờ
phân xưởng làm được 60 chiếc. Phân xưởng làm việc 8 tiếng mỗi ngày và thị trường tiêu thụ tối đa trong
một ngày là 200 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ kiểu thứ hai. Tiền lãi khi bán một chiếc mũ kiểu
thứ nhất là 24 nghìn đồng, một chiếc mũ kiểu thứ hai là 15 nghìn đồng. Tính số lượng mũ kiểu thứ nhất và
kiểu thứ hai trong một ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu được là cao nhất.
Giải
Gọi số lượng mũ kiểu thứ nhất và kiểu thứ hai mà phân xưởng cần sản xuất trong một ngày lần lượt là
, ( , 0, , ) x y x y x y
.
Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ hai là:
1
60
(giờ).
Thời gian để làm ra một chiếc mũ kiểu thứ nhất là:
1 1
260 30
(giờ).
Thời gian để làm ra
x
chiếc mũ kiểu thứ nhất và
y
chiếc mũ kiểu thứ hai là:
1 1 2 .
30 60 60
x y
x y
(giờ)
Theo giả thiết,
x
và
y
phải thoả mãn các điều kiện:
0 200,0 240 x y
;
28
60
x y
hay
2 480 x y
.
Tổng số tiền lãi thu được khi bán
x
chiếc mũ kiểu thứ nhất và
y
chiếc mũ kiểu thứ hai là:
24 15 T x y
(nghìn đồng).
Bài toán đưa về: Tìm các số nguyên
,x y
là nghiệm của hệ bất phương trình:
0 200
0 240
2 480
x
y II
x y
sao cho
24 15 T x y
đạt giá trị lớn nhất.
Trước hết, ta xác định miền nghiệm của hệ bất
phương trình (II).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (II) là
miền ngũ giác
OABCD
với
(0;0), (0;240)O A
,
(120;240), (200;80), (200;0)B C D
(hình 8).
Ta có biểu thức
24 15 T x y
có giá trị lớn nhất
tại một trong các đỉnh của ngũ giác
OABCD
.
Tính giá trị của biểu thức
24 15 T x y
tại cặp
số
( ; )x y
là toạ độ các đỉnh của ngũ giác
OABCD
rồi so sánh các giá trị đó. Ta được
T
đạt giá trị lớn
nhất bằng 6480 khi
120, 240 x y
ứng với toạ độ đỉnh
B
.
Vậy để thu được tiền lãi là cao nhất thì trong một ngày, phân
xưởng cần sản xuất 120 chiếc mũ kiểu thứ nhất và 240 chiếc mũ
kiểu thứ hai. Khi đó tiền lãi thu được là 6480 nghìn đồng hay 6480000 đồng.
PHẦN 2. BÀI TẬP TỰ LUẬN
CÂU HỎI
Câu 1. Xác định miền nghiệm của bất phương trình
3 2 6x y
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CÁNH DIỀU
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Câu 2. Trong mặt phẳng
Oxy
, miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa
độ
0
0
100
2 120.
x
y
x y
x y
là hình gì?
Câu 3. Trong mặt phẳng
Oxy
, miền nghiệm của hệ bất phương trinh
0
0
2 4
x
y
x y
là một tam giác có diện
tích bằng bao nhiêu?
Câu 4. Có bao nhiêu giá trị của m để miền nghiệm của bất phương trình
2 2
3y m x m m
là phần tô
đậm ở hình dưới đây?
Câu 5. Miền tam giác
ABC
kể cả ba cạnh sau đây là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào?
Câu 6. Một nhà nông dân nọ có 8 sào đất trồng hoa màu. Biết rằng 1 sào trồng đậu cần 20 công và lãi được
3 triệu đồng, 1 sào trồng cà cần 30 công và lãi được 4 triệu đồng. Người nông dần trồng được
x
sào đậu và
y
cà thì thu được tiền lãi cao nhất khi tổng số công không quá 180 công. Tính giá trị
biểu thức 2 3F x y .
Câu 7. Công ty du lịch Hòa Bình dự định tổ chức một tua đi Sapa từ Hà Nội. Công ty dự định nếu giá tua là
2 triệu đồng thì sẽ có khoảng 150 người tham gia. Để kích thích mọi người tham gia, công ty
quyết định giảm giá và cứ mỗi lần giảm giá tua 100 ngàn đồng thì sẽ có thêm 20 người tham gia.
Hỏi công ty phải bán giá tua là bao nhiêu để doanh thu từ tua xuyên Việt là lớn nhất ?
Câu 8. Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 g hương liệu, 9 lít nước và 210 g
đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước đường cần 30 g đường và 1 lít
nước; pha chế 1 lít nước táo cần 10 g đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận
được 20 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điển thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít
nước trái cây mỗi loại để được số điểm thưởng là lớn nhất.
Câu 9. Một máy cán thép có thể sản xuất hai sản phẩm thép tấm và thép cuộn (máy không thể sản xuất hai
loại thép cùng lúc và có thể làm việc 40 giờ một tuần). Công suất sản xuất thép tấm là 250 tấn/giờ,