TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO Điện thoại: 0946798489
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
PHẦN 1. LÝ THUYẾT – BÀI TẬP MẪU
PHẦN HÌNH HỌC VÀ ĐO LƯỜNG
CHƯƠNG IV. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
BÀI 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỬ
0
ĐẾN
180
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Giá trị lượng giác
Với mỗi góc
0 180
ta xác định được một điểm
M
duy nhất trên nửa đường tròn đơn vị sao cho
xOM
. Gọi
0 0
;x y
là toạ độ điểm
M
, ta có:
- Tung độ
0
y
của
M
là
sin
của góc
, kí hiệu là sin
0
y
;
- Hoành độ
0
x
của
M
là côsin của góc
, kí hiệu là
0
cos
x
;
- Tỉ số
00
0
0
yx
x
là tang của góc
, kí hiệu là tan 0
0
y
x
;
- Tỉ số
00
0
0
xy
y
là côtang của góc
, kí hiệu là 0
0
cot
x
y
.
Các số
sin ,cos ,tan ,cot
được gọi là các giá trị luợng giác của góc
.
2. Tính chất
- Mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc phụ nhau:
cos 90 sin ; sin 90 cos ;
tan 90 cot ; cot 90 tan .
- Mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau:
sin 180 sin ; cos 180 cos ;
tan 180 tan 90 ;
cot 180 cot 0 180 .
3. Giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt
ÔN TẬP CHƯƠNG 4. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
•TOÁN 10
•|FanPage: Nguyễn Bảo Vương
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
4. Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc
- Sau khi mở máy, ấn các phím
SHIFT MENU
để màn hình hiện lên bảng lựa chọn.
- Ấn phím
2
để vào chế độ cài đặt đơn vị đo góc.
- Ấn tiếp phím
1
để xác định đơn vị đo góc là “độ”.
-Lại ấn phím
1MENU
để vào chế độ tính toán.
B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Dùng định nghĩa tìm các giá trị lượng giác của góc
135
.
Giải
Lấy điểm
M
trên nửa đường tròn đơn vị sao cho
135
xOM
.
Ta có
135 90 45
MOy
.
Ta tính được toạ độ điểm
M
là
2 2
;
2 2
.
Bài 2. Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác sau:
sin120
;
cos150 ;tan120 ;cot135
.
Giải
3
sin120 sin 60 2
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
3
cos150 cos30
2
tan120 tan 60 3
cot135 cot 45 tan 45 1
.
Bài 3. Dùng máy tính cầm tay, tính.
a)
sin144 2357

; b)
cos123 5 48

;
c)
tan115 43 26

; d)
cot139 35 28

.
Giải
a)

; b)
cos123 5 48 0,546

;
c)
tan115 43 26 2, 076

; d)
cot139 35 28 1,175

.
Bài 4. Dùng máy tính cầm tay, tìm
0 180
x x
, biết:
a)
cos 0,511
x
; b)
sin 0,456
x
;
c)
tan 0,473
x
; d)
cot 0,258
x
.
Giải
a)
cos 0,511 120 4350

x x
;
b)
sin 0,456 27 7 45

x x
hay
152 5215
x
;
c)
tan 0,473 154 419

x x
;
d)
cot 0,258 104 281

x x
.
Bài 2. ĐỊNH LÍ CÔSIN VÀ ĐỊNH LÍ SIN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định lí côsin trong tam giác
Định lí côsin
Với mọi tam giác
ABC
, nếu đặt
, ,
BC a CA b AB c
thì ta luôn có:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 cos
2 cos
2 cos
a b c bc A
b c a ca B
c a b ab C
Hệ quả
2 2 2 2 2 2 2 2 2
cos ; cos ; cos .
222
b c a c a b a b c
A B C
bc ca ab
2. Định lí sin trong tam giác
Định lí sin
Với mọi tam giác
ABC
, đặt
, ,
BC a CA b AB c
, ta có:
2 ,
sin sin sin
a b c
R
A B C
trong đó
R
là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
.
Hệ quả
2 sina R A
sin
2
a
A
R
2 sinb R B
sin
2
b
B
R
2 sinc R C
sin
2
c
C
R
3. Các công thức tính diện tích tam giác
Cho tam giác
ABC
. Ta kí hiệu:
-
, ,
abc
h h h
là độ dài các đường cao lần lượt ứng với các cạnh
, ,BC CA AB
.
-
,R r
lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác.
-
p
là nửa chu vi tam giác.
Blog: Nguyễn Bảo Vương:
https://www.nbv.edu.vn/
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
-
S
là diện tích tam giác.
Ta có các công thúc tính diện tích tam giác sau:
1)
1 1 1
2 2 2
a b c
S ah bh ch
2)
1 1 1
sin sin sin
2 2 2
S ab C bc A ca B
3)
4
abc
SR
4)
S pr
;
5)
( )( )( )( S p p a p b p c
công thức Heron).
B. BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Cho tam giác
ABC
có
ˆ120 , 6
C AC cm
và
10 BC cm
. Tính độ dài cạnh
AB
và các góc
,A B
của tam giác đó.
Giải
Theo định lí côsin, ta có:
2 2 2
2 2
2 . .cos
6 10 2.6.10.cos120 196
196 14
AB AC BC AC BC C
AB cm
Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:
2 2 2 2 2 2
14 6 10 11
cos .
2. 2.14 6 14
AB AC BC
AAB AC
Suy ra
ˆ ˆ ˆ
ˆ
38 12 48 ; 180 ( ) 21 4712
 
A B A C
.
Bài 2. Cho tam giác
ABC
có các cạnh
8, 15, 20 a b c
. Tính góc
A
của tam giác
ABC
.
Giải
Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:
2 2 2 2 2 2
15 20 8
cos 0,935
2. . 2 15.20
b c a
Ab c
. Suy ra
ˆ20 4619

A
.
Bài 3. Cho tam giác
ABC
có
ˆˆ
69 , 80
A B
,
25 BC cm
. Tính độ dài các cạnh
,AC AB
và bán kính
R
của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
Giải
Đặt
; ; a BC b AC c AB
.
Ta có:
ˆ
25 ; 180 80 69 31
a cm C
.
Áp dụng định lí sin, ta có:
2
sin sin sin
a b c R
A B C
.
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 10-CHÂN TRỜI SÁNG TẠO
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Suy ra:
sin 25 sin 80 26,37( )
sin sin 69
a B
AC b cm
A
;
sin 25 sin 31 13,79( )
sin sin 69
25 13,39( )
2 sin 2 sin 69
a C
AB c cm
A
a
R cm
A
Bài 4. Hai tàu kéo cách nhau
51 m
, cùng kéo một chiếc xà lan như Hình 3. Biết chiều dài của hai sợi cáp lần
lượt là
76 m
và
88 m
, tính góc được tạo bởi hai sợi cáp.
Giải
Gọi vị trí của xà lan và hai con tàu lần lượt là
, ,A B C
. Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:
2 2 2 2 2 2
76 88 51
cos 0,8163.
2. 2.76.88
AB AC BC
AAB AC
Vậy góc được tạo bởi hai sợi cáp là:
ˆ35 16 57

A
.
Bài 5. Tính diện tích tam giác
ABC
trong Hình
4.
Giải
Diện tích tam giác
ABC
:
2
1 1
sin 12 8 sin115 43,5 .
2 2
S ab C cm
Bài 6. Cho tam giác
ABC
có cạnh
2 3 , 2 a cm b cm
và
ˆ30
C
.
a) Tính diện tích tam giác
ABC
.
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác
ABC
.
c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác
ABC
.
Giải
a) Diện tích tam giác
ABC
:
2
1 1 1 1
sin 2 3 2 sin 30 2 3 2 3 .
2 2 2 2
S ab C cm
b) Áp dụng định lí côsin, ta có:
2 2 2
3
2 cos 12 4 2 2 3 2 4.
2
c a b a b C
Suy ra
2 c cm
.
Áp dụng đinh lí sin, ta có:
2 2 2( ).
1
2 sin 2 sin 30 22
c
R cm
C
c) Ta có công thức
S p r
.
Suy ra
2 2 3 0,46( )
2 3 2 2
S S
r cm
p a b c
.
Bài 7. Cho tam giác
ABC
có các cạnh
15 , 13 , 14 a cm b cm c cm
.
a) Tính diện tích tam giác
ABC
.
b) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác
ABC
.
c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác
ABC
.