Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
02. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI – P1 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
a b c , ,
0>
. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Bài 1: [ĐVH]. Cho các số thực
2
2
2
+
+
+
+
+
abc
b
c
abc
)(
(
) 8
(
) 9
‡ ‡
a) a b b c c a )(
+ + b) a b c a )(
a b c , ,
. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
0>
Bài 2: [ĐVH]. Cho các số thực
3
)3
+
+
+
+
+
‡ + +
(1
)(1
)(1
)
( ‡ + 1
a b c
a)
a
b
c
abc
b)
bc a
ca b
ab c
. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
0>
a b c , ,
Bài 3: [ĐVH]. Cho các số thực
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
+
‡ £
b)
a) 2 a
(1
b
)
b
(1
c
)
c
(1
a
) 6
abc
ab + a b
bc + b c
ca + c a
+ + a b c 2
a b c , ,
. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
0>
Bài 4: [ĐVH]. Cho các số thực
3
3
3
2
+
+
+
+
(
a
b
c
)
+ + a b c
)
(
‡ ‡
a)
b)
a + b c
b + c a
c + a b
3 2
1 a
1 + + b
1 c
a b c , ,
. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
0>
Bài 5: [ĐVH]. Cho các số thực
3
3
3
3
3
3
2
+
+
2 +
2 +
+
+
b
c
+ + a b c
)
(
3 )
‡ ‡
a)
b) a 9(
3(
a
b
c
)
+ + a b c a
)(
(
b
c
)
(1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
Bài 6: [ĐVH]. Cho a, b > 0. Chứng minh
1 a
1 + ‡ b
4 + a b
2
; với a, b, c > 0.
a)
1 a
1 + + ‡ c
1 b
1 + + a b
1 + + b c
1 + c a
+
+
2
; với a, b, c > 0.
‡
b)
+
1 + a b
1 + b c
1 + c a
1 + + + a b c
2
1 + + b c 2
a
1 + + a b
2
c
Bài 7: [ĐVH]. Chứng minh các BĐT sau:
+
+
=
+
+
x
2
y
4
z
12
. Chứng minh:
6
.
£
a) Cho x, y, z > 0 thoả
xz +
xy 2 + 2
x
y
8 y
yz + 4
z
2
4 z 4
x
b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi.
Chứng minh rằng:
+ + ‡ . 2 - - - 1 p a 1 p b 1 p c 1 1 + + b a 1 c
(1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
Bài 8: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0. Chứng minh
2
2
2
1 a 1 + + ‡ c 1 b 9 + + a b c
+ + + + ‡ . ( a b c ) + + a b c ( )
a)
1 + a b 1 + b c 1 + c a 3 2
+ + = = + + x y z 1 . Tìm GTLN của biểu thức: P .
b) Cho x, y, z > 0 thoả
+ + £
x + y + z + x 1 y 1 z 1
.
Bài 9: [ĐVH]. Chứng minh các BĐT sau: a) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
=
+
+
P
.
Tìm GTNN của biểu thức
2
2
2
1 +
1 +
1 +
a
bc 2
b
2
ac
c
2
ab
+
+
+
+ + = . Chứng minh rằng
30
.
‡
b) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1
1 2
2
2
+
+
1 ab
1 bc
1 ca
b
a
c
2
= . 2
Bài 10: [ĐVH]. Cho 2 số thực dương a và b thỏa mãn 2 a
b+
+
+
+
)
)
Chứng minh
.
a
( a a 3
b 2
b
( b b 3
2
a
6
£
)2
a b ;
0 :
+ a
= b
1
. Chứng minh rằng
( ab a b+
.
‡ £
Bài 11: [ĐVH]. Cho
1 4
) +
)
a
> ; c b c c ;
0
. Chứng minh rằng
.
‡ ‡ - - £
Bài 12: [ĐVH]. Cho ba số thực
( c a c
( c b c
ab
4
4
+
+
(
)
x
y+ £
1
. Chứng minh
8
x
y
5
.
‡
Bài 13: [ĐVH]. Cho hai số thực dương x và y thỏa mãn
1 xy
3
+
+
;
= .
Bài 14: [ĐVH]. Cho ba số thực dương
x y z thỏa mãn 3 x ;
y
3 1
z
2
2
2
x
y
z
+
+
>
Chứng minh
.
2
2
2
2
1
1
1
x
y
z
=
+
+
- - -
)(
x y z thỏa mãn ;
;
xyz
. Chứng minh (
.
‡
Bài 15: [ĐVH]. Cho ba số thực dương
x
z
x
) 8
y
16 + + y
x
z
a b c
+ + = .
3
a b c > sao cho ; 0
;
Bài 16: [ĐVH]. Cho ba số thực dương
+
+
+
b
c
+ ab bc
ca
.
Chứng minh rằng a
;a b c .
;
‡
Bài 17: [ĐVH]. Cho ba số thực dương
3
=
+
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
.
.
3
17 6
abc + + a b c
+ + a b c abc
LỜI GIẢI BÀI TẬP
a b c , ,
. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
0>
Bài 1: [ĐVH]. Cho các số thực
2
2
2
+
+
+
+
+
abc
b
c
abc
)(
(
) 8
(
) 9
‡ ‡
a) a b b c c a )(
+ + b) a b c a )(
Lời giải:
+
+
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có (
+ a b b c c a
)(
)(
)
2
ab
.2
bc
.2
= ca
8
abc
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau.
3
2
2
2
3
+ +
+
+
‡
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
a b c a
)(
(
b
c
) 3
abc
.3
2 2 2 = a b c
9
abc
.
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau.
a b c , ,
. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
0>
‡
Bài 2: [ĐVH]. Cho các số thực
3
)3
+
+
+
+
+
‡ + +
(1
a
)(1
b
)(1
c
)
( ‡ + 1
abc
a b c
a)
b)
bc a
ca b
ab c
Lời giải:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
3
+
+
+
+
+
+ a b c ab bc
ca abc
( ‡ + 1
abc
)(1
)(1
(1
a
1
b
)
c 3
3
3
) 3
‡ +
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ) 3 = + + + + ( = + 1
2 2 2 + a b c
+ abc
1 3
abc
abc
3
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau.
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
+
+
=
+
+
+
+
+
bc a
ca b
ab c
1 2
bc a
ca b
ca b
ab c
bc a
2
2
2
a b c
1 2
bc ca + . a b
ca ab + . c b
bc ab . c a
ab c = + +
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau.
a b c , ,
. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
0>
‡
Bài 3: [ĐVH]. Cho các số thực
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
+
+
‡ £
b)
a) 2 a
(1
b
)
b
(1
c
)
c
(1
a
) 6
abc
bc + b c
ca + c a
+ + a b c 2
ab + a b Lời giải:
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+
(1
(1
c
)
c
(1
b
)
b
a
a
)
2 2 a b
2 2 b c
2 2 c a
a
b
c
6
6 6 6 = a b b
6
abc
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau.
b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
‡
ab ca bc + + £ ab + a b bc + b c ca + c a ca
+ + bc + + + ab ca + 2 ab + a b 2 2 + c a 2 = = £ bc 2 2 + b c 2 2 + + a b c 2
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau.
a b c , , . Chứng minh các bất đẳng thức sau: 0>
Bài 4: [ĐVH]. Cho các số thực
3
3
3
2
+
+
+ + ‡ ‡ ( ) ) (
a)
b)
a
b
c
+ + a b c
a + b c b + c a c + a b 3 2 1 a 1 + + b 1 c
Lời giải:
+
+
a) Biến đổi tương đương
1
1
1
3 2
9 2
b + + + c a
c + ‡ + a b
a + b c
‡ (cid:219)
(cid:219) ‡
(
b + c a + + a b c + + b c + + 2 2 b a
c
2
9
c + a b + + a b c + + c a )
1 + + a b
a + + + b c + + a b c + a b 1 + + b c
9 2 1 + c a
(cid:219) ‡
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
3
(
)(
)
)( + a b b c
+ + + b 2 2 c a b b c 3 + c a
3
(
)(
)
)( a b b c
+ + ‡ = + + + + + ‡ c a 3 + + a 1 + a b 2 1 + b c 1 + c a + c a
)
Nhân từng vế ta có (
+ + + + ‡ , bất đẳng thức cuối cùng đúng. 2 a b 2 2 c 9 1 + a b 1 + b c 1 + c a
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau.
3
3
3
2
2
2
2
+
+
b) Biến đổi tương đương
a
b
c
+ + a b c
+ a
+ b
+ c
a
b
c
3 +
3 +
3 +
3
3
3
3
3
2 +
2 +
2 +
‡ (cid:219) ( ) ) ( 1 a 1 + + b 1 c 1 + c 1 a 1 + c 1 a 1 b
+ 2
a
b
c
+ ab
+ bc 2
ac
ab
+ bc 2
ca
a + b
b + a
a + c
c + a
b + c
‡ (cid:219) ‡ 2 2 2 1 b 3 c b
3
3
3
3
3
3
3
3
+
+
+
+
+
3 +
3 =
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
2
.
2
.
2
+ ab
2
+ bc 2
ca 2
a b
b a
a c
c a
b c
c b
a b
b a
a c
3 c + a
3 b c . c b
‡ .
a b c , ,
. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
0>
Bất đẳng thức cuối cùng đúng. Dấu bằng xảy ra khi ba số bằng nhau.
Bài 5: [ĐVH]. Cho các số thực
3
3
3
3
3
3
2
+
+
2 +
2 +
+
+
b
c
+ + a b c
)
(
3 )
‡ ‡
a)
b) a 9(
3(
a
b
c
)
+ + a b c a
)(
(
b
c
)
3
3
3
2
2
2
2
2
(
(
)
+
+
+
) +
Hướng dẫn giải: ) ( +
a
b
c
a b b a
2 + c a ca
+ b c bc
2(
)
.
‡
a) BĐT (cid:219)
3
3
+
b
+ ab a b (
)
Chú ý: a
. Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm.
3
3
3
2
+
+
2 +
2 +
‡
b
c
+ + a b c a
b
c
) 3(
)(
)
.
‡
b) Áp dụng b) ta có: a 9(
2
2
2
+
+
b
c
+ + a b c
)
(
2 )
Dễ chứng minh được: a 3(
⇒ đpcm.
(1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
‡
Bài 6: [ĐVH]. Cho a, b > 0. Chứng minh
1 a
1 + ‡ b
4 + a b
2
; với a, b, c > 0.
a)
1 a
1 + + ‡ c
1 b
1 + + a b
1 + + b c
1 + c a
+
+
2
; với a, b, c > 0.
‡
b)
+
1 + a b
1 + b c
1 + c a
1 + + + a b c
2
1 + + b c 2
a
1 + + a b
2
c
Lời giải:
+
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có (
+ a b
2
ab
.2
4
) 1 a
1 b
1 = ab
(cid:219) = a
b .
Vậy (1) được chứng minh.
a b ,
0
Dấu "
.
"= xảy ra
Do
4 + a b
1 1 > ⇒ + ‡ b a a b c > ta có , 0
,
‡
a) Áp dụng (1) với
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
;
1 a
1 + ‡ b
4 + a b
1 1 + ‡ c b
4 + b c
1 + ‡ ; c
1 a
4 + c a
2
.
2 2 ⇒ + + ‡ c b
2 a
4 + + a b
4 + + b c
1 1 ⇒ + + ‡ b c
1 + + a b
1 + + b c
1 + c a
(cid:219) = = a b
c .
BĐT được chứng minh, dấu "
4 1 + c a a "= xảy ra
+
a b c > ta có , 0
,
‡
b) Áp dụng (1) với
.
4 +
+
(
)
(
= )
1 + a b
1 + b c
+ a b
+ b c
4 + b c 2
a
+
Tương tự
;
1 + b c
1 + c a
4 + + a b
1 + + c a
2
c
1 + a b
4 + + a b c
2
+
+
‡ ‡
⇒
+
2 + a b
2 + b c
2 + c a
4 + + + a b c
2
4 + + b c 2
a
4 + + a b
2
c
+
+
‡
⇒
2
+
1 + a b
1 + b c
1 + c a
2
1 + + b c 2
1 + + a b
2
c
1 + + + a b c a "= xảy ra
BĐT được chứng minh, dấu "
(cid:219) = = a b
c .
‡
Bài 7: [ĐVH]. Chứng minh các BĐT sau:
+
+
=
+
+
x
2
y
4
z
12
. Chứng minh:
6
.
£
a) Cho x, y, z > 0 thoả
xz +
xy 2 + 2
x
y
8 y
yz + 4
z
2
4 z 4
x
b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi.
Chứng minh rằng:
+ + ‡ . 2 - - - 1 p a 1 p b 1 p c 1 1 + + b a 1 c
Lời giải:
a) Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có
(
)2
2
)
( ⇒ + x
+ x 2 y + ‡ ‡ x 2 y 2 x y .2 2 y 8 xy ⇒ £ xy 2 , dấu " "= xảy ra (cid:219) = x y 2 .
)2
2
)
( ⇒ + 2
+ 4 ( 2 y 4 z + ‡ ‡ (cid:219) 2 y 4 z y z 2 2 .4 y 4 z 32 yz ⇒ £ 8 yz , dấu " "= xảy ra = 2 y z 4 . 4
(
)
2
)
( ⇒ + 4
2
2
2
+ 4 z x ‡ (cid:219) 4 z + ‡ x z x 2 4 . z x 16 zx ⇒ £ zx 4 , dấu " "= xảy ra = 4 z x .
(
)
(
(
)
+ + + 4 ) x y 2 y 4 z 4 z x
+ + + + £ ⇒ = P xz + 4 + 4 + y z x y y z z x xy 2 + 2 2 yz + 4 2 4 + 2 2 4 4
)
(
4
=
+ + + + + 4 z 4 ) 8 y ( x ( + + x 2 y 2 y 4 z 4 z x x 2 4 x ) = z = 6. ⇒ £ P 4 y 2 12 = 2
= +
= +
=
12
x x
y 2 2 y
z 4 4 z
2 1.
= x y = z
(cid:219) (cid:219) BĐT được chứng minh, dấu " "= xảy ra
b) Với a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi ta có
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
- = p b
- = p a
- = a
0;
0.
b
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 + + a b c - = 2
+ - b c a > 2
+ + a b c 2
+ - a c b > 2
Khi đó áp dụng BĐT (1) trong bài 6 ta có
4
+
.
(
)
(
= )
1 p a
1 p b
+ p a
p b
4 = + + - p a b
4 = a b c a b
4 c
2
+
‡ - - - - - - -
Tương tự
;
1 p b
1 p c
4 a
1 + p c
1 p a
4 a
‡ ‡ - - - -
+ + + + ‡ ⇒ 2 . - - - - - - 2 p a 2 p b 2 p c 4 ‡ + + ⇒ b 4 a 4 c 1 p a 1 p b 1 p c 1 1 + + b a 1 c
(cid:219) = = (cid:219) a
b
c
ABC
đều.
"= xảy ra
(1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
D BĐT được chứng minh, dấu "
Bài 8: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0. Chứng minh
1 a
1 + + ‡ c
1 b
9 + + a b c
2
2
2
+
+
+
+
a
b
c
+ + a b c
(
)
(
)
.
‡
a)
1 + a b
1 + b c
1 + c a
3 2
+ + =
=
+
+
x
y
z
1
. Tìm GTLN của biểu thức:
P
.
b) Cho x, y, z > 0 thoả
x +
y +
z +
x
1
y
1
z
1
Lời giải:
3
3
)
Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương ta có (
+ + a b c
3
abc
.3
9.
1 a
1 + + b
1 c
1 = abc
Do
a b c ,
,
0
.
Dấu "
"= xảy ra
(cid:219) = = a b
c .
1 1 > ⇒ + + ‡ a c
1 b
9 + + a b c
,
Như vậy BĐT (1) được chứng minh. a b c > ta có , 0
‡
a) Áp dụng (1) với
2
2
2
2
+
+
+
+
+ 2
+ 2
(
)
(
)
.
.
a
b
c
a
b
c
+
+
(
)
(
)
(
= )
)
(
2
1 + a b
1 + b c
1 + c a
+ a b
9 + b c
+ c a
9 + + a b c
Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có
(
)2
+ + a b c
2
2
2
2
2
2
+
+
+
‡
(
)
)(
)
( 2 1
+ + 2 1
2 1
a
b
c
+ + a b c
⇒ + 2 a
b
c
3
2
(
)
‡ ‡
2
2
2
(
)
)
( ⇒ + a
(
+ + a b c + + + ‡ b c . + + a b c . = ) 1 + a b 1 + b c 1 + c a 9 + + a b c 2 3 2 3
BĐT được chứng minh, dấu " "= xảy ra (cid:219) = = a b c .
+ + = = + + x y z 1 . Tìm GTLN của biểu thức: P .
b) Cho x, y, z > 0 thoả
x + y + z + x 1 y 1 z 1
= + + Có P = - 1 1 3 . x + y + z + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 1 1 + - 1 1 1 + - + 1 1 1 1 x y z x y 1 = - + 1 z + y z + x
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
x y z > ta có , , 0 Áp dụng (1) với
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
+
+
1 +
1 +
1 +
+
9 + + +
(
(
(
x
1
y
1
z
1
x
) + + 1
y
9 ) + + 1
z
= ) 1
y
z
= 3
x
9 = + 1 3
9 4
‡
⇒ -
(cid:219) = = = z
x
y
.
⇒ £ P
.
Dấu "
"= xảy ra
1 +
1 +
1 +
1 3
+ 1
x
+ 1
y
z
1
9 4
9 - = 3 4
3 4
= = =
P = đạt được khi
x
y
z
.
Vậy max
3 4
1 3
+ + £
.
£
Bài 9: [ĐVH]. Chứng minh các BĐT sau: a) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1
=
+
+
P
.
Tìm GTNN của biểu thức
2
2
2
1 +
1 +
1 +
a
bc 2
b
2
ac
c
2
ab
+
+
+
+ + = . Chứng minh rằng
30
.
‡
b) Cho a, b, c > 0 thoả a b c 1
1 2
2
2
+
+
1 ab
1 bc
1 ca
b
c
a Lời giải:
a b c > ta có , 0
,
a) Áp dụng BĐT (1) trong bài 8 với
2
2
2
(
)
(
)
(
(
)2
‡ P . + + + + = ) a bc 2 b ca c 2 ab 9 + 2 9 + + a b c
Bài ra 0 < + + £ ⇒ ‡ P a b c 1 9. Dấu " "= xảy ra (cid:219) = = = c a b . 9 = 2 1 1 3
= = = P = đạt được khi 9 a b c . Vậy min 1 3
+ + ‡ a b c > ta có , 0 , (1)
b) Áp dụng BĐT (1) trong bài 8 với
+ 1 ab 1 bc 1 ca 9 + ab bc ca
2
2
2
(
)
(
)
)
+
+
+
= = + + = có (2) Với a b c 1 + + + - + - 1 ( 1 2 b a c 1 + ab bc ca 1 2 + + a b c + ab bc ca 2
2
2
+
+
+
(
+ )
1 2 b
a
c
1 ab
1 ca
1 + + ab bc
ca
9 + ab bc
ca
1 2
2
2
2
2 +
+
‡ Từ (1) và (2) ta được -
)
(
(
)
)
) + 2
a b
) 2 + b c
c a
0
b
c
( + 2
ab bc
ca
1 bc ( + a
2
2
2
+
- - - ‡ (cid:219) ‡ Lại có (
( + +
)
)
+ 2 a
+ 2 b
c
+ + ab bc
ca
a b c
( + ab bc
3
.
ca
+
+
(cid:219) ‡ (cid:219) ‡
(
)
+ + = ⇒
£ ⇒ +
Bài ra
a b c
1
3
+ ab bc
ca
ab bc
1
ca
.
Dấu "
"= xảy ra
(cid:219) = = = c
b
a
.
1 3
1 3
£
Đặt
‡ + và P . + ab bc ca = ⇒ ˛ t t 0; - 1 + t 1 2 9 t 1 3
2
" ˛ ˛ Thật vậy, với có Ta sẽ chứng minh 30 (*), t 0; . t 0; - 9 + ‡ t 1 3 1 3
)
)
(
)
(*)
(cid:219) + t
( t 30 1 2
t
+ ‡ 60 t
t 47
9 0
t 3
9
0
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
- ‡ - (cid:219) - (cid:219) - - ‡ 1 1 2 t ( t 9 1 2 )( t 1 20
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
(cid:219) = = = c
b
a
.
"= xảy ra
Điều này luôn đúng với
1 3
(cid:1) Cách 2 (Sơ lược)
=
+
+
+
+
+
+
Biến đổi
P
2
2
+
+
" ˛ BĐT được chứng minh, dấu " t 0; . 1 3
1 2 b
a
c
1 ab 3
1 bc 3
1 ca 3
2 3
1 ab
1 bc
1 ca
.
⇒ ‡ P
2
2
2
+
4 +
+
+
4 + c
+ ab 3
+ ca 3
2 3
9 + ab bc
ca
bc 3
a
b
⇒ ‡ P
.
2
2
2
+
+
+
+
+
+
a
b
c
bc 3
+ ca 3
2 3
9 + ab bc
ca
16 ab 3
(
)2
‡ ⇒ ‡ P 30. + + 16 + 6 + ab bc ca + + a b c + ab bc + ca 1 16 + 1 + 3 6 = 1 3
2
= . 2
BĐT được chứng minh, dấu " "= xảy ra (cid:219) = = = c b a . 1 3
Bài 10: [ĐVH]. Cho 2 số thực dương a và b thỏa mãn 2 a
b+
+
+
+
)
)
a
( a a 3
b 2
b
( b b 3
2
a
6
£ Chứng minh .
Lời giải:
+ +
+ +
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
a
+
+
+
b 2 +
)
)
( a a 3
b 2
b
( b b 3
a
a .
b .
a
b b 3 2
2
2
+
+
=
2 +
2 =
=
2 £ 2
+ 2.2 2
£ + 4
a
ab
b 2
ab
a a 3 2 b
a
2 2 6
Dấu đẳng thức xảy ra khi hai số cùng bằng 1.
)2
a b ;
0 :
+ a
= b
1
. Chứng minh rằng
( ab a b+
.
‡ £
Bài 11: [ĐVH]. Cho
1 4
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
2
(
)
)
)
( ab a b
4
2 + + ab a b + + £ .2 . . 1 2 1 2 4
( ab a b (
2
)
( ab a b
2
+ = ) a b = + £ 8 1 = ⇒ 8 1 64
(cid:219) = = a b
ab +
1 4
a
= + a b = 1 b
Dấu đẳng thức xảy ra khi .
) +
)
a
> ; c b c c ;
0
. Chứng minh rằng
.
‡ ‡ - - £
Bài 12: [ĐVH]. Cho ba số thực
( c a c
( c b c
ab
Lời giải.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
=
=
+
) +
)
⇒
P
( c a c
( c b c
.
.
c a c b
c b c a
b
- - - -
+
+
1
c b
a c a
c a
b c b
P ab c + - + + - 1 a
c a
c b
+
=
- -
a c b = ⇒ £ 1 P
ab
2
2
2
a
= = b
2
c
Khi đó ta có điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi
.
4
4
+
+
£
(
)
x
y+ £
1
. Chứng minh
8
x
y
5
.
‡
Bài 13: [ĐVH]. Cho hai số thực dương x và y thỏa mãn
1 xy
Lời giải:
2
2
2 +
+
2 +
(
)2
⇒
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dưới dạng
2
xy
x
y
x
y
x
y
.
1 2
Ta có
2
2
2
2
£ £
+
(
)
(
)
4
4
) 4 =
x y + x y + ‡ ‡
(
)
( + x
2 =
4
4
8 x y 8. 4. y 1 2 2
(
)
+ + £ ‡
(
)
xy + x y 4 8 x y 5 1 4 1 2 = ⇒ ‡ ⇒ xy 1 4 1 xy
3
+
+
;
= .
Dấu đẳng thức xảy ra khi a b= = . 1 2
Bài 14: [ĐVH]. Cho ba số thực dương
x y z thỏa mãn 3 x ;
y
3 1
z
2
2
2
x
y
z
+
+
>
Chứng minh
.
2
2
2
2
1
x
1
y
1
z
- - -
Lời giải:
2
2
3
x
x
2
2
3
2 x =
=
⇒
- £ ‡
)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
.
( 1
x
x
2
x
2
2
2
+ - 1 2
1 2
1
x
- -
)
x ( 1
x
x
2
2
y
z
3
3
Tương tự
.
2
y
;
2
z
2
2
1
y
1
z
2
2
2
x
y
z
3
+
+
3 +
3 +
‡ ‡ - -
‡
(
) =
Kết hợp lại ta được
.
2
x
z
y
2
2
2
2
1
x
1
y
1
z
Dấu đẳng thức không xảy ra nên ta có đpcm.
- - -
+
+
)(
x y z thỏa mãn ;
;
xyz
. Chứng minh (
.
= ‡
Bài 15: [ĐVH]. Cho ba số thực dương
x
z
x
) 8
y
16 + + y
x
z
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
2
2
+
+
=
+
(
)(
)
)
) =
(
) =
z
y
( x x
+ + y
z
yz
( xyz x
+ + y
4
z
4.
.
+ + y x
z
64
16 + + y
x
z
+
‡
x )(
)
x ( ⇒ + x
z
x
y
8
Dấu đẳng thức xảy ra khi
( ) + + y z x x ( + + y xyz x
= yz ) 16 =
z
a b c
+ + = .
3
a b c > sao cho ; 0
;
‡
Bài 16: [ĐVH]. Cho ba số thực dương
+
+
+
.
Chứng minh rằng a
b
c
+ ab bc
ca
‡
Lời giải:
+
+
Biến đổi tương đương 2
2
2
2
a
b
c
+ ab
ca
2
2
2
2
2
2
2 +
+
+
‡
( + +
)
2 ( +
+ bc 2 )
2
+ a
2
+ b
2
c
a b c
a
b
2
+ a
2
+ b
+ c a
2
b
c
9
c
3
2
2
+
=
+
+
3 =
(cid:219) ‡ - (cid:219) ‡
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
2
3
.
a
a
a
a
a
a
a 3
+
2 +
‡
.
Tương tự 2 b
2
b
b c 3 ;
2
c
c 3
2
2
2
+
+
+
+
‡ ‡
(
) =
Dẫn đến
2
a
2
b
2
+ c a
b
c
3
+ + a b c
9
.
Bất đẳng thức cuối đúng, dấu đẳng thức xảy ra khi ba số cùng bằng 1.
;a b c .
;
‡
Bài 17: [ĐVH]. Cho ba số thực dương
3
=
+
P
.
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3
17 6
abc + + a b c
+ + a b c abc
Lời giải:
Đặt
= , theo bất đẳng thức Cauchy thì
t
+ + ‡ a b c
33
abc
⇒ ‡ t
3
.
3
+ + a b c abc
=
Mặt khác
.
P
t
t
2
.
= .3
17 6
1 1 + = + + t t
t 49 9 18
1 t
t + 9
49 18
53 6
Dấu đẳng thức xảy ra khi ba số bằng nhau.
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
‡
