Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
02. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI – P3 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
DẠNG 3. KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI
Điểm rơi trong các bất đẳng thức là giá trị đạt được của biến khi dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra.
Trong các bất đẳng thức dấu “=” thường xảy ra ở các trường hợp sau:
Các biến có giá trị bằng nhau. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại tâm
Khi các biến có giá trị tại biên. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại biên
Căn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta xét các kỹ thuật chọn điểm rơi trong các
cba
.
3
3
3
trường hợp trên.
2
2
a
a
b
c
c
+ + + + + £
3=++ Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa 3 Chứng minh rằng: b 2 33 Lời giải:
Phân tích: Do biểu thức đã cho là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi:
+
=
a
b 2
3
a
⇒=== c
1
b
+ +
= =
c 2 a 2
3 3
b c
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: ( + a
3
3
( a
) b 3.3.2
3
3
) b 2 3
++ 1 1 33 6 b 2 + + = = £ a b 2 (1) ++ a 3 93 9
3
6 2 c + £ (2) b 2 c
3
)
3
3
3
3 33
( ++ cba 3 3 93
6 2 a + £ c 2 a (3) 9 ++ b 3 93 ++ c 3 93 Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: + 18 + + + + + = £ a b 2 b 2 c c 2 a (đpcm)
2
2
2
+
+
= aA
b
c
cba 1=++ (*).
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
2
+
+
b
a
c
++ cba
Lời giải:
2
2
2
+
b
a
c
gợi cho ta sử dụng bất đẳng và
2
ba ,
a
2c cùng với 1 hằng số dương tương ứng khác để làm xuất hiện
2 , b
. Nhưng ta cần áp dụng cho bao nhiêu số và là những số nào? Căn cứ vào
và c . Do
và
, từ (*) ta có
== b
a
c
. Mặt khác thì dấu “=” của bất đẳng thức Cauchy xảy ra khi chỉ khi các số tham gia bằng nhau.
a
b
1=== c 3
Khi đó ta có lời giải như sau: Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số:
2a và
ta có:
1 9
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Phân tích: Sự chênh lệch về số mũ của các biểu thức + thức Cauchy để hạ bậc bậc của các biến số a, b, c trong các biểu thức trên (số bậc giảm 2 lần) thì ta cần áp dụng bất đẳng thức Cauchy lần lượt cho a, b, c dương và có vai trò như nhau nên ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ nhất khi
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
2
2
2
=
=
=
a
a
a
a
a
.
2
1 9
1 3
1 9
2 3
2
(cid:219) (cid:219) (1) Dấu “=” xảy ra
b
b
(2) Dấu “=” xảy ra
b
2
(cid:219)
c
c
(3) Dấu “=” xảy ra
c
1 ‡+ 9 Tương tự: 1 2 ‡+ 9 3 1 2 ‡+ 9 3
1= 3 1= 3
2
2
2
2
2
2
+
+
+
)
(cid:219)
+⇒=
( ++ cba
b
a
b
a
c
c
.
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: 1 3
1 ‡+ 3
2 3
2 3
‡
a
b
Dấu “=” xảy ra
1=== c 3
Vậy GTNN của A là
1 3
3
3
3
+
+
(cid:219)
ca
3=
. CMR:
a
b
c
3
‡ Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa
+ + bc ab Lời giải:
3
3
3
3
3
+
+
‡+
=
c
‡+ 313
ca
a
(3)
‡+ 313
(1) ;
bc
b
c
b
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: + 3 ba
3 ab
3
3
3
+
)
+
a (2) ; Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: ( + a 2
bc
ca
b
c
3
3
3
3 31 ) +
+
c
3.33
3
3
b +
+ ( a 2 + 3
(cid:219)
b
c
a
(đpcm)
( ‡+ ab 33 ) ‡+ 3
‡ (cid:219)
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
2
2
2
Chứng minh bất đẳng thức sau:
a + cb 2
b + ac
2
+ + ‡ ++ cba 3
c + 2 ba Lời giải:
2
2
2
.
(1) ;
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: + 2 cb 9
2 a 3
a + 2 cb
2
2
2
+ = ‡
(2) ;
(3)
a + 2 cb 2 b + ac
2
b 2 3
c + ba
2
c 2 3
2
2
2
)
)
+ + ‡ ‡ + 2 cb 9 + ac 9 + ba 9
( ++ cba 2 3
2
2
2
+ + + ‡
(đpcm)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: ( ++ cba 3 9 ++ cba 3
a + cb 2 a + cb 2
b + ac 2 b + ac
c + ba 2 c + ba
2
2
Lưu ý: Trong bài toán sử dụng kỹ thuật cộng thêm hệ số, ta sẽ sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi và kỹ thuật hạ bậc để tìm hạng tử cho phù hợp. Ví dụ: Đối với bài 1 bất đẳng thức đã cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi
+ + ‡ ⇒
c
.
a
== b
, ta chọn
.
Khi đó
1 a
1 a
a 2 b
a 2 a
= =
a
.
2
2
Đối với bài 2 bất đẳng thức đã cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi
, muốn sử dụng bất đẳng thức Cauchy để làm mất mẫu thì ta cộng thêm
.
Khi đó
a + cb 2
2
2
= = == c b cb + 2 9
Chọn mẫu là số 9 vì
.
a a + aa 3 + cb 2 9
a 3
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
= = + aa 9
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
+
+
Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
2
2
2
)
)
)
1 2
1 a
1 ++ b
1 c
ab ( + bac
bc ( + cba
‡ Chứng minh bất đẳng thức sau:
ca ( + acb Lời giải:
+
=
.
2
2
2
)
)
1 c
+ ba 4 ab
+
+
‡ (1)
(2) ;
(3)
2
2
)
)
1 a
+ ba 4 ab + ac 4 ca
ab ( + bac + cb 4 bc
1 b
+
+
+
+
+
‡ ‡ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: ab ( + bac ca ( + acb
2
2
2
)
)
)
+ ac 4 ca
1 a
1 ++ b
+
+
+
+
+
+
+
‡
+
2
2
2
)
)
)
1 4 b
1 a 4
1 c 1 c 4
1 a
1 ++ b
1 c
+
+
‡ (cid:219)
⇒
(đpcm)
2
2
2
)
)
)
+ cb 4 bc 1 a 4 1 ++ b
+ ba 4 ab 1 4 b 1 2
1 4 c 1 c
1 a
bc ( + cba Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: ca ( + acb ca ( + acb ca ( + acb
ab ( + bac ab ( + bac ab ( + bac
bc ( + cba bc ( + cba bc ( + cba
.
1=
‡
Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa
3
3
+
+
+
+
)
+
+
)
+
Chứng minh bất đẳng thức sau: ( 1
a )( b 1
c
( 1
a
c )( a 1
b
( 1
3 4
‡
abc 3 b ) )( + 1 c Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
3
3
+
+
+
+
1
b
1
c
1
b
1
c
=
+
+
(1) ;
3 3
.
.
a
+
)
+
+
)
+
( 1
a )( 1 b
c
8
8
3 4
c
( 1
a )( 1 b 3
8 +
8 +
1
c
1
a
+
+
‡
(2) ;
b
+
)
+
a
( 1
8 +
8 +
1
a
1
b
+
+
‡
(3)
c
+
+
)
b )( c 1 3 c )( 1 a
3 4 3 4
8
b
8
( 1 Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
3
3
3
‡
)
)
( ++ cba
( ++ cba
)
)
)
a )( b 1
( 1
( 1
b )( c 1
( 1
c )( a 1
1 4
b
3 4
3 4
c 3
a 3
3
3
+ + + + ‡ + + + + + +
)
( ++ cba
abc
)
)
)
3 4
c
a
( 1
b )( c 1
c )( a 1
( 1
b
1 2
3 4
3 2
3 4
3
3
3
3
3
3
+ + = - ‡ - ‡ ⇒ + + + + + +
+ + +
a )( ( b 1 1 (đpcm) Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c. c
b
a
c
Chứng minh bất đẳng thức sau:
)cba ( ++
2
b ab
bc
+ + ‡
a ca Lời giải:
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
a
b
c
c
Ta có:
b ab
bc
a ca
a b
b a
b c
c b
c a
a c
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
2
2
2
2
+ + + + + = + + + + +
2
. b
2
a
(1);
(2) ;
(3) ;
b 2
b 2
a b
a b
b a
b c
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
= ‡+ b ‡+ a ‡+ c
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
2
2
2
2
2
2
2
c 2 ‡+ b (4) ; (5) ; ‡+ a 2 c ‡+ c 2 a (6) c a a c
)
)
( ++ cba
( ++ cba
2
2
2
2
2
+ + + + + + ‡ 2 4 c b Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1) đến (6) ta được: 2 2 a a b c b a c a c b b c
)cba ( ++
2 a +⇒ b
3
3
3
3
3
3
+ + + + ‡ 2
( )cba ++ 2
2
2
2
+ a b c b c b + c c a c + + ‡ ⇒ (đpcm) b a + b ab a c a ca bc Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
3
3
3
+ + ‡ Chứng minh bất đẳng thức sau: 1 a 1 ++ b 1 c a b b c c a
Lời giải:
2
2
2
2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
3
3
3
3
2
2
2
+
+
+
3
3
3
‡
2
3
1 ++ b
1 ++ b
1 a
1 a
1 c
+ + = ‡ ‡ (2); (3) . 3 3 (1) ; 3 c 1 ‡++ c 1 c 3 a 1 a 1 a 1 1 . aa 1 ++ b 3 b c a a b a b b c
c a
b c
2
2
1 b Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: 1 a c b
3
3
2 a +⇒ 3 b
+ ‡ (đpcm) 1 a 1 ++ b 1 c b c c a
3
3
3
2
2
2
Ví dụ 9: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
+ + + + ‡ Chứng minh bất đẳng thức sau: a b c a b b c c a
Lời giải:
3
3
3
3
2
2
2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
3
3
2
2
2
2
+ + = ‡ . b b . 3 3 (1) ; a 3 a b a b
3
3
3
2
2
2
2
2
+ + + + ‡ ‡ (2) ; 3b 3c a c (3) a b 3 b c c a c a a b 3 b c Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1), (2) và (3) ta được:
)
)2
+
+
+
+
+
+
b
c
‡
( a 3
b
c
( a
a b
b c
c a
+
2
3
3
2
2
2
3 a +⇒ b
+ + + ‡ a b c (đpcm) b c c a
4
4
2
2
2
Ví dụ 10: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c. 4 + + ‡ Chứng minh bất đẳng thức sau: ++ cba a bc b ca c ab
Lời giải:
4
4
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
2
2
= ‡+++ cb c 44 ... ccb 4 a (1) a bc
2
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
‡+++ aac (2) b 4 a bc 4 b ca
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
4
2
4
4
4
‡+++ bba 4 c (3) c ab
)
( ++ 3 cba
)cba ( ++
2
2
2
4
4
4
+ + + ‡ 4 Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: a bc c ab b ca
2
2
2
2
2
2
+
+
=
a
b
c
3
.
+ + ‡ ⇒ ++ cba (đpcm) a bc b ca c ab
3
3
3
+
+
Ví dụ 11: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa
Chứng minh rằng:
a + cb
b + ac
c + ba
3 2
‡
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
3
3
)
)
2
=
+
Lời giải:
.
2
(1) ;
a
a + cb
)
)
2
2
+
+
‡
b
c
(2) ;
(3)
( + cba 4 ( + acb 4
( + bac 4
( + cba 4 3 c + ba
3
3
3
a + cb 3 b + ac Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: +
+
ca
ab
2
2
2
+
+
+
+
+
‡ ‡
a
b
c
b + ac
+ nm
+ nm
+
+
+
bc 2 +
‡ (1' )
b
c
nm ba
nm cb
nm ac
c + ba + nm a
=
a + cb Mặt khác ta có: m
1
Chọn
ta được:
=
1 2
2
n +
+
+
+
‡
c
a
ab
2
2
2
bc +
ca +
+
+
c
a
ca
ab
‡ 2 b
⇒
‡
(2'
)
b 2
2
3
3
3
2
2
+
+
+
+
+
+
bc 2 Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được: c
ab
ca
a
ab
ca
2
2
2
+
+
+
+
+
+
+
⇒
a
b
c
b 2
bc 2
2
2
+
+
a
c
+
+
=
‡
⇒
(đpcm)
a + cb 3 a + cb
b + ac 3 b + ac
c + ba 3 c + ba
bc 2 2 b 2
3 2
‡
Ví dụ 12: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
5
5
5
3
3
3
+
+
+
+
Chứng minh bất đẳng thức sau:
a
b
c
2
2
2
a b
b c
c a
‡
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
5
5
3
2
2
+
=
Lời giải:
a
2
2
ab
ab .
(1) ;
2
2
a b
5
5
3
2
2
3
+
+
‡
bc
2b
(2) ;
(3)
2c
ca
2
2
c a
5
5
5
3
2
2
3
2
3
+
+
+
+
+
+
+
‡ ‡
‡
) (1'
( a
ab
bc
ca
2
b
c
)
2
2
2
c a
b c
+ nm
+ nm
+ nm
+
+
+
+
nm ba
nm cb
a
b
c
nm ac
a b b c Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: a b Mặt khác ta có:
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
‡
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
2
3
2
2
5
5
5
3
3
3
2
2
2
2
2
2
3
3
3
= 1 m Chọn ta được: = 2 3 3 n + + + + ‡ c b ca bc ab (2' )
+ + + + + + + + + + + + + ‡
)
2
2
2
5
5
3
3
3
b c ab bc ca ab bc ca 2 b a c a Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được: ( a a b c a b c
2
2
5 a +⇒ 2 b
+ + + ‡ a b c (đpcm) b c c a
3
3
3
2
2
Ví dụ 13: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
+ + + +
)2
‡ Chứng minh bất đẳng thức sau:
( a
b c a + b + c + a b 2 b 2 c
3
3
)
1 c a 2 3 Lời giải:
( aa
( aa
2
)
( bb
2
2
3
3
3
2
2
2
2
2
2
)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: ) + + b 2 b 2 + = ‡ 2 . a a + a + a a b 2 b 2 3 (1) ; ) 9 + + c 2 b 2 2 3 ( cc + + ‡ ‡ b (2) ; c (3) b + 9 3 c + c 2 9 2 3 b 2 9 c
)
)
+ + + + + + + + + + ‡ ca b c
( a
( ab
3
3
3
2
2
2
bc b c c + b + a + 2 3 b Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: ( 1 a 9 2 2 c a b
2 9 ) + + + + + + + ‡ (cid:219) 2 3 )
( a
( ab
+ nm
+
+
+
nm ba
nm ac
=
bc ca b c (1' ) 2 b a + b a ‡ 5 9 nm cb a c + c a 2 + + nm b 2 9 c
=
c b + 2 b 2 c + nm Mặt khác ta có: a m 1 Chọn ta được:
2
n +
+
+
+
c
a
ab
2
2
2
bc )
+
+
+
+
1 2 ‡
⇒
ca ( ab
b
c
bc
ca
‡ 2 b ( a
) (2'
)
2 9
2 9
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được:
3
3
3
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+
)
+
+
+
)
+
+
+
+
)
+
( ab
bc
ca
‡
( a
b
c
( a
b
c
( ab
bc
)ca
a +
b +
c +
a
b
2
c
2 9
5 9
2 9
3
3
3
2
2
2 9 )2
+
+
+
+
⇒
‡
( a
b
c
(đpcm)
b 2 a +
c 2 b +
a c +
a
b 2
2
c
c
2
a
b
1 3
Ví dụ 14: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
+
+
Chứng minh bất đẳng thức sau:
2 c
+ cb 2 a
+ ac 2 b
+ ba 2 c
‡
2 2 ++ b a Lời giải:
+
=
(1) ;
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
2
.
+ cb 2 a
+ cb 2 a
+
+
‡
(3)
Hoàn toàn tương tự ta cũng có:
(2) ;
4 + ac
4 + cb 4 b
4 a 4 + ba
4 c
+ ac 2 b
4 + cb + ba 2 c
+
+
+
+
+
‡ ‡
‡
(1'
)
4 ++ b
4 + ba
4 + ac
4 + cb
4 a
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: + cb 4 2 c a
+ ba 2 c
+ ac 2 b
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
+
4 = + ‡ ‡ (2' ) ; Mà ta có: 2 1 b 1 1 . ba 2 ab
‡
)
(3'
;
(4'
)
1 ‡+ c
4 + ac
1 c
+
+
+
+
+
+
+
+
+
4 ++ b
4 c
4 + ba
4 + cb
4 + ac
2 ‡++ c
4 + ac
2 a
2 b
4 a
1 b Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’), (2’), (3’) và (4’) ta được: + cb 2 a
+ ba 2 c
+ ac 2 b
+
+
4 + ba 1 a 1 a 4 + cb
⇒
(đpcm)
4 + ba 2 a
4 + cb 2 2 ++ b c
+ cb 2 a
+ ac 2 b
+ ba 2 c
‡
Ví dụ 15: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
2
2
+
+
+
Chứng minh bất đẳng thức sau:
a
3 b
a b
b c
4 2 c a
‡
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
2
2
2
+
=
Lời giải:
2
‡+ b
(2) ;
(1);
4 b
. b
4
a
2
c
‡+ a
4
c
(3)
a b
b c
4 2 c a
a b Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1), (2) và (3) ta được:
2
2
+
+
+
+
‡
+++ ba
4
c
2
a
4 b
4
c
a b
2
+
+
‡
a
3 b
(đpcm)
4 2 c a
b c 2 a +⇒ b == b
4 2 c a b c 2c
a
‡
Dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra khi Ví dụ 16: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c.
2
2
+
+
Chứng minh bất đẳng thức sau:
( 64
)bac
a + cb
b + ac
- - ‡
16 2 1 c + ba 9 Lời giải:
2
2
)
)
+
+
+
)
(1);
(2) ;
( + ba
8 c
(3)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: ( + ac 4 a 4 9 3
( + cb 4 9
b + ac
b 4 3
16 2 c + ba
a + cb Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1), (2) và (3) ta được:
2
2
+
+
+
+
)
)
+
‡ ‡ ‡
( + ba
c
( + ba
8 c
a + cb
b + ac
8 9
4 3
2
2
+
+
‡
13 9 )bac
( 64
(đpcm)
a + cb
b + ac
16 2 c + ba
16 2 c + ba 1 9
+
+
- - ‡ ⇒
Chứng minh bất đẳng thức sau:
‡
Ví dụ 17: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c. 1 a
c 2 a
a 2 b
b 2 c
1 ++ b
1 c Lời giải:
=
+
(1) ;
(2);
(3)
2
b 2 c
1 ‡+ b
2 c
c 2 a
1 ‡+ c
2 a
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 a . 2 ab
a 2 b
2 b
1 a Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
+
+
+
1 a
1 ‡++ c
1 b
2 a
2 ++ b
2 c
a 2 b
b 2 c
c 2 a
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
‡
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
+
a +⇒ 2 b
b 2 c
c 2 a
5
5
5
1 c 3
3
=
+
+
1 ++ b + 3
‡ (đpcm)
3
. CMR:
a
b
c
3
c
‡ Ví dụ 18: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa
1 a + b a Lời giải:
5
15
3
=
(1)
a 3
‡+ 2
5 5
a
1.1
a 5
3
5
5
(2) ;
‡+ 2
‡+ 2
b 3
c 3
5a và 2 số 1, ta có: 3 (3)
5
5
5
5
3
5
5
5
5
+
+ 3
+ 3
+
+
+
)
(
)
(
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 5 số: 3 số Tương tự: c 5 b 5 Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: + + ‡ b
( + a 3
6 5
a
3
b
b
a
c
c
) + ‡ 5 c
6 5.3
a
b
c
3
(đpcm)
3
7
7
7
3
+
=
+
+
(cid:219) ‡ (cid:219)
33 cb
3 ac
3
. CMR:
a
b
c
3
‡ Ví dụ 19: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa
+ 3 ba Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 7 số: 3 số
7a , 3 số
7b và số 1, ta có:
7
7
7
21
3
=
+
‡+
b 3
7
7
3
+
21 . ba ‡+ 7 c 3
71 + 7 b 3
(1) (2) ;
3 7 ba 33 cb
1 71
a 3
c 3
71
3 ac
(3)
7
7
7
7
7
7
7
+ ‡
+
+
+
+
)
(
)
3 a ‡+ Tương tự: Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: ( + 3 3 7 a b 6
+ 3 3 b c
3 7
3 3 c a
( + a
+ b
6
a
b
c
3 7.3
a
b
c
3
(đpcm)
) + ‡ 7 c
2
2
+
+
+
‡+ 4
2
a
2 b
ab
(cid:219) ‡ (cid:219)
Ví dụ 20: [ĐVH]. Cho 2 số thực dương a, b. CMR:
a b Lời giải:
2
2
2
2
2
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: =
+
‡+ 4
4.
a
a
4
2
(2) ;
‡+ 4
4 b
a
b
2
+
+
(3) 2 ab + ‡+ 2 8 2 b
a
4
a
4 b
2
ab
2
2
+
+
+
‡
a b (1); Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: 2 ab
(đpcm)
‡+ 4
2 b
a
a
b
2
3
3
2
2
2
3
(cid:219)
b
c
a
bc
b
ca
c
ab
+ + + ‡ Ví dụ 21: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c. CMR:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 6 số: 4 số
3a ,1 số
3b và 1 số
3c ta có:
3
3
3
6
12
3
3
2
+
+
=
+ a Lời giải:
(1)
c
a
b
bc
6
a
3
3
3
2
3
3
2
. cba . + 3
6 +
‡
(2) ;
4 b
ca
a
c
a
b
6
c
c
4 Tương tự: 6 b Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:
3
3
3
2
2
2
+
+
+ + ‡ ‡
)
+
+
6
b
c
‡
( a 3
b 3
c 3
6 2
+
+
bc + 2
ca + 2
a
b
c
a
b
ca
c
ab
4 ( a bc
ab (3) )ab (đpcm)
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
‡ (cid:219)
