Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
DẠNG 1. KĨ THUẬT GHÉP ĐỐI XỨNG
Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm một số thao tác sau:
Phép cộng:
( ) ( ) ( ) ( )
+++++=++
+
+
+
+
+
=++
accbbacba
accbba
cba
2
222
Phép nhân:
(
)
( )( )( )
=
≥=
cabcabcba
cbacabcababc
222
0,, ,
Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
cba
c
ab
b
ca
a
bc ++≥++
Hướng dẫn giải:
Ta có:
cba
a
bc
c
ab
c
ab
b
ca
b
ca
a
bc
a
bc
c
ab
c
ab
b
ca
b
ca
a
bc
c
ab
b
ca
a
bc
++=++≥
++
++
+=++
...
2
1
2
1
2
1
Ví dụ 2:
[ĐVH].
Cho ba s
ố
th
ự
c d
ươ
ng a, b, c th
ỏ
a mãn
1
=
abc .
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng 3+++≥
+
+
+
+
+
cba
c
ba
b
ac
a
cb
Hướng dẫn giải:
( ) ( ) ( )
33
2
222
2
222
3
+++=+++≥
+++++=++=
++≥
++
++
+=
++=++≥
+
+
+
+
+
cbacbacba
cbacbacba
a
bc
c
ab
c
ab
b
ca
b
ca
a
bc
a
bc
c
ab
c
ab
b
ca
b
ca
a
bc
c
ab
b
ca
a
bc
c
ab
b
ca
a
bc
c
ba
b
ac
a
cb
V
ậ
y 3+++≥
+
+
+
+
+
cba
c
ba
b
ac
a
cb
Ví dụ 3:
[ĐVH].
Cho
2
,,,,
cba
pbCAaBCcABABC
+
+
====∆
. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
a)
( )( )( )
abccpbpap
8
1
≤−−−
b)
++≥
−
+
−
+
−cbacpbpap
111
2
111
Hướng dẫn giải:
a) Ta có:
02. BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
abc
acpcbpbap
apcpcpbpbpap
apcpcpbpbpapcpbpap
8
1
2
2
.
2
2
.
2
2
2
.
2
.
2
=
+−+−+−
≤
−+−−+−−+−
≤
−−−−−−=−−−
b) Ta có:
( )( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
++≥
−+−
+
−+−
+
−+−
≥
−−
+
−−
+
−−
≥
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
=
−
+
−
+
−
cba
apcpcpbpbpap
apcpcpbpbpap
apcpcpbpbpapcpbpap
111
2
2
1
2
1
2
1
111
11
2
111
2
111
2
1111
DẠNG 2. KĨ THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ
Ví dụ 1:
[ĐVH].
Cho
.,,, bCAaBCcABABC
=
=
=
∆
Chứng minh rằng
3≥
−+
+
−+
+
−+
b
a
c
b
a
b
a
c
b
a (1)
Hướng dẫn giải:
Đặ
t:
+
=
+
=
+
=
⇔
>=−+
>=−+
>=−+
2
2
2
0
0
0
yx
c
xz
b
zy
a
zcba
ybac
xacb
Khi
đ
ó v
ế
trái c
ủ
a b
ấ
t
đẳ
ng th
ứ
c (1) tr
ở
thành
z
yx
y
xz
x
zy
222
+
+
+
+
+
Ta có:
3.
2
2
.
2
2
.
2
2
2
1
2
1
2
1
222
=++≥
++
++
+=
+
+
+
+
+
z
y
y
z
z
x
x
z
y
x
x
y
z
y
y
z
z
x
x
z
y
x
x
y
z
yx
y
xz
x
zy
Hay 3≥
−+
+
−+
+
−+
c
b
a
c
b
a
b
a
b
a (
đ
pcm)
Ví dụ 2:
[ĐVH].
Cho .,,, bCAaBCcABABC
=
=
=
∆
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng cba
b
a
c
b
a
b
a
c
b
a++≥
−+
+
−+
+
−+
222
(1)
Hướng dẫn giải:
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Đặt:
+
=
+
=
+
=
⇔
>=−+
>=−+
>=−+
2
2
2
0
0
0
yx
c
xz
b
zy
a
zcba
ybac
xacb
Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:
(
)
(
)
(
)
zyx
z
yx
y
xz
x
zy ++≥
+
+
+
+
+
444
222
Ta có:
( ) ( ) ( )
2 2 2
111
4 4 4 2 2 2
. . .
+ + +
+ + ≥ + + = + + + + +
≥ + + = + +
y z z x x y
yz zx xy yz zx zx xy xy yz
x y z x y z x y y z z x
yz zx zx xy xy yz z x y
x y y z z x
Hay cba
c
b
a
c
b
a
b
a
b
a++≥
−+
+
−+
+
−+
222
(đpcm)
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho
2
,,,, cba
pbCAaBCcABABC
+
+
====∆ .
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
cpbpap
p
cpbpap −−−
≥
−
+
−
+
−
222
111
(1)
Hướng dẫn giải:
Ta có: 0
2
>
−
+
=− acb
ap
T
ươ
ng t
ự
:
0; 0
− > − >
p b p c
Đặt:
zyxp
zcp
ybp
xap
++=⇒
>=−
>=−
>=−
0
0
0
Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau
xyz
zyx
zyx
+
+
≥++ 222
111
Ta có
xyz
zyx
zxyzxy
xzzyyx
xzzyyxzyx
++
=++=++≥
++
++
+=++
111111
.
11
.
1
11
2
111
2
111
2
1111
222222
222222222
Hay
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
cpbpap
p
cpbpap −−−
≥
−
+
−
+
−
222
111
(
đ
pcm)
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1:
[ĐVH].
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i
x
∈
ℝ
thì
12 15 20
3 4 5
5 4 3
+ + ≥ + +
x x x
x x x
(ĐH khôi A-2005)
Bài 2: [ĐVH]. Cho
a, b, c
là 3 số thực bất kỳ thoả
0
+ + =
abc . Ch
ứ
ng minh
8 8 8 2 2 2
+ + ≥ + +
a b c a b c
Bài 3:
[ĐVH].
Cho ba s
ố
th
ự
c d
ươ
ng a, b, c .
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Chứng minh rằng
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
( )
5
3 8 14 3 8 14 3 8 14
+ + ≥ + +
+ + + + + +
a b c
a b c
a b ab b c bc c a ca
Bài 4: [ĐVH]. Cho a, b, c >0 thoả mãn:
 
+ + =
.
Chứng minh rằng

+ + ≤
+++
Bài 5: [ĐVH]. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thoả mãn:
2 2 2
3
+ + =
abc
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
2 2 2 2 2 2
= + +
+ + + + + +
a b c
P
b c bc a c ac a b ab
Bài 6: [ĐVH]. Cho ba số x, y, z > 0 thoả
2 2 2
.
+ + =
x y z xyz
Tìm GTLN của biểu thức
2 2 2
= + +
+ + +
x y z
A
x yz y xz z xy
.
Bài 7: [ĐVH]. Cho a, b, c >0, abc = 1.
Tìm GTLN của biểu thức
2 2 2 2 2 2
111
2 3 2 3 2 3
= + +
+ + + + + +
P
a b b c c a
Bài 8:
[ĐVH].
Cho a ,b, c > 0 và a + b + c = 1.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2 2 2
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
ab bc ac
ab c c cb a ac b b
+ + ≥
+ +
+ + + + + +
Bài 9:
[ĐVH].
Cho a, b, c > 0 và th
ỏ
a mãn
1 1 1
2
1 1 1
+ + ≥
+ + +
abc
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
1
.
8
≤
abc