zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Toán học lớp 10: Bất đẳng thức Côsi (Phần 2) - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Nguyễn Thị Oanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:4

Báo xấu

260
lượt xem 80
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Toán học lớp 10: Bất đẳng thức Côsi (Phần 2) - Thầy Đặng Việt Hùng" tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp 1 số bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về bất đẳng thức Côsi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán học lớp 10: Bất đẳng thức Côsi (Phần 2) - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 02. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI – P2 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] DẠNG 1. KĨ THUẬT GHÉP ĐỐI XỨNG Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm một số thao tác sau:  a+b b+c c+a a + b + c = + + Phép cộng:  2 2 2 2(a + b + c ) = (a + b ) + (b + c ) + (c + a ) abc = ab bc ca , (a, b, c ≥ 0) Phép nhân:  2 2 2 a b c = (ab )(bc )(ca ) bc ca ab Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng + + ≥ a+b+c a b c Hướng dẫn giải: Ta có: bc ca ab 1  bc ca  1  ca ab  1  ab bc  + + =  + +  + +  +  a b c 2 a b  2 b c  2 c a bc ca ca ab ab bc ≥ . + . + . = a+b+c a b b c c a Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 1 . b+c c+a a+b Chứng minh rằng + + ≥ a + b + c +3 a b c Hướng dẫn giải: b + c c + a a + b 2 bc 2 ca 2 ab  bc ca ab  + + ≥ + + = 2 + +  a b c a b c  a b c   bc ca   ca ab   ab bc  =  + +   + +   +   a b   b c   c a  bc ca ca ab ab bc ≥2 +2 +2 a b b c c a ( =2 a+ b+ c = ) ( a+ b+ c + ) ( a+ b+ c ) ≥ a + b + c + 33 a b c = a + b + c + 3 b+c c+a a+b Vậ y + + ≥ a + b + c +3 a b c a+b+c Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho ∆ABC , AB = c, BC = a, CA = b, p = . Chứng minh rằng 2 a) ( p − a )( p − b )( p − c ) ≤ abc 1 8 1 1 1  1 1 1 b) + + ≥ 2 + +  p−a p−b p−c a b c Hướng dẫn giải: a) Ta có: Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 ( p − a )( p − b )( p − c ) = ( p − a )( p − b ) ( p − b )( p − c ) ( p − c )( p − a ) ≤ ( p − a ) + ( p − b) . ( p − b) + ( p − c ) . ( p − c ) + ( p − a ) 2 2 2 2 p − (a + b ) 2 p − (b + c ) 2 p − (c + a ) 1 ≤ . . = abc 2 2 2 8 b) Ta có: 1 1 1 1 1 1  1 1 1  1 1 1  + + =  +  +  +  +  +  p − a p − b p − c 2  p − a p − b  2  p − b p − c  2  p − c p − a  1 1 1 ≥ + + ( p − a )( p − b ) ( p − b )( p − c ) ( p − c )( p − a ) 1 1 1 ≥ + + ( p − a) + ( p − b) ( p − b) + ( p − c) ( p − c) + ( p − a ) 2 2 2  1 1 1 ≥ 2 + +  a b c DẠNG 2. KĨ THUẬT ĐỔI BIẾN SỐ Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho ∆ABC , AB = c, BC = a, CA = b. a b c Chứng minh rằng + + ≥3 (1) b+c−a c+a−b a+b−c Hướng dẫn giải:  y+z a = 2 b + c − a = x > 0    z+x Đặt: c + a − b = y > 0 ⇔ b = a + b − c = z > 0  2   x + y c = 2  y+z z+x x+ y Khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành + + 2x 2y 2z Ta có: y+ z z+ x x+ y 1 y x 1 z x 1 z y + + =  +  +  + +  +  2x 2y 2z 2 x y 2 x z  2  y z  2 y x 2 z x 2 z y ≥ . + . + . =3 2 x y 2 x z 2 y z a b c Hay + + ≥ 3 (đpcm) b+c−a c+a−b a+b−c Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho ∆ABC , AB = c, BC = a, CA = b. a2 b2 c2 Chứng minh rằng + + ≥ a + b + c (1) b+c−a c+a−b a+b−c Hướng dẫn giải: Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95  y+z a = 2 b + c − a = x > 0    z+x Đặt: c + a − b = y > 0 ⇔ b = a + b − c = z > 0  2   x+ y c = 2  Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: ( y + z )2 + ( z + x )2 + ( x + y )2 ≥ x + y + z 4x 4y 4z Ta có: ( y + z) ( z + x) ( x + y) 2 2 2 yz zx xy 1  yz zx  1  zx xy  1  xy yz  + + ≥ + + =  + +  + +  +  4x 4y 4z x y z 2 x y  2 y z  2 z x  yz zx zx xy xy yz ≥ . + . + . = z+x+ y x y y z z x a2 b2 c2 Hay + + ≥ a + b + c (đpcm) b+c−a c+a−b a+b−c a+b+c Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho ∆ABC , AB = c, BC = a, CA = b, p = . 2 1 1 1 p Chứng minh rằng + + ≥ (1) ( p − a) 2 ( p − b) 2 ( p − c )2 ( p − a )( p − b )( p − c ) Hướng dẫn giải: b+c−a Ta có: p − a = >0 2 Tương tự: p − b > 0; p − c > 0 p − a = x > 0  Đặt: p −b = y > 0 ⇒ p = x + y + z p − c = z > 0  1 1 1 x+ y+z Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau 2 + 2 + 2 ≥ x y z xyz Ta có 1 1 1 1 1 1  1 1 1  1 1 1  2 + 2 + 2 =  2 + 2  +  2 + 2  +  2 + 2  x y z 2 x y  2 y z  2 z x  1 1 1 1 1 1 1 1 1 x+ y+ z ≥ 2 . 2 + 2 . 2 + 2 2 = + + = x y y z z x xy yz zx xyz 1 1 1 p Hay + + ≥ (đpcm) ( p − a )2 ( p − b ) ( p − c ) ( p − a )( p − b )( p − c ) 2 2 BÀI TẬP LUYỆN TẬP x x x  12   15   20  Bài 1: [ĐVH]. Chứng minh rằng với mọi x ∈ ℝ thì   +   +   ≥ 3x + 4 x + 5 x (ĐH khôi A-2005)  5  4  3  Bài 2: [ĐVH]. Cho a, b, c là 3 số thực bất kỳ thoả a + b + c = 0 . Chứng minh 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c Bài 3: [ĐVH]. Cho ba số thực dương a, b, c . Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 a2 b2 c2 1 Chứng minh rằng + + ≥ (a + b + c) 3a2 + 8b2 +14ab 3b2 + 8c2 +14bc 3c2 + 8a2 +14ca 5 Bài 4: [ĐVH]. Cho a, b, c >0 thoả mãn: ab + bc + ca = 1 . a b c 3 Chứng minh rằng + + ≤ 1 + a2 1 + b2 1 + c2 2 Bài 5: [ĐVH]. Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thoả mãn: a 2 + b 2 + c 2 = 3 . a2 b2 c2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = + + b 2 + c 2 + bc a 2 + c 2 + ac a 2 + b 2 + ab Bài 6: [ĐVH]. Cho ba số x, y, z > 0 thoả x 2 + y 2 + z 2 = xyz. x y z Tìm GTLN của biểu thức A = + 2 + 2 . x + yz y + xz z + xy 2 Bài 7: [ĐVH]. Cho a, b, c >0, abc = 1. 1 1 1 Tìm GTLN của biểu thức P = + 2 + 2 a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a 2 + 3 2 2 2 Bài 8: [ĐVH]. Cho a ,b, c > 0 và a + b + c = 1. 1 1 1 1 Chứng minh rằng + + ≥ ab + 2c2 + 2c cb + 2a2 + 2 ac + 2b2 + 2b ab + bc + ac 1 1 1 Bài 9: [ĐVH]. Cho a, b, c > 0 và thỏa mãn + + ≥2 1+ a 1+ b 1+ c 1 Chứng minh rằng abc ≤ . 8 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.