zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Toán học lớp 10: Bất đẳng thức Côsi (Phần 3) - Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Nguyễn Thị Oanh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

Báo xấu

301
lượt xem 85
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Toán học lớp 10: Bất đẳng thức Côsi (Phần 3) - Thầy Đặng Việt Hùng" tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp 1 số bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về bất đẳng thức Côsi.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán học lớp 10: Bất đẳng thức Côsi (Phần 3) - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 02. BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI – P3 Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] DẠNG 3. KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI Điểm rơi trong các bất đẳng thức là giá trị đạt được của biến khi dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra. Trong các bất đẳng thức dấu “=” thường xảy ra ở các trường hợp sau: Các biến có giá trị bằng nhau. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại tâm Khi các biến có giá trị tại biên. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại biên Căn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta xét các kỹ thuật chọn điểm rơi trong các trường hợp trên. Ví dụ 1: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a + b + c = 3 . Chứng minh rằng: 3 a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a ≤ 33 3 Lời giải: Phân tích: Do biểu thức đã cho là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi: a + 2b = 3  a = b = c = 1 ⇒ b + 2c = 3 c + 2a = 3  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 (a + 2b ) + 3 + 3 6 + a + 2b a + 2b = 3 3 (a + 2b ).3.3 ≤ 3 1 3 = (1) 9 9 3 33 9 6 + b + 2c 3 b + 2c ≤ (2) 33 9 6 + c + 2a 3 c + 2a ≤ (3) 33 9 Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: 18 + 3(a + b + c ) 3 a + 2b + 3 b + 2c + 3 c + 2a ≤ 3 = 33 3 (đpcm) 3 9 Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1 (*). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a 2 + b 2 + c 2 Lời giải: Phân tích: Sự chênh lệch về số mũ của các biểu thức a 2 + b 2 + c 2 và a + b + c gợi cho ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy để hạ bậc a 2 + b 2 + c 2 . Nhưng ta cần áp dụng cho bao nhiêu số và là những số nào? Căn cứ vào bậc của các biến số a, b, c trong các biểu thức trên (số bậc giảm 2 lần) thì ta cần áp dụng bất đẳng thức Cauchy lần lượt cho a 2 , b 2 và c 2 cùng với 1 hằng số dương tương ứng khác để làm xuất hiện a, b và c . Do a, b, c dương và có vai trò như nhau nên ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ nhất khi a = b = c , từ (*) ta có 1 a = b = c = . Mặt khác thì dấu “=” của bất đẳng thức Cauchy xảy ra khi chỉ khi các số tham gia bằng nhau. 3 Khi đó ta có lời giải như sau: Lời giải: 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số: a 2 và ta có: 9 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 1 1 2 1 1 a2 + ≥ 2 a 2 . = a (1) Dấu “=” xảy ra ⇔ a 2 = ⇔ a = 9 9 3 9 3 Tương tự: 1 2 1 b2 + ≥ b (2) Dấu “=” xảy ra ⇔ b = 9 3 3 1 2 1 c2 + ≥ c (3) Dấu “=” xảy ra ⇔ c = 9 3 3 Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: a 2 + b 2 + c 2 + ≥ (a + b + c ) = ⇒ a 2 + b 2 + c 2 ≥ . 1 2 2 1 3 3 3 3 1 Dấu “=” xảy ra ⇔ a = b = c = 3 1 Vậy GTNN của A là 3 Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa ab + bc + ca = 3 . CMR: a 3 + b 3 + c 3 ≥ 3 Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a 3 + b 3 + 1 ≥ 33 a 3b 3 = 3ab (1) ; b 3 + c 3 + 1 ≥ 3bc (2) ; c 3 + a 3 + 1 ≥ 3ca (3) Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: ( ) 2 a 3 + b 3 + c 3 + 3 ≥ 3(ab + bc + ca ) ( ) ⇔ 2 a + b + c 3 + 3 ≥ 3.3 3 3 ⇔ a 3 + b 3 + c 3 ≥ 3 (đpcm) Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c. a2 b2 c2 a+b+c Chứng minh bất đẳng thức sau: + + ≥ 2b + c 2c + a 2a + b 3 Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a2 2b + c a 2 2b + c 2a + ≥2 . = (1) ; 2b + c 9 2b + c 9 3 b2 2c + a 2b c2 2 a + b 2c + ≥ (2) ; + ≥ (3) 2c + a 9 3 2a + b 9 3 Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: a2 b2 c2 3(a + b + c ) 2(a + b + c ) + + + ≥ 2b + c 2c + a 2a + b 9 3 a 2 b 2 c 2 a+b+c ⇒ + + ≥ (đpcm) 2b + c 2c + a 2a + b 3 Lưu ý: Trong bài toán sử dụng kỹ thuật cộng thêm hệ số, ta sẽ sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi và kỹ thuật hạ bậc để tìm hạng tử cho phù hợp. Ví dụ: Đối với bài 1 bất đẳng thức đã cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi a = b = c . a a 1 1 Khi đó 2 = 2 = , ta chọn . b a a a Đối với bài 2 bất đẳng thức đã cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi a = b = c . a2 a2 a 2b + c Khi đó = = , muốn sử dụng bất đẳng thức Cauchy để làm mất mẫu thì ta cộng thêm . 2b + c 2a + a 3 9 2b + c 2a + a a Chọn mẫu là số 9 vì = = . 9 9 3 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c. ab bc ca 11 1 1 Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 + 2 + 2 ≥  + +  c (a + b ) a (b + c ) b (c + a ) 2  a b c  Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: ab a+b ab a+b 1 + ≥2 2 . = (1) c (a + b ) 4ab 2 c (a + b ) 4ab c bc b+c 1 ca c+a 1 + ≥ (2) ; + ≥ (3) a (b + c ) 4bc a 2 b (c + a ) 4ca b 2 Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: ab bc ca a+b b+c c+a 1 1 1 + 2 + 2 + + + ≥ + + c (a + b ) a (b + c ) b (c + a ) 4ab 2 4bc 4ca a b c ab bc ca 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⇔ 2 + 2 + 2 + + + + + + ≥ + + c (a + b ) a (b + c ) b (c + a ) 4b 4a 4c 4b 4a 4c a b c ab bc ca 11 1 1 ⇒ 2 + 2 + 2 ≥  + +  (đpcm) c (a + b ) a (b + c ) b (c + a ) 2  a b c  Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa abc = 1 . a3 b3 c3 3 Chứng minh bất đẳng thức sau: + + ≥ (1 + b )(1 + c ) (1 + c )(1 + a ) (1 + a )(1 + b ) 4 Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a3 1+ b 1+ c a3 1+ b 1+ c 3 + + ≥ 33 . . = a (1) ; (1 + b )(1 + c ) 8 8 (1 + b )(1 + c ) 8 8 4 b3 1+ c 1+ a 3 + + ≥ b (2) ; (1 + c )(1 + a ) 8 8 4 c 3 1+ a 1+ b 3 + + ≥ c (3) (1 + a )(1 + b ) 8 8 4 Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: a3 b3 c3 + (a + b + c ) + ≥ (a + b + c ) 1 3 3 + + (1 + b )(1 + c ) (1 + c )(1 + a ) (1 + a )(1 + b ) 4 4 4 a3 b3 c3 ≥ (a + b + c ) − ≥ 3 abc − = 1 3 3 3 3 ⇒ + + (1 + b )(1 + c ) (1 + c )(1 + a ) (1 + a )(1 + b ) 2 4 2 4 4 (đpcm) Ví dụ 7: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c. a 3 + b3 b3 + c3 c3 + a 3 Chứng minh bất đẳng thức sau: + + ≥ 2(a + b + c ) ab bc ca Lời giải: a 3 + b3 b3 + c3 c3 + a 3 a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 Ta có: + + = + + + + + ab bc ca b a c b a c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a2 a2 b2 b2 +b ≥ 2 .b = 2a (1); + a ≥ 2b (2) ; + c ≥ 2b (3) ; b b a c Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 c2 c2 a2 + b ≥ 2c (4) ; + a ≥ 2c (5) ; + c ≥ 2a (6) b a c Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1) đến (6) ta được: a 2 b2 b2 c2 c2 a2 + + + + + + 2(a + b + c ) ≥ 4(a + b + c ) b a c b a c a2 b2 b2 c2 c2 a 2 ⇒ + + + + + ≥ 2(a + b + c ) b a c b a c a3 + b3 b3 + c3 c3 + a3 ⇒ + + ≥ 2(a + b + c ) (đpcm) ab bc ca Ví dụ 8: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c. a 2 b2 c2 1 1 1 Chứng minh bất đẳng thức sau: 3 + 3 + 3 ≥ + + b c a a b c Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a2 1 1 a2 1 1 3 b2 1 1 3 c2 1 1 3 + + ≥ 33 . . = (1) ; + + ≥ (2); + + ≥ (3) b3 a a b3 a a b c3 b b c a3 c c a Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: a2 b2 c2  1 1 1  1 1 1 3 + 3 + 3 + 2 + +  ≥ 3 + +  b c a a b c a b c 2 2 2 a b c 1 1 1 ⇒ 3 + 3 + 3 ≥ + + (đpcm) b c a a b c Ví dụ 9: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c. a3 b3 c3 Chứng minh bất đẳng thức sau: + + ≥ a2 + b2 + c2 b c a Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a3 a3 a3 a3 2 + + b 2 ≥ 33 . .b = 3a 2 (1) ; b b b b 3 3 b b c3 c3 + + c 2 ≥ 3b 2 (2) ; + + a 2 ≥ 3c 2 (3) c c a a Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1), (2) và (3) ta được:  a 3 b3 c3  2 + ( ) ( ) +  + a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3 a 2 + b 2 + c 2  b c a a3 b3 c3 ⇒ + + ≥ a 2 + b 2 + c 2 (đpcm) b c a Ví dụ 10: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c. a4 b4 c4 Chứng minh bất đẳng thức sau: + + ≥ a+b+c bc 2 ca 2 ab 2 Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a4 a4 + b + c + c ≥ 4 4 .b.c.c = 4a (1) bc 2 bc 2 b4 + c + a + a ≥ 4b (2) ca 2 Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 c4 + a + b + b ≥ 4c (3) ab 2 Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: a4 b4 c4 + + + 3(a + b + c ) ≥ 4(a + b + c ) bc 2 ca 2 ab 2 a4 b4 c4 ⇒ 2 + 2 + 2 ≥ a + b + c (đpcm) bc ca ab Ví dụ 11: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a 2 + b 2 + c 2 = 3 . a3 b3 c3 3 Chứng minh rằng: + + ≥ b+c c+a a+b 2 Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a3 a (b + c ) a 3 a (b + c ) + ≥2 . = a 2 (1) ; b+c 4 b+c 4 b3 b(c + a ) c3 c (a + b ) + ≥ b (2) ; 2 + ≥ c 2 (3) c+a 4 a+ b 4 Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: a3 b3 c3 ab + bc + ca + + + ≥ a 2 + b 2 + c 2 (1' ) b+c c+a a+b 2 Mặt khác ta có: a m + n + b m + n + c m + n ≥ a m b n + b m c n + c m a n m = 1 Chọn  ta được:  n = 1 a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca ⇒ ≥ (2' ) 2 2 Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được: a3 b3 c3 ab + bc + ca a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca ⇒ + + + + ≥ a2 + b2 + c2 + b+c c+a a+b 2 2 2 a 3 b 3 c 3 a +b +c 2 2 2 3 ⇒ + + ≥ = (đpcm) b+c c+a a+b 2 2 Ví dụ 12: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c. a5 b5 c5 Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 + 2 + 2 ≥ a 3 + b 3 + c 3 b c a Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a5 a5 2 + ab 2 ≥ 2 2 .ab 2 = 2a 3 (1) ; b b 5 b c5 + bc 2 ≥ 2b 3 (2) ; + ca 2 ≥ 2c 3 (3) c2 a2 Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: a5 b5 c5 b 2 c a ( + 2 + 2 + ab 2 + bc 2 + ca 2 ≥ 2 a 3 + b 3 + c 3 (1' ) ) Mặt khác ta có: a m + n + b m + n + c m + n ≥ a m b n + b m c n + c m a n Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 m = 1 Chọn  ta được: n = 2 a 3 + b 3 + c 3 ≥ ab 2 + bc 2 + ca 2 (2' ) Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được: a5 b5 c5 b 2 c a ( ) + 2 + 2 + ab 2 + bc 2 + ca 2 + a 3 + b 3 + c 3 ≥ 2 a 3 + b 3 + c 3 + ab 2 + bc 2 + ca 2 5 5 a b c5 ⇒ 2 + 2 + 2 ≥ a 3 + b 3 + c 3 (đpcm) b c a Ví dụ 13: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức sau: a3 + b3 + c3 a + 2b b + 2c c + 2a 3 1 ≥ a2 + b2 + c2 ( ) Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a3 a (a + 2b ) a 3 a (a + 2b ) 2 2 + ≥2 . = a (1) ; a + 2b 9 a + 2b 9 3 b 3 b(b + 2c ) 2 2 c 3 c(c + 2b ) 2 2 + ≥ b (2) ; + ≥ c (3) b + 2c 9 3 c + 2b 9 3 Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: a3 + b3 + a + 2b b + 2c c + 2a 9 c3 ( 1 ) 2 9 2 3 ( + a 2 + b 2 + c 2 + (ab + bc + ca ) ≥ a 2 + b 2 + c 2 ) ( ) 3 3 3 + (ab + bc + ca ) ≥ a 2 + b 2 + c 2 (1' ) a b c 2 5 ⇔ + + a + 2b b + 2c c + 2a 9 9 Mặt khác ta có: a m + n + b m + n + c m + n ≥ a m b n + b m c n + c m a n m = 1 Chọn  ta được: n = 1 a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca 2 9 ( ) ⇒ a 2 + b 2 + c 2 ≥ (ab + bc + ca ) (2' ) 2 9 Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được: a3 + b3 + a + 2b b + 2c c + 2a 9 c3 2 9 ( ) 5 9 ( 2 9 ) + (ab + bc + ca ) + a 2 + b 2 + c 2 ≥ a 2 + b 2 + c 2 + (ab + bc + ca ) 2 ( ) 3 3 3 a b c 1 ⇒ + + ≥ a 2 + b 2 + c 2 (đpcm) a + 2b b + 2c c + 2a 3 Ví dụ 14: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c. b+c c+a a+b 2 2 2 Chứng minh bất đẳng thức sau: + 2 + 2 ≥ + + a2 b c a b c Lời giải: b+c 4 b+c 4 4 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: + ≥2 . = (1) ; a 2 b+c a b+c a 2 c+a 4 4 a+b 4 4 Hoàn toàn tương tự ta cũng có: + ≥ (2) ; + ≥ (3) b 2 c+a b c 2 a+b c Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: b+c c+a a+b 4 4 4 4 4 4 + 2 + 2 + + + ≥ + + (1' ) a 2 b c a+b b+c c+a a b c Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 1 1 1 1 4 4 Mà ta có: + ≥2 . = ≥ (2' ) ; a b a b 2 ab a + b 1 1 4 1 1 4 + ≥ (3' ) ; + ≥ (4' ) b c b+c c a c+a Cộng theo vế các bất đẳng thức (1’), (2’), (3’) và (4’) ta được: b+c c+a a+b 4 4 4 2 2 2 4 4 4 4 4 4 + 2 + 2 + + + + + + ≥ + + + + + a 2 b c a+b b+c c+a a b c a b c a+b b+c c+a b+c c+a a+b 2 2 2 ⇒ 2 + 2 + 2 ≥ + + (đpcm) a b c a b c Ví dụ 15: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c. a 2 b 2 4c 2 Chứng minh bất đẳng thức sau: + + ≥ a + 3b b c a Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a2 a2 b2 4c 2 +b ≥ 2 .b = 2a (1); + 4c ≥ 4b (2) ; + a ≥ 4c (3) b b c a Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1), (2) và (3) ta được: a 2 b 2 4c 2 + + + a + b + 4c ≥ 2a + 4b + 4c b c a a 2 b 2 4c 2 ⇒ + + ≥ a + 3b (đpcm) b c a Dấu “=” của bất đẳng thức xảy ra khi a = b = 2c Ví dụ 16: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c. a2 b2 16c 2 1 Chứng minh bất đẳng thức sau: + + ≥ (64c − a − b ) b+c c+a a+b 9 Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a2 4(b + c ) 4a b2 4(c + a ) 4b 16c 2 + ≥ (1); + ≥ (2) ; + (a + b ) ≥ 8c (3) b+c 9 3 c+a 9 3 a+b Cộng theo vế các bất đẳng thức từ (1), (2) và (3) ta được: a2 b2 16c 2 13 + (a + b ) + c ≥ (a + b ) + 8c 8 4 + + b+c c+a a+b 9 9 3 2 2 2 ≥ (64c − a − b ) (đpcm) a b 16c 1 ⇒ + + b+c c+a a+b 9 Ví dụ 17: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c. a b c 1 1 1 Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 + 2 + 2 ≥ + + b c a a b c Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a 1 a 1 2 b 1 2 c 1 2 2 + ≥ 2 2 . = (1) ; 2 + ≥ (2); + ≥ (3) b a b a b c b c a2 c a Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: a b c 1 1 1 2 2 2 2 + 2 + 2 + + + ≥ + + b c a a b c a b c Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 a b c 1 1 1 2 + 2 + 2 ≥ + + (đpcm) ⇒ b c a a b c Ví dụ 18: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a + b 3 + c 3 = 3 . CMR: a 5 + b 5 + c 5 ≥ 3 3 Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 5 số: 3 số a 5 và 2 số 1, ta có: 3a 5 + 2 ≥ 55 a 15 1.1 = 5a 3 (1) Tương tự: 3b 5 + 2 ≥ 5b 3 (2) ; 3c 5 + 2 ≥ 5c 3 (3) Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: 3 ( a 5 + b5 + c 5 ) + 6 ≥ 5 ( a 3 + b3 + c 3 ) ⇔ 3 ( a 5 + b5 + c5 ) + 6 ≥ 5.3 ⇔ a 5 + b 5 + c 5 ≥ 3 (đpcm) Ví dụ 19: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a 3 b 3 + b 3 c 3 + c 3 a 3 = 3 . CMR: a 7 + b 7 + c 7 ≥ 3 Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 7 số: 3 số a 7 , 3 số b 7 và số 1, ta có: 3a 7 + 3b 7 + 1 ≥ 77 a 21 .b 211 = 7a 3b 3 (1) Tương tự: 3b 7 + 3c 7 + 1 ≥ 7b 3 c 3 (2) ; 3c 7 + 3a 7 + 1 ≥ 7c 3 a 3 (3) Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: 6 ( a 7 + b 7 + c 7 ) + 3 ≥ 7 ( a 3b3 + b3c3 + c3 a 3 ) ⇔ 6 ( a 7 + b 7 + c 7 ) + 3 ≥ 7.3 ⇔ a 7 + b 7 + c 7 ≥ 3 (đpcm) Ví dụ 20: [ĐVH]. Cho 2 số thực dương a, b. CMR: a 2 + b 2 + 4 ≥ 2a + 2b + ab Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a 2 + 4 ≥ 2 a 2 .4 = 4 a (1); b 2 + 4 ≥ 4b (2) ; a 2 + b 2 ≥ 2ab (3) Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: 2a 2 + 2b 2 + 8 ≥ 4a + 4b + 2ab ⇔ a 2 + b 2 + 4 ≥ 2a + 2b + ab (đpcm) Ví dụ 21: [ĐVH]. Cho 3 số thực dương a, b, c. CMR: a 3 + b 3 + c 3 ≥ a 2 bc + b 2 ca + c 2 ab Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 6 số: 4 số a 3 ,1 số b 3 và 1 số c 3 ta có: 4a 3 + b 3 + c 3 ≥ 66 a 12 .b 3 .c 3 = 6a 2 bc (1) Tương tự: 4b 3 + c 3 + a 3 ≥ 6b 2 ca (2) ; 4c 3 + a 3 + b 3 ≥ 6c 2 ab (3) Cộng theo vế các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được: ( 6(a 3 + b 3 + c 3 ) ≥ 6 a 2 bc + b 2 ca + c 2 ab ) ⇔ a +b +c ≥ a 3 3 3 2 bc + b 2 ca + c 2 ab (đpcm) Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.