Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
2 2
2
2 5
( 2 )( 3) 3
+ + + =
+ + − = −
x y xy x y
x x x y y
(
)
;∈
ℝ
x y
Hướng dẫn giải:
Ta xét hai khả năng:
+) Nếu
2
0
0 2 0
2
=⇒+ = ⇔
x
y x x x
⇒
h
ệ
có nghi
ệ
m (0; 0); (–2; 0).
+) N
ế
u
0
y
≠
,
2
2
25
2
.( 3) 3
++ + =
⇔+
+ − = −
x x x y
y
HPT x x x y
y
,
đặ
t
2
2
2 3; 1
3 1; 3
3
+
+ = = = −
=
⇒⇔
= − = − =
= + −
x x u v u v
uyuv u v
vxy
- V
ớ
i
2
2
3 1
3
1 6; 8
3 1
+
= = =
=
⇒⇔
= − = − =
+ − = −
x x
u x y
y
v x y
x y
- V
ớ
i
2
2
1
1
33 3
+
= − = −
⇒ ⇒
=
+ − =
x x
uy
vx y
h
ệ
vô nghi
ệ
m.
V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có 4 nghi
ệ
m (x; y) là: (0; 0) ; (–2; 0); (1; 1) và (–6; 8).
Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
2 2
(3 )( 3 ) 14
( , )
( )( 14 ) 36
+ + =
∈
+ + + =
x y x y xy
x y R
x y x y xy
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ta có,
2
2
[3( ) 4 ] 14
( )[( ) 12 ] 36
x y xy xy
HPT x y x y xy
+ + =
⇔
+ + + =
Đặ
t
2 2 2 3
2 2 3 2
(3 4 ) 14 3 4 14
0
( 12 ) 36 12 36
a x y a b b a b b
b xy a a b a ab
= +
+ = + =
→ ⇔
= ≥
+ = + =
Nh
ậ
n th
ấ
y a = 0 không th
ỏ
a mãn,
đặ
t b = ka ta
đượ
c
3 3 3
2
3 2
(3 4 ) 14 3 4 7 1
6
18 61 12
(1 12 ) 36
a k k k k
k a b
k
a k
+ = +
⇒=⇒= ⇔ =
+
+ =
.
T
ừ
đ
ó ta tìm
đượ
c
3 2 2 3 2 2
3 3 ;
12 2
3; 1 1
2
3 2 2 3 2 2
2 4 ;
2 2
x y x y x y
a b xy xy x y
+ −
+ = + = = =
= = ⇒⇔⇒
= = − +
= =
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm.
Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
4 2 4
2 2
x y x y
x y x y
+ + + =
+ + + = −
Hướng dẫn giải:
Đặt
2
2
23
.
2 2
4
+ =
⇒+ = −
+ =
x y a
b
x y a
x y b
12. PP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Ta có hệ phương trình 2 2 2
3 1 2 1
1 2 1 4
25 6 0
2 2
3 4 9 7
44 3
4
+ =
= + = =
+ − = −
+ − =
⇔ ⇔ ⇒⇔ ⇔
= + = = −
= −
+ =
+ =
x y
a x y x
a a b a a
b x y y
b a x y
a b
Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
2
2
2 2
2 2 (1 )
1
( 2 ) 1 9
x y xy xy x
x y xy
− − = −
+ + =
Hướng dẫn giải:
2 2
2
2
2 2
2 2
(2 )(1 ) 2
2 2 2
1
1
( 2 ) 12
( 2 ) 1 12
− + =
− − + =
⇔ ⇔
+
+ =
+ + =
x y xy xy
x y xy x y xy
HPT xy
x y
x y xy
xy
2 2 2 2 2
2
2 2
2
2(1 )
1 0 12(2 ) 4( 2 ) 11 12 0
11
( 2 ) 12 1
− =
+=
+ ≠ ⇒ ⇒ − = + ⇔ − + = ⇔
=
+ =
+
xy
x y xy
y x
xy x y x y x xy y
y x
xy
x y xy
Thay vào ta
đượ
c nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
là x = y = 1.
Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
2
2
( ) 1 0
( 1)( 2) 0
x y x y
x x y y
− + + =
+ + − + =
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
+) Xét y = 0 không thỏa mãn hệ.
+) Với y ≠ 0 thì hệ có dạng
2
2
( ) 0 0
( 2) 1
( 1) (
1
2) 1
+ =
− =
⇔⇒
− = −
+
+ − = −
−
+xx y a b
a b
xx
y
y
y
hệ có nghiệm (0; 1) và (−1; 2)
Ví dụ 6: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
3
1 1 4
+ − =
+ + + =
x y xy
x y
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ta có
( )
2
(1) 3 3
⇔ + = +
x y xy
Bình ph
ươ
ng (2) ta
đượ
c
2 2 2 2 2
2 ( 1).( 1) 14 2 ( ) 4 11
+ + + + = ⇔ + + + =
x y x y xy xy xy (*)
Đặ
t
2
2
3
11
2 4 11
35
3 26 105 0
3
=
≤
=⇒+ + = − ⇔ ⇔
−
=
+ − =
t
t
t xy t t t t
t t
+) Với
( )
2
35
32 0
3
= − ⇒+ = − < ⇒
t x y vô nghi
ệ
m.
+) V
ớ
i
( )
2
3
2 3
3 12 2 3 3
3
= =
+ = ±
=⇒+ = ⇔ + = ± ⇒→
=
= = −
x y
x y
t x y x y xy x y
V
ậ
y h
ệ
có hai nghi
ệ
m là
(
)
(
)
3; 3 , 3; 3 .
− −
Ví dụ 7:
[ĐVH].
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
2 2
4 2 2
2 3 15 0
2 4 5 0
x y x y
x y x y
+ + − =
+ − − − =
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Hệ pt
2 2
2 2 2
( 1)( 2) 4( 1) 4( 2) 5
( 1) ( 2) 10
x y x y
x y
− − + − + − =
⇔− + − =
.
Đặ
t
2
1
2
u x
v y
= −
= −
ta có hpt
2 2 2
10 ( ) 2 10
4( ) 5 4( ) 5
u v u v uv
uv u v uv u v
+ = + − =
⇔
+ + = + + =
⇔
10
45
u v
uv
+ = −
=
(vô nghi
ệ
m) ho
ặ
c
2 3
3 1
u v u
uv v
+ = =
⇔
= − = −
ho
ặ
c
1
3
u
v
= −
=
+) V
ớ
i
3
1
u
v
=
= −
ta tìm
đượ
c 2 nghi
ệ
m
( ; ) (2;1)
x y
=
và
( ; ) ( 2;1)
x y
= −
+) Với
1
3
u
v
= −
=
ta tìm được nghiệm
( ; ) (0;5)
x y
=
Kết luận: Hệ phương trình có 3 nghiệm: (2;1), (-2;1), (0;5)
Ví dụ 8: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
2 2 8
2 1
+ + − =
− =
x y x y
y x y
Hướng dẫn giải:
Đặt
2
2
= −
= +
u x y
v x y
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
0
≥
u. Khi
đ
ó ta có
2
4
−
=
v u
y.
H
ệ
đ
ã cho tr
ở
thành
2
8 (1)
( ) 4 (2)
+ =
− =
u v
v u u
T
ừ
(1)
⇒
v = 8 – u. Thay vào (2) ta
đượ
c
(
)
2 3 2
8 4 8 4 0
− − = ⇔ + − + =
u u u u u u
( )
( )
2
3 17 3 17
2 3 2 0 2; ; .
2 2
− + − −
⇔ − + − = ⇔ = = =u u u u u u
Đố
i chi
ế
u
đ
i
ề
u ki
ệ
n
0
≥
u ta có
3 17
2
− −
=u không tho
ả
mãn
+) V
ớ
i u = 2 ta có
5
2 2 4
1
6 2 6
2
=
= − =
⇔ ⇔
= + =
=
x
u x y
v x y y
+) V
ớ
i
3 17
2
− +
=u ta có
3 17 13 3 17
8 17
2
2 2
3 17
19 17 19 17
2
4
2 2
− + − = −
= − =
⇔ ⇔
+
− − =
= + =
x
u x y
y
v x y
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là
1
5;
2
,
3 17
8 17; .
4
+
−
Cách 2:
Đặt
2
2
4 8
221
+ + =
= −
⇒= + ⇒
=
=
u u v
u x y x u v uv
v y
3 2 2
3 17 3 17
4 8 ( 2)( 3 2) 0 2; ;
2 2
− + − −
→ + + = ⇔ − + − = ⇔ = = =u u u u u u u u u
Đế
n
đ
ây vi
ệ
c tìm nghi
ệ
m nh
ư
cách gi
ả
i trên.
Cách 3:
Đặ
t
2
2
24
4
2
= −
−
⇒− = − ⇒=
= +
u x y
v u
u v y y
v x y
Khi
đ
ó ta có h
ệ
2
8 (1)
( ) 4 (2)
+ =
− =
u v
v u u
Gi
ả
i h
ệ
này t
ươ
ng t
ự
nh
ư
cách 1.
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Ví dụ 9: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
2 2
2 2
2 ( 1) 3
3 2
− − + =
+ − = −
x x y y y
x xy y x y
Hướng dẫn giải:
Hệ đã cho tương đương với
2 2
2 2
2 3
3 2
x xy y y x
x xy y x y
− + = −
+ − = −
TH1:
0 0.
y x
=⇒=
TH2:
0,
y
≠
đặ
t
x
t x ty
y
= ⇔ =
thay vào h
ệ
:
2 2
2 2
(2 1) (3 ) (1)
( 3) ( 2) (2)
y t t y t
y t t y t
− + = −
+ − = −
T
ừ
(1) và (2) ta
đượ
c
23 2
2
1
2 1 3 3 7 3 7 0
7
2
3
3
t
t t t t t t
tt
t t
= ±
− + −
= ⇔ − − + = ⇔
−
=
+ −
T
ừ
đ
ó suy ra h
ệ
có 4 nghi
ệ
m là
7 3
(0;0);(1;1);( 1;1); ; .
43 43
−
Ví dụ 10: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
2 2
4 2 2
2 3 15 0
2 4 5 0
x y x y
x y x y
+ + − =
+ − − − =
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
H
ệ
pt
2 2
2 2 2
( 1)( 2) 4( 1) 4( 2) 5
( 1) ( 2) 10
x y x y
x y
− − + − + − =
⇔− + − =
.
Đặ
t
2
1
2
u x
v y
= −
= −
ta có h
ệ
ph
ươ
ng trình
2 2 2
10 ( ) 2 10
4( ) 5 4( ) 5
u v u v uv
uv u v uv u v
+ = + − =
⇔
+ + = + + =
3
1
u
v
=
⇔
= −
ho
ặ
c
1
3
u
v
= −
=
Gi
ả
i ra ta
đượ
c các nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
là (2; 1), (–2; 1), (0; 5)
Ví dụ 11:
[ĐVH].
Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình
(
)
2
2 1 1 2 2 1 8
( , )
2 1 2 13
− − + − = −
∈
+ − + =
ℝ
x y x x y
y y x x
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Đặ
t
2 1, 0
t x t
= − ≥
. H
ệ
ph
ươ
ng trình tr
ở
thành
( )
(
)
( ) ( )
2
2 2
2 8 1
1 2 8
12
3 12 2
t y ty
t y t
y yt t t y ty
− − = −
− + = −
⇔
+ + = − + =
Từ (1) và (2) suy ra
( ) ( )
2
0
2 3 0
3
2
t y
t y t y t y
− =
− + − = ⇔
− = −
+) Với t = y thay vào (1) ta được t = y = 2
5
2 2 1 2
2
t x x
=⇒− = ⇔ =
, nghiệm của hệ là 5
;2
2
+) Với
3
2
y t
= +
thay vào (1) ta được 2
3 61
4 6 13 0
4
t t t − +
+ − = ⇔ =
3 61
3 3 61
3 61 4
2 4
4
43 3 61
3 61
2 1 16
4
y
y
t
x
x
+
− + =
= +
− +
=⇒⇔
−
− +
=
− =
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là
( )
5 43 3 61 3 61
; ;2 , ;
2 16 4
x y
− +
=
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Ví dụ 12: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
( )
3
22
7
2 2 2
4
x y
y x x
− + =
+ − + = −
(
)
,x y ∈
ℝ
Hướng dẫn giải:
Điều kiện:
2; 2
x y
≥ − ≥ −
Đặ
t
2; 2
u x v y
= + = +
v
ớ
i
; 0
u v
≥
(*) . H
ệ
tr
ở
thành:
( )
2
2 2
7
(1)
21
2 4 (2)
4
u v
v u u
− =
+ − =
Th
ế
(1) vào (2) ta
đượ
c ph
ươ
ng trình
2
2 3 4 3 2
7 1
2 8 2 7 8 12 0
2 4
u u u u u u u
− + − = ⇔ + − − + =
( )( )
( )
2
1
1 2 5 6 0
2
u
u u u u u
=
⇔ − − + + = ⇔
=
+) V
ớ
i u = 1 thay vào (1) ta
đượ
c
5
2
v
= −
, không th
ỏa mãn.
+) Với u = 2 thay vào (1) ta được
1
2
v
=
, thỏa mãn điều kiện.
Vậy, hệ phương trình có nghiệm
7
2; .
4
−
Ví dụ 13: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
( ) ( )( )
3
2
8 2 8
1 1
x y xy x y xy
x y
x y
+ + = + +
=
−
+
Hướng dẫn giải:
Đ
i
ề
u ki
ệ
n:
2
0
0
x y
x y
+ >
− >
Ta có:
( ) ( )( )
3
8 2 8
x y xy x y xy
+ + = + +
( ) ( ) ( )
3
16 2 8 0
x y x y xy x y xy
⇔ + − + − + + =
( ) ( ) ( )
2
16 2 4 0
x y x y xy x y
⇔ + + − − + − =
(
)
(
)
(
)
4 4 2 0
x y x y x y xy
⇔ + − + + + − =
( ) ( )
2 2
0
4 4 0
x y x y x y
>
⇔ + − + + + =

(
)
4 0 4
x y y x
⇔ + − = ⇔ = −
Thay vào ph
ươ
ng trình ta
đượ
c
( )
2
1 1
24
x x
=
− −
2
3 7
6 0
2 2
x y
x x x y
= − =
⇔ + − = ⇔ ⇔
= =
Ví dụ 14: [ĐVH]. Giải hệ phương trình
2 2
3
8
16
3 0
+ + =
+
+ + − =
xy
x y x y
x x x y
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
(
)
1
⇔
(
)
(
)
(
)
2 2
8 16
x y x y xy x y
+ + + = +
(
)
( ) ( )
(
)
( )
2
2 2 2 2
4 16
x y x y x y x y x y
⇔ + + + + − + = +
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
4 4 4 0
x y x y x y x y
⇔ + + − + + + − =
(
)
(
)
2 2
4 4 0
x y x y x y
⇔ + − + + + =
( )
2 2
4 ( )
4 0 ( ) 0
x y ok
x y x y Loai do x y
+ =
⇔
+ + + = + >