Khóa học Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN
[Tab Toán học – Khóa Toán cơ bản và Nâng cao 10 – Chuyên đề PT và hệ PT]
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải các phương trình:
a)
( ) ( )
2 2
3 5 3 0
x x
− − − =
b)
( )
(
)
2
5 3 9 25 0
x x
− − =
c)
(
)
(
)
2 3 4 1 9 4
x x x
+ − = −
Lời giải:
a)
Ph
ươ
ng trình t
ươ
ng
đươ
ng:
(
)
(
)
(
)
(
)
3 5 3 . 3 5 3 0
x x x x
− + − − − − =
( )( )
4 8 0 2
4 8 2 2 0 .
2 2 0 1
x x
x x x x
− = =
⇔ − − = ⇔ ⇔
− = =
V
ậ
y t
ậ
p h
ợ
p nghi
ệ
m
{
}
1; 2
S=.
b)
( )
( )
22
2
5
3 5
5 3 0
3
5 3 9 25 0 .
25
5
9 25 0 9
3
xx
x
x x x
xx
==
− =
− − = ⇔ ⇔ ⇔
=
− =
= ±
V
ậ
y
5 5
;
3 3
S
= −
.
c)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2 3 4 1 9 4 2 3 4 1 2 3 3 2 2 3 4 1 3 2 0
x x x x x x x x x x
+ − = − ⇔ + − = − + ⇔ + − − + =
( )( )
3
2 3 0
2
2 3 6 4 0
2
6 4 0
3
x
x
x x xx
= −
+ =
⇔ + − = ⇔ ⇔
− =
=
. V
ậ
y
3 2
;
2 3
S
= −
.
Ví dụ 2:
[ĐVH].
Tìm nghi
ệ
m g
ầ
n
đ
úng c
ủ
a ph
ươ
ng trình (chính xác
đế
n hàng ph
ầ
n tr
ă
m)
a)
2
5,60 6,41 0
x x
− + =
b)
2
2 4 3 2 2 0
x x
+ − =
Lời giải:
S
ử
d
ụ
ng máy tính, ta tính
đượ
c 2 nghi
ệ
m g
ầ
n
đ
úng
a)
4,00; 1,60
x x
≈ ≈
b)
0,38; 5,28
x x
≈ ≈ −
Ví dụ 3:
[ĐVH].
Gi
ả
i và bi
ệ
n lu
ậ
n các ph
ươ
ng trình:
a)
2
4 3 0
x x m
− + − =
b)
(
)
2
1 3 1 0
m x x
− + − =
Lời giải:
a)
2
4 3 0
x x m
− + − =
có
(
)
4 3 7 .
m m
∆ = − − = −
Bi
ệ
n lu
ậ
n:
N
ế
u
'
0 7
m
∆ < ⇔ >
thì ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m
N
ế
u
'
0 7
m
∆ = ⇔ =
thì ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m kép
1 2
2
x x
= =
N
ế
u
'
0 7
m
∆ > ⇔ <
thì ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t 2 7
x m
= ± −
b)
– Khi
1
m
=
ph
ươ
ng trình:
1
3 1 0
3
x x
− = ⇔ =
– Khi
1
m
≠
phương trình bậc 2 có
(
)
9 4 1 4 5
m m
∆ = + − = +
Nếu
5
4
m
< −
thì
0:
∆ <
phương trình vô nghiệm.
Nếu
5
4
m
= −
thì
0:
∆ =
phương trình có nghiệm kép:
( )
1 2
3 2
2 1 3
x x m
−
= = =
−
Nếu
5
4
m
> −
thì
0:
∆ >
phương trình có hai nghiệm phân biệt:
( )
3 4 5
2 1
m
xm
− ± +
=−.
Ví dụ 4:
[ĐVH].
Gi
ả
i và bi
ệ
n lu
ậ
n các ph
ươ
ng trình:
03. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Khóa học Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
a)
(
)
(
)
1 1 1 0
k x x
+ − − =
b)
(
)
(
)
2 2 1 0
mx mx x
− − + =
Lời giải:
a)
– Xét
1
x
=
thì ph
ươ
ng trình nghi
ệ
m
đ
úng.
– Xét
1
x
≠
thì ph
ươ
ng trình t
ươ
ng d
ươ
ng
(
)
1 1
k x
+ =
.
N
ế
u
1
k
= −
thì ph
ươ
ng trình
0 1
x
=
vô nghi
ệ
m. V
ậ
y ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nghi
ệ
m ph
ươ
ng trình
1
x
=
.
N
ế
u
1
k
≠
thì ph
ươ
ng trình
1
.
1
x
k
=
+
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm
1
1; .
1
x x
k
= =
+
b) Phương trình:
(
)
(
)
2
2 1 3 2 2 0
m m x m x
− − − − =
- V
ớ
i
0
m
=
ph
ươ
ng trình có m
ộ
t nghi
ệ
m
1
x
=
- V
ớ
i
1
2
m
=
, ph
ươ
ng trình có m
ộ
t nghi
ệ
m
4
x
=
- V
ớ
i
0
m
≠
và
1
2
m
≠
ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai có:
( ) ( ) ( )
2 2
2
3 2 8 2 1 25 20 4 5 2 0
m m m m m m
∆ = − + − = − + = − ≥
Xét
2
5
m
=
thì ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m duy nh
ấ
t
5
2
x
=
.
Xét
2
5
m
≠
thì ph
ươ
ng trình cóhai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
2
3
x
=
và
1
2 1
x
m
−
=
+
.
Ví dụ 5:
[ĐVH].
Gi
ả
i và bi
ệ
n lu
ậ
n các ph
ươ
ng trình:
a)
(
)
2
2 3 1 0
mx m x m
− + + + =
b)
( )
(
)
( )
2 2 2
4 2 0
a b x a b ab x ab a b
= − + − − − =
Lời giải:
a)
(
)
2
2 3 1 0
mx m x m
− + + + =
- Xét
0
m
=
ph
ươ
ng trình tr
ở
thành ph
ươ
ng trình b
ậ
c nh
ấ
t:
1
6 1 0
6
x x
− + = ⇔ =
- Xét
0
m
≠
ta có
( ) ( )
2
'
3 1 5 9
m m m m
∆ = + − + = +
N
ế
u
9
5
m
> −
thì ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t 1,2
3 5 9
m m
x
m
+ ± +
=
N
ế
u
9
5
m
= −
thì ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m kép
1 2
3 2
3
m
x x
m
+
= = = −
N
ế
u
9
5
m
< −
thì ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m.
b)
( )
(
)
( )
2 2 2
4 2 0
a b x a b ab x ab a b
= − + − − − =
- Xét
a b
=
thì ph
ươ
ng trình
2 0
abx
=
N
ế
u
0
a b
= =
thì nghi
ệ
m là m
ọ
i
x
N
ế
u
0
a b
= ≠
thì ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
0
x
=
- Xét
0
a
≠
thì ph
ươ
ng trình b
ậ
c 2 có bi
ệ
t th
ứ
c
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 2 2
2 2 4 8 2 8
a b ab ab a b a b ab ab a b
∆ = + − + − = − − + −
( ) ( ) ( )
2
4 2 2
2 2
4 4 2 0
a b ab a b a b a b ab
= + + − + = − + >
nên ph
ươ
ng trình có 2 nghi
ệ
m phân bi
ệ
t 1 2
2
;
ab
x a b x
a b
= − = −
−
Ví dụ 6:
[ĐVH].
Gi
ả
i và bi
ệ
n lu
ậ
n các ph
ươ
ng trình sau:
a)
(
)
2
3 4 8 34 0
mx m x m
+ + + + =
b)
2
0
x x m
− + =
Lời giải:
a)
Xét
0
m
=
. Ph
ươ
ng trình
17
4 34 0
2
x x
+ = ⇔ = −
Khóa học Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Xét
( ) ( )
22 2 2
0: 3 4 4 8 34 9 24 16 32 136 23 112 16
m m m m m m m m m m
≠ ∆ = + − + = + + − − = − − +
- N
ế
u
2
56 3504
0 23 112 16 0
23
m m m − ±
∆ = ⇔ + − = ⇔ = ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m kép
3 4
2
m
x
m
+
= − .
- Nếu
2
2 2
112 16 56 3504 56 3504
0 23 112 16 0
23 23 23 529 23 23
m
m m m m m
∆ < ⇔ + − > ⇔ + > ⇔ + > ⇔ + >
56 3504
23
m− −
⇔ < ho
ặ
c
56 3504
23
m− +
> . Ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m.
- N
ế
u
2
0
0 23 112 16 0
56 3504 56 3504
23 23
m
m m m
≠
∆ > ⇔ + − < ⇔ − − − +
< <
.
Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
( )
2
1,2
3 4 23 112 16
2
m m m
x
m
− + ± − − +
=.
b)
2
0
x x m
− + =
(1)
Đặ
t
, 0
t x t
= ≥
thì (1):
2
0
t t m
− + =
(2)
1 4
m
∆ = −
N
ế
u
1
0 1 4 0
4
m m
∆ < ⇔ − < ⇔ >
thì (2) vô nghi
ệ
m nên (1) vô nghi
ệ
m.
N
ế
u
1
0
4
m
∆ = ⇔ =
thì (2) có nghi
ệ
m kép 1
0
2
t
= ≥
nên (1) có nghi
ệ
m
1 1
2 2
x x
= ⇔ = ±
.
N
ế
u
1
0 1 4 0
4
m m
∆ > ⇔ − > ⇔ <
thì (2) có nghi
ệ
m
1 2
1 1 4 1 1 4
, 0
2 2
m m
t t
− − + −
= = >
V
ớ
i
0
m
=
thì
1 2
0, 1
t t
= =
nên (1) có nghi
ệ
m
0, 1
x x
= = ±
.
V
ớ
i
0
m
<
thì
1
0
t
<
nên (1) có 2 nghi
ệ
m
1 1 4
2
m
x
+ −
= ±
.
V
ớ
i
0 1
m
< <
thì
1
0
t
>
nên (1) có 4 nghi
ệ
m : 1 1 4 1 1 4
;
2 2
m m
x x
− − + −
= ± = ±
.
Ví dụ 7:
[ĐVH].
Bi
ệ
n lu
ậ
n s
ố
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai parabol:
2
2 3
y x x
= − − +
và
2
y x m
= −
theo
m
.
Lời giải:
S
ố
giao
đ
i
ể
m c
ủ
a hai parabol
đ
úng b
ằ
ng s
ố
nghi
ệ
m c
ủ
a hai ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m
2 2 2
2 3 2 2 3 0
x x x m x x m
− − + = − ⇔ + − − =
2 7
m
∆ = +
. Do
đ
ó:
N
ế
u
3,5
m
< −
thì ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m, suy ra hai parabol không có
đ
i
ể
m chung.
N
ế
u
3,5
m
= −
thì ph
ươ
ng trình có m
ộ
t nghi
ệ
m (kép), suy ra hai parabol có m
ộ
t
đ
i
ể
m chung.
N
ế
u
3,5
m
> −
ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t, suy ra hai parabol có hai
đ
i
ể
m chung.
Ví dụ 8:
[ĐVH].
Ch
ứ
ng minh ph
ươ
ng trình
a)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
x a x b x b x c x c x a
− − + − − + − − =
luôn có nghi
ệ
m v
ớ
i m
ọ
i a, b, c.
b)
(
)
2 2 2 2 2 2
0
a x a b c x b
+ + − + =
vô nghi
ệ
m v
ớ
i a, b, c là
độ
dài ba c
ạ
nh c
ủ
a m
ộ
t tam giác.
Lời giải:
a)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
0 3 2 0
x a x b x b x c x c x a x a b c x ab bc ca
− − + − − + − − = ⇔ − + + + + + =
( ) ( )
2
' 2 2 2 2 2 2
1
3 2 2 2 2 2 2
2
a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b c ab ac ca
∆ = + + − + + = + + − − − = + + − − −
( ) ( ) ( )
2 2 2
1
0, ,
2
a b b c c a a b c
= − + − + − ≥ ∀
. V
ậ
y ph
ươ
ng trình luôn có nghi
ệ
m.
b)
Ta có:
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 2 2 2
a b c a b a b c ab a ab b c a ab b c
∆ = + + − = + + − = + + − − + −
( ) ( ) ( )( )( )( )
2 2
2 2
a b c a b c a b c a b c a b c a b c
= + − − − = + + + − − + − −
Vì a, b, c là 3 c
ạ
nh tam giác nên:
Khóa học Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
0, 0, 0, 0
a b c b b c a b c a b c
+ + > + − > − + > − − <
. Do
đ
ó
0
∆ <
. V
ậ
y ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m.
Ví dụ 9:
[ĐVH].
Tìm
m
để
ph
ươ
ng trình
a)
(
)
(
)
2
2 2 3 2 2 0
m x m x m
+ + − + + =
có nghi
ệ
m kép. Tìm nghi
ệ
m kép
đ
ó.
b)
(
)
2
2 3 1 0
x m x m
− + + − =
có m
ộ
t nghi
ệ
m b
ằ
ng 2 và tìm nghi
ệ
m kia.
Lời giải:
a)
Đ
i
ề
u ki
ệ
n
2 0 2
m m
+ ≠ ⇔ ≠ −
Ph
ươ
ng trình
(
)
(
)
2
2 2 3 2 2 0
m x m x m
+ + − + + =
có nghi
ệ
m kép khi
'
0
∆ =
( ) ( )( )
22
0
3 2 2 2 0 8 16 0
2
m
m m m m m m
=
⇔ − − + + = ⇔ − = ⇔
=
Ta có
(
)
1 2
3 2
2
m
x x
m
− −
= = +. Khi
0
m
=
thì
1 2
1;
x x
= =
khi
2
m
=
thì
1 2
1
x x
= = −
.
b)
Th
ế
2
x
=
vào ph
ươ
ng trình :
(
)
4 4 3 1 0 3 9 3
m m m m
− + + − = ⇔ = − ⇔ = −
V
ớ
i
3
m
= −
thì ph
ươ
ng trình
2
4 0 2
x x
− = ⇔ = ±
. V
ậ
y nghi
ệ
m kia là
2
x
= −
.
Ví dụ 10:
[ĐVH].
Cho hai ph
ươ
ng trình b
ậ
c hai:
2 2
1 1 2 2
0; 0
x p x q x p x q
+ + = + + =
có các h
ệ
s
ố
th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n
(
)
1 2 1 2
2
p p q q
≥ +
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng trong hai ph
ươ
ng trình trên có ít nh
ấ
t m
ộ
t ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m.
Lời giải:
Ta dùng ph
ươ
ng pháp ph
ả
n ch
ứ
ng.
Gi
ả
s
ử
hai ph
ươ
ng trình
đề
u vô nghi
ệ
m. Suy ra :
( )
2
1 1 1 2 2
1 2 1 2
2
2 2 2
4 0 4
4 0
p q
p p q q
p q
∆ = − <
⇒+ < +
∆ = − <
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4 2 2.2 4 4 4
q q p p p p q q q q q q q q
⇒+ > + ≥ ≥ + = + ⇒+ > + :
Đ
i
ề
u này là vô lí.
V
ậ
y ít nh
ấ
t m
ộ
t trong hai ph
ươ
ng trình ph
ả
i có nghi
ệ
m.
Ví dụ 11:
[ĐVH].
Cho hai ph
ươ
ng trình
2
1 0
x x m
+ + + =
và
(
)
2
1 1 0.
x m x
+ + + =
Tìm
m
để
hai ph
ươ
ng trình :
a)
có m
ộ
t nghi
ệ
m chung
b)
t
ươ
ng
đươ
ng
Lời giải:
a)
Gi
ả
s
ử
2 ph
ươ
ng trình có m
ộ
t nghi
ệ
m chung
0
x
thì ta có h
ệ
ph
ươ
ng trình:
( )
2
0 0
2
0 0
1 0 (1)
1 1 0 (2)
x x m
x m x
+ + + =
+ + + =
Tr
ừ
ph
ươ
ng trình (2) v
ớ
i (1) v
ế
v
ớ
i v
ế
ta có:
( )
0 0 0
0
0 1 0
1
m
mx m m x x
=
− = ⇔ − = ⇔
=
Khi
0
m
=
thì hai ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m (lo
ạ
i).
Khi
0
1
x
=
thì
3
m
= −
. Lúc
đ
ó ph
ươ
ng trình (1) tr
ở
thành
2
2 0
x x
+−=
có 2 nghi
ệ
m :
1 2
1; 2
x x
= = −
và ph
ươ
ng trình
(2) tr
ở
thành
2
2 1 0
x x
− + =
có nghi
ệ
m kép
1 2
1
x x
= =
. V
ậ
y
3
m
= −
thì hai ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m chung.
b)
Theo k
ế
t qu
ả
trên hai ph
ươ
ng trình ch
ỉ
t
ươ
ng
đươ
ng khi chúng vô nghi
ệ
m :
( ) ( )
12 2
2
3
1 4 4 0 4 3
04 3 3
1
4
0 1 2 hay 1 2 4
1 4 0 1 4 3 hay 1
m m mmm
m m
m m m m
− − < > −
∆ < > −
> −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − < <
∆ < + < − + >
+ − < + <
< − >
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình sau:
a)
2
5 3 1 0.
x x m
+ + − =
b)
2
2 12 15 0.
x x m
+ − =
Bài 2: [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình sau:
Khóa học Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bàn và Nâng cao 10 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
a)
2 2
2( 1) 0.
x m x m
− − + =
b)
2
( 1) 2( 1) 2 0.
m x m x m
+ − − + − =
Bài 3: [ĐVH]. Giải và biện luận các phương trình sau:
a)
2
( 1) (2 ) 1 0.
m x m x
− + − − =
b)
2
2( 3) 1 0.
mx m x m
− + + + =
Bài 4: [ĐVH]. Cho biết một nghiệm của phương trình, hãy tìm nghiệm còn lại?
a)
2
3
1 0; .
2
x mx m x
− + + = = −
b)
2 2
2 3 0; 1.
x m x m x
− + = =
Bài 5:
[ĐVH].
Cho bi
ế
t m
ộ
t nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình, hãy tìm nghi
ệ
m còn l
ạ
i?
a)
2
( 1) 2( 1) 2 0; 2.
m x m x m x
+ − − + − = =
b)
2 2
2( 1) 3 0; 0.
x m x m m x
− − + − = =
Bài 6:
[ĐVH].
Cho ph
ươ
ng trình
(
)
2
( 1) 2( 1) 2 0, *
m x m x m+ − − + − =
Xác
đị
nh
m
để
:
a)
(*) có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t.
b)
(*) có m
ộ
t nghi
ệ
m b
ằ
ng 2. Tính nghi
ệ
m kia.
c)
T
ổ
ng bình ph
ươ
ng các nghi
ệ
m b
ằ
ng 2.
Bài 7:
[ĐVH].
Tìm
m để
ph
ươ
ng trình
2
0
x x m
− + =
có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t?
Bài 8:
[ĐVH].
Cho ph
ươ
ng trình
2 2 2
2( 4 ) ( 4) 0
mx m m x m m
− + + + =
Xác
đị
nh
m
để
:
a)
Ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m kép. Tính giá tr
ị
nghi
ệ
m kép
đ
ó.
b)
Ph
ươ
ng trình có hai nghi
ệ
m trái d
ấ
u và có tr
ị
tuy
ệ
t
đố
i b
ằ
ng nhau.