Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
DẠNG 1. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Đường thẳng song song với mặt phẳng:
Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó
song song với một đường thẳng bất kì thuộc mặt phẳng.
Viết dạng mệnh đề:
( )
(
)
// //
a P
d P d a
⊂
⇔
Tính chất giao tuyến song song:
N
ế
u hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) và (Q) ch
ứ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng a, b
song song v
ớ
i nhau, thì giao tuy
ế
n n
ế
u có c
ủ
a hai m
ặ
t
ph
ẳ
ng ph
ả
i song song v
ớ
i a và b.
Vi
ế
t d
ạ
ng m
ệ
nh
đề
:
(
)
(
)
(
)
(
)
; ;
// //
//
a P b Q P Q
a b
a b
⊂ ⊂ ∩ = ∆
→∆
Tính chất để dựng thiết diện song song:
N
ế
u
đườ
ng th
ẳ
ng a song song v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (P); m
ộ
t
m
ặ
t ph
ẳ
ng (Q) ch
ứ
a a, c
ắ
t (P) theo giao tuy
ế
n
thì
ph
ả
i song song v
ớ
i a.
Vi
ế
t d
ạ
ng m
ệ
nh
đề
:
(
)
( )
( ) ( )
//
//
a P
P Q
⊂ →∆
∩ = ∆
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
+ Định nghĩa:
Đườ
ng th
ẳ
ng a vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng
(P) khi nó vuông góc v
ớ
i m
ọ
i
đườ
ng th
ẳ
ng a n
ằ
m trong
(P). Vi
ế
t d
ạ
ng m
ệ
nh
đề
:
( )
(
)
a P
d P d a
∀ ⊂
⊥ ⇔ ⊥
+ Hệ quả 1
:
Để
ch
ứ
ng minh
đườ
ng th
ẳ
ng d vuông góc
v
ớ
i (P) ta ch
ỉ
c
ầ
n ch
ứ
ng minh d vuông góc v
ớ
i hai
đườ
ng
th
ẳ
ng c
ắ
t nhau n
ằ
m trong (P).
+ Hệ quả 2
: N
ế
u hai
đườ
ng th
ẳ
ng phân bi
ệ
t d
1
; d
2
cùng
vuông góc v
ớ
i (P) thì d
1
// d
2
.
+
Hệ quả 3
: N
ế
u hai m
ặ
t ph
ẳ
ng (P
1
); (P
2
) cùng vuông
góc v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d thì (P
1
) // (P
2
).
+
Hệ quả 4
: N
ế
u
đườ
ng th
ẳ
ng d cùng vuông góc v
ớ
i m
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng a và m
ộ
t m
ặ
t ph
ẳ
ng (P) thì khi
đ
ó
đườ
ng
th
ẳ
ng a ho
ặ
c song song v
ớ
i (P) ho
ặ
c n
ằ
m trong (P).
Vi
ế
t d
ạ
ng m
ệ
nh
đề
:
( )
(
)
( )
//
a P
d a
d P
a P
⊥
→
⊥⊂
03. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – P1
Th
ầy Đặng Việt H
ùng
[ĐVH]
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
+ Hệ quả 5: Nếu đường thẳng d có hình chiếu vuông góc
xuống (P) là d’; đường thẳng a nằm trong (P) vuông góc
với d khi và chỉ khi a vuông góc với d’.
Ví dụ 1. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy.
a) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC)
b) Gọi M, N là trung điểm của SC, SD. Chứng minh MN ⊥ (SAD)
c) Cho
3.
=SA a Tính góc giữa hai đường thẳng SB và CN.
Ví dụ 2. [ĐVH]: Cho tứ diện ABCD có DA ⊥ (ABC), tam giác ABC cân tại A với
6
; .
5
= = =
a
AB AC a BC
G
ọ
i M là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a BC, k
ẻ
AH ⊥ MD, v
ớ
i H thu
ộ
c MD.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng AH ⊥ (BCD)
b)
Cho
4
.
5
=
a
AD Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng AC và DM.
c
) G
ọ
i G
1
; G
2
là tr
ọ
ng tâm các tam giác ABC và DBC. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng G
1
G
2
⊥ (ABC).
Ví dụ 3. [ĐVH]:
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình vuông c
ạ
nh a, SA vuông góc v
ớ
i
đ
áy. G
ọ
i
B
1
; C
1
; D
1
là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a A lên các c
ạ
nh SB, SC, SD.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng B
1
D
1
// BD và SC ⊥ (AB
1
D
1
)
b)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng các
đ
i
ể
m A, B
1
, C
1
, D
1
đồ
ng ph
ẳ
ng và t
ứ
giác AB
1
C
1
D
1
n
ộ
i ti
ế
p
đườ
ng tròn.
c)
Cho
2.
=SA a
Tính góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng SB và AC
1
.
Ví dụ 4. [ĐVH]:
Cho t
ứ
di
ệ
n OABC có OA, OB, OC
đ
ôi m
ộ
t vuông góc. K
ẻ
OH ⊥ (ABC)
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng tam giác ABC có ba góc nh
ọ
n.
b)
Ch
ứ
ng minh OA ⊥ BC; OB ⊥ AC; OC ⊥ AB
c)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng H là tr
ự
c tâm c
ủ
a tam giác ABC.
d)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
2 2 2 2
1 1 1 1
=++
OH OA OB OC
Ví dụ 5. [ĐVH]:
Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng (ABC), tam giác ABC vuông t
ạ
i A.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng tam giác SAC vuông.
b)
Tính SA, SB, SC bi
ế
t
α;β; .
= = =
ACB ACS BC a
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. [ĐVH]:
Cho t
ứ
di
ệ
n S.ABC có SA vuông góc v
ớ
i (ABC) và
ABC vuông
ở
B. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
a)
BC ⊥ (SAB).
b)
G
ọ
i AH là
đườ
ng cao c
ủ
a
SAB. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng AH ⊥ (SBC).
Bài 2. [ĐVH]:
Cho hình chóp S.ABCD có
đ
áy ABCD là hình thoi tâm O. G
ọ
i I, J l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m AB,
BC. Bi
ế
t SA = SC, SB = SD. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
a)
SO ⊥ (ABCD).
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
b) IJ ⊥ (SBD).
Bài 3. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA ⊥ (ABCD). Gọi H,
I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB, SC, SD.
a) Chứng minh rằng rằng CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC).
b) Chứng minh rằng SC ⊥ (AHK) và điểm I cũng thuộc (AHK).
c) Chứng minh rằng HK ⊥ (SAC), từ đó suy ra HK ⊥ AI.
Bài 4. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và
2
SC a
=. G
ọ
i H, K l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a các c
ạ
nh AB, AD.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng SH ⊥ (ABCD).
b)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng AC ⊥ SK và CK ⊥ SD.
Bài 5. [ĐVH]:
Cho hình chóp SABCD, có
đ
áy là hình vuông c
ạ
nh a. M
ặ
t bên SAB là tam giác
đề
u; SAD là
tam giác vuông cân
đỉ
nh S. G
ọ
i I, J l
ầ
n l
ượ
t là trung
đ
i
ể
m c
ủ
a AB và CD.
a)
Tính các c
ạ
nh c
ủ
a ∆SIJ và ch
ứ
ng minh r
ằ
ng SI ⊥ (SCD), SJ ⊥ (SAB).
b)
G
ọ
i H là hình chi
ế
u vuông góc c
ủ
a S trên IJ. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng SH ⊥ AC.
c)
G
ọ
i M là m
ộ
t
đ
i
ể
m thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng CD sao cho BM ⊥ SA. Tính AM theo a.
Đ
/s: a)
3
; , .
2 2
a a
a
c)
5
.
2
a
Bài 6. [ĐVH]:
Cho ∆MAB vuông t
ạ
i M
ở
trong m
ặ
t ph
ẳ
ng (P). Trên
đườ
ng th
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i (P) t
ạ
i A ta
l
ấ
y 2
đ
i
ể
m C, D
ở
hai bên
đ
i
ể
m A. G
ọ
i C′ là hình chi
ế
u c
ủ
a C trên MD, H là giao
đ
i
ể
m c
ủ
a AM và CC′.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng CC′ ⊥ (MBD).
b)
G
ọ
i K là hình chi
ế
u c
ủ
a H trên AB. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng K là tr
ự
c tâm c
ủ
a ∆BCD.
Bài 7. [ĐVH]:
Cho hình chóp S.ABCD, có SA ⊥ (ABCD) và SA = a,
đ
áy ABCD là hình thang vuông có
đườ
ng cao AB = a ; AD = 2a và M là trung
đ
i
ể
m AD.
a)
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng tam giác SCD vuông t
ạ
i C.
b)
K
ẻ
SN vuông CD t
ạ
i N. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng CD ⊥ (SAN).