Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
DẠNG 2. XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
1) Khái niệm
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu vuông góc của nó xuống mặt phẳng.
2) Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Giả sử cần xác định góc giữa hai mặt phẳng d
1
và d
2
, ta thực hiện theo các bước sau
- Tìm hình chiếu d′ của d lên (P)
- khi đó,
( )
( )
,( ) ,
d P d d
′
=, và bài toán quay v
ề
tìm
góc gi
ữ
a hai
đườ
ng th
ẳ
ng.
Chú ý:
Thông th
ườ
ng
đườ
ng th
ẳ
ng d cho d
ạ
ng
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng
(MN ch
ẳ
ng h
ạ
n), khi
đ
ó
để
tìm hình chi
ế
u c
ủ
a MN ta
tìm hình chi
ế
u c
ủ
a t
ừ
ng
đ
i
ể
m M và N xu
ố
ng (P), t
ứ
c
là tìm các
đ
i
ể
m H, K sao cho MH
⊥
(P), NK
⊥
(P)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. [ĐVH]: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc. Gọi I
là trung điểm của AB.
a) Chứng minh SI ⊥ (ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD).
b) Tính khoảng cách từ B đến (SAD). Từ đó suy ra góc của SC với (SAD).
c) Gọi J là trung điểm CD, chứng minh (SIJ) ⊥ (ABCD).
d) Tính góc hợp bởi SI với (SDC).
Bài 2. [ĐVH]: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm SA và BC. Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) là 60
0
.
a) Tính độ dài đoạn MN.
b) Tính cosin của góc giữa MN và mặt phẳng (SBD).
Bài 3. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
6
=
SA a
và vuông góc với đáy. Tính
góc giữa
a) SC với (ABCD).
b) SC với (SAB).
c) SB với (SAC).
Đ/s: a) 30
0
b)
7
tan
7
=
c)
14
sin
α.
14
=
03. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Bài 4. [ĐVH]: Cho lăng trụ xiên ABC.A′B′C′ đáy là tam giác đều cạnh a; đỉnh A′ cách đều A; B; C; góc giữa
AA′ và (ABC) là 60
0
a) Xác định và tính đường cao của lăng trụ trên.
b) Xác định và tính góc giữa A′A với (ABC).
Bài 5. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C, SA vuông (ABC) tại A; SA = AC
= a ; AB = 2a. Xác định và tính góc giữa các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau
a) SA; SC ; SB với (ABC).
b) BC; BA; BS với (SAC).
c) CH; CA; CB; CS với (SAB) với CH là đường cao tam giác ABC.
d) Biết AK là đường cao tam giác SAC xác định và tính góc giữa AK; AS; AC với (SBC).
Bài 6. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy,
6.
=SA a Tính góc giữa
a) SB và CM, với M là trung điểm của AD.
b) SC và DN, với N là điểm trên đoạn BC sao cho BN = 2 NC.
c) SC và (ABCD)
d) SC và (SAB)
e) SB và (SAC)
Bài 7. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của S
xuống mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm G của tam giác ABD, cho SG = 2a. Tính góc giữa
a) SA và BD. b) SC và (ABCD)
c) AD và (SAC) d) SD và (ABCD)
Lời giải:
a) Gọi
O AC BD
= ∩
.
Do
G
là trọng tâm tam giác
ABD
nên
G
thuộc
AC.
Ta có:
( )
AC BD
SAC BD SA BD
SG BD
⊥
⇒
⊥
⇒
⊥
⊥
Vậy
(
)
0
; 90
=SA BD
b) Ta có:
2
2
2
a
AC BD a AO= = ⇒=
1 2 2 2
3 6 3
a
OG AO CG a
= = ⇒=
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Mặt khác
2
2 3 1 2
tan cos 0
11
2 2 2 1 tan
3
SG a
SCG SCG
GC aSCG
= = = ⇒= = >
+
Vậy
( )
(
)
;
= =
SC ABCD SCG
α
v
ớ
i
2
cos
11
α
=
c)
Ta có:
( )
DO AO DO SAC
DO SG
⊥
⇒⊥⇒
⊥
(
)
0
; 45
= =AD SAC DAO
d)
Trong
GOD
∆
có:
2 2
2 2
5
2 18 3
a a a
GD OD GO= + = + =
Mặt khác
2 6 5
tan cos 0
41
5 5
3
SG a
SDG SDG
DG a
= = = ⇒= >
Vậy
( )
(
)
;
= =
SD ABCD SDG
β
với
5
cos
41
β
=
Bài 8. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = a, AD =
2a. Cạnh SA vuông góc với đáy,
2.
=SA a
Tính góc giữa
a) SC và (SAB) b) SD và (SAC) c) AC và (SAD)
a) Ta có:
( )
BC AB
BC SAB
BC SA
⊥
⇒⊥
⊥
SB
⇒
là hình chiếu của
SC
trên
(
)
SAB
.
( )
(
)
(
)
; ;
SC SAB SC SB
=
Mà
2 2 2 2
2 2 2 2 2
3
4
SB SA AB a
SC SA AB BC a
= + =
= + + =
2 2 2 2 2 2
3 4 3
cos
2 . 2
2.2 . 3
SB SC BC a a a
BSC SB SC a a
+ − + −
⇒= = =
( )
(
)
0 0
30 ; 30
BSC SC SAB⇒=⇒=
b)
Trên m
ặ
t ph
ẳ
ng
(
)
ABCD
k
ẻ
(
)
DE AC E AC
⊥ ∈
Ta có:
EAD
∆
vuông cân t
ạ
i E.
2
AE ED a
⇒= = ;
6
SD a
=
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Dễ thấy :
( ) ( )
(
)
;
DE SAC SD SAC ESD
⊥⇒=
Do
đ
ó ta có
1 2
sin cos
3
3
DE
ESD ESD
SD
= = ⇒=
c)
K
ẻ
(
)
CF AD F AD
⊥ ∈ . Khi
đ
ó d
ễ
th
ấ
y
( ) ( )
(
)
0
; 45
CF SAD AC SAD CAF⊥⇒= =