Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
+ Định nghĩa: Hai mặt phẳng (P) và (Q) được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90
0
.
+ Cách chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:
Để chứng minh (P)⊥ (Q) ta chỉ ra trong (P) có chứa một đường thẳng d mà d ⊥ (Q).
Viết dạng mệnh đề:
(
)
( ) ( ) ( )
.
⊂
→ ⊥
⊥
a P
P Q
a Q
+ Tính chất 1: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến ; a là
đường thẳng nằm trong (P), khi đó nếu a ⊥ thì a ⊥ (Q).
Viết dạng mệnh đề:
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
;
.
;
⊥ ∩ = ∆
→ ⊥
⊂ ⊥ ∆
P Q P Q
a Q
a P a
+ Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cùng vuông góc với mặt phẳng (R) thì giao tuyến của (P) và
(Q) cũng phải vuông góc với (R).
Viết dạng mệnh đề:
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
.
⊥
⊥ →∆ ⊥
∩ = ∆
P R
P Q
Ví dụ 1. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều và nằm
trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD).
a) Chứng minh rằng (SAB) ⊥ (SAD), (SAB) ⊥ (SBC).
b) Gọi H, I lần lượt là trung điểm AB và BC. Chứng minh rằng (SHC) ⊥ (SDI).
Ví dụ 1. [ĐVH]: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O, I, J là trung điểm của BC, AB và AC. Trên đường
thẳng vuông góc với (ABC) tại O ta lấy điểm S. Chứng minh rằng
a) (SBC) ⊥ (ABC).
b) (SOI) ⊥ (SAB).
c) (SOI) ⊥ (SOJ).
Ví dụ 3. [ĐVH]: Cho tam giác ACD và BCD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. AC = AC = BC
= BD = a và CD = 2x. Gọi I, J là trung điểm của AB, CD.
a) Chứng minh IJ ⊥ AB và CD.
b) Tính AB và IJ theo a và x.
c) Xác định x để (ABC) ⊥ (ABD).
Ví dụ 4. [ĐVH]: Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD với
2
, .
3
a
AB a BD= = Trên đường thẳng
vuông góc với (P) tại giao điểm của 2 đường chéo của hình thoi lấy điểm S sao cho SB = a. Chứng minh
rằng
a) ASC vuông.
b) (SAB) ⊥ (SAD).
05. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC – P1
Th
ầy Đặng Việt H
ùng
[ĐVH]
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
Hướng dẫn giải:
a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD. Theo bài,
( ) ⊥
⊥⇒⊥
SO AC
SO ABCD
SO BD
.
ABCD là hình thoi nên AC
⊥
BD. Xét tam giác vuông AOB:
2
2 2 2
6 2 6
3 3 3
= − = − =
⇒
=
a a a
OA AB OB a AC
Xét tam giác vuông SOB:
2
2 2 2
6 1
3 3 2
= − = − = =
a a
SO SB OB a AC
Tam giác ASC có trung tuy
ế
n SO b
ằ
ng m
ộ
t n
ử
a c
ạ
nh
đố
i di
ệ
n AC
⇒
ASC vuông t
ạ
i S.
b)
Để
ch
ứ
ng minh (SAB)
⊥
(SAD) ta không th
ể
s
ử
d
ụ
ng cách truy
ề
n th
ố
ng là ch
ứ
ng minh m
ộ
t
đườ
ng th
ẳ
ng n
ằ
m trong
m
ặ
t ph
ẳ
ng này và vuông góc v
ớ
i m
ặ
t ph
ẳ
ng kia
đượ
c.
Ở
đ
ây, tác gi
ả
đ
i ch
ứ
ng minh góc gi
ữ
a hai m
ặ
t ph
ẳ
ng b
ằ
ng 900.
Ta có (SAB)
∩
(SAD) = SA. V
ấ
n
đề
bây gi
ờ
là tìm m
ặ
t ph
ẳ
ng nào
để
vuông góc v
ớ
i SA.
Ta nh
ậ
n th
ấ
y ( )
⊥
⇒⊥⇒⊥
⊥
BD AC
BD SAC BD SA
BD SO , (1).
T
ừ
O, ta d
ự
ng OH
⊥
SA, (2). Khi
đ
ó, t
ừ
(1) và (2) ta có SA
⊥
(BHD).
L
ạ
i có,
( )
( )
( ) ( ) ( ),( ) ,
( ) ( )
∩ =
⇒=
∩ =
BHD SAB HB
SAB SAD HB HD
BHD SAD HD .
Chúng ta
đ
i tính góc
BHD
để
xem
BHD
là góc nh
ọ
n hay tù hay vuông!!!
Xét tam giác vuông SOA có
đườ
ng cao OH:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 3
3
6 6
3 3
= + = + = ⇒=
a
OH
OH OA OS a
a a
Tam giác BHD có OH là trung tuy
ế
n và
1
2
3
= =
a
OH BD
⇒
BHD vuông t
ạ
i H.
V
ậ
y
( )
0
( ),( ) 90 ( ) ( ).
= ⇔ ⊥
SAB SAD SAB SAD
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có các mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với (ABCD). Biết
ABCD là hình vuông và SA = AB. Gọi M là trung điểm của SC. Chứng minh rằng
a) (SAC) ⊥ (SBD). b) (SAD) ⊥ (SCD). c) (SCD) ⊥ (ABM).
Bài 2. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, SH ⊥ đáy với H thuộc đoạn BC.
a) Chứng minh (SBC) ⊥ (ABC).
b) Kẻ HI ⊥ AB, HK ⊥ AC. Tứ giác AIHK có đặc điểm gì?
c) Chứng minh (SHI) ⊥ (SAB) và (SHK) ⊥ (SAC).
Khóa học Toán Cơ bản và Nâng cao 11 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia khóa Toán Cơ bản và Nâng cao 11 tại MOON.VN để có sự chuẩn bị tốt nhất cho kì thi THPT quốc gia!
d) Kẻ HM ⊥ SI, HN ⊥ SK. Chứng minh HM ⊥ (SAB) và HN ⊥ (SAC).
Bài 3. [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Hai (SAB) và (SAD) cùng vuông góc
với đáy.
a) Chứng minh SA ⊥ (ABCD).
b) Chứng minh (SAC) ⊥ (SBD).
c) Cho SA = 2a. Kẻ AH ⊥ (SBC). Tính AH?
Bài 4. [ĐVH]: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Chứng minh AC’ ⊥ (A’BD) và (ACC’A’) ⊥
(A’BD).
Bài 5. [ĐVH]: Cho ∆ABC vuông tại A. Dựng BB′ và CC′ cùng vuông góc với (ABC).
a) (ABB′) ⊥ (ACC′).
b) Gọi AH, AK là các đường cao của các tam giác ABC và AB′C′. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (BCC′B′)
và (AB′C′) cùng vuông góc với (AHK).
Bài 6. [ĐVH]: Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I.
Dựng đoạn
6
2
=a
SD và vuông góc v
ớ
i (ABC). Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a)
(SAB) ⊥ (SAC).
b)
(SBC) ⊥ (SAD).
Bài 7.
[ĐVH]:
Cho t
ứ
di
ệ
n ABCD có AB = BC = a; AC = b; DC = DB = x, AD = y. Tìm h
ệ
th
ứ
c liên h
ệ
gi
ữ
a a, b, x, y
để
:
a)
(ABC) ⊥ (BCD).
b)
(ABC) ⊥ (ACD).
Đ/s:
a)
2
2 2
0.
2
− + =
b
x y
b)
x
2
– y
2
+ b
2
– 2a
2
= 0.