Toán học lớp 11: Ôn tập công thức lượng giác (phần 1) - Thầy Đặng Việt Hùng

Khóa h c TOÁN 11 – Th y<br /> <br /> NG VI T HÙNG<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> 01. ÔN T P CÔNG TH C LƯ NG GIÁC – P1<br /> Th y I. CÁC H TH C LƯ NG GIÁC CƠ B N<br /> sin 2 x = 1 − cos 2 x  sin x + cos x = 1 ⇒  2 2 cos x = 1 − sin x <br /> 2 2<br /> <br /> ng Vi t Hùng<br /> <br /> 1 1 = 1 + tan 2 x ⇒ tan 2 x = −1 2 cos x cos 2 x 1 1 = 1 + cot 2 x ⇒ cot 2 x = −1 2 sin x sin 2 x tan x.cot x = 1 ⇒ cot x = 1 tan x<br /> <br /> sin 4 x + cos 4 x = 1 − 2 sin 2 x cos 2 x; sin 6 x + cos 6 x = 1 − 3sin 2 x cos 2 x sin 3 x + cos3 x = (sin x + cos x)(1 − sin x.cos x); sin 3 x − cos3 x = (sin x − cos x)(1 + sin x.cos x)<br /> <br /> II. D U C A CÁC HÀM S<br /> Góc I sinx cosx tanx cotx<br /> + + + +<br /> <br /> LƯ NG GIÁC<br /> Góc II<br /> + – – –<br /> <br /> Góc III<br /> – – + +<br /> <br /> Góc IV<br /> – + – –<br /> <br /> Ví d 1: [ VH]. Tính giá tr c a các hàm lư ng giác còn l i c a cung x sau: 1 π 2 π a) sin x = ;0 < x < b) cos x = − ; 0  sin x = → . 2 5<br /> Tham gia khóa TOÁN 11 t i www.Moon.vn có s chu n b t t nh t cho kì thi TS H!<br /> <br /> Khóa h c TOÁN 11 – Th y<br /> <br /> NG VI T HÙNG<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> sin x −1 = cos x 2 T 1 = −2 tan x 1 1 = c) T tan x = 2 ⇒ cot x = tan x 2   tan x =  ó ta ư c:  cot x =  <br />  1  2 sin x  sin x = ± cos x = 5 sin x = 2 cos x tan x = =2     Ta có  ⇔ ⇔ ⇔ cos x 2 sin 2 x + cos 2 x = 1 5 cos x = 1 sin 2 x = 4 cos x = ±    5   −2  sin x = 5 sin x < 0 3π  Do π < x < ⇒ ⇒ 2 cos x < 0 cos x = −1  5  1 1 d) cot x = − ⇒ tan x = = −2 2 cot x  1  2 sin x  cos x = sin x = ±  = −2 sin x = −2 cos x  tan x =   5 Ta có  ⇔ ⇔ ⇔ cos x 2 5cos x = 1 sin 2 x + cos 2 x = 1 sin 2 x = 4 cos x = ±    5   −2  sin x = 5 sin x < 0 3π  Do < x < 2π ⇒  ⇒ 2 cos x > 0 cos x = 1  5  Ví d 2: [ VH]. Ch ng minh các ng th c sau: 2 5 1 5 2 5 1 5<br /> <br /> a) tan 2 x − sin 2 x = tan 2 x sin 2 x c) 1 −<br /> sin 2 x cos 2 x − = sin x cos x 1 + cot x 1 + tan x<br /> 2 2 2<br /> <br /> sin x + cos x − 1 cos x = sin x − cos x + 1 1 + sin x tan x + tan y d) tan x.tan y = cot x + cot y<br /> <br /> b)<br /> <br /> L i gi i: sin x sin x − sin x cos 2 x sin 2 x(1 − cos 2 x) a) tan 2 x − sin 2 x = − sin 2 x = = = tan 2 x sin 2 x ⇒ pcm. 2 2 2 cos x cos x cos x b) Áp d ng công th c góc nhân ôi ph n IV ta ư c: x x x 2sin x  cos x − sin x  x x 2 sin cos − 2sin 2   cos − sin sin x + cos x − 1 2 2 2 2 2 2 = 2 2 , (1) = = x x x x x sin x − cos x + 1 2sin x cos x + 2sin 2 x 2sin  cos + sin  cos − sin 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x cos 2 − sin 2 cos − sin cos x 2 2 = 2 2 , ( 2). M t khác = 2 x x 1 + sin x  x x cos + sin  sin + cos  2 2 2 2  T (1) và (2) suy ra i u ph i ch ng minh. sin 2 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 3 x cos3 x sin 3 x + cos3 x c) 1 − − = 1− − = 1− − = 1− = cos x sin x 1 + cot x 1 + tan x sin x + cos x sin x + cos x sin x + cos x 1+ 1+ sin x cos x<br /> <br /> Tham gia khóa TOÁN 11 t i www.Moon.vn<br /> <br /> có s chu n b t t nh t cho kì thi TS H!<br /> <br /> Khóa h c TOÁN 11 – Th y<br /> <br /> NG VI T HÙNG<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> (sin x + cos x)(sin 2 x − sin x cos x + cos 2 x) = 1 − (1 − sin x cos x) = sin x cos x ⇒ pcm. sin x + cos x sin x sin y sin x cos y + sin y cos x + tan x + tan y cos x cos y sin x sin y cos x cos y d) = = = = tan x tan y ⇒ pcm. cot x + cot y cos x + cos y sin x cos y + sin y cos x cos x cos y sin x sin y sin x sin y Ví d 3: [ VH]. Rút g n các bi u th c sau = 1−<br /> A= cos 2 x + cos 2 x cot 2 x sin 2 x + sin 2 x tan 2 x<br /> <br /> B=<br /> <br /> cos 2 x − 2sin x(1 − sin x) 2(1 + sin x) . (1 − sin x) cos x + (1 + sin x) cos x 1 − sin x<br /> <br /> C = (1 + cot x) sin 3 x + (1 + tan x) cos3 x − sin x cos x<br /> <br /> D = sin 4 x + 4 cos 2 x + cos 4 x + 4sin 2 x<br /> L i gi i: cos 2 x cos 2 x(sin 2 x + cos 2 x) cos 2 x + cos 2 x. 2 2 2 2 cos x + cos x cot x cos 4 x sin x = sin 2 x = = = cot 4 x Ta có A = 2 2 2 2 2 2 2 4 sin x sin x(cos x + sin x) sin x sin x + sin x tan x sin 2 x + sin 2 x. 2 cos x cos 2 x Ta có cos 2 x − 2sin x(1 − sin x) 1 − sin 2 x − 2sin x(1 − sin x) (1 − sin x)(1 + sin x − 2sin x) (1 − sin x) 2 = = = (1 − sin x) cos x + (1 + sin x) cos x (1 − sin x + 1 + sin x) cos x 2 cos x 2 cos x<br /> (1 − sin x)2 2(1 + sin x) (1 − sin x)(1 + sin x) 1 − sin 2 x . = = = cos x 2 cos x 1 − sin x cos x cos x  cos x  3  sin x  3 C = (1 + cot x) sin 3 x + (1 + tan x) cos3 x − sin x cos x = 1 +  sin x + 1 +  cos x − sin x cos x =  sin x   cos x  = sin 3 x + cos3 x + cos x sin 2 x + cos 2 x sin x − sin x cos x  B = →<br /> <br /> = (sin x + cos x)(sin 2 x + cos 2 x − sin x cos x) + cos x sin x(sin x + cos x) − sin x cos x = (sin x + cos x)(1 − sin x cos x) + sin x cos x(sin x + cos x − 1) = sin x + cos x − sin x cos x<br /> Ta có D = sin 4 x + 4 cos 2 x + cos 4 x + 4 sin 2 x =<br /> = cos 4 x + 2 cos 2 x + 1 + sin 4 x + 2sin 2 x + 1 =<br /> <br /> (1 − cos x ) + 4 cos x + (1 − sin x ) + 4sin x ( cos x + 1) + ( sin x + 1) = sin x + cos x + 2 = 3<br /> 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2<br /> <br /> BÀI T P LUY N T P<br /> Bài 1: [ VH]. Ch ng minh các a)<br /> ng th c sau: sin 2 x sin x + cos x − = sin x + cos x sin x − cos x tan 2 x − 1<br /> <br /> b) 1 − cot 4 x =<br /> <br /> 2 1 − 4 2 sin x sin x<br /> <br /> Bài 2: [ VH]. Ch ng minh các a)<br /> 1 + sin 2 x = 1 + 2 cot 2 x 1 − cos 2 x<br /> <br /> ng th c sau:<br /> <br /> b) 2(1 − sin x)(1 + cos x) = (1 − sin x + cos x) 2<br /> ng th c sau:<br /> <br /> Bài 3: [ VH]. Ch ng minh các<br /> <br /> Tham gia khóa TOÁN 11 t i www.Moon.vn<br /> <br /> có s chu n b t t nh t cho kì thi TS H!<br /> <br /> Khóa h c TOÁN 11 – Th y<br /> <br /> NG VI T HÙNG<br /> <br /> Facebook: LyHung95<br /> <br /> a)<br /> <br /> sin 2 x(1 + cos x) sin x + tan x = cos 2 x(1 + sin x) cos x + cot x<br /> ng th c sau:<br /> <br /> b)<br /> <br /> cos 2 x − sin 2 x = sin 2 x.cos 2 x 2 2 cot x − tan x sin 2 x − cos 2 x + cos 4 x = tan 4 x cos 2 x − sin 2 x + sin 4 x<br /> <br /> Bài 4: [ VH]. Ch ng minh các a)<br /> <br /> 1 − 4sin 2 x cos 2 x = (sin x − cos x) 2 (sin x + cos x) 2<br /> <br /> b)<br /> <br /> Bài 5: [ VH]. Rút g n các bi u th c sau<br /> 1 − cos x 1 a) A = − 2 sin x 1 + cos x 1 − sin 2 x.cos 2 x b) B = − cos 2 x 2 cos x<br /> <br /> Bài 6: [ VH]. Rút g n các bi u th c sau a) A =<br /> <br /> 1 − cos x 1 + cos x − 1 + cos x 1 − cos x<br /> <br /> b) B = 1 − cot 2 x.sin 2 x + 1<br /> <br /> Bài 7: [ VH]. Tính giác tr c a các hàm s lư ng giác a) sin x =<br /> 1 π ;0 < x < 2 3 π 2<br /> <br /> b) cot x = − 2; − d) cos x =<br /> <br /> π < x