Toán lượng giác - Chương 5: Phương trình đối xứng theo sinx, cosx

Chia sẻ: Lê Thị Trà Giang | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:19

Thêm vào BST

Báo xấu

81
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dưới đây là tài liệu chương 5 phương trình đối xứng theo sinx, cosx mời các bạn và thầy cô hãy tham khảo để giúp các em mình củng cố kiến thức cũng như cách giải các bài tập nhanh và chính xác nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán lượng giác - Chương 5: Phương trình đối xứng theo sinx, cosx

CHÖÔNGV. PHÖÔNG TRÌNH ÑOÁI XÖÙNG THEO SINX, COSX a ( sin x + cos x ) + b sin x cos x = c (1) Caù c h giaû i Ñaë t t = sin x + cos x vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ Thì t = 2 sin ⎜ x + ⎟ = 2 cos ⎜ x − ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ Ta coù : t 2 = 1 + 2 sin x cos x neâ n (1) thaø nh b 2 at + 2 ( ) t −1 = c ⇔ bt 2 + 2at − b − 2c = 0 Giaû i (2) tìm ñöôï c t, roà i so vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 ⎛ π⎞ giaû i phöông trình 2 sin ⎜ x + ⎟ = t ta tìm ñöôï c x ⎝ 4⎠ Baø i 106 : Giaû i phöông trình sin x + sin2 x + cos3 x = 0 ( *) ( (*) ⇔ sin x (1 + sin x ) + cos x 1 − sin2 x = 0 ) ⇔ (1 + sin x ) = 0 hay sin x + cos x (1 − sin x ) = 0 ⎡sin x = −1 (1 ) ⇔⎢ ⎢sin x + cos x − sin x cos x = 0 ( 2 ) ⎣ π • (1) ⇔ x = − + k2π ( k ∈ Z ) 2 ⎛ π⎞ •Xeù t ( 2 ) : ñaë t t = sin x + cos x = 2 cos ⎜ x − ⎟ ⎝ 4⎠ ñieà u kieä n t ≤ 2 thì t 2 = 1 + 2 sin x cos x t2 − 1 Vaäy (2) thaø n h t − =0 2 ⇔ t 2 − 2t − 1 = 0 ⎡t = 1 − 2 ⇔⎢ ⎢ t = 1 + 2 ( loaï i ) ⎣ ⎛ π⎞ Do ñoù ( 2 ) ⇔ 2 cos ⎜ x − ⎟ = 1 − 2 ⎝ 4⎠ ⎛ π⎞ 2 ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = − 1 = cos ϕ vôù i 0 < ϕ < 2π ⎝ 4⎠ 2 π 2 ⇔ x− = ±ϕ + h2π, h ∈ , vôù i cos ϕ = −1 4 2 π 2 ⇔ x = ± ϕ + h2π, h ∈ , vôù i cos ϕ = −1 4 2
3 Baø i 107 : Giaû i phöông trình −1 + sin 3 x + cos3 x = sin 2x ( *) 2 3 ( *) ⇔ −1 + ( sin x + cos x )(1 − sin x cos x ) = sin 2x 2 ⎛ π⎞ Ñaë t t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x + ⎟ ⎝ 4⎠ Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 Thì t2 = 1 + 2sin x cos x ⎛ t2 − 1 ⎞ 3 2 Vaäy (*) thaø n h : −1 + t ⎜ 1 − ⎜ 2 ⎟ 2 ⎟= t −1 ( ) ⎝ ⎠ ( ) ⇔ −2 + t 3 − t 2 = 3 t 2 − 1 ( ) ⇔ t 3 + 3t 2 − 3t − 1 = 0 ( ⇔ ( t − 1) t 2 + 4t + 1 = 0 ) ⇔ t = 1 ∨ t = −2 + 3 ∨ t = −2 − 3 ( loaï i ) ⎛ π⎞ 1 π vôù i t = 1 thì sin ⎜ x + ⎟ = = sin ⎝ 4⎠ 2 4 π π π 3π ⇔ x + = = k2π ∨ x + = + k2π, k ∈ 4 4 4 4 π ⇔ x = k2π ∨ x = + k2π , k ∈ 2 ⎛ π⎞ 3−2 vôù i t = 3 − 2 thì sin ⎜ x + ⎟ = = sin ϕ ⎝ 4⎠ 2 π π 3−2 ⇔ x+ = ϕ + m2π ∨ x + = π − ϕ + m2π, m ∈ , vôù i = sin ϕ 4 4 2 π 3π 3−2 ⇔ x =ϕ− + m2π ∨ x = − ϕ + m2π, m ∈ , vôù i = sin ϕ 4 4 2 Baø i 108 :Giaû i phöông trình 2 ( sin x + cos x ) = tgx + cot gx ( *) ⎧sin x ≠ 0 Ñieà u kieän ⎨ ⇔ sin 2x ≠ 0 ⎩cos x ≠ 0 sin x cos x Luù c ñoù (*) ⇔ 2 ( sin x + cos x ) = + cos x sin x sin2 x + cos2 x 1 ⇔ 2 ( sin x + cos x ) = = sin x cos x sin x cos x ⎛ π⎞ Ñaë t t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x + ⎟ ⎝ 4⎠ Thì t = 1 + 2 sin x cos x vôù i t ≤ 2 vaø t 2 ≠ 1 2 2 (*) thaø n h 2t = t2 − 1
⇔ 2t3 − 2t − 2 = 0 (Hieå n nhieân t = ±1 khoâ n g laø nghieä m ) ( ⇔ t− 2 )( ) 2t 2 + 2t + 2 = 0 ⎡t = 2 ⇔⎢ 2 ⎢ t + 2t + 1 = 0 ( voâ nghieä m ) ⎣ ⎛ π⎞ Vaäy ( *) ⇔ 2 sin ⎜ x + ⎟ = 2 ⎝ 4⎠ ⎛ π⎞ ⇔ sin ⎜ x + ⎟ = 1 ⎝ 4⎠ π π ⇔ x + = + k2π, k ∈ 4 2 π ⇔ x = + k2π, k ∈ 4 Baø i 109 : Giaû i phöông trình 3 ( cot gx − cos x ) − 5 ( tgx − sin x ) = 2 ( *) Vôù i ñieà u kieä n sin 2x ≠ 0 , nhaâ n 2 veá phöông trình cho sinxcosx ≠ 0 thì : ( *) ⇔ 3 cos2 x (1 − sin x ) − 5 sin2 x (1 − cos x ) = 2 sin x cos x ⇔ 3 cos2 x (1 − sin x ) − 5 sin 2 x (1 − cos x ) = 5 sin x cos x − 3 sin x cos x ⇔ 3 cos x ⎣cos x (1 − sin x ) + sin x ⎤ − 5 sin x ⎡sin x (1 − cos x ) + cos x ⎤ = 0 ⎡ ⎦ ⎣ ⎦ ⇔ 3 cos x ( cos x − sin x cos x + sin x ) − 5 sin x ( sin x − sin x cos x + cos x ) = 0 ⎡sin x + cos x − sin x cos x = 0 (1) ⇔⎢ ⎢3 cos x − 5 sin x = 0 ⎣ ( 2) ( Ghi chuù : A.B + A.C = A.D ⇔ A = 0 hay B + C = D ) ⎛ π⎞ Giaû i (1) Ñaë t t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x + ⎟ ⎝ 4⎠ Thì t2 = 1 + 2sin x cos x vôù i ñieà u kieä n : t ≤ 2 vaø t ≠ ±1 t2 − 1 (1) thaø n h : t − = 0 ⇔ t 2 − 2t − 1 = 0 2 ( ⎡ t = 1 + 2 loaï i do t ≤ 2 ⇔⎢ ) ⎢ t = 1 − 2 ( nhaä n so vôù i ñieà u kieä n ) ⎣ ⎛ π⎞ 1− 2 Vaäy sin ⎜ x + ⎟ = = sin α ( 0 < α < 2π ) ⎝ 4⎠ 2 ⎡ π ⎡ π ⎢ x + 4 = α + k2π ⎢ x = α − 4 + k2π ⇔⎢ ⇔ ⎢ ⎢ x + π = π − α + k2π, k ∈ ⎢ x = 3π − α + k2π, k ∈ ⎢ ⎣ 4 ⎢ ⎣ 4
3 ( 2) ⇔ tgx = = tgβ ⇔ x = β + hπ, h ∈ ( vôùi 0 < β < π) 5 Baø i 110 : Giaû i phöông trình 3 (1 + sin x ) ⎛π x⎞ 3tg3 x − tgx + = 8cos2 ⎜ − ⎟ ( *) cos x ⎝4 2⎠ 2 Ñieà u kieän : cos x ≠ 0 ⇔ sin x ≠ ±1 ⎡ ⎛π ⎞⎤ ( ) ( ) Luùc ñoù : (*) ⇔ tgx 3tg2 x − 1 + 3 (1 + sin x ) 1 + tg2 x = 4 ⎢1 + cos ⎜ − x ⎟ ⎥ ⎝2 ⎠⎦ ⎣ = 4 (1 + sin x ) ⇔ tgx ( 3tg2 x − 1) + (1 + sin x ) ⎡3 (1 + tg2 x ) − 4 ⎤ = 0 ⎣ ⎦ ⇔ ( 3tg2 x − 1) ( tgx + 1 + sin x ) = 0 ⇔ ( 3tg2 x − 1) ( sin x + cos x + sin x cos x ) = 0 ⎡3tg2 x = 1 (1) ⇔⎢ ⎢sin x + cos x + sin x cos x = 0 ⎣ ( 2) 1 3 π •(1) ⇔ tg2 x = ⇔ tgx = ± ⇔ x = ± + kπ 3 3 6 ⎛ π⎞ • Giaû i ( 2 ) ñaë t t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x + ⎟ ⎝ 4⎠ Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 vaø t ≠ ±1 Thì t 2 = 1 + 2 sin x cos x t2 −1 (2) thaø n h : t + = 0 ⇔ t 2 + 2t − 1 = 0 2 ⇔⎢ ( ⎡ t = −1 − 2 loaï i do ñieà u kieä n t ≤ 2 ) ⎢ t = −1 + 2 ( nhaä n so vôù i ñieà u kieä n ) ⎣ ⎛ π⎞ 2 −1 Vaäy sin ⎜ x + ⎟ = = sin ϕ ⎝ 4⎠ 2 ⎡ π ⎡ π ⎢ x + 4 = ϕ + k2π, k ∈ ⎢ x = ϕ − 4 + k2π, k ∈ ⇔⎢ ⇔⎢ ⎢ x + π = π − ϕ + k2π, k ∈ ⎢ x = 3π − ϕ + k2π, k ∈ ⎢ ⎣ 4 ⎢ ⎣ 4 Baø i 111 : Giaû i phöông trình 2sin 3 x − sin x = 2 cos3 x − cos x + cos2x ( *) (*) ⇔ 2 ( sin3 x − cos3 x ) − ( sin x − cos x ) + sin 2 x − cos2 x = 0
⇔ sin x − cos x = 0 hay 2 (1 + sin x cos x ) − 1 + ( sin x + cos x ) = 0 ⎡sin x − cos x = 0 (1) ⇔⎢ ⎢sin x + cos x + sin 2x + 1 = 0 ( 2 ) ⎣ • (1) ⇔ tgx = 1 π ⇔x= + kπ, k ∈ 4 ⎛ π⎞ •xeù t ( 2 ) ñaë t t = sin x + cos x = 2 cos x ⎜ x − ⎟ ⎝ 4⎠ Vôù i ñieà u kieä n : t ≤ 2 t 2 = 1 + sin 2x Vaä y ( 2 ) thaø nh t + ( t 2 − 1) + 1 = 0 ⇔ t ( t + 1) = 0 ⇔ t = 0 ∨ t = −1 ⎛ π⎞ Khi t = 0 thì cos ⎜ x − ⎟ = 0 ⎝ 4⎠ π π ⇔ x − = ( 2k + 1) , k ∈ 4 2 3π ⇔x= + kπ, k ∈ 4 ⎛ π⎞ 1 3π Khi t = −1 thì cos ⎜ x − ⎟ = − = cos ⎝ 4⎠ 2 4 π 3π ⇔ x− =± + k2π, k ∈ 4 4 π ⇔ x = π + k2π hay x = − + k2π, k ∈ 2 Baø i 112 : Giaû i phöông trình sin x + sin 2 x + sin3 x + sin 4 x = cos x + cos2 x + cos3 x + cos4 x ( *) Ta coù : (*) ⇔ ( sin x − cos x ) + ( sin 2 x − cos2 x ) + ( sin3 x − cos3 x ) + ( sin 4 x − cos4 x ) = 0 ⇔ ( sin x − cos x ) = 0 hay 1 + ( sin x + cos x ) + (1 + sin x.cos x ) + ( sin x + cos x ) = 0 ⎡sin x − cos x = 0 (1) ⇔⎢ ⎢2 ( sin x + cos x ) + sin x cos x + 2 = 0 ( 2 ) ⎣ Ta coù : (1) ⇔ tgx = 1 π ⇔ x = + kπ, k ∈ 4 ⎛ π⎞ Xeù t (2) : ñaë t t = sin x + cos x = 2 cos ⎜ x − ⎟ ⎝ 4⎠ Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2
Thì t 2 = 1 + 2sin x cos x t2 −1 (2) thaø n h 2t + +2 = 0 2 ⇔ t 2 + 4t + 3 = 0 ⇔ t = −1 ∨ t = −3 ( loaï i ) ⎛ π⎞ 1 3π khi t = -1 thì cos ⎜ x − ⎟ = − = cos ⎝ 4⎠ 2 4 ⎡ π 3π ⎢ x − 4 = 4 + k2π, k ∈ ⇔⎢ ⎢ x − π = − 3π + k2π, k ∈ ⎢ ⎣ 4 4 ⎡ x = π + k2π, k ∈ ⇔⎢ ⎢ x = − π + k2π, k ∈ ⎣ 2 ( ) Baø i 113 : Giaû i phöông trình tg2 x 1 − sin3 x + cos3 x − 1 = 0 ( *) Ñieà u kieän : cos x ≠ 0 ⇔ sin x ≠ ±1 sin 2 x Luù c ñoù (*) ⇔ cos2 x (1 − sin3 x ) + cos3 x − 1 = 0 ⇔ (1 − cos2 x )(1 − sin3 x ) − (1 − cos3 x )(1 − sin 2 x ) = 0 ⇔ (1 − cos x )(1 − sin x ) = 0 hay (1 + cos x ) (1 + sin x + sin 2 x ) − (1 + cos x + cos2 x ) (1 + sin x ) = 0 ⎡ cos x = 1( nhaä n do ñieà u kieä n ) ⎢ ⇔ ⎢sin x = 1( loaï i do ñieà u kieä n ) ⎢ 2 ⎢sin x + sin x cos x − cos x − sin x cos x = 0 2 2 2 ⎣ ⎡ cos x = 1 ⇔⎢ 2 ⎣sin x − cos x + sin x cos x ( sin x − cos x ) = 0 2 ⎡ cos x = 1 ⇔⎢ ⎣sin x − cos x = 0 hay sin x + cos x + sin x cos x = 0 ⎡ cos x = 1 ∨ tgx = 1 ⇔⎢ ⎣sin x + cos x + sin x cos x = 0 ⎡ x = k2π, k ∈ ⎢ π ⇔ ⎢ x = + kπ, k ∈ ⎢ 4 ⎢sin x + cos x + sin x cos x = 0 ⎣ xeù t pt sin x + cos x + sin x cos x = 0
ñaë t ⎛ ( π⎞ t = sin x + cos x = 2 cos x ⎜ x − ⎟ ñieà u kieä n t ≤ 2 vaø t ≠ ±1 ⎝ 4⎠ ) ⇒ t = 1 + 2 sin x cos x 2 t2 − 1 Ta ñöôï c phöông trình t + = 0 ⇔ t 2 + 2t − 1 = 0 2 ⎡ t = −1 − 2 ( loaï i ) ⇔⎢ ⎢ t = − 1 + 2 ( nhaä n so vôù i ñk ) ⎣ ⎛ π⎞ 2 −1 Vaäy cos ⎜ x − ⎟ = = cos ϕ ⎝ 4⎠ 2 π π ⇔ x − = ±ϕ + k2π, k ∈ ⇔ x = ± ϕ + k2π, k ∈ 4 4 Baø i 114 : Cho phöông trình m ( sin x + cos x + 1) = 1 + sin 2x ( *) ⎡ π⎤ Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm thuoä c ñoaï n ⎢ 0, ⎥ ⎣ 2⎦ ⎛ π⎞ Ñaë t t = sin x + cos x = 2 sin ⎜ x − ⎟ , ñieàu kieä n t ≤ 2 ⎝ 4⎠ Thì t = 1 + sin 2x 2 Vaäy (*) thaø n h : m ( t + 1) = t 2 π π π 3π Neá u 0 ≤ x ≤ thì ≤ x + ≤ 2 4 4 4 2 ⎛ π⎞ Do ñoù ≤ sin ⎜ x + ⎟ ≤ 1 2 ⎝ 4⎠ ⇔1≤ t ≤ 2 ta coù m ( t + 1) = t 2 t2 ⇔m= (do t = -1 khoâ n g laø nghieä m cuû a phöông trình) t +1 t2 Xeù t y = treâ n ⎡1, 2 ⎤ ⎣ ⎦ t +1 t 2 + 2t Thì y ' = > 0 ∀t ∈ ⎡1, 2 ⎤ ⎣ ⎦ ( t + 1) 2 Vaä y y taê n g treâ n ⎡1, 2 ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ π⎤ Vaäy (*) coù nghieäm treân ⎢1, ⎥ ⇔ y (1) ≤ m ≤ y ⎣ 2⎦ ( 2) 1 ⇔ ≤ m ≤ 2 2 −1 2 ( )
Baø i 115 : Cho phöông trình cos3 x + sin3 x = m sin x cos x ( *) a/ Giaû i phöông trình khi m = 2 b/ Tìm m ñeå (*) coù nghieä m Ta coù : (*) ⇔ ( cosx + sin x )(1 − sin x cosx ) = m sin x cosx ⎛ π⎞ Ñaë t t = sin x + cos x = 2 cos x ⎜ x − ⎟ ⎝ 4⎠ Vôù i ñieà u kieä n ( t ≤ 2) Thì t 2 = 1 + 2sin x cos x ⎛ t2 − 1 ⎞ ⎛ t2 − 1 ⎞ Vaäy (*) thaø n h t ⎜ 1 − ⎟ = m⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⇔ t ( 3 − t 2 ) = m ( t 2 − 1) a/ Khi m = 2 ta coù phöông trình ( ) t ( 3 − t 2 ) = 2 ( t 2 − 1) ⇔ t + 2t − 3t − 2 = 0 3 2 ( )( ⇔ t − 2 t 2 + 2 2t + 1 = 0 ) ⇔ t = 2 hay t = − 2 + 1 hay t = − 2 − 1( loaï i ) ⎛ π⎞ π π Vaäy • cos x ⎜ x − ⎟ = 1 ⇔ x − = k2π, k ∈ ⇔ x = + k2π, k ∈ ⎝ 4⎠ 4 4 ⎛ π ⎞ 1− 2 • cos ⎜ x − ⎟ = = cos α ⎝ 4⎠ 2 π π ⇔ x − = ±α + k2π, k ∈ ⇔ x = ± α + k2π, k ∈ 4 4 b/ Xeù t phöông trình t ( 3 − t ) = k ( t − 1) ( **) 2 2 Do t = ±1 khoâ n g laø nghieäm cuû a (**) neâ n 3t − t 3 (**) ⇔ m = 2 t −1 3t − t 3 Xeù t y = 2 ( C ) treân ⎡− 2, 2 ⎤ \ {±1} ⎣ ⎦ t −1 −t − 3 4 Ta coù y ' = < 0∀t = ±1 ( t − 1) 2 2 suy ra y giaû m treâ n ( −1,1 ) vaø lim y = + ∞ , lim− y = − ∞ x → − 1+ x→ 1 Do ñoù treâ n ( − 1,1 ) ⊂ ⎡ − 2, 2 ⎤ \ {±1} ta coù ⎣ ⎦ 3t − t 3 (d) y = m caé t (C) y = 2 vôù i ∀m ∈ R t −1 Vaäy (*) coù nghieäm ∀m ∈ R
Baø i 116 : Cho phöông trình 1⎛ 1 1 ⎞ m ( sin x + cos x ) + 1 + ⎜ tgx + cot gx + + = 0 ( *) 2⎝ sin x cos x ⎟ ⎠ 1 a/ Giaû i phöông trình khi m = 2 ⎛ π⎞ b/ Tìm m ñeå (*) coù nghieä m treâ n ⎜ 0, ⎟ ⎝ 2⎠ Vôù i ñ ieà u kieä n sin 2x ≠ 0 ta coù 1 ⎛ sin x cos x 1 1 ⎞ (*) ⇔ m ( sin x + cos x ) + 1 + ⎜ + + + =0 2 ⎝ cos x sin x sin x cos x ⎟ ⎠ ⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + sin 2x + (1 + cos x + sin x ) = 0 ⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + sin 2x + 1 + cos x + sin x = 0 ⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + ( sin x + cos x ) + sin x + cos x = 0 2 ⎡sin x + cos x = 0 (1) ⇔⎢ ⎢ m sin 2x + sin x + cos x + 1 = 0 ( 2 ) ⎣ ⎛ π⎞ Xeù t (2) ñaë t t = sin x + cos x = 2 cos ⎜ x − ⎟ ⎝ 4⎠ Thì t = 1 + sin 2x 2 Do sin 2x ≠ 0 neâ n t ≤ 2 vaø t = ±1 ⎡t = 0 Vaäy (*) thaø n h : ⎢ ⎢ m ( t − 1) + t + 1 = 0 2 ⎣ ⎡ t = 0 ( nhaä n so ñieà u kieä n ) ⇔⎢ ⎢ m ( t − 1) + 1 = 0 ⎣ ( do t ≠ −1) 1 a/ Khi m = thì ta ñöôï c : 2 ⎡t = 0 ⎢ ⎢ t = − 1( loaï i do ñieà u kieä n ) ⎣ Vaäy sinx + cosx = 0 ⇔ tgx = −1 π ⇔ x = − + kπ, k ∈ 4 π π π π b/ Ta coù : 0 < x < ⇔ − < x − < 2 4 4 4 Luùc ñoù 2 ⎛ π⎞ < cos ⎜ x − ⎟ ≤ 1 ⇒ 1 < t ≤ 2 2 ⎝ 4⎠ ( Do t = 0 ∉ 1, 2 ⎤ ⎦
Neâ n ta xeù t phöông trình : m ( t − 1) + 1 = 0 ( **) (**) ⇔ mt = m − 1 1 ⇔ t = 1− (do m = 0 thì (**) voâ nghieäm ) m 1 Do ñoù : yeâu caà u baø i toaù n ⇔ 1 < 1 − ≤ 2 m ⎧ 1 ⎧m < 0 ⎪− m > 0 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ 1 ⎪1 − 2 ≤ 1 ⎪m ≤ 1 − 2 = − 2 − 1 ⎪ ⎩ m ⎩ ⇔ m ≤ − 2 −1 Baø i 117 : Cho f ( x ) = cos2 2x + 2 ( sin x + cosx ) − 3sin 2x + m 3 a/ Giaû i phöông trình f(x) = 0 khi m = -3 b/ Tính theo m giaù trò lôù n nhaát vaø giaù trò nhoû nhaá t cuûa f(x) 2 Tìm m cho ⎡ f ( x ) ⎤ ≤ 36 ∀x ∈ R ⎣ ⎦ ⎛ π⎞ ( Ñaë t t = sin x + cos x = 2 cos ⎜ x − ⎟ ñieà u kieä n t ≤ 2 ⎝ 4⎠ ) Thì t = 1 + sin 2x 2 Vaø cos2 2x = 1 − sin 2 2x = 1 − ( t 2 − 1) = − t 4 + 2t 2 2 Vaäy f ( x ) thaø nh g ( t ) = − t 4 + 2t 2 + 2t 3 − 3 ( t 2 − 1) + m a/ Khi m = -3 thì g(t) = 0 ( ⇔ −t 2 t 2 − 2t + 1 = 0) ⇔ t = 0∨ t =1 vaä y khi m = -3 thì f(x) = 0 ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ 1 ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = 0 hay cos ⎜ x − ⎟ = ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ 2 π π π π ⇔ x − = ( 2k + 1) hay x − = ± + k2π, k ∈ 4 2 4 4 3π π ⇔x= + kπ hay x = + k2π ∨ x = k2π, k ∈ 4 2 b/ Ta coù g ' ( t ) = −4t + 6t − 2t = −2t ( 2t 2 − 3t + 1) 3 2 ⎧g' ( t ) = 0 1 ⎪ Vaäy ⎨ ⇔ t = 0 ∨ t = 1∨ t = ⎪t ∈ ⎡ − 2, 2 ⎤ ⎩ ⎣ ⎦ 2 ⎛ 1 ⎞ 47 Ta coù : g ( 0 ) = 3 + m = g (1) , g⎜ ⎟ = +m ⎝ 2 ⎠ 16 g ( 2) = 4 2 − 3 + m, g ( 2) = m −3− 4 2
Vaäy : Maxf ( x ) = Max g ( t ) = m + 3 x∈ t∈ ⎡ − 2 , 2 ⎤ ⎣ ⎦ Minf ( x ) = Min g ( t ) = m − 3 − 4 2 x∈ R t ∈ ⎡− 2 , 2 ⎤ ⎣ ⎦ 2 Do ñoù : ⎡ f ( x ) ⎤ ≤ 36, ∀x ∈ R ⇔ −6 ≤ f ( x ) ≤ 6, ∀x ∈ R ⎣ ⎦ ⎧Max f ( x ) ≤ 6 ⎪ ⇔⎨ R ⎪Min f ( x ) ≥ − 6 ⎩ R ⎧m + 3 ≤ 6 ⎪ ⇔⎨ ⎪ m − 3 − 4 2 ≥ −6 ⎩ ⇔ 4 2 −3≤ m ≤ 3 ( ) 2 Caù c h khaù c : Ta coù g ( t ) = − t 2 t 2 − 2t + 1 + 3 + m = − ⎣ t ( t − 1) ⎦ + 3 + m ⎡ ⎤ Ñaë t u = t 2 − t ⎡ 1 ⎤ Khi t ∈ ⎡ − 2, 2 ⎤ thì u ∈ ⎢ − ,2 + 2 ⎥ = D ⎣ ⎦ ⎣ 4 ⎦ Vaäy g ( t ) = h ( u ) = − u + 3 + m 2 Max f ( x ) = Max g ( t ) = Max h ( u ) = m + 3 R t ∈ ⎡− 2 , 2 ⎤ u∈D ⎣ ⎦ Min f ( x ) = Min g ( t ) = Min h ( u ) = m − 3 − 4 2 R ⎡ ⎤ t ∈ ⎣− 2 , 2 ⎦ u∈D Chuù yù 1 : Phöông trình giaû ñoá i xöù n g a ( sin x − cos x ) + b ( sin x cos x ) = 0 ñaë t t = sinx – cosx ⎛ π⎞ ⎛ π⎞ thì t = 2 sin ⎜ x − ⎟ = − 2 cos ⎜ x + ⎟ ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 thì t = 1 − 2sin x cos x 2 Baø i 118 : Giaû i phöông trình 2sin x + cot gx = 2sin 2x + 1 ( *) Ñieà u kieän : sin x ≠ 0 ⇔ cos x = ±1 cos x Luù c ñoù (*) ⇔ 2 sin x + = 4 sin x cos x + 1 sin x ⇔ 2 sin2 x + cos x = 4 sin2 x cos x + sin x ⇔ 2 sin2 x − sin x − cos x 4 sin2 x − 1 = 0 ( ) ⇔ sin x ( 2 sin x − 1) − cos x ( 2 sin x − 1) ( 2 sin x + 1) = 0 ⇔ 2 sin x − 1 = 0 hay sin x − cos x ( 2 sin x + 1) = 0 ⎡2 sin x − 1 = 0 (1 ) ⇔⎢ ⎢sin x − cos x − sin 2x = 0 ⎣ ( 2)
1 • Ta coù (1) ⇔ sin x = ( nhaän do sin x ≠ 0) 2 π 5π ⇔x= + k2π ∨ x = + k2π, k ∈ 6 6 ⎛ π⎞ • Xeù t ( 2 ) Ñaë t t = sin x − cos x = 2 sin ⎜ x − ⎟ ⎝ 4⎠ Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 vaø t ≠ ± 1 Thì t2 = 1 − sin 2x ( ) Vaäy (2) thaø n h : t − 1 − t 2 = 0 ⇔ t2 + t − 1 = 0 −1 + 5 −1 − 5 ⇔t= ∨t= ( loaïi ) 2 2 π ⎞ −1 + 5 ⎛ Do ñoù : 2 sin ⎜ x − ⎟ = ⎝ 4⎠ 2 ( nhaä n do t ≤ 2 vaø t ≠ ±1 ) ⎛ π⎞ 5 −1 ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = = sin ϕ ⎝ 4⎠ 2 2 ⎡ π ⎢ x − 4 = ϕ + k2π, k ∈ ⇔⎢ ⎢ x − π = π − ϕ + k2π, k ∈ ⎢ ⎣ 4 ⎡ π ⎢ x = ϕ + 4 + k2π, k ∈ ⇔⎢ ⎢ x = 5π − ϕ + k2π, k ∈ ⎢ ⎣ 4 Baø i 119 : Giaû i phöông trình cos 2x + 5 = 2 ( 2 − cos x )( sin x − cos x )( *) ( ) Ta coù : ( *) ⇔ cos2 x − sin2 x + 5 = 2 ( 2 − cos x )( sin x − cos x ) ⇔ ( sin x − cos x ) ⎡2 ( 2 − cos x ) + ( sin x + cos x ) ⎤ − 5 = 0 ⎣ ⎦ ⇔ ( sin x − cos x ) [sin x − cos x + 4] − 5 = 0 ⎛ π⎞ Ñaë t t = sin x − cos x = 2 sin ⎜ x − ⎟ ⎝ 4⎠ Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 (*) thaø n h : t ( t + 4 ) − 5 = 0 ⇔ t 2 + 4t − 5 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = −5 ( loaï i ) ⎛ π⎞ 1 π Vaäy ( *) ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = = sin ⎝ 4⎠ 2 4
π π π 3π ⇔ x− = + k2π ∨ x − = + k2π, k ∈ 4 4 4 4 π ⇔ x = + k2π ∨ x = π + k2π, k ∈ 2 Baø i 120 : Giaû i phöông trình cos3 x + sin 3 x = cos 2x ( *) Ta coù (*) ⇔ ( cos x + sin x )(1 − sin x cos x ) = cos2 x − sin2 x ⇔ cos x + sin x = 0 hay 1 − sin x cos x = cosx − sin x ⎡sin x + cos x = 0 (1 ) ⇔⎢ ⎢sin x − cos x − sin x cos x + 1 = 0 ⎣ ( 2) Ta coù : (1) ⇔ tgx = −1 π ⇔x=− + kπ, k ∈ 4 ⎛ π⎞ Xeù t (2) ñaë t t = sin x − cos x = 2 sin ⎜ x − ⎟ ⎝ 4⎠ Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 Thì t2 = 1 − 2sin x cos x 1 − t2 (2) thaø n h t − + 1 = 0 ⇔ t 2 + 2t + 1 = 0 2 ⇔ t = −1 ⎛ π⎞ 1 ⎛ π⎞ vaä y (2) ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = − = sin ⎜ − ⎟ ⎝ 4⎠ 2 ⎝ 4⎠ ⎡ π π ⎢ x − 4 = − 4 + k2π, k ∈ ⎡ x = k2π, k ∈ ⇔⎢ ⇔⎢ ⎢ x − π = 5π + k2π, k ∈ ⎢ x = 3π + k2π, k ∈ ⎢ ⎣ 2 ⎣ 4 4 Baø i 121 : Cho phöông trình cos3 x − sin 3 x = m (1 ) a/ Giaû i phöông trình (1) khi m = 1 baè n g caùch ñaë t aå n phuï t = cos x − sin x ⎡ π π⎤ b/ Tìm m sao cho (1) coù ñuù n g hai nghieä m x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 4 4⎦ Ta coù (1) ⇔ ( cos x − sin x )(1 + sin x cos x ) = m ⎛ π⎞ Ñaë t t = cos x − sin x = 2 cos ⎜ x + ⎟ ⎝ 4⎠ Vôù i ñieà u kieä n t ≤ 2 Thì t2 = 1 − 2sin x cos x ⎛ 1 − t2 ⎞ Vaäy (1) thaø n h : t ⎜ 1 + ⎜ ⎟=m ⎝ 2 ⎟ ⎠ ( ) ⇔ t 3 − t 2 = 2m ( 2)
a/ Khi m = 1 thì (2) thaø n h t3 − 3t + 2 = 0 ( ) ⇔ ( t − 1) t 2 + t − 2 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = −2 ( loaï i ) ⎛ π⎞ 2 π π Vaäy cos ⎜ x + ⎟ = ⇔ x + = ± + k2π, k ∈ ⎝ 4⎠ 2 4 4 π ⇔ x = k2π ∨ x = − + k2π, k ∈ 2 ⎡ π π⎤ π π b/ Neá u x ∈ ⎢ − , ⎥ thì 0 ≤ x + ≤ ⎣ 4 4⎦ 4 2 ⎛ π⎞ neâ n 0 ≤ cos ⎜ x + ⎟ ≤ 1 ⎝ 4⎠ ⎛ π⎞ ⇔ 0 ≤ t = 2 cos ⎜ x + ⎟ ≤ 2 ⎝ 4⎠ nhaä n xeù t raè n g vôù i moã i t tìm ñöôï c treâ n ⎡0, 2 ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ π π⎤ ta tìm duy nhaá t moä t x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 4 4⎦ xeù t f ( t ) = − t + 3t treâ n ⎡0, 2 ⎤ 3 ⎣ ⎦ ⇒ f ' ( t ) = −3t + 3 2 ⎡ π π⎤ vaä y (1) coù ñuù n g hai nghieä m x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 4 4⎦ ⇔ ( d ) y = 2m caé t ( C ) y = −t 3 + 3t treâ n ⎡0, 2 ⎤ taï i 2 ñieå m phaân bieä t ⎣ ⎦ ⇔ 2 ≤ 2m < 2 2 ⇔ ≤m
⇔ cos x + sin x = 0 (1 ) hay 2 ( cos x − sin x ) + sin x cos x = m ( 2 ) ⎛ π⎞ Ñaë t t = cos x − sin x = 2 cos ⎜ x + ⎟ (ñieà u kieä n t ≤ 2 ) ⎝ 4⎠ Thì t = 1 − 2 sin x cos x 2 Ta coù : (1) ⇔ sin x = − cos x π ⇔ tgx = −1 ⇔ x = − + kπ, k ∈ 4 1 − t2 Ta coù : (2) thaø nh 2t + =m 2 ⇔ −t 2 + 4t + 1 = 2m ( * *) a/ Khi m = 2 thì (**) thaø n h t 2 − 4t + 3 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = 3 ( loaï i ) ⎛ π⎞ 2 π π vaä y cos ⎜ x + ⎟ = ⇔ x + = ± + k2π, k ∈ ⎝ 4⎠ 2 4 4 π ⇔ x = k2π ∨ x = − + kπ, k ∈ 2 Do ñoù : π π ( *) ⇔ x = − + kπ ∨ x = k2π ∨ x = − + k2π, k ∈ 4 2 ⎡ π⎤ π ⎡ π 3π ⎤ b/ Ta coù x ∈ ⎢0, ⎥ ⇔ x + ∈ ⎢ , ⎥ ⎣ 2⎦ 4 ⎣4 4 ⎦ 2 ⎛ π⎞ 2 vaä y − ≤ cos ⎜ x + ⎟ ≤ 2 ⎝ 4⎠ 2 ⇒ −1 ≤ t ≤ 1 π ⎡ π⎤ Do nghieä m x = − + kπ ∉ ⎢0, ⎥ , ∀ k ∈ 4 ⎣ 2⎦ Neâ n yeâu caà u baø i toaù n ⇔ ( * *) coù nghieä m treâ n [ −1,1] Xeù t y = −t 2 + 4t + 1 thì y ' = −2t + 4 > 0 ∀t ∈ [ −1,1] ⇒ y taê ng treâ n [ −1,1] Do ñoù : yeâu caà u baø i toaù n ⇔ −4 = y ( −1) ≤ 2m ≤ y (1) = 4 ⇔ −2 ≤ m ≤ 2 * Chuù yù 2 : Phöông trình löôï n g giaù c daï n g ( ) a ( tgx ± cot gx ) + b tg 2 x + cot g 2 x = 0 ta ñaë t t = tgx ± cot gx thì t 2 = tg 2 x + cot g 2 x ± 2 2 khi t = tgx + cot gx = thì t ≥ 2 ( do sin 2x ≤ 1) sin 2x Baø i 123 : Giaû i phöông trình 3tg 2 x + 4tgx + 4 cot gx + 3cot g 2 x + 2 = 0 ( *)
2 Ñaë t t = tgx + cot gx = sin 2x Vôù i ñieà u kieä n t ≥ 2 Thì t 2 = tg 2 x + cot g 2 x + 2 (*) thaø n h : 3 ( t 2 − 2 ) + 4t + 2 = 0 ⇔ 3t 2 + 4t − 4 = 0 ⎡ 2 ⇔ ⎢ t = 3 ( loaï i do ñieà u kieä n ) ⎢ ⎣ t = −2 2 Ta coù : t = −2 ⇔ = −2 ⇔ sin 2x = −1 2 sin x π ⇔ 2x = − + k2π, k ∈ 2 π ⇔ x = − + kπ, k ∈ 4 Baø i 124 : Giaû i phöông trình tgx + tg 2 x + tg 3 x + cotgx + cotg 2 x + cotg 3 x = 6 ( *) Ta coù (*) ⇔ ( tgx + cot gx ) + ( tg 2 x + cot g 2 x ) + ( tg 3 x + cot g 3 x ) = 6 2 ( ⇔ ( tgx + cot gx ) + ( tgx + cot gx ) − 2 + ( tgx + cot gx ) tg 2 x + cot g 2 x − 1 = 6 ) 2 2 ⇔ ( tgx + cot gx ) + ( tgx + cot gx ) + ( tgx + cot gx ) ⎡( tgx + cot gx ) − 3⎤ = 8 ⎣ ⎦ 2 Ñaë t t = tgx + cot gx = sin 2x ( ñieàu kieän t ≥ 2) ( ) Vaäy (*) thaø n h : t + t 2 + t t 2 − 3 = 8 ⇔ t 3 + t 2 − 2t − 8 = 0 ⎡t = 2 ( ) ⇔ ( t − 2 ) t 2 + 3t + 4 = 0 ⇔ ⎢ 2 ⎣ t + 3t + 4 = 0 ( voâ nghieä m ) ⇔t=2 2 Vaäy = 2 ⇔ sin 2x = 1 sin 2x π ⇔ 2x = + k2π, k ∈ 2 π ⇔ x = + kπ, k ∈ 4 Baø i 125 : Giaû i phöông trình 2 + 2tg 2 x + 5tgx + 5 cot gx + 4 = 0 ( *) sin 2 x Caùc h 1 : (*) ⇔ 2 (1 + cot g 2 x ) + 2tg 2 x + 5 ( tgx + cot gx ) + 4 = 0
( ) ⇔ 2 tg 2 x + cot g 2 x + 5 ( tgx + cot gx ) + 6 = 0 2 ⇔ 2 ⎡( tgx + cot gx ) − 2⎤ + 5 ( tgx + cot gx ) + 6 = 0 ⎣ ⎦ 2 Ñaë t t = tgx + cot gx = , vôù i t ≥ 2 sin 2x Ta ñöôï c phöông trình : 2t 2 + 5t + 2 = 0 1 ⇔ t = −2 ∨ t = − ( loaï i ) 2 2 Vaäy ( *) ⇔ = −2 ⇔ sin 2x = −1 sin 2x π ⇔ 2x = − + k2π, k ∈ 2 π ⇔ x = − + kπ, k ∈ 4 Caù c h 2 : Ñaë t u = tgx (vôù i ñieà u kieä n u ≠ 0 ) 2 5 Vaäy (*) thaø n h : 2 + + 2u 2 + 5u + + 4 = 0 u 2 u ⇔ 2 + 2u 4 + 5u 3 + 5u + 6u 2 = 0 ( ⇔ ( u + 1) 2u 3 + 3u 2 + 3u + 2 = 0 ) ⇔ ( u + 1) 2 ( 2u 2 ) +u+2 =0 ⎡u = −1 ( nhaä n ) ⇔⎢ 2 ⎢2u + u + 2 = 0 ( voâ nghieä m ) ⎣ Vaäy (*) ⇔ tgx = -1 π ⇔ x = − + kπ, k ∈ 4 Baø i 126 : Cho phöông trình 1 + cot g 2 x + m ( tgx + cot gx ) + 2 = 0 (1 ) cos2 x 5 a/ Giaû i phöông trình khi m = 2 b/ Tìm m ñeå phöông trình coù nghieä m Ta coù : (1) ⇔ tg 2 x + cot g 2 x + m ( tgx + cot gx ) + 3 = 0 2 Ñaë t t = tgx + cot gx = sin 2x ( ñieàu kieän t ≥ 2) ⇒ t 2 = tg 2 x + cot g 2 x + 2 Vaäy (1) thaø n h : t 2 + mt + 1 = 0 ( 2) 5 a/ Khi m = ta ñöôï c phöông trình 2t 2 + 5t + 2 = 0 2
1 ⇔ t = −2 ∨ t = − ( loaïi ) 2 2 Do ñoù = −2 ⇔ sin 2x = −1 sin 2x π ⇔ 2x = − + k2π, k ∈ 2 π ⇔ x = − + kπ, k ∈ 4 b/ Caù ch 1 : Ta coù : (2) ⇔ mt = −1 − t 2 1 ⇔ m = − − t (do t = 0 khoâ n g laø nghieä m cuûa (2)) t 1 Xeù t y = − − t vôù i t ≥ 2 t 1 1 − t2 Thì y ' = 2 − 1 = t t2 Ta coù : y ' = 0 ⇔ t = ±1 Do ñoù (1) coù nghieä m ⇔ (d) caé t ( C ) treâ n ( −∞, −2] U [ 2, +∞ ) 5 5 ⇔m≤− ∨m≥ 2 2 5 ⇔ m ≥ 2 Caù c h 2 : Yeâ u caà u baø i toaù n ⇔ f ( t ) = t 2 + mt + 1 = 0 coù nghieä m t thoûa t ≥ 2 Nhaä n xeù t raè n g do P = 1 neâ n neá u f(t) coù hai nghieäm t1 , t 2 ( vôù i t1 ≤ t2 ) vaø ⎧ t1 ≤ 1 ⎧ t1 ≥ 1 ⎪ ⎪ coù nghieä m thì ta coù ⎨ ∨⎨ ⎪ t2 ≥ 1 ⎪ t2 ≤ 1 ⎩ ⎩ Do ñoù : Yeâ u caà u baø i toaù n ⇔ t1 ≤ −2 < t1 < 2 ∨ −2 < t1 < 2 ≤ t 2 ⎪1f ( −2) ≤ 0 ⎪1f ( 2 ) ≤ 0 ⎧ ⎧ ⎧−2m + 5 ≤ 0 ⎧−2m + 5 > 0 ⇔⎨ ∨⎨ ⇔⎨ ∨⎨ ⎪ ⎩1f ( 2 ) > 0 ⎪ ⎩1f ( −2 ) > 0 ⎩2m + 5 > 0 ⎩2m + 5 ≤ 0 5 5 ⇔m≥ ∨m≤− 2 2
BAØI TAÄP 1. Giaû i caùc phöông trình : a/ 1 + cos3 x − sin 3 x = sin x b/ cos3 x + cos2 x + 2 sin x − 2 = 0 c/ cos 2x + 5 = 2 ( 2 − cos x )( sin x − cos x ) d/ cot gx − tgx = sin x + cos x e/ sin 3 x − cos3 x = sin x − cos x f/ 1 + tgx = sin x + cos x ⎛ π⎞ g/ sin 2x + 2 sin ⎜ x − ⎟ = 1 ⎝ 4⎠ k/ sin 2x − 12 ( sin x − cos x ) + 12 = 0 sin x + cos x l/ =1 sin 2x + 1 1 − cos 2x 1 − cos3 x m/ = 1 + cos 2x 1 − sin3 x n/ 5 ( sin x + cos x ) + sin 3x − cos 3x = 2 2 ( 2 + sin 2x ) o/ 1 + sin x + cos x + sin 2x + 2 cos 2x = 0 p/ sin 2 x cos x − cos 2x + sin x = cos2 x sin x + cos x r/ cos 2x + 5 = 2 ( 2 − cos x )( sin x − cos x ) s/ cos2 x + sin 3 x + cos x = 0 t/ 4 sin3 x − 1 = 3sin x − 3 cos 3x 2. Cho phöông trình sin 2x ( sin x + cos x ) = m (1) a/ Chöù n g minh neá u m > 2 thì (1) voâ nghieä m b/ Giaû i phöông trình khi m = 2 3. Cho phöông trình sin 2x + 4 ( cos x − sin x ) = m a/ Giaû i phöông trình khi m = 4 b/ Tìm m ñeå phöông trình coù nghieä m 4. Cho phöông trình : sin x cos x − m ( sin x + cos x ) + 1 = 0 a/ Giaû i phöông trình khi m = 2 b/ Tìm m ñeå phöông trình coù nghieä m ( ÑS : m ≥ 1) 3 5. Cho phöông trình + 3tg 2 x = m ( tgx + cot gx ) = 1 sin x 2 Tìm m ñeå phöông trình coù nghieäm ( ÑS : m ≥ 4 )