Toán - Tích phân hàm một biến

Chia sẻ: Phi Nguyen | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

141
lượt xem 21
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

* Để tính tích phân của hàm lượng giác và vô tỉ, ta tìm cách đổi biến số để đưa chúng về tích phân của các phân thức hữu tỉ. * Để tính tích phân của hàm lượng giác và vô tỉ, ta tìm cách đổi biến số để đưa chúng về tích phân của các phân thức hữu tỉ.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán - Tích phân hàm một biến

NỘI DUNG 6.1. Tích phân bất định 6.2. Tích phân xác định 6.3. Một số ứng dụng hình học của tích phân xác định 6.4. Tích phân suy rộng
6.1. Tích phân bất định 6.1.1. Khái niệm 6.1.2. Các phương pháp tính 6.1.3. Tích phân các phân thức hữu tỉ 6.1.4. Tích phân của một hs lượng giác và vô tỉ
6.1.1. Khái niệm. 1. Định nghĩa tích phân bất định 2. Bảng các tích phân cơ bản 3. Các tính chất của tích phân bất định
6.1.2. Các phương pháp tính TPBĐ 1. Phương pháp đổi biến số. 2. Phương pháp tích phân từng phần
1. Phương pháp đổi biến số. a. Ph¬ng ph¸p ®Æt x = ϕ (t): ϕ(t) là hàm liên tục, có đạo hàm liên tục, Ví dụ: Tính: có hàm số ngược. Đặt x = ∫ 1 − x 2 dx sint Đặt x = asint ∫ a − x dx 2 2 dx ∫x 2 1+ x 2 Đặt x = tgt
b. Phương pháp đặt u = u(x): u(x) là hàm liên tục, có đạo hàm liên tục. Ví dụ: Tính: dx Đặt u = 3 x + 1 ∫ 1 + 3 x +1 x e dx Đặt u = 2+ ex ∫ 2 + ex dx ∫ x ln x Đặt u = lnx
2. Phương pháp tích phân từng phần Giả sử u(x), v(x) là hai hàm số khả vi, có các đạo hàm u’(x), v’(x) liên tục thì: ∫ udv = uv − ∫ vdu
* Các dạng tích phân từng phần thường gặp  e  ax   Đặt u = Pn(x) ∫ • Dạng: Pn ( x)  sin ax dx cos ax    Ví dụ: Tính: Đặt u = 2x +3 dv = e2xdx ∫ (2 x + 3)e 2x dx Đặt u = x2 ∫ 2 x cos xdx dv = cosx dx
 ln x   arcsin x   ln x     arcsin x  ∫ n arccos xdx Đặt u =  • Dạng: P ( x )        arctgx  arccos x     arctgx    Ví dụ: Tính: ∫ x 2 ln xdx ∫ x arcsin xdx x.arctg xdx Đặt u = lnx Đặt u = arcsinx Đặt u = arctgx dv = x2dx dv = xdx dv = xdx
sin bx  Đặt u = eax ∫ cos bxdx • Dạng: e ax  Ví dụ: Tính: Đặt u = ex ∫ x dv = cosxdx e cos xdx
6.1.3. Tích phân các phân thức hữu tỉ. 1. Các định nghĩa. (Xem giáo trình) 2. Phân tích 1 phân thức hữu tỉ thực sự thành những phân thức đơn giản. (Xem giáo trình)
3. Tích phân các phân thức hữu tỉ. * Tích phân các phân thức đơn giản: dx 1 = ln ax + b + C , a 0. ax + b a dx 1 1 = + C , k 1 , a 0. ( ax + b ) 1 − k a(ax + b) k k −1 ( Ax + B ) dx (∆ = b − 4ac < 0) 2 x + bx + c 2 Đặt t = x +b/2
Ax + B ∫ ( x 2 + bx + c)k (k ≥ 2, ∆ = b − 4ac < 0) 2 Đặt t = x + b/2 * Để tính tích phân các hàm hữu tỉ thực sự, ta phân tích nó thành tổng của các phân thức đơn giản, rồi tính tích phân.
6.1.4. Tích phân của hàm lượng giác và vô tỉ * Để tính tích phân của hàm lượng giác và vô tỉ, ta tìm cách đổi biến số để đưa chúng về tích phân của các phân thức hữu tỉ. 1. Tích phân hàm lượng giác ∫ a. Dạng R (sin x, cos x) dx (với R(sinx,cosx) là biểu thức hữu tỉ của sinx và cosx) Đặt t = tg(x/2) Ví dụ: Tính: dx ∫ 4 − 3 cos 2 x + 5 sin 2 x
Đặt biệt: Nếu R(-sinx,cosx) = -R(sinx,cosx), Đặt t = cosx Nếu R(sinx,-cosx) = -R(sinx,cosx), Đặt t = sinx Nếu R(-sinx,-cosx) = R(sinx,cosx), Đặt t = tgx hoặc t =cotgx Ví dụ: Tính: dx dx ∫ sin x cos 2x ∫ sin 2 x cos 3 xdx ∫ sin 4 x cos 2 x Đặt t = cosx Đặt t = sinx Đặt t = tgx
∫ sin (n, m ∈ Z ) n m b. Dạng x cos dx Áp dụng trường hợp đặc biệt trên: - Nếu n hoặc m là số lẻ thì đổi biến t = cosx hoặc t = sinx - Nếu n và m là hai số chẵn và dương thì dùng CT hạ bậc. - Nếu n và m là hai số chẵn và có 1 số âm thì đổi biến t = tgx hoặc t = cotgx Ví dụ: Tính: sin 2 x ∫sin 3 cos 2 xdx ∫ cos 4 x dx Đặt t = cosx Đặt t = tgx
∫ ∫ ∫ c. Dạng cos ax cos bxdx , sin ax sin bxdx, cos ax sin bxdx Biến đổi hàm dưới dấu tích phân thành tổng d. Dạng ∫ sin n xdx , ∫ cos n xdx Dùng công thức hạ bậc
2. Tích phân hàm vô tỉ. m r ax + b n ax + b s a. Dạng ∫ R[ x, ( ) ,..., ( ) ]dx cx + d cx + d trong đó, a, b, c, d là những hằng số thoả mãn điều kiện ad – bc ≠ 0, m, n,.., r là những số nguyên. ax + b Đặt t = k cx + d (k là mẫu số chung của m/n,…, r/s)
Ví dụ: Tính: Đặt t6 = x 1 dx 3 x+ x Đặt t12 = x x dx ∫ 3 x2 − 4 x