intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Toán tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Chia sẻ: Dinh Chien | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST
Báo xấu
826
lượt xem 200
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu toán tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng sẽ bổ sung các kiến thức cơ bản, kèm theo các bài toán và phương pháp giải, giúp các bạn dễ dàng hệ thống lại kiến thức và ôn tập tốt. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Toán tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

  1. GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG I. KIẾN THỨC CƠ BẢN Trang 1
  2. GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 II. CÁC BÀI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Phương pháp: Sử dụng hệ thức liên hệ của các giá trị lượng giác sau: sin  cos  1) sin 2   cos 2   1 2) tan   3) cot   cos  sin  1 1 1 4) cot   (tan  .cot   1) 5) 1  tan 2   2 6) 1  cot 2   tan  cos  sin 2  Mối liên hệ giữa hai góc bù nhau, phụ nhau và giá trị các góc : sin(1800   )  sin  sin(900   )  cos   0  0 cos(180   )   cos  cos(90   )  sin  7)  (sin – bù) 8)  (phụ – chéo)  tan(1800   )   tan   tan(900   )  cot  cot(1800   )   cot  cot(900   )  tan    0    900  cos   0  0  sin   1 9)  0 ; 0    1800   1  cos   1 0 90    180  cos   0  CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Hãy tính các giá trị lượng giác còn lại của góc  trong các trường hợp sau: 1 2 1) sin   với 0    900 . 2) cos    . 3 3 3) tan   2 . 4) cot   3 với  là góc tù . Giải: 1 1) sin   với 0    900 3 2 2 2 2 2 1 8 2 2 Ta có: sin   cos   1  cos   1  sin   1      cos    3 9 3 2 2 sin  1 2 2 1 2 1 Mà 0    900  cos   . Khi đó tan    :   và cot   2 2. 3 cos  3 3 2 2 4 tan  2 2  2 5 5 2) cos    . Ta có: sin 2   cos 2   1  sin 2   1  cos 2   1       sin    3  3 9 3 2 5 Mà cos     0  900    1800  sin   . 3 3 sin  1 5 1 5 1 Khi đó tan    :   và cot    5. cos  3 3 5 5 tan  Trang 2
  3. GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 3) tan   2 . 1 Ta có: tan   2  cot   2 1 1 1 1 5 Ta có 1  tan 2   2  cos 2   2  2   cos    cos  1  tan  1  2 5 5 5 2 5 Mà tan   2  0  00    900  cos   . Khi đó sin   cos  .tan   . 5 5 4) cot   3 với  là góc tù . 1 Ta có: cot   3  tan   3 1 1 1 1 10 Ta có 1  cot 2   2  sin 2   2  2   sin    sin  1  cot  1  3 10 10 10 3 10 Mà 90    1800  sin   . Khi đó cos   sin  .cot   . 10 10 Ví dụ 2: Tính giá trị của các biểu thức sau: 2 sin   cos  11tan   5cot  1 1) A  biết tan   2 2) B  biết sin   sin   3cos  34 tan   2 cot  4 sin 2   3sin  cos  5 3) C  biết cot   3 4) D  sin  .cos  biết sin   cos   2sin 2   sin  cos   3cos2  4 Giải: 2 sin   cos  1) A  biết tan   2 sin   3cos  Ta có: tan   2  cos   0 . Khi đó chia cả tử và mẫu của A cho cos  ta được: 2 sin   cos  2 sin   cos  cos  2 tan   1 2.( 2)  1 3 3 A     . Vậy A  sin   3cos  sin   3cos  tan   3 2  3 5 5 cos  11tan   5cot  1 2) B  biết sin   34 tan   2 cot  4 sin  cos  11.  5. 2 2 2 2 11tan   5cot  cos  sin   11sin   5 cos   11sin   5(1  sin  ) Ta có: B   34 tan   2 cot  34. sin   2. cos  34sin 2   2 cos 2  34 sin 2   2(1  sin 2  ) cos  sin  2 1 2 16.    5 16sin   5  4 4  2  2   1 . Vậy B  1 32 sin   2 1 4 32.    2 4 Trang 3
  4. GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 sin 2   3sin  cos  3) C  biết cot   3 2sin 2   sin  cos   3cos2  Ta có: cot   3  sin   0 . Khi đó chia cả tử và mẫu của C cho sin 2  ta được: sin 2   3sin  cos  2 sin   3sin  cos  sin 2  C  2sin 2   sin  cos   3cos 2  2sin   sin  cos   3cos 2  2 sin 2  1  3cot  1  3.3 1 1  2  2  . Vậy C   2  cot   3cot  2  3  3.3 4 4 5 4) D  sin  .cos  biết sin   cos   4 5 2 25 25 Ta có: sin   cos     sin   cos     sin 2   cos 2   2sin  cos   4 16 16 25 9 9 9  1  2sin  cos    2 sin  cos    sin  cos   hay D  . 16 16 32 32 Ví dụ 3: 1) Cho tan x  3 . Tính A  sin 2 x  6 sin x cos x  3cos 2 x . 1 2) Cho sin x cos x  và 00  x  900 . Tính giá trị các biểu thức sau: 8 a) M  sin x  cos x b) N  sin 3 x  cos 3 x c) P  sin 4 x  cos 4 x d) Q  sin 6 x  cos6 x Giải: 1) Cho tan x  3 . Tính A  sin 2 x  6 sin x cos x  3cos 2 x . A sin 2 x  6sin x cos x  3cos2 x Ta có tan x  3  cos x  0 nên ta có:  cos 2 x cos2 x  A(1  tan 2 x)  tan 2 x  6 tan x  3 tan 2 x  6 tan x  3 ( 3) 2  6.( 3)  3 30  A   3 1  tan 2 x 1  (3) 2 10 Vậy A  3 . 1 2) Cho sin x cos x  và 00  x  900 . Tính giá trị các biểu thức sau: 8 1 5 5 a) M  sin x  cos x  M 2  sin 2 x  cos 2 x  2 sin x cos x  1  2 sin x cos x  1  2.   M   8 4 2 sin x  0 5 Mà 00  x  900    sin x  cos x  0 suy ra M  . cos x  0 2 Trang 4
  5. GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 3 3 3 3  5 1 5 20  3 5 b) N  sin x  cos x   sin x  cos x   3sin x cos x  sin x  cos x     2   3. 8 . 2   16   2 2 1 31 c) P  sin 4 x  cos 4 x   sin 2 x  cos 2 x   2sin 2 x cos2 x  1  2.    .  8  32 2 3 1 61 d) Q  sin x  cos x   sin x  cos x   3sin x cos x  sin x  cos x   1  3sin x cos x  1  3.    6 6 2 2 2 2 2 2 2 2  8  64 Ví dụ 4: Không dùng máy tính và bảng số hãy tính giá trị của các biểu thức sau: 1) A  sin 2 200  sin 2 120  sin 2 700  sin 2 780 cos 720.cot180 2) B   tan180 tan1620.sin1080 (cot 440  tan 460 ).sin1360 3) C  0  cot 230.cot 67 0 cos 44 4) D  cos 20  cos 400  cos 600  ...  cos1600  cos1800 0 5) E  tan100.tan 200.tan 300.tan 40 0.tan 50 0. tan 60 0.tan 700.tan 800 6) F  cos 3 10  cos 3 20  cos3 30  ...  cos3 1790  cos3 180 0 Giải: 1) A  sin 2 200  sin 2 120  sin 2 700  sin 2 780   sin 2 200  sin 2 700    sin 2 120  sin 2 780    sin 2 200  cos2 200    sin 2 120  cos 2 120   1  1  2 Vậy A  2 . cos180 0 0 0 0 sin180. cos 72 .cot18 cos 72 .cot18 sin180  tan 720 2) B  0 0  tan 720  0 0  tan 720  0 tan162 .sin108  tan18 .sin 72 sin18  0 .cos180 cos18 cos180  0  cot180   cot180  cot180  0 sin18 Vậy B  0 (cot 440  tan 460 ).sin1360 3) C   cot 230.cot 67 0 cos 440 (cot 440  cot 440 ).sin 440   cot 230. tan 230 cos 440  2 cot 440. tan 440  cot 230.tan 230  2  1  1 Vậy C  1 . Trang 5
  6. GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 4) D  cos 200  cos 400  cos 600  ...  cos1600  cos1800 Cách 1: D   cos 200  cos1600    cos 400  cos1400    cos 600  cos1200    cos800  cos1000   cos1800   cos 200  cos 200    cos 400  cos 400    cos 600  cos 600    cos 800  cos800   cos1800  0  0  0  0  (1)  1 . Vậy D  1 . Cách 2: D  cos(1800  1600 )  cos(1800  1400 )  cos(1800  1200 )  ...  cos(1800  200 )  cos1800   cos1600  cos1400  cos1200  ...  cos 200  cos180 0  D  cos 200  cos 400  cos 600  ...  cos1600  cos1800  Khi đó :  0 0 0 0 0  2 D  2 cos1800  D  cos1800  1  D   cos 20  cos 40  cos 60  ...  cos160  cos180  Vậy D  1 . 5) E  tan100.tan 200.tan 300.tan 40 0.tan 50 0. tan 60 0.tan 700.tan 800 Cách 1: E   tan100.tan 200.tan 300 tan 400  .  cot 400.cot 300.cot 200.cot100    tan100.cot100  tan100.cot100  tan 200.cot 200  tan 300.cot 300  tan 400.cot 400   1.1.1.1  1 . Vậy E  1 . Cách 2: E  tan100.tan 200.tan 300.tan 40 0.tan 50 0. tan 60 0.tan 700.tan 800 E  cot 800.cot 700.cot 60 0.cot 50 0.cot 40 0.cot 300.cot 200.cot100  E 2   tan100.cot100  tan100.cot100  tan 200.cot 200  tan 300.cot 300  ...  tan 800.cot 800   1  E  1 Do tan100 , tan 200 , tan 300 ,..., tan 800  0 nên E  1 . 6) F  cos 3 10  cos 3 20  cos3 30  ...  cos3 1790  cos3 180 0   cos3 10  cos3 1790    cos3 20  cos3 1780    cos3 30  cos3 1770   ...   cos3 890  cos3 910   cos3 900  cos3 1800   cos3 10  cos3 10    cos3 20  cos3 20    cos3 30  cos3 30   ...   cos3 890  cos3 890   cos3 900  cos3 1800  0  0  0  ...  0  0  1  1 . Vậy F  1 . Ví dụ 5: Tìm góc  biết 00    1800 và thỏa mãn: 1 3 1) sin(900   )  cos(1800   )  1 2) 0  tan(90   ) 3 2 3) 2sin 2   3cos   0 4) 2  cos(900   )  1 1  tan  Giải: Trang 6
  7. GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 1 1) sin(900   )  cos(1800   )  1  cos   cos   1  cos      600 (vì 00    1800 ) 2 1 3 1 3 3 2) 0     tan      300 (vì 00    1800 ) tan(90   ) 3 cot  3 3 3) 2sin 2   3cos   0  2(1  cos 2  )  3cos   0 1  2 cos 2   3cos   2  0  cos   2 (loại) hoặc cos       1200 (vì 00    1800 ) 2 2 4) 2  cos(900   )  1  2 cos 2   sin   1  2(1  sin 2  )  sin   1 1  tan  1  2 sin 2   sin   1  0  sin   1 (loại) hoặc sin      300 (vì 00    1800 ) 2 BÀI LUYỆN Bài 1: Hãy tính các giá trị lượng giác còn lại của góc  trong các trường hợp sau: 2 1 1) sin   với với  là góc tù . 2) cos   . 5 4 3) tan   3 . 4) cot   3 với 0    900 . Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau: 3sin   2 cos  tan   8 cot  1 1) A  biết cot   2 . 2) B  biết cos   sin   cos  10 tan   cot  3 2sin 3   sin 2  cos  1 3) C  biết tan    2 4) D  sin 4   cos 4  biết sin  .cos   . cos3   3sin  cos 2  6 Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau: 1) A  sin 2 10  sin 2 20  sin 2 30  ...  sin 2 880  sin 2 890 . 2) B  tan 50.tan100.tan150...tan 80 0.tan 850 . 3) C  tan10.tan 20.tan 30...tan 880.tan 89 0 4) D  sin 2 230  sin 2 67 0  2sin 2 157 0  cos 3 157 0  cos 3 230  2 cos 2 230 Bài 4: Tìm góc  biết 00    1800 và thỏa mãn: 1) sin(1800   )  cos(900   )  2 2) tan 2 x  2cot(900   )  1  0 3 3) 2sin 2 (1800   )  3 2 cos(900   )  2 4) 2  cos 2 (900   )  1 1  cot  Trang 7
  8. GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 BÀI TOÁN 2 : CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Phương pháp: Để chứng minh đẳng thức A(sin, cos, tan, cot)  B(sin, cos, tan, cot) ta có các cách tiếp cận sau:  A  A1  A 2  ...  B Cách 1: Biến đổi từ vế phức tạp sang vế đơn giản   B  B1  B2  ...  A A  A1  A 2  ...  C Cách 2: Sử dụng tính chất bắc cầu  AB B  B1  B 2  ...  C Cách 3: Biến đổi tương đương A  B  A1  B1  A 2  B2  ...  A n  Bn (luôn đúng) Cách 4: Xuất phát từ một đẳng thức đúng An  Bn  A n1  Bn 1  ...  A1  B1  A  B Chú ý: Các kiến thức bổ trợ : sin  cos  1) sin 2   cos 2   1 2) tan   3) cot   cos  sin  1 1 1 4) cot   (tan  .cot   1) 5) 1  tan 2   6) 1  cot 2   tan  cos 2  sin 2  CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho  là góc bất kì. Chứng minh rằng: 1  sin  cos  1) sin 4   cos 4   1  2 cos 2  2)  cos  1  sin  3) (sin   cos  )2  (sin   cos  )2  4sin  cos  4) 1  2 sin  cos   sin  cos  (1  tan  )(1  cot  ) 1  sin 2  tan 2  1  cot 2  1  tan 4  5)  1  2 tan 2  6) .  1  sin 2  1  tan 2  cot 2  tan 2   cot 2  Giải: 1) sin 4   cos 4   1  2 cos 2  Cách 1: VT  sin 4   cos4    sin 2   cos2   sin 2   cos 2    1  cos 2   cos 2   .1  1  2cos 2   VP sin 4   cos 4    sin 2   cos 2   sin 2   cos 2    sin 2   cos 2   Cách 2:   sin 4   cos 4   1  2 cos 2  2 2 2 2 2 2 1  2 cos   sin   cos   2 cos   sin   cos   Cách 3: sin 4   cos 4   1  2 cos 2   sin 4   1  2 cos 2   cos 4  2  sin 4   1  cos2    sin 4   sin 4  (luôn đúng) Cách 4: Với  bất kì ta luôn có: sin 2   cos 2   1  sin 2   1  cos 2  2  sin 4   1  cos2    1  2 cos 2   cos 4   sin 4   cos4   1  2 cos2  (đpcm). Trang 8
  9. GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 1  sin  cos  2)  (*) cos  1  sin  Ta có: (*)  (1  sin  )(1  sin  )  cos 2   1  sin 2   cos 2   cos 2   cos2  đúng  (đpcm) 3) (sin   cos  )2  (sin   cos  )2  4sin  cos  VT = (sin   cos  ) 2  (sin   cos  )2  (sin 2   cos 2   2sin  cos  )  (sin 2   cos2   2sin  cos  )  (1  2 sin  cos  )  (1  2 sin  cos  )  4sin  cos  = VP (đpcm). 4) 1  2 sin  cos   sin  cos  (1  tan  )(1  cot  ) VP  sin  cos  (1  tan  )(1  cot  )  sin   cos    sin  cos   1   1    cos   sin   cos   sin  sin   cos   sin  cos  . . cos  sin   (sin   cos  )  sin   cos 2   2sin  cos   1  2sin  cos  = VT (đpcm). 2 2 1  sin 2  5) 2  1  2 tan 2  1  sin  1  sin 2  1  sin 2  1 Cách 1: VT = 2  2  2  tan 2   1  tan 2   tan 2   1  2 tan 2  = VP (đpcm) 1  sin  cos  cos  1  sin 2  1  sin 2  Cách 2: 2  1  2 tan 2   2  1  2 tan 2  1  sin  1  sin  1  sin 2   (1  sin 2  ) 2sin 2  2sin 2    2 tan 2    (luôn đúng) (đpcm) 1  sin 2  cos 2  cos 2  tan 2  1  cot 2  1  tan 4  6) .  1  tan 2  cot 2  tan 2   cot 2   tan 2  1  cot 2  tan 2   1  tan 2   .  . 2  1  .(tan 2   1)  tan 2  1  tan 2  cot 2  1  tan 2   cot   1  tan 2  Ta có:  4 2 2 4 2 2 2  1  tan   tan  .cot   tan   tan  .(tan   cot  )  tan 2   tan 2   cot 2   tan 2   cot 2  tan 2   cot 2  tan 2  1  cot 2  1  tan 4  Suy ra .  (đpcm). 1  tan 2  cot 2  tan 2   cot 2  Ví dụ 2: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào  . 1) A  cos 4   sin 2  cos 2   sin 2  sin 4   cos4   1 2) B  sin 6   cos6   1 3) C  sin 4   4 cos 2   cos 4   4 sin 2  Trang 9
  10. GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Giải: 1) A  cos 4   sin 2  cos2   sin 2   cos2  (cos 2   sin 2  )  sin 2   cos 2   sin 2   1 Vậy A không phụ thuộc vào  (đpcm) sin 4   cos4   1 2) B  sin 6   cos6   1 a 4  b 4   a 4  b 4  2a 2b 2   2a 2b 2   a 2  b 2  2  2a 2b 2  Áp dụng hằng đẳng thức:  (a 2  b2 )3  a 6  b 6  3a 2b 2 (a 2  b 2 )  a 6  b6  (a 2  b 2 )3  3a 2b2 (a 2  b 2 )  sin 4   cos 4   (sin 2   cos 2  ) 2  2sin 2  cos 2   1  2sin 2  cos 2   Ta có:  6 6 2 2 3 2 2 2 2 2 2 sin   cos   (sin   cos  )  3sin  cos  (sin   cos  )  1  3sin  cos   1  2sin 2  cos2   1 2sin 2  cos2  2 Khi đó B    . 1  3sin 2  cos 2   1 3sin 2  cos 2  3 Vậy B không phụ thuộc vào  (đpcm) 3) C  sin 4   4 cos 2   cos 4   4 sin 2  2 2  1  cos   2  4cos 2   1  sin   2  4sin 2   1  2 cos 2   cos 4   1  2 sin 2   sin 4  2 2  1  cos   2  1  sin   2  1  cos 2   1  sin 2   2   sin 2   cos 2    2  1  3 Vậy C không phụ thuộc vào  (đpcm) BÀI LUYỆN Bài 1: Cho  bất kì. Chứng minh rằng: 1) sin 4   cos 4   1  2 sin 2  cos 2  2) 1   sin 6   cos6    3sin 2  cos2  sin  1  cos  2 cos  1 3)   4)  tan   1  cos  sin  sin  1  sin  cos  2 tan  cot   1 5) tan 2   sin 2   tan 2  .sin 2  6) . 1 1  tan 2  cot  Bài 2: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào  . 1) A  cos 4   sin 4   2sin 2  2) B  2(sin 6   cos6  )  3(sin 4   cos4  ) 3) C  cos 4   2 cos 2   1  1  2sin 2   sin 4  Trang 10
  11. GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 BÀI TOÁN 3: CÁC PHÉP TOÁN VỀ VECTƠ VÀ TÍCH VÔ HƯỚNG. Phương pháp:         cos(a, b)   cos(  a, b)   cos( a, b)  cos( a, b)  Chú ý:          sin( a, b)  sin(  a, b)  sin( a, b)  sin(  a, b)  CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a , trọng tâm G . Tính các tích vô hướng sau:            1) AB. AC 2) BC .CA 3) GA.GB Giải:       a2   1) AB. AC  AB. AC.cos AB, AC  AB. AC.cos BAC  a.a.cos 60  0 2             a2     2) BC.CA  BC.CA.cos BC , CA   BC.CA.cos CB, CA   BC.CA.cos BCA  a.a.cos 600   2  a 3 2 2 a 3 a 3     ha  hb   GA  GB  ha  .  3) GA.GB . Vì ABC đều cạnh a nên  2 3 3 2 3     (GA, GB)  AGB  1200      a 3 a 3  1 a2  GA.GB  GA.GB.cos1200  . .     3 3  2 6 Trang 11
  12. GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3   Ví dụ 2: Hãy tính góc giữa hai hai vectơ a, b trong các trường hợp sau:       1) a  (3; 2) và b  (5; 1) . 2) a  (3; 4) và b  (4; 3) . 3) a  (2; 2 3) và b  (3; 3) . Giải:   1) a  (3; 2) và b  (5; 1) .    a.b 3.5  2.( 1) 13 2     Ta có: cos a, b     a .b  32  2 2 . 52  ( 1) 2 13 2  2    a, b  450   2) a  (3; 4) và b  (4; 3) .    a.b 3.4  4.( 3) 0     Ta có: cos a, b     a.b  32  42 . 42  ( 3) 2 25    0  a, b  900   3) a  (2; 2 3) và b  (3; 3) .    a.b 2.3  (2 3). 3 12 3     Ta có: cos a, b     a.b 2 2  8 3  2    a, b  1500   22  2 3 . 32  3   Ví dụ 3: Cho điểm A(2; 4) , B (1;1) , C (8; 2) . 1) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng. 2) Chứng minh rằng ABC vuông tại A . 3) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC . 4) Tính góc B của tam giác ABC . 5) Chứng minh rằng tứ giác ABCD :  31 23  a) là hình thang cân nếu D  ;  b) nội tiếp được trong một đường tròn nếu D (1; 2) . 5 5  6) Tìm tọa độ chân đường cao A ' của A trên BC . 7) Tìm tọa độ điểm K sao cho : a) K thuộc trục hoành và tam giác KAB cân tại K . b) K thuộc trục tung và tam giác KAB vuông tại K . c) tam giác ABK vuông cân tại B .   8) Một điểm M di động trên trục hoành. Tìm giá trị nhỏ nhất của MA  MB và tìm tọa độ điểm M khi đó. 9) Cho L (3; 2) .Tìm tọa độ trọng tâm G , trực tâm H , tâm đương tròn ngoại tiếp I của ABL . Từ đó hãy suy ra G, H , I đang thuộc cùng một đường thẳng (đường thẳng Ơ – le) . 10) Tìm tọa độ điểm E , F sao cho ABEF là hình vuông. Trang 12
  13. GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3   AB  (1; 3)    Giải: Cho điểm A(2; 4) , B (1;1) , C (8; 2) . Ta có:  AC  (6; 2) (*)    BC  (7;1)  1) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng. 1 3   Với (*) ta có:   AB, AC không cùng phương hay A, B, C không thẳng hàng (đpcm). 6 2 2) Chứng minh rằng ABC vuông tại A .       Cách 1: Với (*) ta có: AB.AC  (1).6  (3).(2)  0  AB  AC  BAC  900 hay ABC vuông tại A .  AB  12  (3) 2  10  AB 2  10   Cách 2: Với (*) ta có:  AC  62  (2) 2  2 10  AC 2  40  AB 2  AC 2  BC 2 hay ABC vuông tại A .  2 2 2  BC  7  1  5 2  BC  50  3) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC . +) Với ý 2) ta có chu vi tam giác ABC là : AB  AC  BC  10  2 10  5 2  3 10  5 2 . 1 1 +) Vì ABC là tam giác vuông tại A (theo chứng minh ý 2)) nên S ABC  AB. AC  . 10.2 10  10 . 2 2 ( Nếu ABC cân thì xác định tọa độ trung điểm cạnh đáy để tính chiều cao, còn nếu không đặc biệt gì thì ta đi    1 tính diện tích tam giác bằng cách đi tính cos A  cos( AB, AC )  sin A  1  cos 2 A  S ABC  AB. AC.sin A ) 2 4) Tính góc B của tam giác ABC .        BA  (1;3)      BA.BC 1.7  3.1 10 1 Ta có:    cos B  cos( BA, BC )      B  ? (bấm máy)  BC  (7;1)  BA.BC 12  32 . 7 2  12 10. 50 5 5) Chứng minh rằng tứ giác ABCD :  31 23  a) là hình thang cân nếu D  ;  5 5    21 3   AD   5 ; 5   3    AD / / BC  Ta có:     AD  BC   3 (1)    BC   7;1 5  AD  BC   5    AB  12  32  10  AB  (1; 3)    và    9 13    2 2  AB  DC (2)  9   13   DC   ;   DC        10  5 5    5  5  Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình thang cân với đáy lớn , đáy nhỏ lần lượt là BC , AD (đpcm). Trang 13
  14. GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 b) nội tiếp được trong một đường tròn nếu D (1; 2) .        BA  (1;3)      BA.BC 1.7  3.1 10 1 Ta có:    cos ABC  cos( BA, BC )     (3)  BC  (7;1)  BA.BC 12  32 . 7 2  12 10. 50 5       DA  (1; 2)    DA.DC  1.7  ( 2).0 7 1 và   cos ADC  cos( DA, DC )     (4)  DC  (7; 0)  DA.DC 12  22 . 7 2  02 5.7 5 Từ (3) và (4)  cos ABC   cos ADC  ABC và ADC bù nhau  ABC  ADC  1800 Suy ra ABCD nội tiếp đường tròn (đpcm). 6) Tìm tọa độ chân đường cao A ' của A trên BC .   AA '  ( x  2; y  4)  Gọi A '( x; y )     BA '  ( x  1; y  1)          Ta có A ' là hình chiếu của A trên BC (với BC  (7;1) ) nên AA '.BC  0 và BA ', BC cùng phương  12 7.( x  2)  y  4  0 x  5  7 x  y  18   12 6    x 1 y 1    A' ;  .  7  1  x  7 y  6 y  6  5 5    5 7) Tìm tọa độ điểm K sao cho : a) K thuộc trục hoành và tam giác KAB cân tại K .    KA  (2  x; 4)  Gọi K ( x;0)  Ox     . Tam giác KAB cân tại K suy ra KA  KB  KA2  KB 2  KB  (1  x;1)   (2  x) 2  16  (1  x)2  1  x 2  4 x  20  x 2  2 x  2  2 x  18  x  9  K (9; 0) b) K thuộc trục tung và tam giác KAB vuông tại K .    KA  (2; 4  y )  Gọi K (0; y )  Oy     . Tam giác KAB vuông tại K suy ra  KB  (1;1  y )       y  2  K (0; 2) KA.KB  0  2.1  (4  y )(1  y )  0  y 2  5 y  6  0     y  3  K (0;3) c) tam giác ABK vuông cân tại B .    BA  (1;3)  Gọi B ( x; y )    . Vì tam giác ABK vuông cân tại B suy ra  BK  ( x  1; y  1)         BA  BK    BA.BK  0 1.( x  1)  3.( y  1)  0 x  4  3y   2 2  2 2 2 2  2 2  BA  BK   BA  BK  1  3  ( x  1)  ( y  1) 10  (3  3 y)  ( y  1) x  4  3y x  4  3y  x  4  x  2  K (4;0)  2   y  0  hoặc   ( y  1)  1   y  2 y  0 y  2  K (2; 2)  Trang 14
  15. GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3   8) Một điểm M di động trên trục hoành. Tìm giá trị nhỏ nhất của MA  MB và tìm tọa độ điểm M khi đó. 3 5    Gọi N là trung điểm của AB suy ra N  ;  và khi đó MA  MB  2MN  2MN 2 2  2 3 5 2 5   Gọi M ( x;0)  Ox  MN   x        MA  MB  2MN  5  2 2 2 3 3    3  Dấu “=” xảy ra khi x  hay M  ; 0  . Vậy MA  MB  5 khi M  ; 0  . 2 2  min 2  9) Cho L (3; 2) .Tìm tọa độ trọng tâm G , trực tâm H , tâm đương tròn ngoại tiếp I của ABL . Từ đó hãy suy ra G, H , I đang thuộc cùng một đường thẳng (đường thẳng Ơ – le) .  2 1 3  xG   3 2 +) G là trọng tâm ABL nên có tọa độ  hay G  2;1 .  y  4 1 2  1  G  3     AB  ( 1;3)     LH ( x 3; y  2)    LH . AB  0   (1;6)     BH ( x 1; y 1)  AL ( x  3)  3( y  2)  0 +) Gọi H ( x; y ) là trực tâm ABL            BH . AL  0  ( x  1)  6( y  1)  0  11  x  3 y  3 x   3   11 2     H  ; .  x  6 y  5 y  2  3 9   9 +) Gọi I ( a; b) là tâm đường tròn ngoại tiếp ABL  IA  IB  IL  IA  IB (a  2)2  (b  4)2  (a  1) 2  (b  1) 2   4a  8b  20  2a  2b  2 a  3b  9   2 2 2 2    IB  IL (a  1)  (b  1)  (a  3)  (b  2)   2a  2b  2  6a  4b  13 4a  6b  11  29 a  6   29 25    I ;  b  25  6 18    18    17 7  GI   6 ; 18     11 2   29 25     +) Với G  2;1 , H   ;  và I  ;     GH  2GI  3 9  6 18   GH    17 ;  7   2.  17 ; 7   3 9   6 18       Suy ra G, H , I thẳng hàng hay G, H , I đang thuộc cùng một đường thẳng (đpcm). Trang 15
  16. GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 10) Tìm tọa độ điểm E , F sao cho ABEF là hình vuông    BA  (1;3)  Gọi E ( x; y )    .  BK  ( x  1; y  1)  Vì ABEF là hình vuông nên tam giác ABE vuông cân tại E suy ra          BA  BE    BA.BE  0 1.( x  1)  3.( y  1)  0 x  4  3y   2 2  2 2 2 2  2 2  BA  BE   BA  BE  1  3  ( x  1)  ( y  1) 10  (3  3 y)  ( y  1)  x  4   E (4; 0) x  4  3y   x  4  3y     y  0    y  0   E (4; 0)    F (2; 2) 2   x  2  E (2; 2)  ( y  1)  1   y  2     E (2; 2)   y  2    F (4; 0)  Ví dụ 4: Cho ba điểm A, B, C . Chứng minh rằng:           1) MA.BC  MB.CA  MC . AB  0 (hệ thức Ơ – le ) với M là điểm bất kì. Từ đó hãy suy ra cách chứng minh : Trong một tam giác 3 đường cao luôn đồng quy.            2) Khi ABC là tam giác với AD, BE , CF là ba trung tuyến thì : BC . AD  CA.BE  AB.CF  0 . Giải:            1) MA.BC  MB.CA  MC . AB  0 (hệ thức Ơ – le ) với M là điểm bất kì.                         Ta có: MA.BC  MB.CA  MC. AB  MA.BC  MA  AB .CA  MA  AC . AB                         MA. BC  CA  AB  AB. CA  AC  MA.0  AB.0  0 (đpcm).            2) Khi ABC là tam giác với AD, BE , CF là ba trung tuyến thì : BC . AD  CA.BE  AB.CF  0     Vì AD là trung tuyến ( D là trung điểm của BC ) nên ta có: AB  AC  2 AD                Khi đó : 2.BC. AD  BC.( AB  AC )  BC . AB  BC . AC (1)             2.CA.BE  CA.BC  CA.BA  Tương tự ta có:        (2)       2. AB.CF  AB.CB  AB.CA                        Từ (1) và (2) suy ra: 2.( BC. AD  CA.BE  AB.CF )  0 hay BC . AD  CA.BE  AB.CF  0 (đpcm). Trang 16
  17. GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 BÀI TOÁN 4: CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Phương pháp: Để chứng minh các hệ thức lượng M  N trong tam giác ta có các cách tiếp cận sau:  M  M1  M 2  ...  N Cách 1: Biến đổi từ vế phức tạp sang vế đơn giản   N  N1  N 2  ...  M M  M1  M 2  ...  C Cách 2: Sử dụng tính chất bắc cầu  MN  N  N1  N 2  ...  C Cách 3: Biến đổi tương đương M  N  M1  N1  M 2  N 2  ...  M n  N n (luôn đúng) . Cách 4: Xuất phát từ một đẳng thức đúng M n  N n  M n1  N n 1  ...  M1  N1  M  N . Chú ý: Các kiến thức bổ trợ : CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: 1) a  b cos C  c cos B . 2) sin A  sin B cos C  sin C cos B . 3) ha  2 R sin B sin C . Giải: 1) a  b cos C  c cos B . Áp dụng hệ quả định lí côsin ta có: a 2  b2  c2 c 2  a 2  b 2 a 2  b 2  c 2 c 2  a 2  b 2 2a 2 VP  b cos C  c cos B  b.  c.     a  VT (đpcm). 2ab 2ca 2a 2a 2a Trang 17
  18. GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 2) sin A  sin B cos C  sin C cos B (*) a b c a b c Áp dụng định lí sin ta có:    2 R  sin A  ; sin B  và sin C  . sin A sin B sin C 2R 2R 2R a2  b2  c2 c2  a 2  b2 và định hệ quả định lí côsin: cos C  và cos B  2ab 2ca a b a 2  b2  c 2 c c 2  a 2  b2 a 2  b2  c 2 c 2  a 2  b2 Khi đó (*)   .  . a   a  a (luôn đúng) 2 R 2R 2ab 2R 2ca 2a 2a Vậy sin A  sin B cos C  sin C cos B (đpcm). 3) ha  2 R sin B sin C .  1 2S 2 2 abc bc S  2 aha  ha  a  a .S  a . 4 R  2 R  Ta có:   ha  2 R sin B sin C (đpcm).  b  c  2 R  2 R sin B sin C  2 R. b . c  bc  sin B sin C  2R 2R 2R Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với BM , CN là các trung tuyến. Chứng minh rằng các điều kiện sau là tương đương: 1) BM  CN . 2) b 2  c 2  5a 2 . 3) cot A  2(cot B  cot C ) . Giải: Gọi G là trọng tâm tam giác ABC hay BM  CN  G . Ta sẽ chứng minh: 1)  2) và 3)  2) . +) Chứng minh: 1)  2) 2 2 2  2  BM  CN  BG  CG  BC   mb    mc   a 2  4  mb  mc2   9a 2 2 2 2 2 3  3   2c 2  2a 2  b 2 2a 2  2b 2  c 2  2 2 2 2 2 2 2 2  4.     9 a  b  c  4 a  9 a  b  c  5a  4 4  cos A  cos B cos C  +) Chứng minh: 3)  2) . Ta có: cot A  2  cot B  cot C    2   sin A  sin B sin C  b2  c 2  a 2  c 2  a 2  b2 a 2  b2  c 2    b2  c 2  a 2  c 2  a 2  b2 a 2  b2  c2   2bc  2 2ca  2ab   R.  2 R.   a b c    abc  abc abc  2R  2R 2R     b 2  c 2  a 2  2  c 2  a 2  b 2  a 2  b 2  c 2   b 2  c 2  5a 2 Trang 18
  19. GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: a 2  b2  c 2 1) bc cos A  ca cos B  ab cos C  . 2) bc(b 2  c 2 ) cos A  ca(c 2  a 2 ) cos B  ab(a 2  b 2 ) cos C  0 . 2 cos A cos B cos C a2  b2  c 2 3)    . b cos C  c cos B c cos A  a cos C a cos B  b cos A 2abc 4) abc  cos A  cos B  cos C   a 2 ( p  a )  b 2 ( p  b )  c 2 ( p  c) . a 2  b2  c 2 5) cot A  cot B  cot C  R. 6*) Nếu a 4  b 4  c 4 thì ABC nhọn và 2sin 2 A  tan B tan C . abc Giải: a 2  b2  c 2 1) bc cos A  ca cos B  ab cos C  . 2 b2  c 2  a2 c2  a 2  b2 a 2  b2  c 2 VT  bc cos A  ca cos B  ab cos C  bc  ca  ab 2bc 2ca 2ab b2  c 2  a2 c 2  a 2  b2 a 2  b2  c 2 a 2  b2  c2     = VP (đpcm). 2 2 2 2 2) bc(b 2  c 2 ) cos A  ca(c 2  a 2 ) cos B  ab(a 2  b 2 ) cos C  0 VT  bc(b 2  c 2 ) cos A  ca (c 2  a 2 ) cos B  ab(a 2  b2 ) cos C 2 2 b2  c2  a 2 2 2 2 c  a b 2 2 2 2 2 a b c 2 2  bc(b  c )  ca (c  a )  ab(a  b ) 2bc 2ca 2ab 1   (b 2  c 2 )(b 2  c 2  a 2 )  (c 2  a 2 )(c 2  a 2  b 2 )  (a 2  b 2 )(a 2  b2  c 2 )  2  1 2  2       b  (b 2  c 2  a 2 )  (a 2  b 2  c 2 )   c 2 (c 2  a 2  b 2 )  (b 2  c 2  a 2 )   a 2 (a 2  b 2  c 2 )  (c 2  a 2  b 2 )    1   2b 2 (c 2  a 2 )  2c 2 (a 2  b 2 )  2a 2 (b 2  c 2 )   0  VP (đpcm). 2  cos A cos B cos C a2  b2  c 2 3)    b cos C  c cos B c cos A  a cos C a cos B  b cos A 2abc cos A b2  c 2  a 2  a 2  b2  c2 c2  a 2  b2  Ta có:  :  b. c  b cos C  c cos B 2bc  2ab 2ca  b2  c2  a 2  a 2  b2  c 2 c 2  a 2  b2  b2  c2  a 2 b2  c 2  a 2  :   :a  2bc  2a 2a  2bc 2abc cos A b2  c 2  a 2 cos B c2  a 2  b2 cos C a2  b2  c 2 Vậy  . Tương tự :  ;  b cos C  c cos B 2abc c cos A  a cos C 2abc a cos B  b cos A 2abc b2  c2  a 2 c2  a 2  b2 a 2  b2  c 2 a 2  b2  c2 Khi đó VT     = VP (đpcm). 2abc 2abc 2abc 2abc Trang 19
  20. GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 4) abc  cos A  cos B  cos C   a 2 ( p  a )  b 2 ( p  b )  c 2 ( p  c)  b2  c 2  a2 c 2  a 2  b2 a 2  b2  c2  VT = abc  cos A  cos B  cos C   abc      2bc 2ca 2ab  1   a ( b 2  c 2  a 2 )  b (c 2  a 2  b 2 )  c ( a 2  b 2  c 2 )  2  1   a 2 (b  c  a)  b 2 (c  a  b)  c 2 (a  b  c)  2  bca c  a b 2 a bc  a2  b2 c  a 2 ( p  a )  b 2 ( p  b)  c 2 ( p  c ) = VP (đpcm). 2 2 2 a 2  b2  c 2 5) cot A  cot B  cot C  R. abc cos A cos B cos C Ta có: cot A  cot B  cot C    sin A sin B sin C b2  c 2  a2 c2  a2  b2 a 2  b2  c2  2bc  2ca  2ab a b c 2R 2R 2R b2  c2  a 2 c2  a 2  b2 a 2  b2  c2  R R R abc abc abc a 2  b2  c 2  R . abc a 2  b2  c 2 Vậy cot A  cot B  cot C  R (đpcm). abc 6*) Nếu a 4  b 4  c 4 thì ABC nhọn và 2sin 2 A  tan B tan C . 4 4 a 4  b 4  4 a  b  A  B +) Do a  b  c   4 4   (1*) a  c  a  c  A  C 2 Mặt khác  b 2  c 2   b 4  c 4  2b 2c 2  a 4  2b 2 c 2  a 4  (a 2 )2  b 2  c 2  a 2  b 2  c 2  a 2  0 b2  c2  a 2 Suy ra cos A   0  A là góc nhọn (2*) 2bc Từ (1*) và (2*) suy ra ABC nhọn (đpcm). sin B sin C sin B sin C 4a 2bc.sin B.sin C 4a 2bc.sin B.sin C +) Ta có: tan B tan C  .  2 . 2  2 2  4 cos B cos C c  a 2  b 2 a  b 2  c 2 (a )  (b 2  c 2 )2 a  (b 4  c 4 )  2b 2c 2 2ca 2ab 2 4a bc.sin B.sin C  sin B   sin C  2  sin A   sin A   2 2  2a 2   .   2a .   . 2   2 sin A (đpcm). 2b c  b  c   a  a  Trang 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2