ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN THỊ THANH HUYỀN
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN
CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG
LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN CÂN BẰNG
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 9 46 01 02
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN–NĂM 2020
Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Thái Nguyên.
Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Lê Dũng Mưu
Phản biện 1:...................................................................
Phản biện 2: ..................................................................
Phản biện 3:...................................................................
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp trường họp
tại: Trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên.
Vào hồi ... giờ ... ngày ... tháng ... năm 2019
Mở đầu
Bài toán cân bằng, còn được gọi là bất đẳng thức Ky Fan, được nghiên
cứu trong luận án này có thể phát biểu một cách đơn giản như sau:
Cho Clà một tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Rnvà f:C×C→R
là một song hàm thỏa mãn f(x, x) = 0, với mọi x∈C(song hàm có tính
chất này thường được gọi là song hàm cân bằng).
Tìm x∗∈Csao cho f(x∗, y)≥0,∀y∈C. EP(C, f)
Bất đẳng thức trên được H. Nikaido và K. Isoda sử dụng lần đầu tiên vào
năm 1955 trong khi nghiên cứu trò chơi không hợp tác. Năm 1972, Ky Fan
gọi là bất đẳng thức minimax và ông đã đưa ra các kết quả về sự tồn tại
nghiệm của bài toán này. Thuật ngữ bài toán cân bằng được sử dụng lần
đầu tiên bởi GS. L.D. Muu và W. Oettli năm 1992. Bài toán cân bằng bao
hàm nhiều lớp bài toán quen thuộc như bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng
thức biến phân, bài toán điểm bất động Kakutani, bài toán cân bằng Nash
trong lý thuyết trò chơi không hợp tác, bài toán cân bằng véctơ, bài toán
cân bằng tập... Các bài toán này, một số được trình bày bởi GS. L.D. Muu
và W. Oettli, sau đó được E. Blum và W. Oettli giới thiệu thêm trong công
trình của mình vào năm 1994, gần đây được giới thiệu khá đầy đủ trong
cuốn sách chuyên khảo của G. Bigi và các cộng sự. Ngoài ra, bài toán cân
bằng còn được mở rộng sang các bài toán cân bằng véctơ, bài toán cân bằng
tập, chẳng hạn bởi các tác giả P.H. Sach, N.X. Tan, T.X.D. Ha, D.V. Luu,...
và cuốn chuyên khảo của G. Kassay.
Trong vài chục năm trở lại đây, bài toán cân bằng được nghiên cứu cả về
tính chất định tính và các phương pháp giải.
Về tính chất định tính, sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng được
1
khảo sát bởi các tác giả M. Bianchi, R. Pini, G. Bigi, L.D. Muu, A. Iusem,
G. Kassay, W. Sosa... Sự ổn định nghiệm, cấu trúc của tập nghiệm được
nghiên cứu bởi L.Q. Anh, P.Q. Khanh, L.D. Muu và một số tác giả khác.
Hướng nghiên cứu về phương pháp giải có thể nói là được quan tâm nhiều
hơn, chẳng hạn bởi P.K. Anh, L.D. Muu, D. Aussel, J. Contreras, B.V. Dinh,
N.V. Quy, P.N. Anh, A. Iusem, D.V. Hieu, P. Santos, S. Scheimberg, L.Q.
Thuy, T.N. Hai,... Do bài toán cân bằng bao hàm nhiều bài toán quan trọng,
khó giải như là những trường hợp riêng, nên không hy vọng có một thuật
toán hiệu quả để giải bài toán cân bằng tổng quát. Vì thế người ta đã nghiên
cứu các phương pháp giải bài toán cân bằng với những giả thiết nhất định.
Các giả thiết thông thường hay được dùng là một tính chất đơn điệu nào
đó và tính lồi, khả dưới vi phân theo biến thứ hai của song hàm f.
Một số tiếp cận về phương pháp giải bài toán cân bằng có thể được chia
ra như sau:
•Phương pháp điểm bất động cho ánh xạ co, hoặc không giãn, không
giãn suy rộng dựa trên nguyên lý bài toán phụ. Nguyên lý bài toán phụ
cho bài toán cân bằng EP (C, f)liên quan đến bài toán cân bằng dưới
đây
Tìm x∈C:fα(x, y) := f(x, y) + αM(x, y)≥0,∀y∈C EP (C, fα)
trong đó α > 0, và M(được gọi là hàm khoảng cách Bregman) có tính
chất
(M1) Xác định trên toàn không gian, hàm M(x, .)lồi mạnh, khả vi và
∇M(x, x) = 0 với mọi x∈C.
Nguyên lý bài toán phụ được G. Cohen đề xuất lần đầu tiên cho bài
toán tối ưu và bài toán bất đẳng thức biến phân lần lượt vào năm 1980
và 1988. Đến năm 2003, nguyên lý này đã được mở rộng cho bài toán
cân bằng bởi G. Mastroeni.
•Phương pháp hàm đánh giá (gap function). Ý tưởng chính của phương
pháp hàm đánh giá là chuyển việc giải bài toán cân bằng về bài toán tối
2
ưu. Hai loại hàm đánh giá cơ bản là hàm đánh giá Auslender và hàm
đánh giá Fukushima được định nghĩa lần lượt như sau
gA(x) = −min{f(x, y) : y∈C}
gF(x) = −min{f(x, y) + αM(x, y) : y∈C},
trong đó α > 0và song hàm Mcó tính chất đã nêu ở trên. Như đã biết,
x∈C,gA(x) = 0, hoặc gF(x) = 0 khi và chỉ khi xlà nghiệm của bài
toán EP (C, f). Chú ý rằng bài toán quy hoạch lồi xác định gA(x)có
thể không tồn tại nghiệm, và nếu có nghiệm thì nghiệm có thể không
duy nhất. Tuy nhiên bài toán xác định gF(x), do M(x, .)lồi mạnh, nên
luôn tồn tại duy nhất nghiệm.
•Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và điểm gần kề (proximal point).
Các phương pháp này nhằm mục đích chuyển việc giải bài toán đặt
không chỉnh, ví dụ các bài toán không duy nhất nghiệm, và/hoặc nghiệm
không phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện ban đầu về việc giải các bài
toán đặt chỉnh. Để đảm bảo tính duy nhất nghiệm, người ta thường
dùng một song hàm hiệu chỉnh và một tham số hiêụ chỉnh để xây dựng
bài toán phụ có duy nhất nghiệm phụ thuộc tham số hiệu chỉnh, và
nghiệm duy nhất này sẽ hội tụ đến một nghiệm của bài toán ban đầu,
khi tham số hiệu chỉnh tiến tới giá trị nhất định. Các phương pháp hiệu
chỉnh này đã được sử dụng một cách hiệu quả cho bài toán tối ưu, bất
đẳng thức biến phân, phương trình toán tử, bao hàm thức đơn điệu và
gần đây cho bài toán cân bằng đơn điệu, giả đơn điệu.
Trong phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov bài toán hiệu chỉnh, với hàm
hiệu chỉnh khoảng cách, được cho như sau:
fT(x, y) := f(x, y) + ǫhx−xg, y −xi,
trong đó ǫ > 0là tham số hiệu chỉnh, còn xgđóng vai trò như lời giải
dự đoán. Trong phương pháp điểm gần kề, điểm dự đoán xgthay đổi ở
3