Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính điều khiển được của một số lớp phương trình Parabolic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI<br /> ——————— * ———————<br /> <br /> VŨ MẠNH TỚI<br /> <br /> TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA<br /> MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC<br /> <br /> Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân<br /> Mã số: 62 46 01 03<br /> <br /> TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> Hà Nội - 2016<br /> <br /> Luận án được hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Cung Thế Anh<br /> <br /> Phản biện 1: GS. TSKH. Vũ Ngọc Phát, Viện Toán học, Viện<br /> Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam<br /> Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Thiệu Huy, Trường Đại học Bách<br /> khoa Hà Nội<br /> Phản biện 3: TS. Phạm Triều Dương, Trường Đại học Sư phạm<br /> Hà Nội<br /> <br /> Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp<br /> Trường họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi .... giờ<br /> .... ngày .... tháng .... năm .....<br /> <br /> Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện: Thư viện Quốc Gia, Hà Nội<br /> hoặc Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội<br /> <br /> MỞ ĐẦU<br /> 1.<br /> <br /> LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI<br /> <br /> Trong khoảng hai thập kỉ gần đây, tính điều khiển được (bao<br /> gồm tính điều khiển được chính xác, tính điều khiển được về 0,<br /> tính điều khiển được xấp xỉ) đã được nghiên cứu đối với nhiều<br /> lớp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính và nửa tuyến tính.<br /> Bởi phương pháp duy nhất Hilbert (Hilbert Uniqueness Method<br /> (HUM)) đề xuất bởi J.-L. Lions (1988), tính điều khiển được của<br /> bài toán tuyến tính được qui về tính quan sát được của bài toán<br /> liên hợp tương ứng. Để thiết lập tính quan sát được của bài toán<br /> liên hợp tương ứng thông qua các bất đẳng thức quan sát, một<br /> trong những công cụ hiệu lực nhất là các ước lượng kiểu Carleman<br /> toàn cục. Còn tính điều khiển được của bài toán nửa tuyến tính<br /> được chứng minh bằng cách sử dụng tính điều khiển được của bài<br /> toán tuyến tính hóa tương ứng và phương pháp điểm bất động<br /> đề xuất lần đầu tiên bởi Zuazua (1991-1993) cho phương trình<br /> truyền sóng nửa tuyến tính một chiều.<br /> Một trong những lớp phương trình đạo hàm riêng được nghiên<br /> cứu nhiều là lớp phương trình tiến hóa kiểu parabolic, chứa đựng<br /> phương trình truyền nhiệt cổ điển, nhiều lớp phương trình parabolic<br /> xuất hiện trong hóa học, sinh học và trong cơ học chất lỏng.<br /> Nghiên cứu tính điều khiển được của các phương trình parabolic<br /> đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong khoảng hai<br /> thập niên gần đây. Sau những nghiên cứu tiên phong của Fursikov<br /> và Imanuvinov (1995,1996), Lebeau và Robbiano (1995) bằng công<br /> cụ ước lượng Carleman, đã có nhiều tiến bộ trong việc tìm hiểu<br /> về các tính chất điều khiển được của các phương trình parabolic<br /> không suy biến với các hệ số biến thiên. Các kết quả này cũng được<br /> mở rộng cho các bài toán parabolic nửa tuyến tính bởi Fabre et al.<br /> (1995), Fernández-Cara (1997), Zuazua (1997,1999), FernándezCara và Zuazua (2000), Doubova et al. (2002), Fernández-Cara<br /> 1<br /> <br /> và Guerrero (2006). Các kết quả đạt được đều dựa trên công cụ<br /> chính là bất đẳng thức Carleman cho nghiệm của bài toán liên hợp<br /> tương ứng. Các bất đẳng thức Carleman được thiết lập khi này<br /> yêu cầu phần chính của phương trình là toán tử elliptic đều, miền<br /> bị chặn và không có thế vị kì dị. Bên cạnh đó, tính điều khiển<br /> được của các phương trình parabolic đều trong miền không bị<br /> chặn cũng đã được nghiên cứu bởi Cabanillas et al. (2001), Miller<br /> (2005), González-Burgos và Teresa (2007). Có thể nói ngày nay lí<br /> thuyết điều khiển được đối với các phương trình parabolic đều đã<br /> khá hoàn thiện trong cả trường hợp tuyến tính và nửa tuyến tính.<br /> Trong khoảng một thập kỉ trở lại đây, tính điều khiển được<br /> của phương trình parabolic suy biến, không có hoặc có thế vị kì<br /> dị, đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học. Những nghiên<br /> cứu này được thúc đẩy bởi nhiều bài toán vật lí khác nhau như<br /> mô hình tầng lớp biên Buchot và Raymond (2002), các mô hình<br /> di truyền quần thể cá, các mô hình khí hậu Bydyko-Sellers, . . . .<br /> Tuy nhiên, hầu hết các kết quả đạt được hiện tại chủ yếu trong<br /> trường hợp một chiều (xem Martinez et al. (2003), Cannarsa et al.<br /> (2005,2006,2008), Vancostenoble (2006,2011), Fotouhi và Salimi<br /> (2012) và các tài liệu trích dẫn trong đó), trong khi mới chỉ có rất<br /> ít kết quả điều khiển được trong trường hợp nhiều chiều, chủ yếu là<br /> trường hợp hai chiều đối với phương trình parabolic chứa toán tử<br /> div(A(x)∇u) bởi Cannarsa et al. (2016), phương trình parabolic<br /> chứa toán tử Grushin bởi Beauchard et al. (2014), phương trình<br /> Kolmogorov bởi Beauchard (2014), Rousseau và Moyano (2016),<br /> và một lớp phương trình suy biến nhiều chiều với số hạng đối lưu<br /> bởi Wang và Du (2010,2013,2014). Ngoài ra, các kết quả về tính<br /> điều khiển được của các phương trình suy biến/kì dị nửa tuyến<br /> tính vẫn còn rất ít. Đây đang là những vấn đề thời sự thu hút<br /> được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học.<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU<br /> Như đã đề cập đến trong phần Lí do chọn đề tài, việc nghiên<br /> cứu tính điều khiển được của các phương trình parabolic suy biến<br /> hoặc có thế vị kì dị trong trường hợp nhiều chiều hoặc trong trường<br /> hợp nửa tuyến tính đang là vấn đề thời sự hiện nay. Chúng tôi<br /> điểm qua một số kết quả tiêu biểu theo hướng nghiên cứu này:<br /> Một trong các lớp phương trình suy biến mà được nghiên cứu<br /> mạnh trong những năm gần đây là lớp phương trình chứa toán<br /> tử Grushin Gs u = ∆x u + |x|2s ∆y u, s ≥ 0. Toán tử này được<br /> đưa ra đầu tiên bởi Grushin (1971). Chú ý rằng G0 = ∆ toán<br /> tử Laplace, và Gs khi s > 0, không là elliptic trong những miền<br /> có giao với mặt x = 0. Sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm<br /> của các phương trình và hệ parabolic nửa tuyến tính chứa toán<br /> tử này đã được nghiên cứu gần đây trong cả trường hợp ôtônôm<br /> và không ôtônôm (xem C.T.Anh et al. (2008), C. T. Anh (2010),<br /> C.T.Anh và V.M.Toi (2012)). Tính điều khiển được của phương<br /> trình parabolic chứa toán tử Grushin được nghiên cứu đầu tiên<br /> trong trường hợp hai chiều bởi Beauchard et al. (2014). Xem thêm<br /> kết quả gần đây bởi Beauchard et al. (2015). Tuy nhiên, tính điều<br /> khiển được của lớp phương trình này trong trường hợp nhiều chiều<br /> vẫn còn nhiều vấn đề mở.<br /> Một lớp phương trình parabolic rất được quan tâm khác là lớp<br /> phương trình parabolic chứa toán tử: Aµ = −∆ − µ/|x|2 . Các kết<br /> quả về tính đặt đúng của bài toán cũng như dáng điệu tiệm cận<br /> nghiệm của phương trình parabolic chứa tử Aµ đã được nghiên cứu<br /> bởi nhiều nhà toán học (xem Baras và Goldstein (1984), Brezis và<br /> Vázquez (1997), Vázquez và Zuazua (2000), C.T.Anh và T.T.H.<br /> Yen (2011) và các tài liệu trích dẫn trong đó). Trong khi đó, tính<br /> điều khiển được của phương trình parabolic chứa toán tử này đã<br /> nhận được bởi Vancostenoble-Zuazua (2008) và Ervedoza (2008)<br /> cho trường hợp kì dị ở bên trong miền, và bởi Cazacu (2014) cho<br /> 3<br /> <br />