Tóm tắt Luận án tiến sĩ: Xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân với họ vô hạn các ánh xạ không gian

Chia sẻ: Phong Tỉ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích chính của luận án này là nghiên cứu đề xuất các phương pháp lặp dạng hiện xấp xỉ nghiệm cho một lớp bài toán bất đẳng thức biến phân. Cụ thể lớp bài toán đó là "Bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được các ánh xạ không giãn trên không gian Banach phản xạ thực;...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án tiến sĩ: Xấp xỉ nghiệm cho bất đẳng thức biến phân với họ vô hạn các ánh xạ không gian

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM NGUYN SONG H XP X NGHIM CHO BT NG THÙC BIN PHN VÎI HÅ VÆ HN CC NH X KHÆNG GIN Ng nh: To¡n Gi£i t½ch M¢ sè: 9460102 TÂM TT LUN N TIN S TON HÅC THI NGUYN - 2018
Cæng tr¼nh ÷ñc ho n th nh t¤i: Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: GS.TS. Nguy¹n B÷íng Ph£n bi»n 1: ............................................. Ph£n bi»n 2: ............................................. Ph£n bi»n 3: ............................................. Luªn ¡n s³ ÷ñc b£o v» tr÷îc Hëi çng ch§m luªn ¡n c§p Tr÷íng håp t¤i: Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n. V o hçi ...... gií ...... ng y ...... th¡ng ...... n«m 2018 Câ thº t¼m hiºu luªn ¡n t¤i th÷ vi»n: - Th÷ vi»n Quèc gia Vi»t Nam - Trung t¥m håc li»u ¤i håc Th¡i Nguy¶n - Th÷ vi»n tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n
1 Mð ¦u B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ¢ ÷ñc · xu§t v o nhúng n«m ¦u cõa thªp ni¶n 60 th¸ k¿ XX, gn li·n vîi nhúng nghi¶n cùu cõa Lions, Stampacchia v cëng sü (Lions v Stampacchia, 1965, 1967; Hartman v Stampacchia, 1966). Tø â ¸n nay, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n luæn l mët chõ · nghi¶n cùu mang t½nh thíi sü v thu hót ÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u nh khoa håc trong v ngo i n÷îc. Nhi·u b i to¡n nh÷: b i to¡n cüc trà; b i to¡n iºm b§t ëng; b i to¡n c¥n b¬ng; b i to¡n bò; ph÷ìng tr¼nh vîi to¡n tû ìn i»u; b i to¡n bi¶n câ d¤ng cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng . . . câ thº quy v· mæ h¼nh b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n d÷îi c¡c gi£ thi¸t th½ch hñp. V¼ th¸ b i to¡n n y l mët cæng cö m¤nh v thèng nh§t trong nghi¶n cùu nhi·u mæ h¼nh b i to¡n l½ thuy¸t v ùng döng thüc t¸. Ð Vi»t Nam, theo nhi·u con ÷íng ti¸p cªn kh¡c nhau, c¡c nh khoa håc câ nhúng âng gâp quan trång cho b i to¡n n y câ thº kº ¸n nh÷ c¡c nhâm nghi¶n cùu cõa GS.TSKH. Ph¤m Ký Anh (P.K. Anh v tg, 2015, 2017); GS.TSKH. Phan Quèc Kh¡nh (P.Q. Kh¡nh v tg, 2005, 2006); GS.TSKH. inh Th¸ Löc (.T. Löc v tg, 2008, 2014); GS.TSKH. L¶ Dông M÷u (L.D. M÷u v tg, 2005, 2012); GS.TSKH. Ph¤m Húu S¡ch (P.H. S¡ch v tg, 2004, 2008); GS.TSKH. Nguy¹n Xu¥n T§n (N.X. T§n v tg, 2012, 2013); GS.TSKH. Nguy¹n æng Y¶n (N.. Y¶n v tg, 2005, 2008); GS.TS. Nguy¹n B÷íng (N. B÷íng v tg, 2011, 2013, 2015, 2016); PGS.TS. Ph¤m Ngåc Anh (P.N. Anh v tg, 2004, 2005, 2010); PGS.TS. Nguy¹n Quang Huy (N.Q. Huy v tg, 2011) v PGS.TS. Nguy¹n Thà Thu Thõy (N.T.T. Thõy v tg, 2013, 2016) . . . B¶n c¤nh â, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v mët sè b i to¡n li¶n quan công ¢ v ang l · t i nghi¶n cùu cõa nhi·u t¡c gi£ l ti¸n s¾ v nghi¶n cùu sinh trong n÷îc. Mæ h¼nh b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n cê iºn câ d¤ng: T¼m x∗ ∈ C sao cho: hF (x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C, (0.1) trong â C l tªp con lçi âng kh¡c réng cõa khæng gian Hilbert H v F : H → H l ¡nh x¤ x¡c ành tr¶n H . Trong tr÷íng hñp tªp C cõa b i to¡n (0.1) ÷ñc cho d÷îi d¤ng ©n l tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n hay væ h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n th¼ b i to¡n (0.1) câ li¶n h» vîi nhi·u b i to¡n thüc ti¹n nh÷ b i to¡n khæi phöc t½n hi»u, b i to¡n ph¥n phèi b«ng thæng, kiºm so¡t n«ng l÷ñng cho h» thèng m¤ng vi¹n thæng CDMA v k¾ thuªt xû l½ t½n hi»u b«ng t¦n. º câ thº ùng döng b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v o thüc ti¹n, ái häi ph£i câ nhúng ph÷ìng ph¡p gi£i sè hi»u qu£ cho b i to¡n n y. V¼ l³ â, mët trong nhúng
2 h÷îng nghi¶n cùu quan trång hi»n nay d nh ÷ñc sü quan t¥m cõa nhi·u nh to¡n håc trong v ngo i n÷îc â l vi»c · xu§t c¡c ph÷ìng ph¡p mîi t¼m nghi»m cõa b i to¡n (0.1) ho°c c£i ti¸n hi»u qu£ cõa nhi·u ph÷ìng ph¡p ¢ câ. Cho ¸n nay ng÷íi ta ¢ thi¸t lªp ÷ñc nhi·u k¾ thuªt gi£i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n düa tr¶n ph÷ìng ph¡p chi¸u cõa Goldstein (1964), Polyak (1966, 1967, 1969), ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· cõa Martinet (1970), Rokaffellar (1976), nguy¶n lþ b i to¡n phö cõa Cohen (1980), ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh d¤ng Browder-Tikhonov (Browder, 1966; Tikhonov, 1963), ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· hi»u ch¿nh cõa Lehdili v Moudafi (1996), Ryazantseva (2002) v ph÷ìng ph¡p iºm g¦n k· qu¡n t½nh do Alvarez v Attouch (2001) · xu§t ho°c düa tr¶n mët sè k¾ thuªt t¼m iºm b§t ëng nh÷ ph÷ìng ph¡p l°p Krasnosel'skii-Mann (Mann, 1953; Krasnosel'skii, 1955), ph÷ìng ph¡p l°p Halpern (1967) v ph÷ìng ph¡p x§p x¿ m·m (Moudafi, 2000). Ph÷ìng ph¡p l°p iºn h¼nh º gi£i b i to¡n (0.1) l ph÷ìng ph¡p chi¸u gradient (Goldstein, 1964; Zeidler, 1990) ÷ñc mæ t£ nh÷ sau:  x ∈ C, 0 xk+1 = PC (I − ρF )(xk ), (0.2) k = 0, 1, 2, . . . trong â PC l ph²p chi¸u m¶tric tø H l¶n C , I l ¡nh x¤ ìn và tr¶n H v ρ l mët h¬ng sè d÷ìng cè ành. Ph÷ìng ph¡p (0.2) câ c§u tróc ìn gi£n n¶n vi»c vªn döng trong nhúng t¼nh huèng cö thº kh¡ thuªn ti»n. Ph÷ìng ph¡p n y l sü k¸t hñp giúa vi»c sû döng trüc ti¸p d¤ng âng cõa ph²p chi¸u PC v ph÷ìng ph¡p kiºu ÷íng dèc nh§t. Nhí câ nhúng ti¸n bë ¡ng kº trong l½ thuy¸t iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n ð th¸ k¿ XX, ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t ÷ñc Yamada v cëng sü (Yamada v tg, 1998, 1999) · xu§t nh÷ l mët bi¸n thº cõa ph÷ìng ph¡p ÷íng dèc nh§t º t¼m cüc tiºu cõa mët h m lçi tr¶n tªp iºm b§t ëng chung cõa c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n. °c iºm ch½nh cõa ph÷ìng ph¡p n y l dòng d¤ng âng cõa c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n b§t k¼ m tªp iºm b§t ëng chung cõa nâ l tªp r ng buëc cõa b i to¡n. M°t kh¡c, trong nhi·u b i to¡n thüc t¸, ch¯ng h¤n b i to¡n xû l½ t½n hi»u (Iiduka, 2010), kiºm so¡t n«ng l÷ñng cho h» thèng m¤ng vi¹n thæng CDMA (Iiduka, 2012) ho°c ph¥n phèi b«ng thæng (Iiduka v Uchida, 2011) . . . câ thº ÷a v· b i to¡n t¼m nghi»m cõa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp iºm b§t ëng cõa mët ho°c mët hå c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n. Hìn núa, chóng ta bi¸t r¬ng, måi tªp con lçi âng ·u câ thº biºu di¹n d÷îi d¤ng giao ¸m ÷ñc cõa c¡c nûa khæng gian, do â l giao ¸m ÷ñc cõa tªp iºm b§t ëng c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n l c¡c to¡n tû chi¸u l¶n nhúng nûa khæng gian n y. V¼ th¸ b i to¡n t¼m nghi»m cõa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (0.1) tr¶n mët tªp con lçi âng câ thº quy v· vi»c t¼m nghi»m b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n. Khi â, mët v§n · °t ra l x¡c ành ph÷ìng ph¡p l°p x§p x¿ nghi»m cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (0.1) nh÷ th¸ n o n¸u chóng ta câ d¤ng hi»n cõa c¡c ¡nh x¤ khæng
3 gi¢n Ti? (i ∈ I vîi I l tªp ch¿ sè n o â). Xu§t ph¡t tø þ t÷ðng n y, n«m 2001, Yamada ¢ x¥y düng ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t m ph÷ìng ph¡p n y hëi tö m¤nh v· mët th nh ph¦n n¬m trong tªp iºm b§t ëng chung cõa hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n çng thíi thäa m¢n l nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (0.1). Cö thº, khi C := Fix(T ) l tªp iºm b§t ëng cõa mët ¡nh x¤ khæng gi¢n, Yamada ¢ thi¸t lªp ÷ñc ành l½ hëi tö m¤nh sau. ành l½ 0.2. Cho F : H → H l ¡nh x¤ li¶n töc L-Lipschitz v η -ìn i»u m¤nh tr¶n H . Cho T : H → H l ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n H vîi Fix(T ) 6= ∅. Gi£ sû ρ ∈ (0, 2η/L2 ) v d¢y λk ∈ (0, 1] thäa m¢n c¡c i·u ki»n: ∞ (L1) lim λk = 0, (L2) λk = ∞, (L3) lim (λk − λk+1)λ−2 k+1 = 0. X k→∞ k→∞ k=1 Khi â, vîi iºm ban ¦u tòy þ x0 ∈ H , d¢y l°p x¡c ành bði xk+1 = T (xk ) − λk+1 ρF (T (xk )), k = 0, 1, 2, . . . (0.3) hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t x∗ cõa b i to¡n (0.1). Trong tr÷íng hñp C l tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n Ti : H → H (i = 1, 2, 3, ..., N ), d¢y l°p xoay váng x§p x¿ nghi»m cho b i to¡n (0.1) ÷ñc Yamada x¥y düng câ d¤ng xk+1 = T[k+1] (xk ) − λk+1 ρF (T[k+1] (xk )), k = 0, 1, 2, . . . (0.4) ð ¥y, [k] := k mod N l h m modulo l§y gi¡ trà trong tªp {1, 2, 3, . . . , N }. ành l½ 0.3. Cho F : H → H l ¡nh x¤ li¶n töc L-Lipschitz v η-ìn i»u m¤nh tr¶n H . Cho N Ti : H → H l hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n H vîi C := Fix(Ti) 6= ∅ v \ i=1 C = Fix(T1 T2 . . . TN ) = Fix(T2 T3 . . . TN T1 ) = · · · = Fix(TN T1 . . . TN −1 ). Gi£ sû ρ ∈ (0, 2η/L2) v d¢y ∞ λk ∈ (0, 1] thäa m¢n c¡c i·u ki»n: ∞ (L1) k→∞ (L2) λk = ∞, (L3) X X ∗ lim λk = 0, |λk − λk+N | < ∞. k=1 k=1 Khi â, vîi iºm ban ¦u tòy þ x0 ∈ H , d¢y l°p (0.4) hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t x∗ cõa b i to¡n (0.1). Tø â ¸n nay, ¢ câ nhi·u cæng tr¼nh nghi¶n cùu nh¬m mð rëng ho°c c£i ti¸n ph÷ìng ph¡p cõa Yamada theo nhi·u h÷îng kh¡c nhau. Ch¯ng h¤n, theo h÷îng l m gi£m nhµ i·u ki»n °t l¶n c¡c d¢y tham sè l°p (Xu v tg, 2003; Zeng v tg, 2007) hay lo¤i bä gi£ thi¸t v· t½nh giao ho¡n tr¶n tªp iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n Ti (Nguy¹n B÷íng v tg, 2011). Ho°c, x²t b i to¡n (0.1) trong tr÷íng hñp têng qu¡t hìn vîi C
4 l tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n. Theo h÷îng n y, mët sè ph÷ìng ph¡p l°p ÷ñc thi¸t lªp x§p x¿ nghi»m cho b i to¡n (0.1) thæng qua vi»c dòng ¡nh x¤ Wk (Iemoto v tg 2008; Yao v tg, 2010; Wang, 2011). Tuy vªy, ¡nh x¤ Wk câ c§u tróc phùc t¤p. Ngo i ra, c¡c k¸t qu£ nâi tr¶n ·u ÷ñc thi¸t lªp trong khæng gian Hilbert H v ð méi b÷îc l°p ·u ÷ñc thüc hi»n lu¥n phi¶n xoay váng n¶n â l c¡c ph÷ìng ph¡p tu¦n tü. Mët h÷îng kh¡c l nghi¶n cùu mð rëng tø khæng gian Hilbert H tîi c¡c lîp khæng gian Banach E (Ceng v tg, 2008; Chidume v tg, 2011; Nguy¹n B÷íng v tg, 2013, 2015). Nêi bªt trong â l hai ph÷ìng ph¡p l°p d¤ng hi»n x§p x¿ nghi»m cho mët lîp b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Banach cõa Nguy¹n B÷íng v cëng sü (2015). C¡c ph÷ìng ph¡p n y sû döng ¡nh x¤ Sk câ c§u tróc ìn gi£n v câ thº t½nh to¡n song song ÷ñc. Câ thº kh¯ng ành r¬ng, vi»c x¥y düng c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n trong khæng gian Banach l mët v§n · ÷ñc n£y sinh mët c¡ch tü nhi¶n v c¦n thi¸t º l m phong phó v ho n thi»n th¶m cho lþ thuy¸t v· b i to¡n quan trång n y. V¼ nhúng l½ do ¢ ph¥n t½ch ð tr¶n, chóng tæi lüa chån · t i nghi¶n cùu cho luªn ¡n l "X§p x¿ nghi»m cho b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vîi hå væ h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n". Möc ½ch ch½nh cõa luªn ¡n n y l nghi¶n cùu · xu§t c¡c ph÷ìng ph¡p l°p d¤ng hi»n x§p x¿ nghi»m cho mët lîp b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n. Cö thº, lîp b i to¡n â l "B i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n khæng gian Banach ph£n x¤ thüc, lçi ch°t v câ chu©n kh£ vi G¥teaux ·u". Luªn ¡n gi£i quy¸t c¡c v§n · sau: 1. X¥y düng c¡c ph÷ìng ph¡p l°p d¤ng hi»n x§p x¿ nghi»m cho lîp b i to¡n nghi¶n cùu thæng qua vi»c · xu§t v sû döng c¡c ¡nh x¤ mîi S˜k , Sˆk v S k . çng thíi, thi¸t lªp c¡c v½ dö minh håa cö thº v t÷ìng quan vîi mët sè ph÷ìng ph¡p ¢ câ. 2. p döng ph÷ìng ph¡p mîi cho mët lîp b i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n. 3. p döng ph÷ìng ph¡p mîi cho mët lîp b i to¡n x¡c ành khæng iºm chung cõa mët hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ j -ìn i»u cüc ¤i. Luªn ¡n gçm ph¦n mð ¦u, ba ch÷ìng, k¸t luªn v t i li»u tham kh£o. Ch÷ìng 1 giîi thi»u sì l÷ñc v· mët sè v§n · li¶n quan ¸n c§u tróc h¼nh håc cõa c¡c khæng gian Banach, lîp b i to¡n nghi¶n cùu, mët sè m»nh · v bê · c¦n sû döng cho vi»c chùng minh c¡c k¸t qu£ nghi¶n cùu ¤t ÷ñc ð c¡c ch÷ìng sau cõa luªn ¡n. Ch÷ìng 2 tr¼nh b y ba k¸t qu£ nghi¶n cùu mîi cõa chóng tæi v· c¡c v§n · n¶u tr¶n. Ch÷ìng 3 · cªp ¸n mët b i to¡n thüc t¸ li¶n quan còng c¡c v½ dö cö thº minh håa.
5 Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n thùc chu©n bà 1.3. Mët lîp b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n 1.3.1 Mæ h¼nh b i to¡n Cho E l khæng gian Banach ph£n x¤ thüc, lçi ch°t v câ chu©n kh£ vi G¥teaux ·u. Cho F : E → E l ¡nh x¤ j -ìn i»u m¤nh vîi h» sè η v γ -gi£ co ch°t vîi∞η + γ > 1. Gi£ sû {Ti} l hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n E vîi C := Fix(Ti) 6= ∅. \ i=1 Lîp b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, k½ hi»u l VIP (F, C), ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: ∗ T¼m x∗ ∈ C sao cho: hF (x∗), j(x − x∗)i ≥ 0, ∀x ∈ C, (1.2) trong â j l ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc cõa E . iºm x∗ ∈ C thäa m¢n (1.2) ÷ñc gåi l nghi»m cõa b i to¡n VIP∗(F, C). 1.3.2 Ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t Trong ph¦n n y, chóng tæi s³ tr¼nh b y chi ti¸t mët sè nghi¶n cùu mð rëng ho°c c£i bi¶n ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t x§p x¿ nghi»m cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n câ d¤ng (0.1) ho°c (1.2). Khi C l tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert thüc, n«m 2003, Xu v Kim ¢ chùng minh ÷ñc k¸t qu£ t÷ìng tü ành l½ 0.2 v ành l½ 0.3 khi thay th¸ (L3) v (L3)∗ t÷ìng ùng bði c¡c i·u ki»n (L4) k→∞ lim λk /λk+1 = 1 v (L4)∗ lim λk /λk+N = 1. k→∞ Câ thº th§y r¬ng, i·u ki»n (L4) y¸u hìn thüc sü (L3), hìn núa i·u ki»n (L4) cho ph²p ta câ thº lüa chån vîi d¢y tham sè ch½nh tc {1/k} trong khi â (L3) khæng thäa m¢n. M°t kh¡c, khæng khâ kh«n º ch¿ ra r¬ng i·u ki»n (L3)∗ suy ra i·u ki»n (L4)∗ n¸u giîi h¤n lim λk /λk+N tçn t¤i. N«m 2007, Zeng v cëng sü ¢ · xu§t ph÷ìng ph¡p l°p xoay váng k→∞ xk+1 = T[k+1] (xk ) − λk+1 ρk+1 F (T[k+1] (xk )), (1.3) k = 0, 1, 2, ... vîi tham sè ρk+1 khæng ph£i l h¬ng sè cè ành nh÷ trong (0.4) v i·u ki»n °t l¶n c¡c d¢y tham sè l°p công ÷ñc c£i bi¶n º £m b£o sü hëi tö. ành l½ 1.3. Cho F : H → H l ¡nh x¤ li¶n töc L-Lipschitz v η-ìn i»u m¤nh tr¶n H . Cho N Ti : H → H l hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n H vîi C := Fix(Ti) 6= ∅ v T i=1 C = Fix(T1 T2 . . . TN ) = Fix(T2 T3 . . . TN T1 ) = · · · = Fix(TN T1 . . . TN −1 ).
6 Gi£ sû ρk ∈ (0, 2η/L2) vîi måi k ∈ N v c¡c i·u ki»n sau b£o £m: i) λk ∈ (0, 1) thäa m¢n i·u ki»n (L2), ii) |ρk − η/L2| ≤ η2 − aL2/L2 vîi ½t nh§t mët a ∈ (0, η2/L2), p iii) k→∞ lim (ρk+N − (λk /λk+N )ρk ) = 0. Khi â, vîi iºm ban ¦u tòy þ x0 ∈ H , n¸u lim suphT[k+N ] . . . T[k+1] (xk ) − xk+N , T[k+N ] . . . T[k+1] (xk ) − xk i ≤ 0 k→∞ th¼ d¢y l°p (1.3) hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t x∗ cõa b i to¡n (0.1). Rã r ng, n¸u ρk = ρ vîi måi k ≥ 1 v ρ ∈ (0, 2η/L2) th¼ ta câ ii). N¸u th¶m gi£ thi¸t (L4)∗ thäa m¢n th¼ i·u ki»n iii) trong ành l½ tr¶n ÷ñc b£o £m. Hìn núa, Zeng v cëng sü công ¢ ch¿ ra r¬ng c¡c i·u ki»n (L1), (L2) v (L4)∗ l i·u ki»n õ º {xk } bà ch°n. çng thíi, i·u ki»n d÷îi ¥y ÷ñc thäa m¢n: lim suphT[k+N ] . . . T[k+1] (xk ) − xk+N , T[k+N ] . . . T[k+1] (xk ) − xk i ≤ 0. k→∞ V¼ th¸, ành l½ 1.3 l sü c£i bi¶n v hñp nh§t c¡c i·u ki»n °t l¶n c¡c d¢y tham sè l°p so vîi k¸t qu£ m Yamada, Xu v Kim ¢ nhªn ÷ñc. N«m 2010, Liu v Cui (Liu v tg, 2010) ¢ chùng minh r¬ng n¸u C 6= ∅ th¼ N Fix(Ti) = Fix(T1T2 . . . TN ) (1.4) \ C := i=1 l i·u ki»n õ º thäa m¢n t½nh ch§t giao ho¡n tr¶n tªp iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n Ti. Nh¬m lo¤i bä c¡c i·u ki»n (L3), (L3)∗ v gi£ thi¸t (1.4), n«m 2011, Nguy¹n B÷íng v L¥m Thòy D÷ìng x¥y düng d¢y l°p xk+1 = (1 − βk0 )xk + βk0 (I − λk ρF )V˜k (xk ), k = 0, 1, 2, ... (1.5) trong â, V˜k = TNk TNk −1 · · · T1k v Tik = (1 − βki )I + βki Ti vîi i = 1, 2, . . . , N . C¡c t¡c gi£ ¢ chùng minh ÷ñc k¸t qu£ sau. ành l½ 1.4. Cho F : H → H l ¡nh x¤ li¶n töc L-Lipschitz v η-ìn i»u m¤nh tr¶n H . Cho N Ti : H → H l hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n H vîi C := Fix(Ti) 6= ∅. Gi£ sû T i=1 ρ ∈ (0, 2η/L2 ) l h¬ng sè d÷ìng cè ành v d¢y λk ∈ (0, 1) thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1) v (L2). çng thíi, gi£ thi¸t r¬ng βki ∈ (α, β) vîi i = 0, 1, 2, . . . , N , trong â α, β ∈ (0, 1) v i lim |βk+1 − βki | = 0 vîi i = 1, 2, 3, . . . , N. Khi â, vîi iºm ban ¦u tòy þ x0 ∈ H , d¢y k→∞ l°p (1.5) hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t x∗ cõa b i to¡n (0.1).
7 Câ thº th§y mët trong nhúng i·u ki»n t÷ìng tü £m b£o sü hëi tö cõa c¡c ph÷ìng ph¡p (0.3), (0.4), (1.3) v (1.5) l gi£ thi¸t tham sè ρ phö thuëc v o h» sè ìn i»u m¤nh η v h¬ng sè Lipschitz L. Tr¶n thüc t¸, ta bi¸t r¬ng vi»c x¡c ành η ho°c L khæng ph£i l mët cæng vi»c d¹ d ng. çng thíi, ta nhªn th§y r¬ng (0.4), (1.3) v (1.5) ÷ñc thüc hi»n lu¥n phi¶n xoay váng n¶n c¡c ph÷ìng ph¡p n y l tu¦n tü. Nghi¶n cùu mð rëng cho tr÷íng hñp C l tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n Ti : H → H , b¬ng vi»c sû döng ¡nh x¤ Wk , n«m 2008, Iemoto v Takahashi ¢ x¥y düng d¢y l°p hi»n câ d¤ng xk+1 = (I − λk ρF )Wk (xk ), k = 1, 2, 3, . . . (1.7) ð ¥y x1 l iºm tòy þ thuëc H , λk ∈ (0, 1] v ρ > 0 l c¡c tham sè l°p. ành l½ 1.5. Cho F : H → H l ¡nh x¤ li¶n töc L-Lipschitz v η∞-ìn i»u m¤nh tr¶n H . Cho {Ti} l hå væ h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n H vîi C := Fix(Ti) 6= ∅. Gi£ sû {αk } l d¢y \ i=1 c¡c sè thüc thäa m¢n 0 < a ≤ αk ≤ b < 1, k = 1, 2, 3, . . . vîi a, b ∈ (0, 1). Khi â, n¸u c¡c i·u ki»n sau b£o £m i) ρ ∈ (0, 2η/L2), ii) λk thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1) v (L2), th¼ d¢y l°p (1.7) hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t x∗ cõa b i to¡n (0.1). Ph÷ìng ph¡p (1.7) sû döng ¡nh x¤ Wk k¸t hñp vîi ph÷ìng ph¡p kiºu ÷íng dèc nh§t ¢ mð rëng k¸t qu£ cõa Yamada cho hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert thüc. C¡c t¡c gi£ ¢ lo¤i bä c¡c i·u ki»n (L3) ho°c (L3)∗. Tuy vªy, ngo i khâ kh«n º x¡c ành ρ, ¡nh x¤ Wk câ c§u tróc phùc t¤p v ph÷ìng ph¡p (1.7) công l tu¦n tü. N«m 2010, k¸t hñp ph÷ìng ph¡p kiºu ÷íng dèc nh§t, ph÷ìng ph¡p l°p Mann v sû döng ¡nh x¤ Wk , vîi x1 tòy þ thuëc H , Yao v c¡c cëng sü ¢ thi¸t lªp mët l÷ñc ç l°p nh÷ sau  y = (I − λ F )(x ), k k k xk+1 = (1 − γk )yk + γk Wk (yk ), (1.8) k = 1, 2, 3, . . . trong â γk ∈ [0, 1] v λk ≥ 0 l c¡c tham sè l°p. ành l½ 1.6. Cho F : H → H l ¡nh x¤ li¶n töc L-Lipschitz v ∞η-ìn i»u m¤nh tr¶n H . Cho {Ti} l hå væ h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n H vîi C := Fix(Ti) 6= ∅. Gi£ sû {αk } l d¢y c¡c \ i=1 sè thüc thäa m¢n 0 < αk ≤ b < 1, k = 1, 2, 3, . . . Khi â, n¸u c¡c i·u ki»n sau b£o £m
8 i) γk ∈ [γ, 1/2] vîi γ > 0, ii) λk thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1) v (L2), th¼ d¢y l°p (1.8) hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t x∗ cõa b i to¡n (0.1). Gièng nh÷ ph÷ìng ph¡p (1.7), ta th§y r¬ng ph÷ìng ph¡p (1.8) công câ c§u tróc phùc t¤p v â l ph÷ìng ph¡p tu¦n tü. Mët n«m sau, Wang (2011) công ¢ nhªn ÷ñc k¸t qu£ t÷ìng tü nh÷ cõa Yao v cëng sü d÷îi c¡c gi£ thi¸t mîi °t l¶n c¡c d¢y tham sè l°p. K¸t qu£ cõa Wang thay th¸ (L1) bði i·u ki»n 0 < λk ≤ η/L2 − ε, ∀k ≥ k0, vîi ½t nh§t mët sè nguy¶n k0 > 1 l nhµ hìn thüc sü i·u ki»n (L1). Ngo i ra, i·u ki»n °t l¶n cho γk ch¿ ái häi t½nh giîi nëi cõa d¢y tham sè n y trong (0,1). Tuy nhi¶n i·u ki»n λk v¨n y¶u c¦u phö thuëc v o h» sè ìn i»u m¤nh η v h¬ng sè Lipschitz L. M°t kh¡c, i·u ki»n bê sung λk F (xk ) → 0 khi k → ∞ £m b£o sü hëi tö phö thuëc v o gi¡ trà F (xk ) t¤i méi b÷îc l°p. V¼ th¸, vi»c chån ti¶n nghi»m {λk } thäa m¢n i·u ki»n n y s³ khâ kh«n. N«m 2008, Ceng v cëng sü ¢ nghi¶n cùu cho tr÷íng hñp C l tªp iºm b§t ëng cõa mët ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n khæng gian Banach ph£n x¤ thüc. Mët i·u ki»n quan trång £m b£o sü hëi tö èi vîi ph÷ìng ph¡p mîi cõa c¡c t¡c gi£ l gi£ thi¸t v· t½nh li¶n töc y¸u theo d¢y cõa ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc. Tuy nhi¶n, i·u â ¢ l m giîi h¤n ph¤m vi ùng döng cõa ph÷ìng ph¡p èi vîi nhi·u b i to¡n ÷ñc thi¸t lªp trong c¡c khæng gian Banach quan trång m khæng câ t½nh ch§t n y, ch¯ng h¤n khæng gian Lp[a, b] (1 < p < ∞). N«m 2011, Chidume v cëng sü ¢ mð rëng k¸t qu£ cõa Xu v Kim tîi lîp khæng gian Banach q-trìn ·u vîi h¬ng sè dq , q > 1. Ph÷ìng ph¡p n y câ thº ¡p döng tr¶n c¡c khæng gian Lp[a, b], (1 < p < ∞). Tuy nhi¶n, gi£ thi¸t °t l¶n λk l t÷ìng tü cõa Xu v Kim. çng thíi tham sè ρ v¨n ái häi phö thuëc v o h» sè η, L v h¬ng sè dq . Th¶m v o â, c¡c t¡c gi£ v¨n c¦n sû döng gi£ thi¸t v· t½nh giao ho¡n tr¶n tªp iºm b§t ëng cõa c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n Ti. Khi C l tªp iºm b§t ëng chung cõa mët hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Banach thüc E , thay cho vi»c sû döng ¡nh x¤ phùc t¤p Wk , ta câ thº sû döng ¡nh x¤ Vk ìn gi£n hìn ÷ñc x¡c ành bði Vk = Vk1 , Vki = T i T i+1 . . . T k , T i = (1 − αi )I + αi Ti , i = 1, . . . , k (1.11) ∞ trong â αi ∈ (0, 1) v αi < ∞. Nguy¹n B÷íng v c¡c cëng sü (2013) ¢ · xu§t v X i=1 chùng minh hai ph÷ìng ph¡p l°p ©n mîi hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t x∗ cõa b i to¡n (1.2) l xk = Vk (I − λk F )(xk ), (1.13)
9 v xk = γk (I − λk F )(xk ) + (1 − γk )Vk (xk ), (1.14) ð ¥y {λk } v {γk } l d¢y c¡c tham sè l°p d÷ìng. Tuy nhi¶n, vi»c x¥y düng c¡c k¾ thuªt l°p ©n cho b i to¡n (1.2), mët khâ kh«n câ thº g°p ph£i cõa c¡c ph÷ìng ph¡p â trong thüc h nh t½nh to¡n t¤i méi b÷îc l°p, ta ·u ph£i thüc hi»n c¡c b÷îc gi£i mët ph÷ìng tr¼nh d¤ng ©n º t¼m nghi»m x§p x¿ v sau mët sè húu h¤n b÷îc l°p ta s³ thu ÷ñc nghi»m x§p x¿ g¦n vîi nghi»m ch½nh x¡c cõa b i to¡n. Trong nhúng n«m g¦n ¥y, khc phöc nh÷ñc iºm khæng t½nh to¡n song song ÷ñc tr¶n m¡y t½nh v khâ kh«n n£y sinh tø vi»c ¡p döng c¡c ph÷ìng ph¡p l°p ©n, n«m 2015, Nguy¹n B÷íng v c¡c cëng sü ¢ x¥y düng ¡nh x¤ Sk tr¶n E nh÷ sau k k si (1.15) X X Sk = Ti , s˜k = si , k = 1, 2, 3, . . . i=1 s ˜ k i=1 ∞ trong â si > 0 , si = s˜ < ∞ v Ti : E → E l c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n E. B¬ng X i=1 vi»c sû döng ¡nh x¤ Sk , c¡c t¡c gi£ ¢ thi¸t lªp hai ph÷ìng ph¡p l°p hi»n xk+1 = (1 − γk )xk + γk Sk Fk (xk ), k = 1, 2, 3, . . . (1.17) v xk+1 = (1 − γk )Sk (xk ) + γk Fk (xk ), k = 1, 2, 3, . . . (1.18) ð ¥y, Fk = I − λk F v {λk }, {γk } l d¢y c¡c tham sè l°p d÷ìng. Sü hëi tö m¤nh cõa c¡c ph÷ìng ph¡p tr¶n ÷ñc ph¡t biºu trong ành l½ d÷îi ¥y. ành l½ 1.12. Cho E l khæng gian Banach ph£n x¤ thüc lçi ch°t, câ chu©n kh£ vi G¥teaux ·u. Cho F : E → E l ¡nh x¤ j -ìn i»u m¤nh vîi h» sè η v γ -gi£ co ch°t vîi η + γ > 1. Cho ∞ {Ti } l hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n E vîi C := Fix(Ti) 6= ∅. N¸u \ i=1 c¡c i·u ki»n sau b£o £m i) λk ∈ (0, 1) thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1) v (L2), ii) γk ∈ (0, 1) thäa m¢n 0 < lim inf γk ≤ lim supγk < 1, k→∞ k→∞ th¼ c¡c d¢y l°p (1.17) v (1.18) hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t x∗ cõa b i to¡n (1.2).
10 Ch÷ìng 2 C¡c ph÷ìng ph¡p l°p x§p x¿ nghi»m cho mët lîp b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n 2.1. Ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t dòng ¡nh x¤ S˜k 2.1.1 Nëi dung ph÷ìng ph¡p Ph÷ìng ph¡p thù nh§t ÷ñc thi¸t lªp düa tr¶n vi»c sû döng ¡nh x¤ S˜k . Xu§t ph¡t tø iºm x1 tòy þ thuëc E , chóng tæi x¥y düng d¢y {xk } theo l÷ñc ç l°p hi»n nh÷ sau: xk+1 = (I − λk F )S˜k (xk ), k = 1, 2, 3, . . . (2.1) trong â S˜k ÷ñc x¡c ành bði k (2.2) X S˜k = sk )T i (si /˜ i=1 vîi T i = (1 − αi )I + αi Ti , (2.3) i = 1, 2, 3, . . . ð ¥y αi ∈ (0, 1), Ti l c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n v I l ¡nh x¤ ìn và tr¶n E . C¡c d¢y tham sè λk ∈ (0, 1) v {si} t÷ìng ùng thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1), (L2) v k ∞ v (2.4) X X si > 0, s˜k = si si = s˜ < ∞. i=1 i=1 2.1.2 Sü hëi tö m¤nh cõa ph÷ìng ph¡p ành l½ 2.1. (1)1 Cho E l khæng gian Banach ph£n x¤ thüc, lçi ch°t câ chu©n kh£ vi G¥teaux ·u. Cho F : E → E l ¡nh x¤ j -ìn i»u m¤nh vîi h» sè η v γ -gi£ co ch°t vîi η + γ > 1. ∞ Cho {Ti} l hå væ h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n E vîi C := Fix(Ti) 6= ∅. Gi£ sû \ i=1 λk ∈ (0, 1) v si t÷ìng ùng thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1), (L2) v (2.4). Khi §y, d¢y {xk } x¡c ành bði (2.1) hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t x∗ cõa b i to¡n (1.2) khi k → ∞. Nhªn x²t 2.3. Ph÷ìng ph¡p (2.1) dòng ¡nh x¤ S˜k câ c§u tróc ìn gi£n hìn c¡c ¡nh x¤ V˜k , Wk hay Vk v câ thº t½nh to¡n song song ÷ñc. Hìn núa, tø k¸t luªn cõa ành l½ 2.1, rã r ng ph÷ìng ph¡p n y câ thº ¡p döng cho mët lîp b i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n E . 1 Buong, Ng., Ha, Ng. S., Thuy Ng. T. T. (2016), "A new explicit iteration method for a class of variational inequalities", , Numer. Algorithms 72, pp. 467-481.
11 2.1.3 Mët sè h» qu£ N«m 2008, Ceng v cëng sü c£i bi¶n ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t cõa Yamada º thi¸t lªp d¢y l°p hi»n xk+1 = (I − λk F )(αk xk + (1 − αk )JrA (xk )), k ≥ 0, k (2.15) x¡c ành khæng iºm x∗ cõa ¡nh x¤ A v çng thíi x∗ l nghi»m cõa b i to¡n (1.2) vîi x0 ∈ E tòy þ v i·u ki»n °t l¶n c¡c d¢y tham sè l°p λk , αk ∈ (0, 1) v rk > 0 l ∞ ∞ i) k→∞ λk = ∞ v X X lim λk = 0, | λk+1 − λk |< ∞, k=1 k=0 ∞ ii) rk ≥ ε vîi måi k ∈ N v X | rk+1 − rk |< ∞, k=0 ∞ iii) 0 < a ≤ αk ≤ b < 1 vîi måi k ∈ N v X | αk+1 − αk |< ∞. k=0 B¬ng c¡ch thay th¸ c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n Ti bði c¡c to¡n tû gi£i J A := (I + Ai)−1 i trong (2.1) th¼ chóng tæi nhªn ÷ñc k¸t qu£ x²t cho lîp b i to¡n têng qu¡t hìn sau ¥y. M»nh · 2.1. Cho E , F , αi, λk v si ÷ñc gi£ thi¸t t÷ìng ∞tü ành l½ 2.1. Cho {Ai} l hå væ h¤n c¡c ¡nh x¤ j-ìn i»u cüc ¤i tr¶n E vîi C := Zer(Ai) 6= ∅. Khi §y, vîi \ i=1 iºm ban ¦u tòy þ x1 ∈ E , d¢y {xk } x¡c ành bði k si (2.16) X Ai xk+1 = (I − λk F ) (1 − αi )I + αi J (xk ), k ≥ 1, i=1 s ˜ k hëi tö m¤nh tîi khæng iºm chung x∗ ∈ C v x∗ l nghi»m duy nh§t cõa b i to¡n (1.2) khi k → ∞. Nhªn x²t 2.4. Ph÷ìng ph¡p (2.15) v ph÷ìng ph¡p (2.16) ·u sû döng ba tham sè l°p. Rã r ng, i·u ki»n °t l¶n c¡c d¢y tham sè {λk } v {αk } £m b£o sü hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p (2.16) l nhµ hìn so vîi c¡c gi£ thi¸t i) v iii). Tuy nhi¶n, c¡c tham sè rk v si t÷ìng ùng trong (2.15) v (2.16) l kh¡c bi»t, âng vai trá kh¡c nhau v khæng so s¡nh ÷ñc. V¼ th¸, (2.15) v (2.16) cho ta c¡c quy tc t¼m khæng iºm kh¡c nhau. Nhªn x²t 2.5. Ta °t f := aI vîi a ∈ (0, 1) l sè thüc cè ành. Khi â, F := I − f l ¡nh x¤ j -ìn i»u m¤nh vîi h» sè η v γ -gi£ co ch°t tr¶n E thäa m¢n η + γ > 1. V¼ th¸, vîi x1 tòy þ thuëc E , n¸u thay F bði I − f trong cæng thùc (2.1) th¼ ta câ l÷ñc ç l°p k X k (2.18) X 0 (1 − αi )ξik I + αi ξik Ti (xk ), xk+1 = 1 − λk k ≥ 1, i=1 i=1 º t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n E , trong â λ0k := (1 − a)λk v ξik := si/˜sk . M»nh · sau l h» qu£ trüc ti¸p cõa ành l½ 2.1.
12 M»nh · 2.2. Cho E , {Ti}, αi, λk v si ÷ñc gi£ thi¸t t÷ìng tü ành l½ 2.1. Gi£ sû a l sè thüc cè ành thuëc (0, 1). Khi §y, vîi iºm ban ¦u tòy þ x1 ∈ E , d¢y {xk } x¡c ành bði (2.18) hëi tö m¤nh tîi iºm b§t ëng chung p∗ ∈ C khi k → ∞ v thäa m¢n hp∗ , j(p∗ − p)i ≤ 0 ∀p ∈ C. (2.19) Tø Chó þ 1.6 v M»nh · 2.2, ta nhªn ÷ñc k¸t qu£ d÷îi ¥y. M»nh · 2.3. Cho E , {Ai}, αi, λk v si ÷ñc gi£ thi¸t t÷ìng tü M»nh · 2.1. Gi£ sû a l sè thüc cè ành thuëc (0, 1). Khi §y, vîi iºm ban ¦u tòy þ x1 ∈ E , d¢y {xk } x¡c ành bði k k (2.20) X X xk+1 = 1 − λ0k k (1 − αi )ξi I + k Ai αi ξi J (xk ), k ≥ 1, i=1 i=1 hëi tö m¤nh tîi khæng iºm chung p∗ ∈ C khi k → ∞ v p∗ thäa m¢n (2.19). N«m 2007, Qin v Su ¢ x¥y düng ph÷ìng ph¡p l°p kiºu Halpern t¼m khæng iºm cõa mët ¡nh x¤ j -ìn i»u cüc ¤i A tr¶n khæng gian Banach trìn ·u E câ d¤ng xk+1 = λk u + (1 − λk )(αk xk + (1 − αk )JrA (xk )), k ≥ 1, (2.21) k trong â x1 ∈ E tòy þ, u ∈ E l ph¦n tû cè ành, αk , λk v rk l c¡c tham sè l°p. i·u ki»n £m b£o sü hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p (2.21) l t÷ìng tü ph÷ìng ph¡p (2.15) v ch¿ x²t cho b i to¡n x¡c ành khæng iºm cõa mët ¡nh x¤ j -ìn i»u cüc ¤i m khæng gi£i ÷ñc b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n n o. Do â, n¸u ch¿ x²t ri¶ng theo kh½a c¤nh n y th¼ gi£ thi¸t °t l¶n tham sè αk v λk l nhúng y¶u c¦u ch°t ch³ hìn so vîi k¸t qu£ cõa chóng tæi n¶u trong M»nh · 2.1. Tuy nhi¶n, công ph£i l÷u þ r¬ng c§u tróc cõa c¡c ph÷ìng ph¡p (2.15) ho°c (2.16) so vîi (2.21) l thüc sü kh¡c bi»t. Nhªn x²t 2.6. Ta °t f := aI + (1 − a)u vîi a ∈ (0, 1) l sè thüc cè ành v u l ph¦n tû cè ành thuëc E . Khi â, d¹ th§y r¬ng F := I − f công l ¡nh x¤ j -ìn i»u m¤nh vîi h» sè η v γ -gi£ co ch°t thäa m¢n η + γ > 1. Do â, vîi x1 tòy þ thuëc E , thay F bði I − f trong (2.1), ta câ ph÷ìng ph¡p l°p kiºu Halpern k X k (2.22) X = λ0k u + 1 − λ0k (1 − αi )ξik I + αi ξik Ti (xk ), xk+1 k ≥ 1, i=1 i=1 v n¸u thay Ti bði J A th¼ nhªn ÷ñc i k k (2.23) X X xk+1 = λ0k u + 1− λ0k (1 − αi )ξik I + αi ξik J Ai (xk ), k ≥ 1. i=1 i=1 trong â λ0k := (1 − a)λk v ξik := si/˜sk . Trong tr÷íng hñp n y, ta công nhªn ÷ñc c¡c h» qu£ trüc ti¸p d÷îi d¥y cõa ành l½ 2.1.
13 M»nh · 2.4. Cho E , {Ti}, αi, a, λk v si ÷ñc gi£ thi¸t t÷ìng tü M»nh · 2.2. Khi §y, vîi måi u ∈ E cè ành, d¢y {xk } x¡c ành bði (2.22) hëi tö m¤nh tîi iºm b§t ëng chung p∗ ∈ C khi k → ∞ v thäa m¢n hp∗ − u, j(p∗ − p)i ≤ 0 ∀p ∈ C. (2.24) M»nh · 2.5. Cho E , {Ai}, αi, a, λk v si ÷ñc gi£ thi¸t t÷ìng tü M»nh · 2.3. Khi §y, vîi måi u ∈ E cè ành, d¢y {xk } x¡c ành bði (2.23) hëi tö m¤nh tîi khæng iºm chung p∗ ∈ C khi k → ∞ v p∗ thäa m¢n (2.24). 2.2. Ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t dòng ¡nh x¤ Sˆk 2.2.1 Nëi dung ph÷ìng ph¡p Ph÷ìng ph¡p thù hai ÷ñc thi¸t lªp düa tr¶n vi»c sû döng ¡nh x¤ Sˆk . Xu§t ph¡t tø iºm x1 tòy þ thuëc E , chóng tæi x¥y düng d¢y l°p hi»n {xk } nh÷ sau: xk+1 = (I − λk F )Sˆk (xk ), k = 1, 2, 3, . . . (2.25) ð ¥y ¡nh x¤ Sˆk x¡c ành bði k 1 (2.26) X Sˆk = (si−1 − si )T i s0 − sk i=1 trong â T i ÷ñc x¡c ành bði (2.3), λk ∈ (0, 1) thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1), (L2) v {si } l d¢y c¡c sè thüc gi£m ng°t, hëi tö v· 0 khi i → ∞. 2.2.2 Sü hëi tö m¤nh cõa ph÷ìng ph¡p ành l½ 2.4. (2) 2 Cho E l khæng gian Banach ph£n x¤ thüc, lçi ch°t câ chu©n kh£ vi G¥teaux ·u. Cho F : E → E l ¡nh x¤ j -ìn i»u m¤nh vîi h» sè η v γ -gi£ co ch°t vîi η + γ > 1. ∞ Cho {Ti} l hå væ h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n E vîi C := Fix(Ti) 6= ∅. Gi£ sû \ i=1 λk ∈ (0, 1) thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1), (L2) v {si} l d¢y sè thüc d÷ìng gi£m ng°t, hëi tö v· 0. Khi §y, d¢y {xk } x¡c ành bði (2.25) hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t x∗ cõa b i to¡n (1.2) khi k → ∞. Nhªn x²t 2.8. Ph÷ìng ph¡p (2.25) kh¡c vîi ph÷ìng ph¡p (2.1) cì b£n l ð d¢y tham sè {si} v vi»c sû döng nâ º thi¸t k¸ c¡c ¡nh x¤ S˜k v Sˆk . N¸u chån si = 1/(i + 1) (i = 0, 1, 2, . . . ) th¼ nâ thäa m¢n gi£ thi¸t cõa ph÷ìng ph¡p (2.25) nh÷ng gi£ thi¸t cõa ph÷ìng ∞ ph¡p (2.1) th¼ khæng ÷ñc b£o £m v¼ chuéi si ph¥n k¼. Tuy nhi¶n, chån si = 1/(i+1)3 X i=0 2 Buong, Ng., Ha, Ng. S., Thuy Ng. T. T. (2016), "Hybrid steepest-descent method with a countably infinite family of nonexpansive mappings on Banach spaces", Nonlinear Funct. Anal. Appl. , 21, pp. 273-287.
14 n¸u i ch®n v si = 1/(i + 1)2 n¸u i l´ (i = 0, 1, 2, . . . ) th¼ gi£ thi¸t cõa ph÷ìng ph¡p (2.1) ÷ñc b£o £m nh÷ng gi£ thi¸t cõa ph÷ìng ph¡p (2.25) l¤i khæng v¼ nâ khæng ph£i l d¢y sè gi£m ng°t. V¼ th¸, ngo i vi»c ¤t ÷ñc nhúng möc ti¶u v k¸t luªn t÷ìng tü ph÷ìng ph¡p (2.1) ¢ n¶u trong Möc 2.1.2 v Möc 2.1.3 th¼ ph÷ìng ph¡p (2.25) gâp ph¦n a d¤ng v ho n thi»n th¶m c¡c ph÷ìng ph¡p x§p x¿ nghi»m cho lîp b i to¡n nghi¶n cùu. 2.2.3 Mët sè h» qu£ M»nh · 2.6. Cho E , F , αi, λk v si ÷ñc gi£ thi¸t t÷ìng ∞tü ành l½ 2.4. Cho {Ai} l hå væ h¤n c¡c ¡nh x¤ j-ìn i»u cüc ¤i tr¶n E vîi C Zer(Ai ) 6= ∅. Khi §y, vîi \ := i=1 iºm ban ¦u tòy þ x1 ∈ E , d¢y {xk } x¡c ành bði k X si−1 − si Ai xk+1 = (I − λk F ) (1 − αi )I + αi J (xk ), k ≥ 1, i=1 s0 − sk hëi tö m¤nh tîi khæng iºm chung x∗ ∈ C v x∗ l nghi»m duy nh§t cõa b i to¡n (1.2) khi k → ∞. Ti¸p theo, °t βik := (si−1 − si)/(s0 − sk ), sû döng l¤i c¡c k½ hi»u v lªp luªn t÷ìng tü Nhªn x²t 2.5 v Nhªn x²t 2.6, ta nhªn ÷ñc c¡c h» qu£ trüc ti¸p d÷îi ¥y cõa ành l½ 2.4. M»nh · 2.7. Cho E , {Ti}, αi, λk v si ÷ñc gi£ thi¸t t÷ìng tü ành l½ 2.4. Gi£ sû a l sè thüc cè ành thuëc (0, 1). Khi §y, vîi iºm ban ¦u tòy þ x1 ∈ E , d¢y {xk } x¡c ành bði k k X X xk+1 = 1 − λ0k (1 − αi )βik I + αi βik Ti (xk ), k ≥ 1, i=1 i=1 hëi tö m¤nh tîi iºm b§t ëng chung p∗ ∈ C khi k → ∞ v p∗ thäa m¢n (2.19). M»nh · 2.8. Cho E , {Ai}, αi, λk v si ÷ñc gi£ thi¸t t÷ìng tü M»nh · 2.6. Gi£ sû a l sè thüc cè ành thuëc (0, 1). Khi §y, vîi iºm ban ¦u tòy þ x1 ∈ E , d¢y {xk } x¡c ành bði k k X X xk+1 = 1 − λ0k k (1 − αi )βi I + αi βik J Ai (xk ), k ≥ 1, i=1 i=1 hëi tö m¤nh tîi khæng iºm chung p∗ ∈ C khi k → ∞ v p∗ thäa m¢n (2.19). M»nh · 2.9. Cho E , {Ti}, αi, a, λk v si ÷ñc gi£ thi¸t t÷ìng tü M»nh · 2.7. Khi §y, vîi måi u ∈ E cè ành v vîi iºm ban ¦u tòy þ x1 ∈ E , d¢y {xk } x¡c ành bði k k X X xk+1 = λ0k u + 1− λ0k (1 − αi )βik I + αi βik Ti (xk ), k ≥ 1, i=1 i=1 hëi tö m¤nh tîi iºm b§t ëng chung p∗ ∈ C khi k → ∞ v p∗ thäa m¢n (2.24).
15 M»nh · 2.10. Cho E , {Ai}, αi, a, λk v si ÷ñc gi£ thi¸t t÷ìng tü M»nh · 2.8. Khi §y, vîi måi u ∈ E cè ành v vîi iºm ban ¦u tòy þ x1 ∈ E , d¢y {xk } x¡c ành bði k k X X xk+1 = λ0k u + 1− λ0k k (1 − αi )βi I + k Ai αi βi J (xk ), k ≥ 1, i=1 i=1 hëi tö m¤nh tîi khæng iºm chung p∗ ∈ C khi k → ∞ v p∗ thäa m¢n (2.24). 2.3. Ph÷ìng ph¡p lai gh²p ÷íng dèc nh§t dòng ¡nh x¤ S k 2.3.1 Nëi dung ph÷ìng ph¡p Xu§t ph¡t tø iºm x1 tòy þ thuëc E , d¢y l°p hi»n {xk } ÷ñc thi¸t k¸ nh÷ sau: xk+1 = (I − λk F )S k (xk ), k = 1, 2, 3, . . . (2.31) k trong â S vîi T v α ∈ (0, 1) l mët sè thüc cè X k k k = αI + (1 − α)T := Sk = (si /˜ sk )Ti i=1 k ành, si ÷ñc x¡c ành bði (2.4), s˜k = v λk thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1) v (L2). X si 2.3.2 Sü hëi tö m¤nh cõa ph÷ìng ph¡p i=1 ành l½ 2.5. (3) 3 Cho E l khæng gian Banach ph£n x¤ thüc, lçi ch°t câ chu©n kh£ vi G¥teaux ·u. Cho F : E → E l ¡nh x¤ j -ìn i»u m¤nh vîi h» sè η v γ -gi£ co ch°t vîi η + γ > 1. Cho ∞ {Ti } l hå væ h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n E vîi C := Fix(Ti ) 6= ∅. L§y mët gi¡ trà \ i=1 cè ành α ∈ (0, 1). Gi£ sû λk v si t÷ìng ùng thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1), (L2) v (2.4). Khi §y, d¢y {xk } x¡c ành bði (2.31) hëi tö m¤nh tîi nghi»m duy nh§t x∗ cõa b i to¡n (1.2) khi k → ∞. 2.3.3 Mët sè h» qu£ M»nh · 2.11. Cho E , α, λk v si ÷ñc gi£ thi¸t t÷ìng∞ tü ành l½ 2.5. Cho {Ai} l hå væ h¤n c¡c ¡nh x¤ j-ìn i»u cüc ¤i tr¶n E vîi C := Zer(Ai ) 6= ∅. Khi §y, vîi iºm \ i=1 ban ¦u tòy þ x1 ∈ E , d¢y {xk } x¡c ành bði k X Ai xk+1 = (I − λk F ) (1 − α)I + α (si /˜ sk )J (xk ), k ≥ 1, i=1 hëi tö m¤nh tîi khæng iºm chung x∗ ∈ C v x∗ l nghi»m duy nh§t cõa b i to¡n (1.2) khi k → ∞. 3 Ha, Ng. S., Buong, Ng., Thuy Ng. T. T. (2018), "A new simple parallel iteration method for a class of variational inequalities", Acta Math. Vietnam., 43, pp. 239-255
16 N«m 2007, º t¼m iºm b§t ëng chung cho mët hå væ h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n {Ti} tr¶n mët tªp con lçi âng Q cõa E , Suzuki ¢ x¥y düng l÷ñc ç l°p nh÷ sau: ∞ (2.38) X xk+1 = λk u + (1 − λk ) (1 − α)I + α (si /˜ s)Ti (xk ), k ≥ 1, i=1 trong ∞ â, u ∈ Q cè ành, tòy þ, {si} l d¢y c¡c sè thüc d÷ìng thäa m¢n x1 ∈ Q si = s˜ < 1 v λk ∈ [0, 1] thäa m¢n i·u ki»n (L1) v (L2). X i=1 N«m 2009, º t¼m khæng iºm chung cõa mët hå c¡c ¡nh x¤ j -ìn i»u cüc ¤i Ai : E → E , Ofoedu v Shehu ¢ · xu§t thuªt to¡n: ∞ (2.39) X σi,k (1 − δ)I + δJ Ai (xk ), xk+1 = λk u + k ≥ 1, i=1 ∞ ð ¥y, σi,k = 1 − λk v 0 < γ1 ≤ δ ≤ γ2 < 1. C¡c d¢y tham sè l°p λk v σi,k t÷ìng X i=1 ùng thäa m¢n c¡c i·u ki»n (L1), (L2) v ∞ ∞ hX X i lim |σi,k+1 − σi,k | = 0, lim σi,k (1 − δ)xk + δJ Ai xk − xk /λk = 0. k→∞ k→∞ i=1 i=1 Nhªn x²t 2.13. Rã r ng, n¸u nh¼n d÷îi quan iºm t½nh to¡n, th¼ t¤i méi váng l°p, chuéi c¡c to¡n tû trong c¡c thuªt to¡n (2.38), (2.39) cho th§y n¸u chóng ta khæng câ c¡c thæng tin ti¶n nghi»m v· têng c¡c chuéi n y th¼ thi¸t k¸ cõa c¡c ph÷ìng ph¡p â khæng thº ¡p döng. V¼ th¸, c¡c k¸t qu£ tr¶n l khâ º nhªn bi¸t v khâ câ thº lªp tr¼nh t½nh to¡n tr¶n m¡y t½nh. Nh÷ vªy, mët v§n · tü nhi¶n °t ra l li»u chóng ta câ thº thay th¸ c¡c têng væ h¤n trong c¡c ph÷ìng ph¡p (2.38) v (2.39) bði c¡c têng ri¶ng t÷ìng ùng hay khæng? Nhúng nëi dung tr¼nh b y ti¸p theo, ngo i vi»c khc phöc nhúng khâ kh«n ¢ ph¥n t½ch l tr£ líi cho c¥u häi n¶u tr¶n. Nhªn x²t 2.14. B¬ng vi»c sû döng c¡c k½ hi»u v lªp luªn t÷ìng tü nh÷ Nhªn x²t 2.5 v Nhªn x²t 2.6, vîi x1 tòy þ thuëc E , ta công nhªn ÷ñc c¡c d¢y l°p hi»n d÷îi ¥y xk+1 = 1 − λ0k αI + (1 − α)T k (xk ), k ≥ 1, (2.40) v k (2.41) X λ0k ξik J Ai (xk ), k ≥ 1. xk+1 = 1 − αI + (1 − α) i=1 trong â λ0k = (1 − a)λk . Hai m»nh · sau l h» qu£ trüc ti¸p cõa ành l½ 2.5. M»nh · 2.12. Cho E , {Ti}, α, λk v si ÷ñc gi£ thi¸t t÷ìng tü ành l½ 2.5. Gi£ sû a l sè thüc cè ành thuëc (0, 1). Khi §y, d¢y {xk } x¡c ành bði (2.40) hëi tö m¤nh tîi iºm b§t ëng chung p∗ ∈ C khi k → ∞ v p∗ thäa m¢n (2.19).
17 M»nh · 2.13. Cho E , {Ai}, α, λk v si ÷ñc gi£ thi¸t t÷ìng tü M»nh · 2.11. Gi£ sû a l sè thüc cè ành thuëc (0, 1). Khi §y, d¢y {xk } x¡c ành bði (2.41) hëi tö m¤nh tîi khæng iºm chung p∗ ∈ C khi k → ∞ v p∗ thäa m¢n (2.19). Nhªn x²t 2.15. Ph÷ìng ph¡p (2.31) v c¡c h» qu£ trüc ti¸p cõa nâ thº hi»n ÷ñc mët sè iºm v÷ñt trëi. i) C§u tróc ph÷ìng ph¡p (2.31) l ìn gi£n hìn (2.1) v (2.25). B¶n c¤nh â, ph÷ìng ph¡p n y ¢ l m gi£m sè th nh ph¦n ph£i t½nh ð méi b÷îc l°p v v¼ th¸ nâ c¦n ½t thíi gian t½nh to¡n hìn tr¶n m¡y t½nh (xem th¶m V½ dö 3.4 trong Möc 3.2 cõa Ch÷ìng 3). ii) C¡c thuªt to¡n (2.40) v (2.41) sû döng d¢y c¡c têng ri¶ng cõa chuéi h m l ìn gi£n hìn, d¹ nhªn bi¸t hìn v câ thº t½nh to¡n tr¶n m¡y t½nh. Trong khi â, èi vîi c¡c k¸t qu£ cõa Ofoedu v Suzuki l khæng thüc hi»n ÷ñc. Nhªn x²t 2.16. Trong tr÷íng hñp, n¸u Ti l ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n mët tªp con lçi âng Q cõa E th¼ Ti : Q → Q l ¡nh x¤ li¶n töc 1-Lipschitz. N¸u Q chùa ph¦n tû gèc cõa E th¼ xk+1 ∈ Q. Do â M»nh · 2.12 v¨n óng trong tr÷íng hñp n y. Ti¸p theo, n¸u Q khæng chùa ph¦n tû gèc cõa E th¼ ta x²t f := aI + (1 − a)u vîi u ∈ Q l ph¦n tû cè ành. Khi â, thay  v¼ (2.40) ta nhªn ÷ñc ph÷ìng ph¡p c£i bi¶n kiºu Halpern: x ∈ E, 1 xk+1 = λ0 u + 1 − λ0 αI + (1 − α)T k (xk ), (2.42) k k k ≥ 1. Ta câ k¸t qu£ têng qu¡t hìn cõa Suzuki (2007) d÷îi ¥y. M»nh · 2.14. Cho E , α, a, λk v si ÷ñc gi£ thi¸t t÷ìng tü M»nh · 2.12. ∞Cho {Ti} l hå væ h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n tr¶n mët tªp con lçi âng Q cõa E vîi C := Fix(Ti) 6= ∅, \ i=1 trong â Fix(Ti) := {x ∈ Q : x = Ti(x)}. Khi §y, d¢y {xk } x¡c ành bði (2.42) hëi tö m¤nh tîi iºm b§t ëng chung p∗ ∈ C khi k → ∞ v p∗ thäa m¢n (2.24). Vîi lªp luªn t÷ìng tü nh÷ trong nhªn x²t ð tr¶n, chóng tæi công nhªn ÷ñc ph÷ìng ph¡p l°p mîi, mët c£i bi¶n cõa ph÷ìng ph¡p l°p Halpern t¼m khæng iºm chung cõa mët hå c¡c ¡nh x¤ j -ìn i»u cüc ¤i. M»nh · 2.15. Cho E , α, a, λk v si ÷ñc gi£ thi¸t t÷ìng tü M»nh · 2.12. Cho Ai : Q → E l hå væ h¤n c¡c ¡nh x¤ j -ìn i»u cüc ¤i tr¶n mët tªp con lçi âng Q cõa ∞ E vîi C := Zer(Ai ) 6= ∅. Khi §y, vîi måi u ∈ Q cè ành v x1 tòy þ thuëc E , d¢y {xk } \ i=1 x¡c ành bði k si A i (2.43) X λ0k u λ0k xk+1 = + 1− αI + (1 − α) J (xk ), k ≥ 1, i=1 s ˜ k hëi tö m¤nh tîi khæng iºm chung p∗ ∈ C khi k → ∞ v p∗ thäa m¢n (2.24).
Ch÷ìng 3 18 Mët b i to¡n thüc t¸ v k¸t qu£ t½nh to¡n sè 3.1. B i to¡n ph¥n phèi b«ng thæng X²t mët m¤ng (Iiduka v Uchida, 2011) gçm S˜ = {1, 2, ..., S} l tªp c¡c nguçn v ˜ = {1, 2, ..., L} l tªp c¡c li¶n k¸t trong m¤ng. Vîi méi li¶n k¸t l ∈ L L ˜ câ dung l÷ñng l cl > 0. Gi£ thi¸t r¬ng méi mët nguçn câ thº dòng nhi·u ÷íng d¨n. K½ hi»u Ps l tªp c¡c ÷íng d¨n ÷ñc sû döng bði nguçn s, L˜ (p) s ⊂ L l tªp c¡c li¶n ˜ X k¸t m thæng(p)qua nâ ÷íng d¨n p ∈ Ps i qua v ns l sè c¡c ph¦n tû cõa Ps, N = ns. Gi£ sû xs l tèc s∈S ë truy·n t£i cõa nguçn s m ÷íng X d¨n p ∈ Ps i qua. Khi â, tèc ë truy·n t£i cõa nguçn s ÷ñc biºu di¹n bði xs = x(p) s . p∈Ps Tªp r ng buëc v· dung l÷ñng k½ hi»u l C , câ r ng buëc v· dung l÷ñng èi vîi méi li¶n k¸t sao cho têng tèc ë truy·n t£i cõa c¡c nguçn m dòng chung mët li¶n \ k¸t â l nhä hìn ho°c b¬ng dung l÷ñng cõa li¶n k¸t. Tªp C ÷ñc x¡c ành bði C := Cl 6= ∅ vîi ˜ l∈L n o (p) X (p) Cl := (xs )p∈Ps ∈ RN + : x(p) s Is,l ≤ cl , s∈S˜ ˜ s∈S,p∈Ps n¸u l ∈ L˜ (p)  1 s , ð ¥y (p) Is,l = 0 trong c¡c tr÷íng hñp kh¡c. Gi£ sû nguçn s câ mët y¶u c¦u v· tèc ë truy·n t£i \ º sao cho tèc ë tèi thiºu ph£i l rs > 0. K½ hi»u tªp r ng buëc i·u ch¿nh l D := Ds, trong â Ds l tªp bao gçm s∈S˜ c¡c y¶u c¦u v· tèc ë nh÷ vªy èi vîi nguçn s v n X o (p) Ds := (xs )p∈Ps ∈ RN + : x(p) s ≥ rs . s∈S˜ p∈Ps B i to¡n ph¥n phèi b«ng thæng câ thº quy v· b i to¡n cüc ¤i tr¶n tªp iºm b§t ëng cõa mët ¡nh x¤ khæng gi¢n sau ¥y: T¼m x∗ ∈ Fix(T ) sao cho : U (x∗) = Fix max U (x), (T ) (3.3) trong â U : RN → R l h m ti»n ½ch ÷ñc gi£ thi¸t l kh£ vi li¶n töc v T : RN → RN x¡c ành bði T (x) := (1/2)(x + Tˆ(x)) vîi h X X i Tˆ(x) := PRN+ ∩Cl0 vl P Cl + us PDs (x). ˜ =l0 l∈L,l6 s∈S˜