DANAMATH
www.toanhocdanang.com
www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang
Tổng Hợp
5 Đề và
đáp án
GV:Phan Nhật Nam
ÔN THI QUỐC GIA 2015
ĐỀ SỐ 1
Câu 1(2,0 điểm). Cho hàm số
21
1
x
yx
+
=+
có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó cách đều hai điểm A(2; 4) và B(-4; -
2).
Câu 2(1,0 điểm):
1. Giải phương trình sau:
2 cos 6 2 cos 4 3 cos 2 sin 2 3x x xx+− =+
2. Giải phương trình :
3 33
3log 2 log log
23
.2 12
xx
xx x+=+
Câu 3 (1,0điểm).
1. Tính tích phân:
4
2
0
sin
5sinx.cos x + 2cosx
x
I dx
π
=
∫
2. Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị của các hàm số
sin 3 , 0 , 0y xy x= = =
và
6
x
π
=.
Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi (H) khi quay quanh trục Ox.
Câu 4 (1,0 điểm).
1. Tìm tập hợp các điểm biểu diển của số phức z thỏa mãn đẳng thức sau : 21 1z i iz i− + = +− .
trong các số phức thỏa điều kiện trên , hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
2. Chọn ngẫu nhiên hai số hạng trong khai triển nhị thức Newton
. Tính xác suất để hai
số được chọn có một số là số hữu tỷ và một số là số vô tỷ.
Câu 5(1,0 điểm).Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB vuông góc tại S và
nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SC
và AB bằng
2 57
19
a
; góc tạo bới SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 300. Tính thể tích của khối
chóp SABCD và diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD.
Câu 6(1,0điểm).Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(0; 2; 0) và hai đường
thẳng
1
121
:2 21
xy z
d−−+
= =
−
và
2
31
:2 21
x yz
d−+
= =
−
. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua
M song song vớitrục Ox, sao cho (P) cắt hai đường thẳng d1, d2 lần lượt tại A, B thỏa mãn AB = 1.
Câu 7(1,0 điểm).Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có góc
฀
0
60BAD =
.
Trên cạnh AB, BC lấy các điểm M, N sao cho MB + NB = AB. Biết
( )
3 ;1P thuộc đường thẳng
DN và đường phân giác trong của góc
฀
MDN
có phương trình
3 60xy− +=
. Tìm tọa độ đỉnh
D của hình thoi đã cho.
Câu 8(1,0 điểm).Giải hệ phương trình:
22
2
1
32 2
3 6 2 2 3 10 2 2 1 4 6 4 2
x
x x y xy
x y x y x y xy
+
+− = ++
− − + + = −+ + − +
Câu 9 (1,0 điểm).Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện :
( )
2 2 22
2x y xy+=
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức :
22
1
11 1
xy
Pyx xy
=++
++ ++
--- Hết ---
GIẢI ĐỀ SỐ 1
Câu 1(2,0 điểm). Cho hàm số
21
1
x
yx
+
=+
có đồ thị (C).
2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó cách đều hai điểm A(2; 4) và B(-4; -
2).
Phương pháp chung :
Viết phương trình tiếp tuyến với (C):
()y fx=
thỏa mãn tính chất P.
• Gọi M(xo;
0
()fx
) ,
0f
xD∀∈
là tiếp điểm của tiếp tuyến cần tìm
⇒
hệ số góc của tiếp tuyến là
0
'( )k fx=
• Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng :
00 0
: '()( ) ()d y f x x x fx= −+
{tới đây ta chỉ cần tìm
0
x
}
• Phân Tích tính chất P.
o Nếu tính chất P liên quan đến hệ số góc {song song đường thẳng cho trước hoặc
vuông góc đường thẳng cho trước hoặc tạo với đường thẳng cho trước một góc cụ
thể hoặc tạo với hệ trục Oxy thành tam giác có tính chất về tỷ số …} Thì ta sử dụng
các công thức ở trên để tìm hệ số góc tiếp tuyến sau đó giải phương trình
0
'( )k fx=
để
tìm
0
x
o Nếu tính chất P là tiếp tuyến kẻ từ hoặc đi qua
( )
11
;Ax y
thì ta có
( )
1 010 0
'() ()A d y f x x x fx∈⇔ = − +
{với
11
,xy
cho trước} từ đó suy ra
0
x
o Nếu tính chất P liên quan đến khoảng cách , góc, diện tích, … thì ta sử dụng công thức
tương ứng để lập phương trình theo biến
0
x
sau đó giải phương trình để tìm
0
x
Các chú ý về hệ số góc của đường thẳng :
d: y = ax + b
⇒
hệ số góc của d là a = tan (d,chiều dươngOx)
ĐB :d : x = a
⇒
d không có hệ số góc
Cho d1 : y = a1x + b1 và d2 : y = a2x + b2 khi đó ta có
•
{ }
1 2 12 12
//d d aa bb⇔= ≠
•
1 2 12
.1d d aa⊥⇔ =−
•
( )
12
12
12
tan , 1
aa
dd aa
−
=+
• d1 tạo với trục Ox một góc
α
⇒
α
tan
1
±=a
Nếu
{ }
{ }
d Ox A
d Oy B
∩=
∩=
Thì
d
OB
KOA
=
{
d
K
là hệ số góc của đường thẳng d}
Cụ thể : Nếu
.0
AB
xy<
thì
d
OB
KOA
=
Nếu
.0
AB
xy>
thì
d
OB
KOA
= −
Bài giải :
Gọi
0
0
0
21
;1
x
Mx x

+

+

(với
0
1x≠−
) là tiếp điểm của tiếp tuyến d cần tìm
22
0
0 0 00
2
00
21
1
: ( ) : ( 1) 2 2 1 0
( 1) 1
x
dy x x dx x y x x
xx
+
= −+ ⇔ −+ + + +=
++
d cách đều hai điểm A, B
( )
22 2 2
0 00 0 00
44
00
2 ( 1) 4 2 2 1 4 ( 1) ( 2) 2 2 1
, (,)
1 ( 1) 1 ( 1)
x xx x xx
d Ad d Bd
xx
−+ + + + −−+−+ + +
= = =
++ ++
2
00 0 0
22
00 00 2
0 00
2 0 0, 2
2 614 61 1 0 1, 1 ( )
xx x x
xx xx x xx l
+ =⇔= =−
⇔− − −= + −⇔
−= ⇔ = =−
0
0: 1x dy x=⇒=+
0
2: 5x dy x=−⇒ = +
0
15
1:
44
x dy x=⇒=+
Vậy có ba tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán:
:1dy x= +
,
:5dy x= +
và
15
:44
dy x= +
Câu 2(1,0 điểm):
1. Giải phương trình sau:
2 cos 6 2 cos 4 3 cos 2 sin 2 3x x xx+− =+
Dấu hiệu cần nhớ :
Nếu phương trình lượng giác có chứa 3 thì thông thường ta sẽ xét hai trường hợp:
• TH1: Nếu phương trình có chứa bật cao và dạng tích thì ta sử dụng công thức biến đổi
tích thành tổng và công thức hạ bật để quy về dạng phương trình bật một theo sin, cos.
• TH2: Nếu phương trình không có bật cao và dạng tích thì ta sử dụng công thức biến đổi
tổng thành tích và công thức nhân đôi để biến đổi phương trình về dạng phương trình
tích.
Nếu phương trình lượng giác có chứa hai số hạng đồng thới thỏa mãn điều kiện: cùng hệ số,
cùng hàm(sin hoặc cos), cùng tính chẳn hoặc lẻ của cung thì ta sử dụng công thức biến đổi
tổng thành tích để quy phương trình về dạng phương trình tích
Bài giải :
( )
( )
2
4 cos 5 cos 3 2 cos 1 2sin cos 3 2 cos 2 cos 5 3 cos sin 0pt xx x xx x x x x⇔ − −= + ⇔ − − =
cos 0 2
3 cos sin 2 cos 5 (1)
x xk
xx x
ππ
=⇔= +
⇔+=
31
(1) cos sin cos 5
22
xxx⇔ +=
(chia hai vế cho
2
22 2
31 2ab+ = +=
)
52
6 24 2
cos cos sin sin cos 5 cos 5 cos
66 6
52
6 36 3
xx k x k
x x x xx
xx k x k
π ππ
π
ππ π
π ππ
π
=−+ ⇔=− +

⇔ + = ⇔ = −⇔


=−+ + ⇔ = +
Vậy phương trình có ba nghiệm:
2
xk
ππ
= +
,
24 2
xk
ππ
=−+
và
36 3
xk
ππ
= +
với
kZ∈
2. Giải phương trình :
3 33
3log 2 log log
23
.2 12
xx
xx x+=+
Dấu hiệu cần nhớ: Nếu phương trình lôga chứa số hạng có dạng:
log
b
x
a
thì ta đặt
log t
b
t x xb= ⇔=
để chuyển phương trình về dạng phương trình mũ cơ bản
Bài giải :
ĐK:
0x>
. Đặt :
3
log 3t
t xx= ⇔=
( )
3
3
3 33
log 2
3log 2 log 8 log 8
3 338
t
t
tt
x= = = =
.
( ) ( )
23
8 3 .2 12 3 8 18 12 27
ttt tt t t t t
pt ⇔+ = + ⇔+ = +
18 12 27
1888
ttt

⇔+ = +


32 2
333 3 3 3
10 1 1 0 1 0 1
222 2 2 2
t tt t t t
tx

     
⇔ − + −= ⇔ − + = ⇔ =⇔= ⇔ =

     
     


Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
Câu 3 (1,0điểm).
1. Tính tích phân:
4
2
0
sin
5sinx.cos x + 2cosx
x
I dx
π
=
∫
Dấu hiệu cần nhớ: Nếu tích phân luong giác dạng phân số không căn và tất cả các số hạng cùng
loại bậc chẳn hoặc cùng bật lẻ thì ta chia tử và mẫu cho
cosnx
để quy về dạng :