Trạng thái của tạp chất Donor trong chấm lượng tử InAs/GaAs

TRẠNG THÁI CỦA TẠP CHẤT DONOR TRONG CHẤM<br /> LƯỢNG TỬ InAs/GaAs<br /> <br /> NGUYỄN NGỌC TUÂN<br /> NGUYỄN VĂN TOÀN - ĐINH NHƯ THẢO<br /> Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế<br /> <br /> Tóm tắt: Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu các trạng thái của<br /> tạp chất donor trong chấm lượng tử InAs/GaAs. Chúng tôi đã tìm được<br /> năng lượng và hàm sóng của donor và khảo sát sự phụ thuộc năng lượng<br /> của donor vào bán kính của chấm lượng tử. Chúng tôi thấy rằng năng<br /> lượng của donor tăng khi bán kính của chấm lượng tử giảm, đặc biệt khi<br /> bán kính chấm tiến đến không thì năng lượng của donor tăng rất nhanh.<br /> Bên cạnh đó chúng tôi cũng khảo sát trạng thái của điện tử trong chấm<br /> và tìm được năng lượng và hàm sóng tương ứng. Chúng tôi tìm thấy sự<br /> phụ thuộc tương tự của năng lượng donor và điện tử vào bán kính của<br /> chấm lượng tử. Tuy nhiên phổ năng lượng của điện tử chỉ nhận các giá<br /> trị dương trong khi phổ năng lượng của donor bao gồm cả các giá trị<br /> dương và giá trị âm.<br /> Từ khóa: trạng thái của donor, trạng thái của điện tử, chấm lượng tử<br /> hình cầu, InAs, GaAs.<br /> 1<br /> <br /> GIỚI THIỆU<br /> <br /> Trong vài thập kỉ trở lại đây nhờ những tiến bộ trong kĩ thuật người ta đã và đang quan<br /> tâm đến những vật liệu bán dẫn có cấu trúc nano [1], [2]. Khi vật liệu đạt đến cấu trúc<br /> nano thì một loạt các hiện tượng vật lí mới xuất hiện gọi là hiệu ứng kích thước. Khi đó<br /> các quy luật lượng tử bắt đầu xuất hiện làm biến đổi tính chất điện tử của hệ, đặc biệt<br /> là các đặc trưng về phổ năng lượng trở nên gián đoạn dọc theo hướng toạ độ giới hạn và<br /> mở ra khả năng ứng dụng cho các linh kiện làm việc theo nguyên lí hoàn toàn mới. Chấm<br /> lượng tử là một trong những cấu trúc thấp chiều nhận được nhiều quan tâm nghiên cứu.<br /> Trong chấm lượng tử, hiệu ứng giam cầm lượng tử đóng vai trò đặc biệt quan trọng đối<br /> với cấu trúc phổ năng lượng của điện tử [3]. Bên cạnh đó sự pha tạp trong cấu trúc sẽ có<br /> ảnh hưởng không nhỏ đến tính chất của vật liệu. Vì vậy việc nghiên cứu trạng thái của<br /> Tạp chí Khoa học và Giáo dục, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế<br /> ISSN 1859-1612, Số 04(36)/2015: tr. 40-47<br /> <br /> TRẠNG THÁI CỦA TẠP CHẤT DONOR TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ...<br /> <br /> 41<br /> <br /> các tâm tạp trong chấm lượng tử là vấn đề khá được quan tâm hiện nay [4]. Trong bài<br /> báo này chúng tôi nghiên cứu trạng thái của tạp chất donor trong chấm lượng tử bán dẫn<br /> InAs/GaAs.<br /> 2<br /> <br /> LÝ THUYẾT<br /> <br /> 2.1<br /> <br /> Trạng thái của tạp chất donor trong chấm lượng tử bán<br /> dẫn InAs/GaAs<br /> <br /> Để đơn giản, chúng tôi xét mô hình lí tưởng với giả thiết tâm tạp Hydro nằm ở tâm của<br /> chấm lượng tử loại InAs/GaAs đối xứng cầu bán kính R với bờ thế cao vô hạn [4]:<br /> (<br /> 0<br /> khi r < R,<br /> V (r) =<br /> (1)<br /> ∞ khi r > R.<br /> Hamitonian của hạt ở trạng thái dừng là:<br /> 2<br /> 2<br /> ˆ = − ~ ∇2 − e + V (r) ,<br /> H<br /> 2m<br /> εr<br /> <br /> (2)<br /> <br /> với m là khối lượng hiệu dụng của điện tử, ε là hằng số điện môi (giả thiết là như nhau<br /> với InAs và GaAs), V (r) là thế giam cầm đối xứng cầu.<br /> Phương trình Schrodinger của hạt ở trạng thái dừng trong hộp thế cầu là [5]:<br /> <br /> <br /> ~2 2 e2<br /> ∇ −<br /> ψ (r, θ, ϕ) = Eψ (r, θ, ϕ) .<br /> (3)<br /> −<br /> 2m<br /> εr<br /> Bằng phương pháp phân ly biến số ta nhận được phương trình bán kính như sau:<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> d2<br /> 2m<br /> 2 d<br /> e2<br /> l (l + 1)<br /> R (r) +<br /> R (r) +<br /> E+<br /> −<br /> R (r) = 0.<br /> dr2<br /> r dr<br /> ~2<br /> εr<br /> r2<br /> <br /> (4)<br /> <br /> Sử dụng hệ đơn vị của năng lượng và chiều dài tương ứng là (hệ đơn vị nguyên tử)[4]:<br /> 2Ry =<br /> <br /> m<br /> ~2<br /> <br /> aB =<br /> <br /> <br /> <br /> e2<br /> ε<br /> <br /> 2<br /> ,<br /> <br /> ~2 ε<br /> .<br /> me2<br /> <br /> (5)<br /> <br /> (6)<br /> <br /> Phương trình (4) được biến đổi thành:<br /> <br /> <br /> 2 d<br /> 2 l (l + 1)<br /> d2<br /> R (r) −<br /> R (r) + 2E + −<br /> R (r) = 0.<br /> dr2<br /> r dr<br /> r<br /> r2<br /> <br /> (7)<br /> <br /> 42<br /> <br /> NGUYỄN NGỌC TUÂN và cs.<br /> <br /> Đặt<br /> (<br /> <br /> λ=<br /> ρ=<br /> <br /> √1<br /> −2E<br /> 2r<br /> λ<br /> <br /> ,<br /> <br /> (8)<br /> <br /> phương trình (7) được biến đổi thành:<br /> <br /> <br /> 2 d<br /> d2<br /> 1 λ l (l + 1)<br /> R (ρ) −<br /> R (ρ) = 0.<br /> R (ρ) + − + −<br /> dρ2<br /> ρ dρ<br /> 4 ρ<br /> ρ2<br /> <br /> (9)<br /> <br /> + Khi ρ → 0, số hạng tỉ lệ 1/ρ2 chiếm ưu thế. Phương trình (9) có dạng:<br /> d2<br /> 2 d<br /> l (l + 1)<br /> R (ρ) −<br /> R (ρ) = 0.<br /> R (ρ) −<br /> 2<br /> dρ<br /> ρ dρ<br /> ρ2<br /> <br /> (10)<br /> <br /> Ta được nghiệm tiệm cận:<br /> R1 (ρ) = ρl .<br /> <br /> (11)<br /> <br /> + Khi ρ → ∞, ta bỏ qua các số hạng tỉ lệ với 1/ρ. Phương trình (9) có dạng:<br /> d2<br /> 1<br /> R (ρ) − R (ρ) = 0.<br /> 2<br /> dρ<br /> 4<br /> <br /> (12)<br /> <br /> R2 (ρ) = e−ρ/2 .<br /> <br /> (13)<br /> <br /> Ta được nghiệm tiệm cận:<br /> <br /> Nghiệm tổng quát của (9) được tìm dưới dạng:<br /> R (ρ) = ρl e−ρ/2 ω (ρ) .<br /> <br /> (14)<br /> <br /> Đạo hàm (14) và thay vào (9) ta được:<br /> ρω 00 (ρ) + (2l + 2 − ρ) ω 0 (ρ) + (λ − l − 1) ω (ρ) = 0.<br /> <br /> (15)<br /> <br /> Phương trình (15) có nghiệm là hàm siêu bội suy biến [6]:<br /> ω (ρ) = F (−λ + l + 1, 2l + 2, ρ) .<br /> <br /> (16)<br /> <br /> Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (9) là:<br /> Rn,l (r) = Arl e−r/λ(En ) F (−λ (En ) + l + 1, 2l + 2, 2r/λ (En )) ,<br /> <br /> (17)<br /> <br /> √<br /> trong đó A là hệ số chuẩn hóa, λ (En ) = 1/ −2E, l, m là số lượng tử moment quỹ đạo<br /> và hình chiếu moment quỹ đạo lên trục z, n là số lượng tử đánh số thứ tự các mức năng<br /> lượng En = E0n ứng với một giá trị xác định của l [7], [8].<br /> Các mức năng lượng En của donor trong chấm lượng tử tương ứng với hàm sóng được tìm<br /> từ điều kiện biên:<br /> Rn,l (r)|r=R = 0.<br /> (18)<br /> <br /> TRẠNG THÁI CỦA TẠP CHẤT DONOR TRONG CHẤM LƯỢNG TỬ...<br /> <br /> 2.2<br /> <br /> 43<br /> <br /> Trạng thái của điện tử trong chấm lượng tử InAs/GaAs<br /> <br /> Xét chấm lượng tử hình cầu có bán kính R. Phương trình Schrodinger đối với điện tử trong<br /> chấm lượng tử có dạng [9]:<br /> <br /> <br /> <br /> ~2 2<br /> −<br /> ∇ + V (~r) ψ (r, θ, ϕ) = Eψ (r, θ, ϕ) ,<br /> 2m<br /> <br /> (19)<br /> <br /> trong đó m là khối lượng hiệu dụng của điện tử, V (r) là thế năng giam giữ điện tử và có<br /> dạng:<br /> (<br /> ∞ khi r > R,<br /> V (r) =<br /> (20)<br /> 0<br /> khi r < R.<br /> Giải phương trình (19) với thế năng có dạng (20) ta sẽ thu được năng lượng và hàm sóng<br /> của điện tử trong chấm lượng tử.<br /> Bằng phương pháp phân ly biến số và qua quá trình biến đổi ta nhận được phương trình<br /> bán kính như sau:<br /> <br /> <br /> d2 fn,l (ξ) 2 dfn,l (ξ)<br /> l (l + 1)<br /> +<br /> + 1−<br /> fn,l (ξ) = 0.<br /> (21)<br /> dξ 2<br /> ξ dξ<br /> ξ2<br /> Hàm sóng tổng quát có dạng:<br /> ψ (r, θ, ϕ) = Ylm (θ, ϕ) [Ajl (kr) + Bηl (kr)] .<br /> <br /> (22)<br /> <br /> Do hàm Neumann phân kỳ tại điểm ξ = 0 nên hàm sóng lúc này sẽ là:<br /> ψ (r, θ, ϕ) = AYlm (θ, ϕ) jl (kr) ,<br /> <br /> (23)<br /> <br /> với A là một hằng số.<br /> Giá trị năng lượng được xác định dựa vào điều kiện liên tục của hàm sóng tại r = R<br /> ψ (r, θ, ϕ) = AYlm (θ, ϕ) jl (kr) .<br /> <br /> (24)<br /> <br /> Hàm sóng xuyên tâm đã chuẩn hóa là:<br /> r<br /> fn,l (r) =<br /> <br />
<br /> 2 jl χn,l Rr<br /> .<br /> R3 jl+1 (χn,l )<br /> <br /> (25)<br /> <br /> Năng lượng của điện tử trong chấm lượng tử được cho bởi biểu thức:<br /> 2<br /> <br /> Enl =<br /> <br /> ~2 χn,l<br /> .<br /> 2m R2<br /> <br /> (26)<br /> <br /> 44<br /> <br /> 3<br /> <br /> NGUYỄN NGỌC TUÂN và cs.<br /> <br /> KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN<br /> <br /> Các thông số của vật liệu làm chấm lượng tử InAs/GaAs được cho như sau: khối lượng hiệu<br /> dụng của điện tử me = 0.023m0 , hằng số điện môi của tinh thể InAs ε = 15.15. Trong quá<br /> trình tính toán chúng tôi đã sử dụng hệ đơn vị nguyên tử với đơn vị năng lượng và chiều<br /> o<br /> dài tương ứng là 2Ry và aB . Chúng tôi đã tính toán được 2Ry = 2.72 meV và aB = 350 A.<br /> Hình 1 chỉ ra sự phụ thuộc của năng lượng donor ở mức thấp nhất 1s vào kích thước chấm<br /> lượng tử. Ta thấy rằng với những chấm lượng tử có bán kính R > 3aB năng lượng của<br /> donor ít phụ thuộc vào bán kính chấm. Khi R < 3aB năng lượng của donor tăng dần khi<br /> bán kính của chấm giảm. Đối với các chấm lượng tử có bán kính R < 1.8aB năng lượng<br /> trở nên dương và tăng rất nhanh khi R → 0. Cũng dễ nhận thấy rằng khi R → ∞ năng<br /> lượng trở về giá trị tâm donor trong bán dẫn khối ba chiều.<br /> <br /> Hình 1: Năng lượng của donor ở mức thấp nhất 1s.<br /> Trên hình 2 là đồ thị sự phụ thuộc năng lượng của điện tử ở mức thấp nhất 1s vào kích<br /> thước của chấm lượng tử. Ta thấy rằng phổ năng lượng của điện tử tự do trong chấm là<br /> dương. Khi bán kính chấm tăng năng lượng của điện tử trong chấm giảm. Năng lượng tiến<br /> đến không khi R → ∞ và tăng rất nhanh khi R → 0.<br /> Hình 3 chỉ ra sự phụ thuộc năng lượng vào kích thước chấm lượng tử của cả donor và điện<br /> tử tự do. Ta thấy rằng chúng có dạng gần như tương tự nhau. Khi bán kính giảm năng<br /> lượng của hạt tăng và đặc biệt khi bán kính R → 0 năng lượng của hạt tăng rất nhanh.<br /> Tuy vậy chúng cũng có những khác biệt nhất định. Phổ năng lượng phụ thuộc bán kính<br /> của donor gồm cả giá trị âm và giá trị dương trong khi đó phổ năng lượng phụ thuộc bán<br /> kính của điện tử tự do chỉ nhận giá trị dương.<br /> <br />