Nguyễn Phú Khánh
www.MATHVN.com
TỨ DIỆN
VẤN ĐỀ I: CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ CHÓP TAM GIÁC
(
)
) BCD .
vuông tại A
= = = = ⊥ AD ABC , AC AD 4cm, AB 3cm, BC 5cm.
z
D
A 0; 0; 0 , B 3; 0; 0 , C 0; 4; 0 ,
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có Tính khoảng cách từ A đến ( Giải: ABC∆ Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho: )
)
(
(
( (
Β
)CD :
+
+
= 1
z 4
−
A
) BCD .
y
C
−
) ) D 0; 0; 4 Phương trình mặt phẳng ( y x 3 4 + ⇔ + = 4x 3y 3z 12 0 Khoảng cách từ A đến ( 12
12
=
( d A, BCD
)
=
2
2
2
34
+
+
4
3
3
B
x
⊥
∆
AMN
SB, SC. Tính theo a diện tích AMN
Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC cạnh đáy là a. Gọi M, N là trung điểm biết (
) SBC .
)
(
)ABC ⇒ Ο là trọng tâm ABC∆
Giải: Gọi O là hình chiếu của S trên ( Gọi I là trung điểm BC
Ta có
a
3
>
h, a
0
a 3 a 3 a 3 ⇒ = = = = AI BC O A , OI 3 2 2 3 6
( Oxyz: O 0; 0; 0 , A
)
( ; 0; 0 , S 0; 0; h
)
(
)
3
5
Chọn hệ trục tọa độ
www.MATHVN.com
Nguyễn Phú Khánh
www.MATHVN.com
a
3
a
3
a
3
−
−
−
−
−
−
;
;
;
, N
;
6
6
a 2
a 2
3 a 12
a h ; 4 2
3 a 12
a h ; 4 2
6
; 0; 0 , B
; 0 , C
; 0 , M
2
AMN
⇒ − I (cid:1)(cid:2) n (
)
2
a
3
⇒
=
ah; 0;
S
BC
(cid:1)(cid:2) n (
)
6
= −
⊥
⇒
=
AMN
SBC
0
AMN
SBC
(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) SB,SC (cid:1)(cid:2) n (
(cid:1)(cid:2) .n (
)
)
(
)
(
)
a 5
⇒ = h
2 3
3
a
⇒
=
=
S
∆
AMN
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM, AN
1 2
10 6
1
vuông tại
3 ⇒ = ; 0; (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM, AN ah 4 5a 2 4 =
Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy là ABC∆
CA a,=
( ) ⊥ C, SA ABC ,
=
CB b, SA h
= .Gọi D là trung điểm AB.
2. Tính
1. Tính cosin góc ϕ giữa AC và SD. ) ( d AC,SD , d BC,SD .
(
)
⊥
Giải: )ABC vẽ tia Ax AC. Trong ( Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho:
) A 0; 0; 0 , C 0; a; 0 , S 0; 0; h
(
)
(
)
(
⇒ Β
; 0
(
) b; a; 0 , D ;
b a 2 2
6
www.MATHVN.com
Nguyễn Phú Khánh
www.MATHVN.com
=
1. Tính cosin góc ϕ giữa AC và SD. )
Ta có:
=
− ; h
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ( AC 0;a; 0 (cid:1)(cid:1)(cid:2) b a SD ; 2 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC.SD
a
=
⇒ ϕ = cos
2
2
2
AC.SD
+
4h
b
2. Tính
)
( d BC,SD
)
2
2
+ a ( ) ( d AC,SD , d BC,SD . (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) BC,SD BS (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) BC,SD
hb
=
=
( d AC,SD
)
2
2
+
b
4h
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC,SD AS (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) AC,SD
ha = = + a 4h
⊥
Ví dụ 4: Cho ABC∆
)
tại A lấy điểm M. đều cạnh a. Trên đường thẳng
( d ABC ) BCM .
∆
-
⊥
Gọi I là hình chiếu của trọng tâm G của ABC∆ trên (
Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho:
1. Chứng minh I là trực tâm BCM. 2. GI cắt d tại N. Chứng minh tứ diện BCMN có các cặp cạnh đối vuông góc. 3. Chứng minh AM.AN không đổi khi M di động trên d. Giải: Trong mặt phẳng (
)ABC vẽ Ay AB.
(
)
(
(
)
7
3 3 ⇒ ; 0 ; 0 a a ) A 0; 0; 0 , B a; 0; 0 , M 0; 0; m , C ; 2 2 6 a a G ; 2
www.MATHVN.com
Nguyễn Phú Khánh
www.MATHVN.com
∆
1. Chứng minh I là trực tâm BCM.
z
)
( BC GIA
⇒ ⊥ Ta có:
M
⊥ BC MA ⊥ BC GI
⊥ ⇒ là trực tâm I
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC
= − − Ta có: 3; 0 1;
A
(
⇒ ⊥ BC AI Tương tự MC BI BCM∆ 2. Chứng minh tứ diện BCMN có các cặp cạnh đối vuông góc. ) a 2
y
I
−
G
C
N
x
B
( ⇒ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MC
2
⇒
= 3y 0 ) −
+
−
= a;a − 3; 2m
d
ax
3y
a
2mz
a
= 0
(
)AMI : x 1 ( 2 ) BGI :
−
x
= 3y 0
=
∩
B
GI
( GI AMI
)
(
)
2
+
−
−
=
ax
3y 2mz a
a
0
=
2
2
∈ ⇒
−
và
N d N 0; 0; n
(
) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
=
=
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC.MN 0, BM.CN 0, BN.BM 0
⊥
⊥
⊥
N GI n a 2m a 2m N 0; 0; ∈ ⇒ = − ⇒ ā
=
Vậy BC MN, BM CN, BN CM.
,
BC 2OA=
. Vẽ OM AC⊥
tại M, ON BC⊥
tại N.
⊥
Ví dụ 5: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. AC 2OB
2. Tính
1. Chứng minh MN OC. (cid:3) cos MON.
4
+
=
1.
3. D là trung điểm AB. Chứng minh
4
(cid:3) tan OCD MN (cid:3) AB tan OCA
Giải:
2
2
2
=
+
2
2
⇒
=
−
⇒
Ta có:
2 − 4OB OA
2 4OA OB
= OA OB
OA OC AC 2
2
2
=
+ OB OC
BC
= = ⇒ Ο =
Đặt OA a OB
C a 3
Chọn trục hệ tọa độ Oxyz sao cho:
(
)
(
)
)
) ( O 0; 0; 0 , A a; 0; 0 , B 0; a; 0 , C 0; 0; a 3
(
8
www.MATHVN.com
Nguyễn Phú Khánh
www.MATHVN.com
⊥
−
= −
;
3
1. Chứng minh MN OC. (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AC
( a 1; 0
−
a t;
0
t
;
3
t
) ∈(cid:4)
(
( ⇒ Μ +
)
= −
3
z
t
) Phương trình tham số của AC : = + x a t = 0 y
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
⊥ ⇒
= ⇔ = −
OM AC OM.AC 0
t
a 4
a
3
= −
−
; 0;
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC
,
3
( ; a 0;1
)
3a 4
4
⇒ M
Phương trình tham số của
BC :
t
(
) ∈(cid:4)
= −
z
t3
⇒ Ν
+ − ;t
0; a
t3
= x 0 = + y a t (
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
3
⊥
= ⇒ = −
⊥
= ⇒ ⇒ MN.OC 0 MN OC
= ON BC ON.BC 0
t
3a a ; 4
4
⇒ N 0;
a 4 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
=
=
2. Tính
(cid:3) cos MON :
cos MON
(cid:3) OM.ON 1 OM.ON 4 4
+
=
1.
3. D là trung điểm AB. Chứng minh
4
(cid:3) tan OCD MN (cid:3) AB tan OCA
β =
α =
⇒ ⊥
OCA,OC OAB
OC OD
Đặt
(cid:3) (cid:3) ( ⊥ OCD,
)
4
β =
tan
4
β
=
=
⇒
⇒
=
=
OD
AB
,
tan 4
1 2
a 2 2
OD OA
1 4
α
tan
α =
tan
OD OC' O A OC
4
β 3a 2 4 = + = 1 tan 4 MN AB 3 = ⇒ 4 MN AB α a 2 ta n
)α
SC.
Mặt phẳng (
∆
Ví dụ 6: Cho hình chóp SABC có cạnh đáy là a đường cao SH h.= qua AB và ( ) α ⊥ 1. Tìm điều kiện của h để ( 2. Tính h theo a để (
)α cắt cạnh SC tại K. Tính diện tích ABK. )α chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
9
www.MATHVN.com
Nguyễn Phú Khánh
www.MATHVN.com
⊥
)ABC vẽ Hy HA.
Chứng tỏ khi đó tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau. Giải: Trong mặt phẳng (
(
)
( , S 0; 0; h
)
3
a
Chọn hệ trục tọa độ Hxyz sao cho: H 0; 0; 0 , A ; 0; 0 a 3 3
z
−
;
;
⇒ − B
; 0
6
; 0 , C
S
− a 2 )α cắt
a 3 a 2 6 1. Tìm điều kiện của h để ( cạnh SC tại K. Tính diện tích ∆
ABK.
K
(
)
2
= − Ta có: (cid:1)(cid:1)(cid:2) SC a 3 ; 3a; 6h 1 6
C
+
−
: a
+ 3x 3ay 6hz a
= 0
B
( ⇒ α
)
Phương trình tham số của
H
3t
y
I
∈
t
(
) (cid:4) .
= x a = SC : y 3at = + z h 6ht
2
2
A
−
+
a
Ò x
SC
t
) ∩ α ⇒ =
(
h 6 2
2
12a
+ 2
36h 3
3
2
3a
a
3
18ah
;
;
− 2
− 2
6 3ah 2
2
2 18a h 2
2
+
+
+
36h
36h
12a
36h
12a
12
a
⇒ K
2
h
a
∈ ⇔
<
<
⇔
<
>
K SC
z
z
z
0
< ⇔ h
h
K
S
C
18a 2
2
+
6
12a
36h
Cách 1:
2
3a
h
=
=
S
∆
ABK
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB,AK
2
2
1 2
+
4 a
3h
Cách 2:
⇒
⇒ ⊥
⊥
AB
I
; 0
IK SC, IK AB
;
Gọi I là trung điểm
a 3 12
a 4
2 3a h
∆
ABK
2
2
2
2
3ah (cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) SC,SI ⇒ = = = = S IK.AB IK 1 2 SC + + h 4 a 3h 2 a 3
2. Tính h
10
www.MATHVN.com
Nguyễn Phú Khánh
www.MATHVN.com
)α chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau khi K là trung điểm của ( SC.
2
2
2
a
=
⇔ =
⇒ = ⇔ IC IS
h a
2 3
∆
3a 4 = ∆
SAB
= SA SB a
+ 12h 2 1 ⇒ = 2
2
2
2
2
=
=
SC
+ SH CH
+ ⇒ = SC a
a 3
)Q vuông góc với nhau, có giao tuyến là đường
)P và ( .∆ Trên ∆ lấy hai điểm A và B với AB a.= Trong (
=
)P lấy điểm C, trong = Tính
Khi đó: CAB
2a 3 ⇒ Chóp SABC đều. Vậy, tâm mặt cầu ngoại tiếp và tâm mặt cầu nội tiếp của SABC trùng nhau. Ví dụ 7: Cho hai mặt phẳng ( thẳng )Q lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với ∆ và AC BD AB. (
( d A, BCD
)
bán kính mặt cầu ngoại tiếp ABCD và theo a.
Giải:
) A 0; 0; 0 , B 0; a; 0 , C 0; 0; a , D a; a; 0
(
)
)
(
(
)
2
2
( 2
+
+
−
=
y
z
2α − β −
γ x 2 y 2 z
0
) S : x
2
= β
2 a
Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho: Phương trình mặt cầu (
z
ā
2
C
B, C, D
= γ 2 a
2
+ β
= α
2 a 2 a
2a
a ∈ ⇒ a S
R
a 3 2
a 2 a ⇒ β = ⇒ = 2 a 2
α = γ =
A
B
Δ
2
D
)
(
)
= = 0;1;1
y
⇒
BCD : y z a
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BC, BD a + − = 0 (cid:1)(cid:2) BCn ( ( )
a
x
( d A, BCD
)
⇒ =
D
2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN.
11
www.MATHVN.com
Nguyễn Phú Khánh
www.MATHVN.com
=
∆
=
Trên đường thẳng vuông góc vuông tại A có AB a, AC 2a.
AD là đường cao tam giác ABC. E, F
Bài tập 1: Cho ABC∆ = )ABC tại A lấy điểm S sao cho SA 3a. ( là trung điểm của SB, SC. H là hình chiếu của A trên EF.
) ( ABC , ACF .
)
1. Chứng minh H là trung điểm của SD. 2. Tính cosin góc CP giữa hai mặt phẳng ( 3. Tính thể tích hình chóp A.BCFE.
=
Bài tập 2: Cho tứ diện SABC. ABC∆
= BC a 3 , SB a 2 ,
( ) SB ABC .
⊥
⊥ ∈ ⊥ ∈ Qua B vẽ BK SC H SA, S K vuông tại A có ( = AC a, ) .C
1. Chứng minh
SC
(
) SCB
)ABC .
⊥ BH SA, ) BHK .
có ba góc nhọn. ∆
∆ 2. Tính diện tích BHK. )ASC và ( 3. Tính góc giữa ( Bài tập 3: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. H là hình chiếu của O trên ( 1. Chứng minh ABC∆ 2. Chứng minh H là trực tâm ABC. 1
1 1 1 = + +
3. Chứng minh
2
2
2
2
,
OAB , OBC , OAC
)
(
)
(
)
2
2
2
. OH OA OB OC với mặt
ā cos
γβ lần lượt là góc giữa các mặt phẳng ( , )ABC . Chứng minh rằng
α + β + γ = cos cos 1.
1
1
1
) OBC , OAC , OAB .
= = = và đôi một vuông góc. A , B , C lần lượt là hình chiếu của H lên các mặt
α 4. Gọi phẳng ( Bài tập 4: Cho tứ diện OABC có OA OB OC a ( ⊥ tại H. Gọi OH ABC ) ) ( ( ) ( 1. Tính thể tích tứ diện
HA B C . 1 1 1
) A B C . 1 1 1
2. Gọi S là điểm đối xứng H qua O. Chứng minh tứ diện SABC đều. 3. Chứng minh OH không vuông góc ( Bài tập 5: Cho tứ diện OABC và OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA a,=
) 0 .
> = , a 2 = OC c a,c
)OCD theo đường
)α với OC. Tính OE. ).α
Gọi D là đỉnh đối diện O của hình chữ nhật )α qua A và M cắt (
( OB OADB, M là trung điểm BC mặt phẳng ( thẳng vuông góc AM. 1. Gọi E là giao điểm ( 2. Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng ( 3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (
)α và chóp C.OADB.
12
www.MATHVN.com
Nguyễn Phú Khánh
www.MATHVN.com
Bài tập 6: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc.
=
)S của OABC. Tính bán kính r của (
)S .
= = OA a, OB b, OC c. 1. Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp ( 2. Gọi M, N, P là trung điểm BC, CA, AB. Chứng minh rằng góc giữa (
) NOM của
=
+
.
OMP là vuông khi và chỉ khi
(
)
1 2
1 2
1 2
b
a
c Bài tập 7: Trên 3 tia Ox, Oy, Oz vuông góc từng đôi một lấy các điểm A, B, C sao
=
=
cho OA a, OB b, OC c.
= Gọi H, G là trực tâm, trọng tâm ABC.
∆
1. Tính OH, OG và
S∆
2
=
=
a tan A b tan B c tan C. ⊥
2. Chứng minh ABC∆ Bài tập 8: Cho ABC∆
tại A lấy điểm
theo a, b, c. ABC có ba góc nhọn và 2 đều cạnh a. Trên đường thẳng
( d ABC
2 )
1. Tính
( d A, SBC
S,SA h.=
∆
) ∆ ⊥
2. Đường thẳng
SBC
tại trực tâm H của SBC,
chứng tỏ ∆ luôn đi qua điểm
theo a và h. ) (
⊥
=
vuông cân tại
và
cố định khi S di động trên d. 3. ∆ cắt d tại S'. Tính h theo a để SS' nhỏ nhất. Bài tập 11: Cho tứ diện SABC có ABC∆
B, AB a, SA ABC
(
)
.2
Gọi D là trung điểm của AC.
)
) SBC .
) (
)
= SA a 1. Chứng minh khoảng cách từ A đến ( )α qua A và vuông góc 2. Mặt phẳng ( ∆ - Chứng minh AMN
là thiết diện giữa (
SBC gấp đôi khoảng cách từ D đến ( SC, α cắt SC và SB tại M và N. )α và tứ diện SABC.
)ASC và ( =
đều có đường cao AH 2a.
) SCB Gọi O là trung điểm của AH.
=
< = <
- Tính thể tích hình chóp SAMN. 3. Tính cosin góc ϕ giữa mặt phẳng ( Bài tập 15: Cho ABC∆ Trên đường thẳng vuông góc với ( 1. Tính góc cosin ϕ góc giữa ( 2. Trên đoạn OH lấy điểm I. Đặt
)ABC tại O lấy điểm S sao cho OS 2a. ) BSA và ( ) SAC ) ( OI m 0 m a .
Mặt phẳng (
)α qua I vuông
góc với AH cắt các cạnh AB, AC, SC, SB tại M, N, P, Q.
⊥ =
- Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a và x. - Tìm m để diện tích MNPQ là lớn nhất. Bài tập 20: Cho tứ diện SABC có ABC∆
vuông cân tại
B, AB a, SA ABC
và
(
)
⊥
=
SA a. AH SB
tại H, AK SC⊥
tại K.
⊥
1. Chứng minh rằng HK SC.
13
www.MATHVN.com
Nguyễn Phú Khánh
www.MATHVN.com
Chứng minh rằng B là trung điểm của CI.
AHK .
)
(cid:3) xOy. M, N lần lượt di động trên
)α có góc vuông
Trên đường thẳng vuông góc với (
)α tại O lấy
= + ∩ = 2. Gọi I HK BC. 3. Tính sin góc ϕ giữa SB và ( 4 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABC. Bài tập 21: Trong mặt phẳng ( cạnh Ox, Oy sao cho OM ON a.
điểm S sao cho OS=a. 1. Tìm vị trí M, N để thể tích SOMN lớn nhất.
2. Khi thể tích SOMN lớn nhất, hãy tính:
-
)
( d O, SMN .
- Bán kính mặt cầu ngoại tiếp SOMN.
+
+
=
= chứng minh
(cid:3) (cid:3) (cid:3) ° + OSM OSN MSN 90 .
3. Khi M, N dị động sao cho OM ON a
Bài tập 1: Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho:
A 0; 0; 0 , B a; 0; 0 , C 0; 2a; 0 ,
VẤN ĐỀ I: CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ CHÓP TAM GIÁC )
(
)
)
(
(
E
; 0;
) ( S 0; 0; 3a ,
a 2
3a 2
3a 2
, F 0; a;
z
1. Chứng minh H là trung điểm của SD.
S
)
=
=
(cid:1)(cid:1)(cid:2) FE
− ; a; 0
− 1; 2; 0
Ta có:
(
)
a 2
a 2
Phương trình tham số của
F
H
t = −
∈
t
(
) (cid:4) .
E
=
z
= x FE : y a 2t
3a 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
A
y
C
∈ ⇒
−
H
= FE AH t; a 2t;
3a 2
D
,
;
;
2a a 3a 5 5 2
2a ⇒ = ⇒ H 5
B
= ⇒ ⊥
(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ⊥ FE AH t (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) SH.BC 0
SH BC
x
⊥
⊥
⊥ SD BC BC AD, BC SA
(
)
⇒
∈
H
SD
Mà
H⇒ là trung điểm của SD do EF là
⊥ SH BC
đường trung bình trong SBC∆
4a 2a ; 5 5
⇒ D
; 0 .
14
www.MATHVN.com
Nguyễn Phú Khánh
www.MATHVN.com
) ( ABC , ACF .
)
do FE song song với BC
SAD
(
)
(
∩
SAD
⇒ ϕ
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) cos = cos AD, AH
⇔ ϕ = cos
)(cid:3) ( (
2 7
∩
SAD
) + +
+ +
)( 4; 2;15 2;1; 0 16 4 224 4 1 0
BC ) )
⊥ ( (
2. Tính cosin góc CP giữa hai mặt phẳng ( ) ⇒ ⊥ SAD Ta có FE ) ( = ABC AD ) ( = AEF AH 3. Tính thể tích hình chóp A.BCFE.
3
3
=
=
=
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AS, AE .AF
, V
AS.AB.AC a
Ta có ASEF V
ASB
C
1 6
1 6
=
−
=
V
V
Vậy A.BCEF V
ASBC
ASEF
a 4 33a 4
3
=
=
=
⇒
Chú ý:
S
S
V
V
∆
∆
AS
BC
SEF
SBC
ASEF
a 4
1 4
2
⊥
=
−
=
⇒ ∆
AB
2 BC A
C
a 2
B
AS
Ta có:
)ABC , vẽ Bx BA.
a
2
a
2
Bxyz: B 0; 0; 0 , A 0; a
2
2
2; 0
;
)
(
1 4 Bài tập 2: Trong ( vuông cân tại B H⇒ là trung điểm của SA. Chọn hệ trục tọa độ (
)
( , C a; a
)
2
2
, H 0;
⊥
SC
(
z
=
−
Ta có:
2
)
S
( ) ; 0 , S 0; 0; a ) 1. Chứng minh BHK . (cid:1)(cid:1)(cid:2) ) ( SC a 1; 2; Phương trình tham số của
t
SC : y
2
t
t
(
) ∈ (cid:4)
H
−
z
a
2
2
t
K
⇒
−
t; a
2t
= x = = ( K t; 2
)
A
⊥ ⇔
= ⇔ =
2 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BK.SC 0
BK SC
t
B
2 5
y
;
2a 5
2a 3 5
⇒ K
SC
x
C
BHK
2a 2 ; 5 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:2) = ⇒ ΒΗ ⊥ BH.SC 0 ) ( ⇒ ⊥ SC
2
a
3
=
=
2. Tính diện tích BHK∆
:
S
∆
BH
K
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BH, BK
1 2
1 10
15
www.MATHVN.com
Nguyễn Phú Khánh
www.MATHVN.com
⊥
⇒
=
⇒
3. Ta có
SC
BHK
(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BKH KB,KH
(
)(cid:3)SC HK (cid:3) (
⊥ ⊥ SC KB
) (cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
3
⇒
=
=
(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) cos KB,KH
)(cid:3) KB.KH (
KB KH .
5
6
Bài tập 3: Chọn hệ trục Oxyz sao cho:
) ) O 0; 0; 0 , A a; 0; 0 , B 0; b; 0 , C 0; 0; c .
(
(
(
(
)
)
có ba góc nhọn.
z
=
1. Chứng minh ABC∆ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB.AC a
Ta có
(cid:3)2 BAC
là góc nhọn
C
Tương tự
> ⇒ 0 (cid:3) (cid:3) ABC, ACB là góc nhọn
H
)ABC là
= ⇔ +
+
+
−
1
= 0
Vậy ABC∆ có ba góc nhọn. ∆ 2. Chứng minh H là trực tâm ABC. Ta có phương trình mặt phẳng ( x a
y b
z c
O
⇒
=
=
+ bcx acy abz abc (cid:1)(cid:2) u
bc; ac; ab
ABC
OH
y
(cid:1)(cid:2) n (
)
( ⊥ OH ABC
(
)
B
) Phương trình tham số của
D
A
∈
t
(
(cid:4) ) .
)
x
= x bct = OH : y act = z abt
)ABC ta được:
= ⇒ =
+
+
2 2 a b t
2 2 b c
2 2 a c
abc
t
Thay x, y, z vào phương trình ( (
)
+
+
abc 2 2 a c
2 2 a b
2
;
;
+
+
+
+
+
+
2 2 a b
2 2 b c
2 2 a b
2 2 b c
2 2 a b
2 2 b c
2 2 a b c 2 2 a c
2 2 ab c 2 2 a c
2 2 b c 2 a bc 2 2 a c
2
2
2
2
=
−
−
⇒ H (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AH
ab
2 ac ; bc ; b c
(
)
+
+
2 2 a b
2 2 b c
2
2
2
2
=
−
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BH
− ac ; a b bc ; a c
(
)
+
+
2 2 a b
2 2 b c
a 2 2 a c 2 b 2 2 a c
=
∆
⇒
⇒
⇒
H
là trực tâm ABC.
⊥ AH BC ⊥ BH AC
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AH.BC 0 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) BH.AC 0
⇒
1
1
1
1
=
+
+
3. Chứng minh
.
2
2
2
2
OH
OA
OC
−
OB abc
+
1
2 2 a b
2 2 c a
=
=
⇒
=
(
)
OH d O, ABC
2
OH
2 2 + b c 2 2 2 a b c
+
+
2 2 a b
2 2 b c
2 2 c a
16
www.MATHVN.com
Nguyễn Phú Khánh
www.MATHVN.com
+
2 2 b c
2 2 a b
1
1
1
=
+
+
=
+
+
Mà
1 2
1 2
2
2
2
1 2
b
c
2 2 + a c 2 2 2 a b c
OA 1
OB 1
OC 1
a 1
+
+
⇒
=
2
2
2
2
OH
OA
OB
OC 2
2
2
β
α +
γ =
4. Chứng minh rằng
Nhận xét:
ABC
OAB
=
1
)
)
(
) 0; 0;1 ,
(
+ cos cos cos )(cid:3) ( ) ( = cos OAB , ABC (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) = n ( (cid:2) = = j
= (cid:1)(cid:2) , n (
0;1; 0
3
BC
O
2
OAC
)
) bc; ac; ab , n (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) ) = n 1; 0; 0 , n (
ABC (
OAB (
2
2
2
2
2
2
α cos (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) = n n ( (cid:2) = = i Gọi Gọi (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) = n n (
1. (cid:1)(cid:2) (cid:3) cos n ( ) ) (cid:1)(cid:2) = = k ) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) cos n , n 2
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) cos n , n 3
) (cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) cos n ,n 1
+ + ⇒ α + β + γ = cos cos cos
)(cid:3)
)(cid:3) (
)(cid:3) ( (
=
+
=
+
1
+
+
+
+
+
2 2 a b
2 2 b c
2 2 a b
2 2 a c 2 2 a c
2 2 b c
2 2 b c 2 2 a c
2 2 a b 2 2 + a c 2
2 2 a b 2
2 2 b c 2
α + β + γ = Vậy cos cos cos 1.
) ) Oxyz: O 0; 0; 0 , A a; 0; 0 , B 0; a; 0 , C 0; 0; a
(
(
(
)
(
)
Bài tập 4: Chọn hệ trục tọa độ
1. Tính thể tích tứ diện
z
HA B C . 1 1 1 nên OABC là
C
)
(
tại H H⇒ là = = Do OA OB OC hình chóp tam giác đều đỉnh ) ⊥ O. OH ABC
∆ trọng tâm ; a a a 3 3 3 ⇒ ABC H ;
H
⊥
AOB
; 0
(
)
HC 1
a a ; 3 3
⇒ C 1
y
; 0; 0; A
O
1
, B 1 a a ; 3 3 a 3 a 3
B
C1
⇒
a 3
= −
= (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) HA 1
S
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) HB 1
; 0; 0 , (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ; 0 , HC 1
= − = − 0; 0; 0; a 3 a 3
x
A
⇒
=
V
HA B C 1 1 1
a 162
3
2. Chứng minh tứ diện SABC đều.
=
=
=
BC
a 2
17
Ta có AB AC
www.MATHVN.com
Nguyễn Phú Khánh
www.MATHVN.com
2
2
2
⇒ −
−
− ⇒ =
+
+
=
a 2
SH S
;
;
SA
a 3
a 3
a 3
4a 3
a 3
a 3
=
=
=
=
=
=
=
⇒ =
AB AC BC a
2
SA SB SC
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
2
2
=
−
=
;
; 0
;
; 0;
1 1
O là trung điểm
; 0 , A C 1 1
) A B C . 1 1 1 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) A B , A C 1 1
a 9
a 9
a 3
a 3
=
Tương tự SB SC a 2 Vậy tứ diện SABC đều. 3. Chứng minh OH không vuông góc ( (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) A B 1 1
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OH
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OH
1 1
1 1
a a − ⇒ 3 3 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) A B , A C / /
)
= ⇒ ; ; Mà a a a 3 3 3
a
2
2; 0
;
( O 0; 0; 0 , A a; 0; 0 , B 0; a
)
(
)
(
) , C 0; 0; c M 0;
A B C 1 1 1
)
2
c 2
⇒
Vậy OH ⊥ ( Bài tập 5: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: (
z
C
⇒ là
1. Tính OE. Gọi I là tâm = ∩ OADB, G CI AM G
)
2 ;
M
3 c 3 trọng tâm ABC∆
E
E
; e
G
K
B
O
⇒
=
0; 0; e
I
c 3 a a ⇒ G ; 3 ( ) ∈ ⇒ 0; 0 E OC ) )OCD EG ( Ta có: ( = α ∩ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) EG.AM 0 c ⇒ = ⇒ Ε 3
A
D
⇒ ΟΕ =
x
).α
c 3
α
(
)
)
)
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AM,EG
= − ⇒ = α + − − = − c 2; c; 3a 2 : c 2x cy 3a 2z a c 2 0
2. Tính khoảng cách từ C tới mặt phẳng ( (cid:1)(cid:2) a ( n ( 6 2ac 2
(
) α =
2
2
⇒ d C , + 3 c
)α và chóp C.OADB. ∩ ⇒ Thiết diện là tứ giác AKME
)OCD gọi K EG CD
18
= a 18 3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi ( Trong (
www.MATHVN.com
Nguyễn Phú Khánh
www.MATHVN.com
⇒
⇒ là trung điểm EK
2
2
+
a
3
6a
c
⇒
=
=
=
.
S
2S
EG.A
M
∆
AKME
A M E
3
2
) ) O 0; 0; 0 , A a; 0; 0 , B 0; b; 0 , C 0; 0; c
(
(
)
(
(
)
Do = nên: EG / /OD EK / /OD G CE CG 2 = CO CI 3
z
=
+
+
Bài tập 6: Trọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: )S . 1. Tính bán kính r của ( + V V
V
V
V
C
IOBC
IOCA
IABC
IOAB (
OABC )
∆
∆
∆
∆
OAB
OBC
OCA
ABC
+ + + = S S S S r 3 abc 6
2 2 a b
2 2 b c
2 2 a c
+ + = S
M
∆
ABC
1 2
2 2 a b
2 2 b c
2 2 a c
+ + + + = + ab bc ca r 6 abc 6
N
abc
=
r
O
+
+
+
+
+ b bc a
ca
2 2 b
a
2 2 b c
2 2 a c
B
y
2.
Ta có: , P ; 0
P
)
=
=
−
;
,
OMN
)
(cid:1)(cid:2) n (
c 2 a b ; 2 2 M 0; a , N ; 0; 2
bc ac ; 4 4
ab 4
b c ; 2 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OM,ON
A
x
OMP
)
(cid:1)(cid:2) n (
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) OM,OP
= − ; ab 4 = −
⇔ −
+
+
= 0
OMP
OMN
(cid:1)(cid:2) n (
)
)
2 2 b c 16
2 2 a c 16
2 2 a b 16
+ Giả thiết, suy ra 0= bc ac ; 4 4 (cid:1)(cid:2) .n ( 1 2 1 2 1 ⇔ = 2 a b c
Bài tập 7: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho:
) ) O 0; 0; 0 , A a; 0; 0 , B 0; b; 0 , C 0; 0; c
(
)
(
)
(
(
19
www.MATHVN.com
Nguyễn Phú Khánh
www.MATHVN.com
z
ABC
1. Tính OH, OG và theo S∆
C
a, b, c.
2
2
2
⇒
=
+
+
;
OG
a
b
c
a b c 3 3 3
1 3
G ;
2 2 a b
2 2 c
2 2 a
= + + S b c 1 2
Ta có:
H
O
⇒ ⊥ ⇒ ΑΒ ⊥ ΟΗ
B
y
⇒
)
( = 0
+ +
⊥ AB CH ⊥ AB OC ) ( AB OCH Tương tự: AC OH⊥ ) ( = ⇒ ⊥ OH d O, ABC OH ABC )ABC : bcx acy abz abc ( −
x
A
abc
⇒
=
OH
+
2 2 a b
2 2 b c
2 2 a c
2
2
−
=
> ⇒
=
= =
Ta có: nhọn.
2. Chứng minh ABC∆ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB.AC
a; b; 0
a; 0; c
a
0 A
+ có ba góc nhọn và 2 ) > ⇒ 0
cos A
( = −
)(
)
2 a tan A b tan B c tan C. (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB.AC AB.AC
Tương tự B, C nhọn.
2
∆
ABC
∆ ABC AB.AC (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB.AC AB.AC
2
2S = sin A ⇒ = ⇒ = Ta có: tan A a tan A 2S 2S ∆ ABC (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AB.AC = cos A
= b tan B c tan C.
)ABC vẽ Ay AB⊥
Tương tự cho 2 Bài tập 8: Gọi I là trung điểm AB. Trong (
3
;
0
= Ta có: CI a 3 2
( A 0; 0; 0 , B a; 0; 0 , S 0; 0; h
)
)
(
(
)
2
a a ⇒ C ; 2
20
Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho:
www.MATHVN.com
Nguyễn Phú Khánh
www.MATHVN.com
z
S
A
D
y
I
H
C
x
B
1. Tính
( d A, SBC
)
(
)
(
)
( Ay D 0; a 3; 0
)
theo a và h. ⇒ ≡ Gọi = D B C ∩ ⇒ S BC SBD
(
)
( d A, SBC
)
2
)
∆
S,
B,
ah 3 ⇒ − + = ⇒ = + SBC : h 3x hy a 3z a h 3 0 4 h 3a
)
∆ ⊥ ⊥ ⊥ BC, BC, BH SC, SC
( ) β
)
(
( : a x a
)
( SC SH BC, (
) ( ) β ≡ , ( ) β ⊥ )
) ∆ ( 1 2
= − α − = − − + = (cid:1)(cid:1)(cid:2) , SC = 3y 0, 3; 2h 3; 0 a;a : x 1; a − 3y 2hz 0 ∆ ⊥ ) ⇒−
x : = + − − 3y 2hz 0 a = 3y 0 ) + 2. Chứng tỏ ∆ luôn đi qua điểm cố định khi S di động trên d. ( Gọi ( ) α ≡ ) Ta có: ( α ⊥ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) a ( BC 2 − ( ) ⇒ ∆ ( a x a
a
;
0
2 3
a G ; 2
a 2 = 3y 0 a ⇒ ∆ cố định qua y 0 3 = 3y a − x ⇔ = z − x 2 0 ∆ qua điểm cố định khi h thay đổi. = x ⇔ = = z
3. Tính h theo a để SS' nhỏ nhất.
2
2
2 ∈ ∆ ⇒ −
−
= ⇒ = −
S'
∈ ⇒ d
S' 0; 0; s'
,S'
hs'
a
s'
0
(
)
a 2h
21
Ta có:
www.MATHVN.com
Nguyễn Phú Khánh
www.MATHVN.com
2
2
⇒
−
≤
=
2 h
a 2
⇒ = + SS' h
a 2h
a 2h
2a 2h
S' 0; 0;
a
⇒
=
SS'
a 2
h
h
min
2 a ⇔ = ⇔ = 2h
2
⊥
)ABC , vẽ Ay AB.
Bài tập 11: Trong mặt phẳng (
)
(
)
)
(
) ( A 0; 0; 0 , B a; 0; 0 , C a; a; 0 , S 0; 0; a 2
(
; 0
a a 2 2
⇒ D ;
Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho
1. Chứng minh khoảng cách từ A đến (
)
) SBC .
= −
−
2
)
SBC gấp đôi khoảng cách từ D đến (
SBC
)
(
) S C :
(
)
=
(cid:1)(cid:1)(cid:2) ( BS a 1; 0; (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) ( BC a 0;1; 0
)
⇒ = ⇒ = Ta có: 2 ; 0; 1 B + − 2x z a 2 0 (cid:1)(cid:2) n (
( d A, SBC
)
( d D, SB
)
SBC gấp đôi khoảng cách từ D đến (
)
) SBC .
a 2 − a 2 − a 2 2 a 6 a 6 = = C , = = 3 3 6 3
)
Vậy, khoảng cách từ A đến ( 2.
)
( a 1;1;
) − ⇒ =
) ( − ⇒ α
= − = (cid:1)(cid:1)(cid:2) SC 2 (cid:1)(cid:2) n α Ta có: + : x y 2z 0 2 1;1;
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) ∈(cid:4) qua B và u BS. =
)
(
Phương trình tham số của t
( = + x a t = SB : y 0
2
a
2
⇒ + +
⇒
a t 2t
= ⇒ = − ⇒ t
0
M
;
N
; 0;
= − z t2
a a a 2 2
2
3
⇒ SC M ;
là trung điểm
2
a
2
2
< ⇒ Ν
= −
−
0
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) NS.NB
; 0;
; 0;
∆ - Chứng minh AMN
2a 3
2a 3
2a 3
a 3
3
)α và tứ diện SABC.
= −
a 2a 3 3 là thiết diện giữa (
Ta có thuộc cạnh SB và M
)α và tứ diện SABC.
3
trung điểm cạnh SC ∆ Vậy AMN là thiết diện giữa (
SAMN
)
22
2 a 2 a 2 = = = 2 (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AS, AM .AN V 0; 0; a , ; ; 0; - Tính thể tích hình chóp SAMN. ( 1 6 1 6 a a a ; 2 2 2 2a 3 3 8 1
www.MATHVN.com
Nguyễn Phú Khánh
www.MATHVN.com
3. Tính cosin góc ϕ giữa mặt phẳng (
) SCB
) AMN SC
)(cid:3)AM SC
)ASC và ( (
⇒ ϕ = ⊥ ⇒ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA,MN ⇒ ϕ = cos Ta có ( ⊥ ⊥ MN SC (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MA.MN MA.M 3 = N 3
a
3
a
=
=
A
H
BC
D
BC
2
1 4
4a ⇒ = ⇒ Ο = 3
3
a
O 0; 0; 0 , D
; 0; 0 , H 0; a; 0 , S 0; 0; 2a
⇒ ⊥ Bài tập 15: Gọi D là trung điểm AB OD OH
(
)
(
)
(
)
3
2a
2a
⇒
−
; 0
− A 0; a; 0 , B
; a
(
)
3
3
; a; 0 , C
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho:
z
S
1. Tính góc cosin ϕ góc giữa ( ) BSA và ( ) SAC Vẽ BE SA⊥ tại
P
⇒ ⊥ ⇒ ϕ = ( a 0;1; 2
(cid:3) BEC )
E CE SA (cid:1)(cid:1)(cid:2) ( ) SA 0; a; 2a Phương trình tham số của
= =
C
E
x 0
) φ
N
(
) (cid:4) .
= − + ∈ a t t
Q
2t
O
= SA : y = z
A
I
H
y
BCE : y a 2z
= 0
)
Phương trình mặt phẳng ( − +
D
x
⇒ − = ⇒ = + + 2a t 4t 0 t
M
2a 5
B
=
−
(cid:1)(cid:1)(cid:2) EB
;
2a 8a ; 5
4a 5
3
=
⇒
−
⇒
⇒ ϕ = cos
(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) cos EB,EC
)
(
7 17
3a 4a ; 5 5
E 0;
−
(cid:1)(cid:1)(cid:2) EC
;
4a 5
2a 8a ; 3 5
= −
(
)
2a
a
a
= −
−
=
=
= −
−
⇒ − =
2. - Tính diện tích thiết diện MNPQ theo a và x. Ta có ( ( (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) 2a AB
) MNPQ : y m 0 (cid:1)(cid:1)(cid:2) SB
3; 0
3; 0
2;
1;
1;
,
− 3; 2 3
(cid:1)(cid:1)(cid:2) , SC
2
;
3; 2 3
) (
(
)
(
)
)
(
3
3
3
3
23
= (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) , AC (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) I 0; m; 0 , OH a 0;1; 0 )
www.MATHVN.com
Nguyễn Phú Khánh
www.MATHVN.com
t
+ a m
∈
⇒
= − + a
3
t
t
M
; m; 0
(
) (cid:4)
3
0
Phương trình tham số của
(
) (cid:4)
x t − − a m ∈ ⇒ Phương trình tham số của = − − a 3 t t N AC : y ; m; 0 3 0
(
) (cid:4)
2t
2m
= −
∈
−
SC : y
3
t
t
⇒ − P
; m; 2a 2m
x 2t 2m ⇒ − = ∈ t t Q ; m; 2a 2m SB : y Phương trình tham số của 3 3 = z − 2a 2 3 t
(
) (cid:4)
3
+
z
2a
2
3
t
Phương trình tham số của
2
2
= x AB : y = z = = z = = x = (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MQ,MN
MNPQ
(
)
2 = = + − + + S (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) MQ,MP 3m 2am a
)
)
(
(
1 2
)
m
−∞
3 - Tìm m để diện tích MNPQ là lớn nhất. Cách 1: Bảng xét dấu:
2
2
+∞
−
−∞
2
8a
⇒
≤
S
MNPQ
2
8a
=
S
− + + 3m 2am a a 3 24a 3 −∞
MNPQ max
3 3 )
3
3
khi m Vậy ( a = 3
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
2
+
+
− a m
m
(
)
2
a 3
a 8
=
−
+
≤
=
S
2
2 3
( 3 a m m
)
MNPQ
a 3
2
3
3
2
8a
⇒
=
⇔ −
=
S
a m m
+ ⇔ = m
MNPQ ma
x
(
)
a 3
a 3
3
3
24
www.MATHVN.com
Nguyễn Phú Khánh
www.MATHVN.com
A 0; 0; 0 ,
C a; a; 0 ,
Bài tập 20: Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho:
) ( B a; 0; 0 ,
)
(
(
)
) ( S 0; 0; a
a; 0; a
z
)
= −
−
1. Chứng minh rằng HK SC. (cid:1)(cid:1)(cid:2) SB (cid:1)(cid:1)(cid:2) SC
a; a; a
⊥ ) ( − a 1; 0; 1 ( a 1;1; 1
( = − ( = − −
)
S
= − ) Phương trình tham số của
∈
t
) (cid:4) .
(
t
R
H
− ) t
= + x a t = SB : y 0 = − z ( + ∈ ⇒ t; 0; SB H a (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:2)
H
=
⊥ ⇔
y
A
t
a H ; 0; 2
AH SB AH.SB 0 a 2
a ⇒ = − ⇒ 2
Phương trình tham số của
I
B
C
t
(
∈ (cid:4) ) .
x 뿠(cid:1)
= x t = SC : y t = − z a t
và
⇒
−
K t; t; a t
(
)
a a 2a ; 3 3 3
= ⇒
⇒
= −
=
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) HK
;
;
1; 2; 1
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:2) HK.SC 0
(
) − − ⇒
a a a 6 3 6
a 6
= −
∆
(cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2)(cid:1)(cid:1)(cid:2) AH.SC 0 K ;
Chú ý: SAB
vuông cân tại A H⇒ là trung điểm của
a 2
a 2
⇒ SB H ; 0;
2. Chứng minh rằng B là trung điểm của CI.
x
t
a = + 2 = −
∈
Phương trình tham số của
HK : y
t
2t
(
) (cid:4) .
−
t
= z
a 2
+
=
=
x
2x
B
=
⇒
+
∩ I HK ABC
⇒ − = ⇔ = ⇒ 0
t
t
x 1 y
C y
2y
Ta có:
(
)
( − I a; a; 0
)
1
C
B
a 2
a 2
+
z
2a = = 0 = = 0
2z
z 1
C
B
25
www.MATHVN.com
Nguyễn Phú Khánh
www.MATHVN.com
AHK .
Vậy B là trung điểm của CI. 3. Tính sin góc ϕ giữa SB và (
)
⊥
SC AK gt
⇒ ⊥
Ta có:
( SC AHK
)
⊥
) SC HK cmt
( (
)
2
⇒
=
− ⇒ ϕ =
=
=
1;1; 1
sin
(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:2) cos SB,SC
AHK
AHK
(cid:1)(cid:2) n (
)
(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:2) cos n , n ( SB
)
(
)
)(cid:3) (
)(cid:3) (
6
J x ; y ; z
suy ra phương trình mặt cầu (
)
)S có dạng:
0
0
0
4 Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABC. Gọi ( 2 2
2
−
+
+
−
+ =
− 2x x 2y y 2z z d 0
y
x
z
0
0
2
2
2
+
+
=
A, B, C, S
⇒ = R
( ) ∈ ⇒ S
J
;
;
a 4
a 4
a 4
a 3 2
a a a 2 2 2
0 = d 0
=
Vậy J là trung điểm của SC và
R
a 3 2
) Oxyz: O 0; 0; 0 , M m; 0; 0 , N 0; n; 0 , S 0; 0; a ,
(
(
)
)
(
)
(
+ =
>
m, n 0; m n a
Bài tập 21: Chọn hệ trục tọa độ ) ( 1. Tìm vị trí M, N để thể tích SOMN
z
lớn nhất.
S
썠(cid:1)
2
3
=
=
V
amn
SOMN
1 6
a 4 2
a m n ≤ 6
+ 2
3
⇒
V
m n
(
) SOMN ma x
a = ⇔ = = 2
a 24
M ; 0; 0 , N 0;
; 0
O
2. Khi thể tích SOMN lớn nhất thì a 2
a 2
y
N
)
+ SMN : 2x 2y z a
+ − =
0
( d O, SMN . )
- (
a
=
S
MN
x
(
)
M
=
⇒ d O,
2
2
a 3
+
+
2
2 1
2
2
2
+
+
y
z
− α − β − γ =
2 x 2 y 2 z
0
- Bán kính mặt cầu ngoại tiếp SOMN. Phương trình mặt cầu ( 2
) S : x
26
www.MATHVN.com
Nguyễn Phú Khánh
www.MATHVN.com
2
0
− α = a
2
2
2
α + β + γ
=
M, N, S
a
0
R
) ( ∈ ⇒ S
a 6 4
− γ = 2 a
0
γ =
a 4 a 4 a 2
α = − β = ⇒ β = ⇒ =
α =
β =
=
(cid:3) (cid:3) (cid:3) γ = OSN, MSN OSM,
° Đặt
3. Chứng minh
a 4 2 a 4 2 a (cid:3) (cid:3) (cid:3) + OSM OSN MSN 90 .
2 2
2S
+
2 2 m a
2 2 + n a m n
+ (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) (cid:1)(cid:1)(cid:1)(cid:2) SM,SN
γ =
=
=
sin
2
2
2
∆ SMN SM.SN
SM.SN
+
2 + m a
n
a
(
)
)(
a
m
α =
=
α =
=
sin
, cos
2
2
OM SM
OS SM
2 + m a n
2 + m a a
β =
=
β =
=
sin
, cos
2
2
2
2
ON SN
OS SN
+
+
n
a
n
a
2
− a mn
⇒
β −
β =
cos
α cos cos
α sin sin
(
) α + β =
2
2
2
+
2 + m a
n
a
(
)(
)
2 2
2
2
+
=
+
2 2 m a
2 2 + n a m n
2 2 m n
Mặt khác:
(
)
2 + a m n 菠τ
2
2
4
2
2
=
+
−
=
−
+
=
a
2 2 2a mn m n
− a mn
( a m n
)
(
)2
2 2 + 2mn m n
2
− a mn
⇒ γ + α + β =
°
⇒ γ = sin
cos
90
(
) α + β =
2
2
2
+
2 + m a
n
a
(
)(
)
27
![Bài tập so sánh hơn và so sánh nhất của tính từ [kèm đáp án/mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250808/nhatlinhluong27@gmail.com/135x160/77671754900604.jpg)
![Tài liệu tham khảo Tiếng Anh lớp 8 [mới nhất/hay nhất/chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250806/anhvan.knndl.htc@gmail.com/135x160/54311754535084.jpg)
![Tài liệu Lý thuyết và Bài tập Tiếng Anh lớp 6 [Mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250802/hoihoangdang@gmail.com/135x160/18041754292798.jpg)
