intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Tuyển chọn các bài toán hệ phương trình (Có lời giải)

Chia sẻ: Nguyễn Minh Đức | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:39

Thêm vào BST
Báo xấu
432
lượt xem 75
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nhằm giúp các bạn có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và ôn thi môn Toán, mời các bạn cùng tham khảo nội dung tài liệu "Tuyển chọn các bài toán hệ phương trình" dưới đây. Nội dung tài liệu gồm những câu hỏi bài tập có lời giải về hệ phương trình. Hy vọng đây là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyển chọn các bài toán hệ phương trình (Có lời giải)

  1. Hà Tĩnh tháng 11 năm 2015
  2. LateX by Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phần I. Đề Bài x3 + 3x2 + 3x = 2y 3 + 6y 2 + 6y Bài Toán 1 . Giải hệ phương trình sau p p x2 + y 2 = y x (x + y) + x y (y − x) n √y + 2x − 1 + √1 − y = y + 2  Bài Toán 2 . Giải hệ phương trình sau x√x = y (x − 1) + x2 − y p p t.V  p y 3 + y x 4 + y 4 = x 3 + x  Bài Toán 3 . Giải hệ phương trình sau √ x3 y 3  2 x − y + √ 2 = xy (xy + x − y)  (x + 1)y 2014 = 2√x  Bài Toán 4 . Giải hệ phương trình sau 2x + 3 = 4√x − y 2015 4x3 + y 3 + y √2x − y = 3y 2 x  Ne Bài Toán 5 . Giải hệ phương trình sau √  p   x + 4x2 + 1 y + 2 y 2 + 1 = 3xy  √  p  xy x + x2 + 1 y + y 2 + 1 = x2 + y 2 Bài Toán 6 . Giải hệ phương trình sau 29y 2 + 8y py 2 − xy + 4xy = x2 + 16y p3y 2 + xy  x3 + 3x2 + 3x = 2y 3 + 6y 2 + 6y Bài Toán 7 . Giải hệ phương trình sau  p p  x2 + y 2 = 2 y x (x + y) + x y (y − x) √x + y + 1 + (x + y)2 + 2y = √2x + 2 + 3(x + 1)2 + x2 pi.  Bài Toán 8 . Giải hệ phương trình sau √ √  2xy + 2x − 3 + 5x2 + 6x − 3 = x + 2y  x2 + y 2 + (xy)2 = 3 Bài Toán 9 . Giải hệ phương trình sau p √ x y 2 + 1 + y x2 + 1 = 2 (x + y)  √  p   y + x2 + 1  x + y 2 + 1 = 1 K2 Bài Toán 10 . Giải hệ phương trình sau 3y 2 + 4√1 + 3x + 1 = 12x + 12√1 + y   p  x y + y 2 + 1 = y (x2 + 1) Bài Toán 11 . Giải hệ phương trình sau  p  √ (x + 2) y + y 2 + 1 = x2 + 1  √  p   x + x2 + 1  y + y 2 + 1 = 1 Bài Toán 12 . Giải hệ phương trình sau 3y 2 + 4√1 + 3x + 1 = 12x + 12√1 + y c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 2
  3. LateX by Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH (√x + √y)(x + y + 1) = 2x√y + 1 + 2y √x − 1 + 2√y  Bài Toán 13 . Giải hệ phương trình sau x√x + y + (y + 1)√ 4 x + 3y = xy + 3x − 1 n x√1 + y + y √1 + x = (x + y) √xy  Bài Toán 14 . Giải hệ phương trình sau  √x + √y + 1 −√y + √x + 1 = 1 (x2 + 1) y + √2y + 1 = √2x2 + 1  t.V Bài Toán 15 . Giải hệ phương trình sau √  1 + 2√x + 1 −1 + √2y + 1 = 2y x2 + 1  2 x √  + 2 x2 + 1 + y 2 = 3  2 Bài Toán 16 . Giải hệ phương trình sau y y x + √  + y2 = 0 1 + x2 + x x 1 y 1 1  −  + = 2 + 2 −1 y xy x x y Ne Bài Toán 17 . Giải hệ phương trình sau   x + x+1 y+1 y = x 2 − xy + y 2 xy 21√x + (y − 7x2 ) √y = 315  Bài Toán 18 . Giải hệ phương trình sau xy + 7 = (x + 1) (y − 7x − 14) 4 (x2 + y 2 ) + 6y √  3 1 − x = 3x + 4y + 6 Bài Toán 19 . Giải hệ phương trình sau √ √ 4 2y − x + 2 + 6 y − 7x + 8 = 3y − 8x + 23 √x + 2y − √2x − 3y = 1  pi. Bài Toán 20 . Giải hệ phương trình sau x2 + x − 8y + 2 = 2(x − 2)√2x − 3y x√x + y √y = 1  Bài Toán 21 . Giải hệ phương trình sau p 2x + 5y = (1 + x) (2 − 5y) r r 1 1 2  x+ −1= 3 3 + 2  Bài Toán 22 . Giải hệ phương trình sau x+1 y y K2 √ x + √  4 √ √4 y+1= y+ x+1  √  p  2015x+y x + x2 + 1 + 2015xy y + y 2 + 1 = 0 Bài Toán 23 . Giải hệ phương trình sau 3y 2 + 8√x + 2y + 1 + x2 + 4xy = 4 (x + y) + 8√y + 1 (y − 1) √x − 1 = x2 −y  2 Bài Toán 24 . Giải hệ phương trình sau √ p x + y + 4 2x − x2 = 2y − y 2 + 2 c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 3
  4. LateX by Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH √x − y + 1 + √3x + 2y + 6 = 3x + 1  Bài Toán 25 . Giải hệ phương trình sau x√x − 2 + √x + 3y + 1 = (y + 5) √y + 1 n  √ 3y 2 + x + 8√2 + x = 10y − 3xy + 12 Bài Toán 26 . Giải hệ phương trình sau 5y 3 √2 − x − 8 = 6y 2 + xy 3 √2 − x r r 1 1 2 t.V  x+ −1= 3 3 + 2  Bài Toán 27 . Giải hệ phương trình sau x+1 y y √ x + √  4 √ √4 y+1= y+ x+1 x − √ x = y + √ y  Bài Toán 28 . Giải hệ phương trình sau √  (x − y)2 + y + 3 = 2 4x − 2y  √ x2 + 6xy + 4y 2 + 1 = 2x + 4y + 2 2xy  Bài Toán 29 . Giải hệ phương trình sau 2xy + 10 2x4 + 32y 4 p Ne   x3 y + 4xy 3 x − y = √ y + 3  = 21 Bài Toán 30 . Giải hệ phương trình sau (x − y)2 + 4 (y + 1) = 24 √2x − y − 2 (7x + 5)√x = 12p2x2 − xy  Bài Toán 31 . Giải hệ phương trình sau p 4y − 5x + 1 = 4 (x − y) (2x − y) √  x − y = 6(1 − xy) pi.  Bài Toán 32 . Giải hệ phương trình sau p 6 2(x6 + y 6 ) p x + 2  = 3 + 2(x2 + y 2 ) x + xy + y 2 (x + y + 3)√x − y + 2y + 4 = 0  Bài Toán 33 . Giải hệ phương trình sau (x − y)(x2 + 4) = y 2 + 1  (x2 + y 2 − 7)(x + y)2 + 2 = 0 Bài Toán 34 . Giải hệ phương trình sau K2 (x − 3)(x + y) = 1 x2 + y 2 + 2xy = 1  Bài Toán 35 . Giải hệ phương trình sau x+y √ x + y = x2 − y 6x − 5y + 4p(x − y) (2x − y) = 11 + 4√6  Bài Toán 36 . Giải hệ phương trình sau √  y + 1 2y + 3 + 4 √x − y + √2x − y  = 0 c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 4
  5. LateX by Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH  4x2 + 4xy + y 2 + 2x + y = 2 Bài Toán 37 . Giải hệ phương trình sau 8√1 − 2x + y 2 − 9 = 0 n √  4x − 3 = (2y 2 + 11)(17 − y) + √y Bài Toán 38 . Giải hệ phương trình sau y(y − 3x + 3) = 15x + 10  (x + 5) (x2 + 5x + 9) = (2y + 1) (3 − y) t.V Bài Toán 39 . Giải hệ phương trình sau √  x+3+√ 3 √ 30 − 2y = 4 (y − 1) + 2y − 2 y 3 = 2(√2x3 + √2x − y)  Bài Toán 40 . Giải hệ phương trình sau y(y − x − 2) = 3 − 3x  2  xy − 1 − 1 = x  Bài Toán 41 . Giải hệ phương trình sau √1 + xy 1 + y 2 1 + x2 √  x − 1 y − 1 x2 + x + 1 + (x + 1)√x2 − x + 1 = 2x2 − x + y √ Ne  x + √x + y − 2y = y 2 + 2  Bài Toán 42 . Giải hệ phương trình sau p  4 x + √x + y − 1 = 2 − 2y − x √  4 2x2 − x3 = 9 + 4y 2 − 12y Bài Toán 43 . Giải hệ phương trình sau √  4 x(2y 2 + √2 − x) = 4y 4 + x − 2 2x2 + √2 − x + √y − 1 − 34 = 2xy + x  Bài Toán 44 . Giải hệ phương trình sau 2y 2 + √2 − x + √y − 1 − 34 = −xy + 2y pi.  √ 3x( x − 3 − y √y) + p3x − 3y 3 + √x + y − 5 = 3 Bài Toán 45 . Giải hệ phương trình sau 3y 3 − 3y + 8 = 2x 2y − 3x + py (x − 2) = 4 √x − 2 − √y  − 6  Bài Toán 46 . Giải hệ phương trình sau √  y + 2 y (xy − x + 5) = 2 (y + 2) − √5x + 6 p K2 x2 (y 2 + 1 + √x) − (√x + 1) (y − 2) = y 3 − 2y 2  Bài Toán 47 . Giải hệ phương trình sau √ y x2 − x + 1 = x3 − 3x − 3 + 2y p  3x2 + 6xy + 4y 2 + 2y + 1 = 3x + 2y − 1 Bài Toán 48 . Giải hệ phương trình sau 4√x + y + 2 + 4y 2(y + 1) = 5y 2 + 6x + 3 + 2(y 2 + x) p p c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 5
  6. LateX by Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH  y 4 − 2xy 2 + 7y 2 = −x2 + 7x + 8 Bài Toán 49 . Giải hệ phương trình sau √ p  3 − x + y 2 + 1 = x3 + x2 − 4y 2 + 3 n t.V Ne pi. K2 c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 6
  7. LateX by Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài toán 1 Phần II. Lời Giải Chi Tiết  x3 + 3x2 + 3x = 2y 3 + 6y 2 + 6y (1) Giải hệ phương trình sau n p p x2 + y 2 = y x (x + y) + x y (y − x) (2) Hướng Dẫn Giải Điều kiện x (x + y) ≥ 0 , y (y − x) ≥ 0 t.V Ta có 2 2   y x (x + y) ≤ x + xy + y  p 2 p p 2 2 ⇒ y x (x + y) + x y (y − x) ≤ x2 + y 2 (3)  x y (y − x) ≤ x − xy + y  p 2 Khi đó   √  −1 + 5 (   x= y 2 2 y = x + xy    2√ (2) ⇔ ⇔ −1 − 5    −1 + 5 √ Ne x, y ≥ 0     x=  x, y ≥ 0 2 y  x= y   √  2 −1 + 5 x= y     x, y ≥ 0 √ 2   ⇔ ⇔   x, y ≥ 0   −1 − 5  x= y  2 x=y=0 x, y ≥ 0   √ −1 + 5 x= y  Với 2 thay lên phương trình còn lại ta được pi. x, y ≥ 0  √ !3 √ !2 √ −1 + 5 −1 + 5 −1 + 5 y +3 y + 3. y = 2y 3 + 6y 2 + 6y 2 2 2 √ ! √ √  3+3 5 −15 + 3 5 ⇔ −4 + 5 y 3 − 2 y + y=0⇔y=0⇒x=0 2 2 Với x = y = 0 thay lên phương trình trên thỏa mãn. K2 Vậy nghiệm của hệ phương trình là: (x; y) = (0; 0)  Bài toán 2 √y + 2x − 1 + √1 − y = y + 2  Giải hệ phương trình sau x√x = y (x − 1) + x2 − y p p Hướng Dẫn Giải Phương trình thứ hai của hệ ta có: p p √ y (x − 1) + x2 − y = x x c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 7
  8. LateX by Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH √ p xy − y − (x2 − y) x (y − x) y−x ⇔ xy − y − x2 − y = p p = √ = √ y (x − 1) + x2 − y x x x √ y−x √ x2 − x + y ⇒ 2 xy − y = √ +x x= √ n x x p ⇒ 2 y (x2 − x) = x2 − x + y 2 ⇒ 4y x2 − x = x2 − x + y  2 ⇔ y − x2 + x = 0 t.V ⇔ y = x2 − x Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta có √ √ x2 + x − 1 + −x2 + x + 1 = x2 − x + 2 Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có √ √ x2 + x − 1 + 1 −x2 + x + 1 + 1 x2 − x + 2 = x2 + x − 1 + −x2 + x + 1 ≤ + 2 2 Thử lại thấy thõa mãn Ne⇔ (x − 1)2 ≤ 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 0 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1; 0)  Bài toán 3  p y 3 + y x 4 + y 4 = x 3 + x  Giải hệ phương trình sau √ x3 y 3 2 x − y +  √ 2 = xy (xy + x − y) pi. Hướng Dẫn Giải Ta thấy xy = 0 không phải là nghiệm của phương trình thứ hai Chia cả 2 vế pt 2 cho xy ta được √ 2 x−y 1 + √ =1 xy x−y 2 (1 + ) xy √ x−y Đăt t = thì phương trình trở thành xy K2  1 t=0 2 2t + = 1 ⇔ (1 − 2t)(1 + t) = 1 ⇔  3 (1 + t)2 t=− 2 • Với t = 0 ⇒ x = y 1 Thay vào phương trình đầu ta được nghiệm x = y = √ 4 (T /M ) 2 3 √ • Với t = − ⇔ 2 x − y + 3xy = 0 2 Từ phương trình đầu của hệ ta có được p y 4 + y 2 x4 + y 4 = xy(x2 + 1) ⇒ xy > 0 c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 8
  9. LateX by Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH Từ đó suy ra trường hợp này vô nghiệm 1 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = y = √ 4  2 n Bài toán 4 (x + 1)y 2014 = 2√x  Giải hệ phương trình sau 2x + 3 = 4√x − y 2015 t.V Hướng Dẫn Giải Điều kiện x ≥ 0. Xét phương trình thứ nhất của hệ, √ (x + 1)y 2014 = 2 x ≤ x + 1 ⇒ y 2014 ≤ 1 ⇒ y ∈ [−1; 1]. √ √ √ 2 Khi đó 0 = 2x − 4 x + 3 + y 2015 ≥ 2x − 4 x + 3 − 1 = 2( x − 1) ≥ 0. Do đó x = 1 và y = −1 thõa mãn hệ Vậy hệ có nghiệm duy nhất (1; −1) Bài toán 5 Ne 4x3 + y 3 + y √2x − y = 3y 2 x   Giải hệ phương trình sau √  p   x + 4x2 + 1 y + 2 y 2 + 1 = 3xy HướngDẫn Giải √  p Ta có 3xy = x + 4x2 + 1 y + 2 y 2 + 1 ≥ 0. Nhận thấy xy = 0 không là nghiệm nên xét hai trường hợp sau Nếu x > 0 thì y > 0 và có pi.  √  p  2 2 x + 4x + 1 y + 2 y + 1 ≥ (x + 2x) (y + 2y) = 9xy > 3xy Suy ra trường hợp này vô nghiệm. Nếu x < 0 thì y < 0 và xét phương trình thứ nhất p 4x3 y 2 y 2 p − 2x − y = −3xy + + + ≥ −3xy + 3xy + 2x − y = 0 ⇒ y = 2x. y 2 2 Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có K2  √  √  x+ 4x2 + 1 2x + 2 4x2 + 1 = 6x2  √ 2 ⇔ x + 4x2 + 1 = 3x2 √ √ ⇔ x + 4x2 + 1 = − 3x 1 2 ⇔ x = −p √ ⇒ y = − p √ (T /M ) 2 3 2 3 ! 1 2 Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = − p √ ; − p √ 2 3 2 3 c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 9
  10. LateX by Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài toán 6  √  p  xy x + x2 + 1 y + y 2 + 1 = x2 + y 2 Giải hệ phương trình sau 29y 2 + 8y py 2 − xy + 4xy = x2 + 16y p3y 2 + xy n Hướng Dẫn Giải Ta có x2 + y 2 xy = √   ≥0 t.V p 2 x+ x +1 y+ y +1 2 Nếu x = 0 hoặc y = 0 thì tương ứng từ phương trình thứ nhất ta có y = 0 hoặc x = 0 Đồng thời thấy (x; y) = (0; 0) cũng thỏa mãn phương trình thứ hai. Với xy > 0 ta lần lượt xét hai trường hợp sau • Nếu y > 0 thì với phương trình thứ hai, ta có r  2 r x x x x 29 + 8 1 − + 4 = + 16 3 + y y y y √ √ ⇔ 16 ⇔√ Ne 16(t − 1) √ − 8 1 − t + (t − 1)(t + 3) = 0 x 3 + t − 2 − 8 1 − t + t2 − 4t + 3 = 0 ; Với t = ∈ (0; 1] y 3+t+2 √ √ √   −16 1 − t ⇔ 1−t √ − 8 − 1 − t(t + 3) = 0 3+t+2 √ −16 1 − t √ Do √ − 8 − 1 − t(t + 3) < 0 ∀t ∈ (0; 1] nên phương trình suy ra t = 1 3+t+2 Khi đó x = y, thay vào phương trình thứ nhất của hệ, ta được √ 2 pi.  2 x x+ x2 +1 = 2x2 √ √ 1 ⇔x+ x2 + 1 = 2⇔x= √ 2 2 • Nếu y < 0 thì với phương trình thứ hai, ta có r  2 r x x x x 29 − 8 1 − + 4 = − 16 3 + y y y y x √ √ Với t = ∈ (0; 1] ta xét hàm số f (t) = t2 − 4t − 16 3 + t + 8 1 − t − 29 K2 y  (0; 1] nênf (t) < f (0) < 0 ; ∀t ∈ (0; 1]. Dễ dàng nhận thấy f (t) nghịch biến trên 1 1 Vậy hệ đã cho có hai nghiệm (0; 0) và √ ; √  2 2 2 2 Bài toán 7  x3 + 3x2 + 3x = 2y 3 + 6y 2 + 6y Giải hệ phương trình sau  p p  x2 + y 2 = 2 y x (x + y) + x y (y − x) Hướng Dẫn Giải c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 10
  11. LateX by Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH Nếu một trong hai số x = 0 hoặc y = 0 thì từ phương trình thứ nhất nhận số còn lại là 0, nó cũng thỏa phương trình còn lại nên (0; 0) là một nghiệm của hệ. Đặt f (t) = t3 + 3t2 + 3t thì phương trình thứ nhất của hệ là f (x) = 2f (y). n Do f 0 (t) = 3t2 + 6t + 3 = 3(t + 1)2 ≥ 0 nên f đồng biến trên R. Khi đó nếu x > 0 thì 0 = f (0) < f (x) = 2f (y) ⇒ f (y) > 0 ⇒ y > 0. Tương tự nếu x < 0 thì dẫn đến y < 0. Bây giờ ta lần lượt xét các trường hợp sau t.V Nếu x < 0 thì y < 0 khi đó phương trình thứ hai  p p  0 < x2 + y 2 = 2 y x(x + y) + x y(y − x) < 0. Với x > 0 thì y > 0, đặt y = tx, t > 0 và thay vào phương trình thứ hai của hệ h p p i x2 + t2 x2 = 2 tx x(x + tx) + x tx(tx − x) √ √ t2 + 1 ⇔t t+1+ t −t= 2 , (a) 2 Ne ⇒ √ t(t2 + 1) √ t t + 1 − t2 − t √ √ = t2 + 1 2 ⇒ t t + 1 − t2 − t = 2t , (b) Cộng hai phương trình (a) và (b) theo vế ta có √ t2 + 4t + 1 √ 3(t2 + 2t + 1) 2t t + 1 = ⇔ t2 + 2t t + 1 + t + 1 = 2 2 h√  √ i2 h√ i2 √  √  √ ⇔ 2 t+ t+1 = 3 (t + 1) ⇔ 2 t + t + 1 = 3 (t + 1) pi. " √ √ √ t=2+ 6− 3− 2 ⇔ √ √ √ t=2+ 6+ 3+ 2 √ √ √ Với t = 2 + 6− 3− 2 ta thay y = t1 x vào phương trình thứ nhất của hệ ta được (2t31 − 1)x3 + (6t21 − 3)x2 + (6t1 − 3)x = 0 Để ý thấy các hệ số đều dương nên phương trình không thể có nghiệm dương. √ √ √ Tương tự phương trình cũng vô nghiệm với trường hợp t = 2 + 6 + 3 + 2 K2 Vậy hệ có nghiệm duy nhất (0; 0).  Bài toán 8 √x + y + 1 + (x + y)2 + 2y = √2x + 2 + 3(x + 1)2 + x2  Giải hệ phương trình sau √ √  2xy + 2x − 3 + 5x2 + 6x − 3 = x + 2y Hướng Dẫn Giải Ta có phương trình thứ nhất tương đương p √ x + y + 1 + (x + y)2 + 2(x + y) = 2x + 1 + 1 + (2x + 1)2 + 2(2x + 1) c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 11
  12. LateX by Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH √ Xét hàm f (t) = t + 1 + t2 + 2t với t ≥ −1 1 f 0 (t) = √ + 2t + 2 > 0 ∀t ≥ −1 2 t+1 n Vậy hàm đồng biến suy ra x + y = 2x + 1 ⇔ y = x + 1 Thế vào phương trình thứ hai ta có √ √ 2x2 + 4x − 3 + 5x2 + 6x − 3 = 3x + 2 t.V 2 2 Thấy x = − không phải là nghiệm nên điều kiện là x > − . 3 3 Phương trình tương đương với 3x2 + 2x √ √ = 3x + 2 5x2 + 6x − 3 − 2x2 + 4x − 3 √ √ x = 5x2 + 6x − 3 − 2x2 + 4x − 3 ( √ √ x = 5x2 + 6x − 3 − 2x2 + 4x − 3 ⇒ √ √ 3x + 2 = 5x2 + 6x − 3 + 2x2 + 4x − 3   Ne x≥− 1 √ ⇔ 2x + 1 = 5x2 + 6x − 3 √ √ ⇔ 2 ⇔x= 5−1→y = 5 4x2 + 4x + 1 = 5x2 + 6x − 3 Thử lại thấy thõa mãn √ √  Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = 5 − 1; 5  Bài toán 9  x2 + y 2 + (xy)2 = 3 Giải hệ phương trình sau p √ pi. x y 2 + 1 + y x2 + 1 = 2 (x + y) Hướng Dẫn Giải Từ phương trình một ta có : 3 − x2 y 2 = x2 + y 2 ≥ 2xy ⇔ (xy)2 + 2xy − 3 ≤ 0 ⇔ −3 ≤ xy ≤ 1 K2 Xét phương trình hai chúng ta được : p  √  ⇔x y2 + 1 − 1 + y x2 + 1 − 1 = x + y xy 2 yx2 ⇔p +√ =x+y y2 + 1 + 1 x2 + 1 + 1 ! y x ⇔ xy p +√ =x+y y2 + 1 + 1 x2 + 1 + 1 √  p  2 2 x y + 1 + y x + 1 + x + y ⇔ xy  √  p  =x+y x2 + 1 + 1 y2 + 1 + 1 c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 12
  13. LateX by Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH " x+y =0 Kết hợp với phương trình đầu suy ra √  p  x2 + 1 + 1 y 2 + 1 + 1 = 3xy Mặt khác √ 4 n  p  3xy = x2 + 1 + 1 y 2 + 1 + 1 ≥ 4 ⇔ xy ≥ 3 Kết hợp với điều kiện xy đã tìm được suy ra hệ phương trình đã cho tương đương với ( x+y =0 t.V x + y 2 + x2 y 2 = 3 2 Giải hệ phương trình trên ta thu được các nghiệm (1; −1) và (−1; 1) Bài toán 10  √  p   y + x2 + 1  x + y 2 + 1 = 1 Giải hệ phương trình sau 3y 2 + 4√1 + 3x + 1 = 12x + 12√1 + y Hướng Dẫn Giải Xử lý phương trình một như √ Đặt a = x + x2 + 1 ⇒ √  sau 2 Ne x = a − 1  2a  x2 + 1 = a + 1  2 (a > 0) 2a 2  y =  b − 1 2b p Và b = y + y 2 + 1 ⇒ p 2 (b > 0)  y2 + 1 = b + 1  2b Khi đó phương trình thứ nhất trở thành : a2 − 1 b 2 + 1 a2 + 1 b 2 − 1    + + =1 2a 2b 2a 2b pi. " ab = 1 ⇔ ⇒ ab = 1 ab (a + b) + (a − b)2 = 0 (V T > 0) 2  √  p  2 ⇒ y+ x +1 x+ y +1 =1 2 Phương trình này ta suy ra được x = −y. Thế vào phương trình thứ hai ta có √ √ 3x2 + 4 1 + 3x + 1 = 12x + 12 1 − x K2 Phương trình này giải ra chỉ có nghiệm x = 1 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (1; −1)  Bài toán 11   p  x y + y 2 + 1 = y (x2 + 1) Giải hệ phương trình sau  p  √ (x + 2) y + y 2 + 1 = x2 + 1 Hướng Dẫn Giải x Do x = −2 không là nghiệm nên chia theo vế, ta nhận được √ =y (x + 2) x2 + 1 c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 13
  14. LateX by Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH Thay vào phương trình thứ nhất, ta được s ! √ x x2 x x2 + 1 x √ + +1 = (x + 2)2 (x2 + 1) n (x + 2) x2 + 1 (x + 2) Do x = 0 không là nghiệm và x > −2 nên phương trình tương đương với √ x+ x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 4 = x2 + 1 t.V ⇔ 6x3 + 3x2 + 6x + 3 = 0 √ 1 2 5 ⇔x=− ⇒y=− (T /M ) 2 15 √ ! 1 2 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm − ; −  2 15 Bài toán 12  √  p   x + x2 + 1  y + y 2 + 1 = 1 Ne Giải hệ phương trình sau 3y 2 + 4√1 + 3x + 1 = 12x + 12√1 + y Hướng Dẫn Giải Phương trình thứ nhất tương đương với √ q x+ x2 + 1 = (−y) + (−y)2 + 1 ⇔ y = −x Thay vào phương trình còn lại ta có √ √ 3x2 + 4 1 + 3x + 1 = 12x + 12 1 − x pi. √  √  ⇔ 12 1 − x + 4 2 − 1 + 3x − 3x2 + 12x − 9 = 0 √ √ √   4 1−x ⇔ 1 − x 12 + √ + 3 1 − x(x − 3) = 0 2 + 1 + 3x √ 2−x √ 3 Ta có 1 − x ≤ nên 3(x − 3) 1 − x ≥ (2 − x)(x − 3) = f (x) 2 2 Dễ dàng có được   1 35 minf (x) = f − =− 3 3 K2 √ 4 1−x √ 35 1 Do đó 12 + √ + 3(x − 3) 1 − x ≥ 12 − = >0 2 + 1 + 3x 3 3 Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; −1)  Bài toán 13 (√x + √y)(x + y + 1) = 2x√y + 1 + 2y √x − 1 + 2√y  Giải hệ phương trình sau x√x + y + (y + 1)√ 4 x + 3y = xy + 3x − 1 Hướng Dẫn Giải Điều kiện:x ≥ 1 ; y ≥ 0 c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 14
  15. LateX by Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phương trình thứ nhất tương đương với p √ x + y + 1√ x + y − 1√ x y+1+y x−1= x+ y (∗) 2 2 n Ta có √ √ p √ √ √ x + y + 1√ x + y − 1√ V T (∗) = x x y+1+ y y x−1≤ x+ y = V P (∗) 2 2 t.V Đẳng thức xảy ra khi y = x − 1.Thế vào phương trình hai ta có √ √ 3 x 2x − 1 + x 4 4x − 3 = x2 + 2x − 1 (x ≥ ) 4 √ √ 1 2x − 1 √ ⇒ 2x − 1 + 4 4x − 3 = x + 2 − = x + ≥ 2 2x − 1 x x √ √ ⇔ 4 4x − 3 ≥ 2x − 1 ⇔ 4x − 3 ≥ (2x − 1)2 ⇔ 4(x − 1)2 ≤ 0  Ne ⇔x=1⇒y=0 x = 1 (T /M ) Vậy hệ phương trình có nghiệm là  y = 0 Bài toán 14 x√1 + y + y √1 + x = (x + y) √xy  Giải hệ phương trình sau  √x + √y + 1 −√y + √x + 1 = 1 pi. Hướng Dẫn Giải Điều(kiện x, y ≥ 0 √ √ a= x+ x+1 Đặt √ √ (Với a, b ≥ 1) b= y+ y+1  √   1 1 x= a−   2 a   1 √ √   √    = x+1− x   1 1  x+1= a+    a   K2 ⇒ ⇒ 2  a √ √ 1 1  1 √ y= b−     = y+1− y 2 b    b    √   1 1  y+1= b+   2 b Từ phương trình thứ hai của hệ suy ra    1 1 1 1 a+ + −b a+ +b− =4 b a b a  2  2 1 1 ⇔ a+ − b− =4 b a c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 15
  16. LateX by Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH r r !2 a4 − 1 b 4 − 1 a b ⇔ + +2 − =0 a2 b2 b a ( a4 − 1 ≥ 0 n Mà b4 − 1 ≥ 0 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = 1 hay x = y = 0 Thay x = y = 0 vào phương trình (1) thỏa mãn. Vậy nghiệm của hệ là (0; 0)  t.V Bài toán 15 (x2 + 1) y + √2y + 1 = √2x2 + 1  Giải hệ phương trình sau √  1 + 2√x + 1 −1 + √2y + 1 = 2y x2 + 1 Hướng Dẫn Giải 1 Điều kiện của hệ phương trình: x ≥ −1; y ≥ − 2 Phương trình thứ hai tương đương với  Ne√  √  p  1 + 2 x + 1 2y = (2y x2 + 1) 1 + 2y + 1 . • Nếu y = 0 hệ có nghiệm (x; y) = (0; 0) • Nếu y 6= 0 hệ tương đương với  √  √ 2x2 + 1  y + 2y + 1 =  √ x2 + 1 √ 2 x+1+1  2y + 1 + 1 = √ 2   x +1  √ !2 pi.  √ 2x 2+1+1 ( 2y + 1 + 1)2 = √   ⇔ x2 + 1 √  √ 2 x+1+1 2y + 1 + 1 = √    x2 + 1 √ √ √ 2 ± 10 2 Từ đây suy ra 2x + 1 = 2 x + 1 ⇔ x = 2 Thay x tìm được vào phương trình thứ hai ta tính được y  Bài toán 16 K2  2 x √  + 2 x2 + 1 + y 2 = 3  2 Giải hệ phương trình sau y y x + √  + y2 = 0 2 1+x +x Hướng Dẫn Giải 2 √   x + y + 2( 1 + x2 − x) = 3    Hệ phương trình tương đương với y √  x + y + ( 1 + x2 − x) = 0    y c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 16
  17. LateX by Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH Cộng đại số suy ra phương trình x   x 2  x   + y = −1  +y −2 +y −3=0⇔ x y n y y  +y =3  y x √ • Trường hợp 1. Với + y = −1 ⇒ 1 + x2 − x = 1 hệ này có nghiệm (x; y) = (0; −1) y √ ! x √ 4 3± 5 t.V • Trường hợp 2. Với + y = 3 ⇒ 1 + x2 − x = −3, hệ này có 2 nghiệm (x; y) = ; y 3 2 √ ! 4 3± 5 Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm (0; −1) , ;  3 2 Bài toán 17 x 1 y 1 1  −  + = 2 + 2 −1 y xy x x y Giải hệ phương trình sau x y x 2 − xy + y 2   + = x+1 y+1 xy Điều kiện x, y 6= {0, −1} Ne Hướng Dẫn Giải Phương trình đầu tương đương với (xy − 1)(x2 + y 2 + xy) = 0 1 1 ⇔ xy = 1 ⇔ + = 1 (3) x+1 y+1 Phương trình thứ hai tương đương 1 1 x2 + y 2 pi. 3−( + )= (4) x+1 y+1 xy Kết hợp (3) và (4) x2 + y 2 ⇒2= ⇔x=y xy Từ đó ta kết hợp các dấu bằng tìm được x = y = 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (1; 1)  Bài toán 18 K2 21√x + (y − 7x2 ) √y = 315  Giải hệ phương trình sau xy + 7 = (x + 1) (y − 7x − 14) Hướng Dẫn Giải Từ phương trình thứ hai của hệ ta suy ra y = 7x2 + 21x + 21 Thay vào phương trình đầu tiên ta có √ √ x + (x2 + x) 7x2 + 21x + 21 = 15 (x2 + x)(x + 4)   1 ⇔ (x − 1) √ +√ + 7(x + 2) = 0 x+1 7x2 + 21x + 21 c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 17
  18. LateX by Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH Vì x ≥ 0 ⇒ x = 1 Vậy nghiệm của hệ là (x, y) = (1, 49)  Bài toán 19 n 4 (x2 + y 2 ) + 6y √  3 1 − x = 3x + 4y + 6 Giải hệ phương trình sau √ √ 4 2y − x + 2 + 6 y − 7x + 8 = 3y − 8x + 23 t.V Hướng Dẫn Giải a = √2y − x + 2  Đặt suy ra b = √y − 7x + 8 a2 + b2 + 13 = 3y − 8x + 23 = 4a + 6b ⇔ (a − 2)2 + (b − 3)2 = 0   a = 2 x = 0 ⇔ ⇔ (T /M ) b = 3 y = 1 Ne Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (0; 1)  Bài toán 20 √x + 2y − √2x − 3y = 1  Giải hệ phương trình sau x2 + x − 8y + 2 = 2(x − 2)√2x − 3y  Hướng Dẫn Giải x + 2y ≥ 0 Điều kiện 2x ≥ 3y pi. Phương trình đầu tương đương với p p x + 2y = 2x − 3y + 1 p ⇔ x + 2y = 2x − 3y + 1 + 2 2x − 3y p ⇔ 5y = x + 1 + 2 2x − 3y Thế vào phương trình hai ta được K2  p  p 2 x + x − 3y − x + 1 + 2 2x − 3y + 2 = 2(x − 3) 2x − 3y p ⇔ x2 + 1 = 2(x − 1) 2x − 3y + 3y  p 2 ⇔ x − 1 − 2x − 3y = 0  p x ≥ 1 ⇔ x − 1 = 2x − 3y ⇔ x2 + 1 = 4x − 3y c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 18
  19. LateX by Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH x − 1 = √2x − 3y  Do đó hệ phương trình đã cho trở thành 5y = x + 1 + 2√2x − 3y n x − 1 = √2x − 3y   x = 2 ⇔ ⇔ (T /M ) 5y = 3x − 1 y = 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (2; 1)  t.V Bài toán 21 x√x + y √y = 1  Giải hệ phương trình sau p 2x + 5y = (1 + x) (2 − 5y) Hướng Dẫn Giải Phương trình thứ hai của hệ đã cho tương đương √ 2 p 2 p 2 1+x −  3 Ne 2 − 5y = (1 + x) (2 − 5y) ⇒ x = 1 − 5y 3  a +b =1  Thay vào ta có hệ sau  5 (a2 − 1) = b2  a = √1 − 5y  Với . Từ phương trình thứ hai cho ta thấy hệ có nghiệm khi a ≥ 1 b = √y Phương trình a3 − 1 + b3 = (a − 1) (a2 + a + 1) + b3 ≥ 0 (a ≥ 1) Dấu bằng xảy ra tương ứng y = 0 ⇒ x = 1 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (1; 0) pi. Bài toán 22 r r 1 1 2 x+ −1= 3 3 + 2   Giải hệ phương trình sau x+1 y y √x + √  4 √ √4 y+1= y+ x+1 Hướng Dẫn Giải Điều kiện x, y ≥ 0 Phương trình đầu tương đương với K2 a = √ x ≥ 0  √ 4 2 √ 4 ⇔ a + b + 1 = b + a2 + 1 (Với ) b = √ y ≥ 0 (a − b)(a + b) ⇔a−b= √ √ √ √ ( 4 a2 + 1 + 4 b2 + 1)( a2 + 1 + b2 + 1) " a−b=0⇔x=y >0 ⇔ √ 4 √ 4 2 √ √ ( a + 1 + b + 1)( a2 + 1 + b2 + 1) = a + b (∗) 2 Ta có V T (∗) > (a + b)(1 + 1) > V P ⇒ (∗) V N c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 19
  20. LateX by Trần Quốc Việt TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH Thay vào phương trình hai,ta được √ √ x2 = x + 1 3 2x + 1 √ √ √ n ⇔ x(x − x + 1) + x + 1(x − 3 2x + 1) = 0 √ x2 − x − 1 x + 1(x + 1)(x2 − x − 1) ⇔ x. √ + √ √ =0 x + x + 1 x2 + x 3 2x + 1 + ( 3 2x + 1)2  √  x x + 1(x + 1) t.V 2 ⇔ (x − x − 1) √ + √ √ =0 x + x + 1 x2 + x 3 2x + 1 + ( 3 2x + 1)2 Do biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương ∀x, y ≥ 0 nên suy ra x2 − x − 1 = 0 √ √ 1+ 5 1+ 5 ⇔x= ⇒y= 2 2 √ √ 1+ 5 1+ 5 Vậy nghiệm (x, y) của hệ phương trình là ( , )  Ne 2 2 Bài toán 23  √  p  2015x+y x + x2 + 1 + 2015xy y + y 2 + 1 = 0 Giải hệ phương trình sau 3y 2 + 8√x + 2y + 1 + x2 + 4xy = 4 (x + y) + 8√y + 1 Hướng Dẫn Giải Từ phương trình thứ hai của hệ, nhân lượng hiên hợp ta có   8 (x + y) x + 3y + √ √ = 4 (x + y) x + 2y + 1 + y + 1 Với x = −y thay lại được phương trình cơ bản pi. √ √ x+ x2 + 1 − 2015x2 (−x + x2 + 1) = 0 √ 2015x2 ⇔x+ x2 + 1 − √ =0 x + x2 + 1  √ 2 ⇔ x + x2 + 1 − 2015x2 = 0 √ ⇔ 2x x2 + 1 − 2013x2 + 1 = 0 K2 .... 8 Với x + 3y + √ √ =4 √ x + 2y + 1 +√ y+1 Đặt a = x + 2y + 1 , b = y + 1, sử dụng đánh giá sau 8 8 8 = a2 + 1 + b 2 + 1 +   ≥ 2 (a + b) + ≥8 a+b a+b Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1. Từ đó giải ra nghiệm  c Diễn Đàn Toán THPT - K2pi.Net.Vn Trang 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2