Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN
I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:
1. Cho a, b > 0 chứng minh:
+ +
3
3 3
a b a b
2 2
2. Chứng minh:
+ +
2 2
a b a b
2 2
3. Cho a + b 0 chứng minh:
+ +
3 3
3
a b a b
2 2
4. Cho a, b > 0 . Chứng minh:
+ +
a b a b
b a
5. Chứng minh: Với a b 1:
+ +
+ +
2 2
1 1 2
1 ab
1 a 1 b
6. Chứng minh:
( )
+ + + + +
222
a b c 3 2 a b c
; a , b , c R
7. Chứng minh:
( )
+ + + + + + +
2 2 2 2 2
a b c d e a b c d e
8. Chứng minh:
+ + + +
2 2 2
x y z xy yz zx
9. a. Chứng minh:
+ + + +
a b c ab bc ca ; a,b,c 0
3 3
b. Chứng minh:
10. Chứng minh:
+ + − +
22 2
ab c ab ac 2bc
4
11. Chứng minh:
+ + + +
2 2
a b 1 ab a b
12. Chứng minh:
+ + − +
2 2 2
x y z 2xy 2xz 2yz
13. Chứng minh:
+ + + − + +
4 4 2 2
x y z 1 2xy(xy x z 1)
14. Chứng minh: Nếu a + b 1 thì:
+
3 3 1
a b 4
15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
a. ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca).
b. abc (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)
c. 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2a2 – a4 – b4 – c4 > 0
1
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI:
1. Chứng minh:
+ + + (a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0
2. Chứng minh:
+ + + +
222
(a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0
3. Chứng minh:
( ) ( ) ( )
( )
+ + + + 3
3
1 a 1 b 1 c 1 abc
với a , b , c 0
4. Cho a, b > 0. Chứng minh:
+
� � � �
+ + +
� � � �
� � � �
m m m 1
a b
1 1 2
b a
, với m Z+
5. Chứng minh:
+ + + +
bc ca ab a b c ; a,b,c 0
a b c
6. Chứng minh:
+ −
6 9 2 3
x y 3x y 16 ; x,y 0
4
7. Chứng minh:
+ −
+
4 2
2
1
2a 3a 1
1 a
.
8. Chứng minh:
( )
> −
1995
a 1995 a 1
, a > 0
9. Chứng minh:
( ) ( ) ( )
+ + + + +
2 2 2 2 2 2
a 1 b b 1 c c 1 a 6abc
.
10. Cho a , b > 0. Chứng minh:
� �
+ + + +
� �
� �
+ + +
2 2 2 2 2 2
a b c 1 1 1 1
2 a b c
a b b c a c
11. Cho a , b 1 , chứng minh:
− + −ab a b 1 b a 1
.
12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)
13. Cho a > b > c, Chứng minh:
( ) ( )
− −
3
a 3 a b b c c
.
14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh:
a) b + c 16abc.
b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) 8abc
c)
+ + +
1 1 1
1 1 1 64
a b c
15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:
( )
+
−
1
x 3
x y y
16. Chứng minh:
a)
+
+
2
2
x 2 2
x 1
,x R b)
+
−
x 8 6
x 1
, x > 1 c)
+
+
2
2
a 5 4
a 1
17. Chứng minh:
+ +
+ + >
+ + +
ab bc ca a b c ; a, b, c 0
a b b c c a 2
18. Chứng minh:
+
+ +
2 2
4 4
x y 1
4
1 16x 1 16y
, x , y R
19. Chứng minh:
+ +
+++
a b c 3
b c a c a b 2
; a , b , c > 0
2
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
20. Cho a , b , c > 0. C/m:
+ +
+ + + + + +
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
abc
a b abc b c abc c a abc
21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh:
a.
+ + + 4
a b c d 4 abcd
với a , b , c , d 0 (Côsi 4 số)
b.
+ + 3
a b c 3 abc
với a , b , c 0 , (Côsi 3 số )
22. Chứng minh:
+ + + +
3 3 3 2 2 2
a b c a bc b ac c ab
; a , b , c > 0
23. Chứng minh:
24. Cho
= +
x 18
y2 x
, x > 0. Định x để y đạt GTNN.
25. Cho
= + >
−
x 2
y ,x 1
2 x 1
. Định x để y đạt GTNN.
26. Cho
= + > −
+
3x 1
y , x 1
2 x 1
. Định x để y đạt GTNN.
27. Cho
= + >
−
x 5 1
y ,x
3 2x 1 2
. Định x để y đạt GTNN.
28. Cho
= +
−
x 5
y1 x x
, 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN.
29. Cho
+
=3
2
x 1
yx
, x > 0 . Định x để y đạt GTNN.
30. Tìm GTNN của
+ +
=2
x 4x 4
f(x) x
, x > 0.
31. Tìm GTNN của
= +
2
3
2
f(x) x x
, x > 0.
32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)
33. Cho y = x(6 – x) , 0 x 6 . Định x để y đạt GTLN.
34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 x
5
2
. Định x để y đạt GTLN
35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,
−
5x 5
2
. Định x để y đạt GTLN
36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,
−1
2
x
5
2
. Định x để y đạt GTLN
37. Cho
=+
2
x
yx 2
. Định x để y đạt GTLN
38. Cho
( )
=
+
2
3
2
x
y
x 2
. Định x để y đạt GTLN
3
Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng
III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki
1. Chứng minh: (ab + cd)2 (a2 + c2)(b2 + d2) BĐT Bunhiacopxki
2. Chứng minh:
+ sinx cosx 2
3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a2 + 4b2 7.
4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a2 + 5b2
725
47
.
5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a2 + 11b2
2464
137
.
6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a4 + b4 2.
7. Cho a + b 1 Chứng minh:
+
2 2 1
a b 2
Lời giải :
I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản:
1. Cho a, b > 0 chứng minh:
+ +
3
3 3
a b a b
2 2
(*)
(*)
+ +
−
3
3 3
a b a b 0
2 2
( ) ( )
+ −
2
3a b a b 0
8
. ĐPCM.
2. Chứng minh:
+ +
2 2
a b a b
2 2
()
a + b 0 , () luôn đúng.
a + b > 0 , ()
+ + +
−
2 2 2 2
a b 2ab a b 0
4 2
( )
−
2
a b 0
4
, đúng.
Vậy:
+ +
2 2
a b a b
2 2
.
3. Cho a + b 0 chứng minh:
+ +
3 3
3
a b a b
2 2
( )
+ +
33 3
a b a b
8 2
( )
( )
− −
2 2
3 b a a b 0
( ) ( )
− − +
2
3 b a a b 0
, ĐPCM.
4. Cho a, b > 0 . Chứng minh:
+ +
a b a b
b a
()
()
+ +a a b b a b b a
( ) ( )
− − − a b a a b b 0
( )
( )
− − a b a b 0
( ) ( )
− +
2
a b a b 0
, ĐPCM.
5. Chứng minh: Với a b 1:
+ +
+ +
2 2
1 1 2
1 ab
1 a 1 b
()
4
Trần Sĩ Tùng Tuyển tập Bất đẳng thức
+ − −
+ +
+ +
2 2
1 1 1 1 0
1 ab 1 ab
1 a 1 b
( )
( )
( )
( )
− −
+
+ + + +
2 2
2 2
ab a ab b 0
1 a 1 ab 1 b 1 ab
( )
( )
( )
( )
( )
( )
− −
+
+ + + +
2 2
a b a b a b 0
1 a 1 ab 1 b 1 ab
−
−
++ +
2 2
b a a b 0
1 ab 1 a 1 b
( ) ( )
− + − −
++ +
2 2
2 2
b a a ab b ba 0
1 ab 1 a 1 b
( ) ( )
( )
( ) ( )
− −
+ + +
2
2 2
b a ab 1 0
1 ab 1 a 1 b
, ĐPCM.
Vì : a b 1 ab 1 ab – 1 0.
6. Chứng minh:
( )
+ + + + +
222
a b c 3 2 a b c
; a , b , c R
( ) ( ) ( )
− + − + −
2 2 2
a 1 b 1 c 1 0
. ĐPCM.
7. Chứng minh:
( )
+ + + + + + +
2 2 2 2 2
a b c d e a b c d e
− + + − + + − + + − +
2 2 2 2
2 2 2 2
a a a a
ab b ac c ad d ae e 0
4 4 4 4
− + − + − + −
2 2 2 2
a a a a
b c d e 0
2 2 2 2
. ĐPCM
8. Chứng minh:
+ + + +
2 2 2
x y z xy yz zx
+ + − − −
2 2 2
2x 2y 2z 2xy 2yz 2zx 0
( )
( )
( )
− + − + −
2 22
x y x z y z 0
9. a. Chứng minh:
+ + + +
a b c ab bc ca ; a,b,c 0
3 3
+ + + + + + + + +
=
2222
a b c a b c 2ab 2bc 2ca ab bc ca
3 9 3
+ + + +
a b c ab bc ca
3 3
b. Chứng minh:
( ) ( )
+ + = + + + + +
222 222 222
3 a b c a b c 2 a b c
( ) ( )
+ + + + + = + + 2
222
a b c 2 ab bc ca a b c
10. Chứng minh:
+ + − +
22 2
ab c ab ac 2bc
4
5