Đề số 19
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số 3 2
3 4
y x x .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 4) và có hệ số góc là m. Tìm m để
d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và
N vuông góc với nhau.
Câu II (2điểm)
1) Giải hệ phương trình: 2
2
1 ( ) 4
( 1)( 2)
x y x y y
x x y y
(x, y
R
)
2) Giải phương trình: 3 3
8
tan tan
6 3
x x x x
x x
Câu III (1 điểm) Tính tích phân: 12
0
ln( 1)
I x x x dx
Câu IV (1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a,
hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam
giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’, cắt lăng trụ
theo một thiết diện có diện tích bằng 2
3
8
a. Tính thể tích khối lăng trụ
ABC.A’B’C’.
Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức 2 2 2 2 2 2
1 1 1
2 3 2 3 2 3
P
a b b c c a
II. PHẦN RIÊNG (3 điểm)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho
ABC có đỉnh A(1;2), phương
trình đường trung tuyến BM:
2 1 0
x y
và phân giác trong CD:
1 0
x y
. Viết phương trình đường thẳng BC.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (D) có phương
trình tham số
2 ; 2 ; 2 2
x t y t z t
. Gọi
là đường thẳng qua điểm
A(4;0;–1) song song với (D) và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên
(D). Viết phương trình của mặt phẳng chứa và có khoảng cách đến (D) là
lớn nhất.
Câu VII.a (1điểm) Tìm hệ số của số hạng chứa x2 trong khai triển nhị thức Niutơn
của 4
1
2
n
x
x
, biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn:
2 3 1
0 1 2
2 2 2 6560
2
2 3 1 1
nn
n n n n
C C C C
n n
(
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n
phần tử)
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x + y + 5
= 0, d2: x + 2y – 7= 0 và tam giác ABC có A(2; 3), trọng tâm là điểm G(2; 0),
điểm B thuộc d1 và điểm C thuộc d2 . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC.
2) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1; 2;
5), B(1; 4; 3), C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x – y – z – 3 = 0. Gọi M là một
điểm thay đổi trên mặt phẳng (P). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
MA MB MC
.
Câu VII.b (1 điểm) Giải hệ phương trình
2( 1)
1
x y x y
x y
e e x
e x y (x, y
R
)
Hướng dẫn Đề số 19
Câu I: 2) d có phương trình y = m(x – 3) + 4.
Hoành độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của phương trình:
3 2 2
2
3
3 4 ( 3) 4 ( 3)( ) 0
0
x
x x m x x x m x m
Theo bài ra ta có điều kiện m > 0 và
'( ). '( ) 1
y m y m
2
18 3 35
(3 6 )(3 6 ) 1 9 36 1 0
9
m m m m m m m (thỏa mãn)
Câu II: 1) y = 0 không phải là nghiệm. Hệ PT
2
2
1
2 2
1
( 2) 1
xx y
y
xx y
y
Đặt 21
, 2
x
u v x y
y. Ta có hệ 2
1
1
u v
u v
uv
21
1
2 1
x
y
x y
Nghiệm của hpt đã cho là (1; 2), (–2; 5).
2) Điều kiện:
sin sin cos cos 0
6 3 6 3
x x x x
Ta có
tan tan tan cot 1
6 3 6 6
x x x x
PT 3 3
1
sin .sin3 cos cos3
8
x x x x
1 cos2 cos2 cos4 1 cos2 cos2 cos4 1
2 2 2 2 8
x x x x x x
3
1 1 1
2(cos2 cos2 cos4 ) cos 2 cos2
2 8 2
x x x x x 6
6
x k (loaïi)
x k
Vậy phương trình có nghiệm
6
x k
,
( )
k
Z
Câu III: Đặt 22
2
2 1
ln( 1)
1
2
x
du dx
u x x x x
dv xdx x
v
11
2 3 2
2
2
0
0
1 2
ln( 1)
2 2 1
x x x
I x x dx
x x
1 1 1
2 2
0 0 0
1 1 1 2 1 3
ln3 (2 1)
2 2 4 1 4 1
x dx
x dx dx
x x x x
3 3
ln3
4 12
I
Câu IV: Gọi M là trung điểm của BC, gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên
AA’. Khi đó (P)
(BCH). Do góc
'
A AM
nhọn nên H nằm giữa AA’. Thiết
diện của lăng trụ cắt bởi (P) là tam giác BCH.
Do tam giác ABC đều cạnh a nên
3 2 3
,
2 3 3
a a
AM AO AM
Theo bài ra 2 2
3 1 3 3
.
8 2 8 4
BCH
a a a
S HM BC HM
2 2
2 2
3 3 3
4 16 4
a a a
AH AM HM
Do A’AO và MAH đồng dạng nên '
A O HM
AO AH
. 3 3 4
'
3 4 3 3
AO HM a a a
A O
AH a
Thể tích khối lăng trụ: 3
1 1 3 3
. . .
2 2 3 2 12
ABC
a a a
V A O S A O AM BC a