[1]
T s kép ca hàng đim và áp dng
Nguyn Đình Thành Công , Nguyn Phương Mai
1. Mt s khái nim v t s kép ca hàng đim, hàng đưng thng
Đnh nghĩa 1.1.
Cho 4 đim A, B, C, D nm trên mt đưng thng. Khi đó t s kép ca A, B, C, D (ta
chú ý ti tính th t) đưc đnh nghĩa là
AC BC
:
AD BD
và ta kí hiu
AC BC
(ABCD) :
AD BD
=
(Chú ý: Trong trưng hp AC BC
: 1
AD BD
= −
ta nói A, B, C, D là hàng đim điu hòa và kí
hiu (ABCD)=-1)
T đnh nghĩa suy ra
i.(ABCD) (CDAB) (BADC) (DCBA)
1 1
ii.(ABCD) (BACD) (ABDC)
iii.(ABCD) 1 (ACBD) 1 (DBCA)
iv.(ABCD) (A ' BCD) A A '
(ABCD) (AB'CD) B B'
v.(ABCD) 1
= =
= − = −
= ⇔ ≡
= ⇔ ≡
≠
Đnh nghĩa 1.2. Phép chiu xuyên tâm.
Cho (d). S ngoài (d). Vi mi đim M, SM ct (d) ti M’(M không thuc đưng thng
qua S song song (d)). Vy M→M’ là phép chiu xuyên tâm vi tâm chiu S lên (d)
Tip theo ta s phát biu mt đnh lí quan trng v phép chiu xuyên tâm
Đnh lí 1.3. Phép chiu xuyên tâm bo toàn t s kép
Chng minh.
Trưc ht ta cn phát biu mt b đ
B đ 1.3.1.
Cho S. A, B, C, D thuc (d). T C k đưng thng song song SD ct SA, SB ti A’, B’.
Khi đó
CA '
(ABCD)
CB'
=
[2]
Tht vy theo đnh lí Talet ta có:
CA DA AC DB CA ' DS CA '
(ABCD) : : :
CB DB AD CB DS CB ' CB '
= = = =
Tr li đnh lí ta có
1
1 1 1 1
1
C A ''
CA '
(ABCD) (A B C D )
CB' C B''
= = =
(d.p.c.m)
Nhn xét: A, B, C, D là hàng đim điu hòa ⇔ C là trung đim A’B’
T đnh lí 1.3 ta có các h qu:
H qu 1.3.2.
Cho 4 đưng thng đng quy và đưng thng ∆ ct 4 đưng thng này ti A, B, C, D. khi
đó (ABCD) không ph thuc vào ∆
H qu 1.3.3.
Cho hai đưng thng
1
∆
,
2
∆
ct nhau ti O.
1
A, B,C
∈ ∆
,
2
A ', B', C '
∈ ∆
. Khi đó:
(OABC) (OA ' B'C ') AA ', BB', CC '
= ⇔
đng quy ho!c đôi mt song song
Chng minh.
TH1. AA’, BB’, CC’ song song
BO CO B 'O C 'O
: :
BA CA B'A C ' A
(OABC) (OA ' B'C ')
⇒=
⇒=
TH2. AA’, BB’,CC’ không đôi mt song đ!t
AA ' BB ' S,SC C"
∩ = ∩ ∆ =
.
Ta có:
(OA 'B'C ') (OABC) (OA 'B'C")
(OA 'B 'C') (OA 'B'C")
C ' C ''
= =
⇒=
⇒≡
Vy AA’, BB’, CC’đng quy
H qu 1.3.4.
Đnh nghĩa 1.4
[3]
Cho bn đưng thng a, b, c, d đng quy ti S. Mt đưng thng (l) ct a, b, c, d ti A, B,
C, D. Khi đó t s kép ca chùm a, b, c, d b"ng t s kép ca hàng A, B, C, D.
T đây ta suy ra:
sin(OA, OC) sin(OB,OC)
(abcd) (ABCD) :
sin(OA, OD) sin(OB,OD)
= =
Tính ch#t trên là mt tính ch#t quan trng, r#t có li trong vic gii các bài toán
Chú ý: Chùm a, b, c, d là chùm điu hòa ⇔A, B, C, D là hàng đim điu hòa
Tính cht 1.5.
Cho chùm điu hòa (abcd)
Nu b⊥d ⇔ b, d là phân giác các góc to bi a và c
Chng minh.
- Nu b, d là phân giác góc to bi a, c suy ra điu phi chng minh
- Nu b⊥d. T C k đưng thng song song OD. Do (abcd)=-1 nên MC = MN suy ra b, d
là phân giác góc COA
Tính cht 1.6.
Cho O và O’ n"m trên d. Các đưng thng a, b, c đng quy ti O, a’, b’, c’ đng quy ti
O’.
a ' a A, b b ' B, c c ' C
∩ = ∩ = ∩ =
. Chng minh r"ng A, B, C thng hàng ⇔
(
)
(
)
abcd a’b’c’d
=
Chng minh. Xét
AC d K
∩ =
2. Mt s ví d
Chú ý : Trong mt s bài toán có nh$ng trưng hp đơn gin như các đưng thng song
song vi nhau, chng minh các trưng hp này tương đi đơn gin, xin b& qua
2.1.
Cho t giác ABCD.
E AB CD, F AD BC, G AC BD
= ∩ = ∩ = ∩
.
EF AD, AB M, N
∩ =
.
Chng minh r"ng
(EMGN) 1
= −
.
Chng minh.
[4]
Xét phép các phép chiu:
A: E B, G C, M F, N N
→ → → → ⇒
(
)
(
)
EGMN BCFN
=
D:
E C,G B, M F, N N (EGMN) (CBFN)
→ → → → ⇒=
(
)
BCFN (CBFN)
1
(BCFN)
(BCFN)
⇒=
⇔ =
(BCFN) 1
⇔ = −
(do
(BCFN) 1
≠
)
Vy
(
)
EGMN 1
= −
(d.p.c.m)
Nhn xét: T 2.1 ta suy ra bài toán: Cho tam giác ABC. D, E, F thuc các cnh BC, CA,
AB.
EF BC M
∩ =
. Ta có: AD, BE, CF đng quy
(ABDM) 1
⇔ = −
2.2.
Cho t giác ABCD.
AC BD O
∩ =
. Mt đưng thng (d) đi qua (O).
(d) A, B, C, D M, N, P, Q
∩ =
. Chng minh r"ng:
(
)
(
)
MNOP MOQP
=
Chng minh.
Xét các phép chiu:
[5]
(
)
( )
A : M J, O C,Q D, P P (MOQP) JCDP
B : M J, N C, O D, P P (MNOP) JCDP
→ → → → ⇒=
→ → → → ⇒=
Vy
(
)
(
)
MNOP MOQP
=
Nhn xét : T 2.2 ta suy ra bài toán sau:
Cho t giác ABCD.
AC BD O
∩ =
. Mt đưng thng (d) đi qua (O).
(d) A, B, C, D M, N, P, Q
∩ =
. Chng minh r"ng: O là trung đim QH khi và ch khi O là
trung đim MP.
Bài toán trên chính là đnh lí “con bưm” trong t giác.
2.3.
Cho t giác ABCD ni tip đưng tròn (O). S∈(O). Khi đó S(ABCD) = const (S(ABCD)
là t s kép ca chùm SA, SB, SC, SD
Chng minh.
Ta có
S(ABCD)
sin(SA,SC) sin(SB,SC) sin(BA, BC) sin(AB, AC)
: :
sin(SA,SD) sin(SB,SD) sin(BA, BD) sin(AB, AD)
= =

AC BC
: const
AD BD
= = (d.p.c.m)
2.4.
Cho t giác ABCD ni tip đưng tròn (O),
AC BD J
∩ =
.Mt đưng thng (d) qua J ,
(d) AB, CD, (O) M, N, P, Q
∩ =
. Chng minh r"ng:
(QMJP) (QJNP)
=
Chng minh.