intTypePromotion=1
ADSENSE

Ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN và GTNN của hàm số nhiều biến

Chia sẻ: Phan Huu The | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:25

989
lượt xem
73
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN và GTNN của hàm số nhiều biến được biên soạn nhằm giúp cá bạn biết cách sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số. Bên cạnh đó, bằng những bài tập minh họa và hướng dẫn giải những bài tập này một cách cụ thể sẽ giúp các bạn củng cố kiến thức một cách tốt hơn.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN và GTNN của hàm số nhiều biến

  1. Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số Phanhuuthe@gmail.com ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ NHIỀU BIẾN A. PHƢƠNG PHÁP CHUNG Để giải bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số nhiều biến bằng phƣơng pháp hàm số, thông thường ta thực hiện theo các bước sau :  Biến đổi các số hạng chứa trong biểu thức về cùng một đại lượng giống nhau.  Đưa vào một biến mới t, bằng cách đặt t bằng đại lượng đã được biến đổi như trên.  Xét hàm số f (t ) theo biến t . Khi đó ta hình thành được bài toán tương đương sau : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (t ) với t  D .  Lúc này ta sử dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (t ) với t  D .  Chú ý : trong trường hợp không thể xây dựng trực tiếp được hàm số f (t ) với t  D , ta có thể đi tìm  f (t ) với t  D thỏa P  f (t ) đối với bài toán tìm giá trị nhỏ nhất  f (t ) với t  D thỏa P  f (t ) đối với bài toán tìm giá trị lớn nhất. B. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA I. XÂY DỰNG TRỰC TIẾP HÀM SỐ f (t ) BẰNG CÁC BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ: Phương pháp chung:  Dự đoán khả năng dấu bằng xảy ra hoặc giá trị đặc biệt trong điều kiện để đặt được biến phụ t thích hợp.  Có thể biến đổi được về hàm f(t) không cần sử dụng tính chất bất đẳng thức.  Hàm f(t) tương đối khảo sát được.  Chú ý phần tìm điều kiện của t (phải thật chính xác)  Thích hợp cho các đề thi khối B và D. Thí dụ 1. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y = 1.  1  2 1  Tìm GTNN của biểu thức P   x 2   y  2   y2   x  Lời giải. 1  Ta biến đổi P   xy   2 2 ( xy )2  x, y  0 1  Do  nên 1  x  y  2 xy  0  xy  . x  y  1 4 Đặt t  xy 2 , điều kiện của t là 0  t  1  16 Khi đó biểu thức P  f t   2  t  1  t 1
  2. Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số t 2 1  1  f ' t   2 ; ta thấy f ' t   0 với mọi t   0;  , suy ra hàm số f(t) nghịch biến trên nửa khoảng t  16   1  0;   16   1  289  Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là min P  min1 f t   f    . t( 0; ]  16  16 16 Thí dụ 2. (Khối A 2006) Cho các số thực x  0, y  0 thỏa ( x  y) xy  x 2  y 2  xy . 1 1 Tìm GTLN của biểu thức A   . x3 y 3 Lời giải. S2  Đặt x  y  S và xy  P với P  0 , từ giả thiết ta có P   S  3 S 3 4S 2 4 S 1  x, y tồn tại khi S 2  4P  S 2   1  0  S  3  S  1 S 3 S 3 S 3 2 x 3  y 3 ( x  y )( x 2  y 2  xy ) ( x  y) 2 xy  x  y   S  3 2  Ta biến đổi A  3 3          S  3 3 3 3 x y x y x y  xy  t 3 3  Xét hàm số f (t )  với t  3  t  1 , ta có f / (t )   2  0 t t  BBT t -∞ -3 1 +∞ _ _ f /(t) 1 4 f(t) 0 1  Suy ra A  f 2 (t )  16 1  Vậy GTLN P  16 khi x  y  . 2 Thí dụ 3. Cho các số thực dương thay đổi x, y thỏa điều kiện x  y  1 . 1 1 Tìm GTNN của biểu thức P   . x y 3 3 xy Lời giải. 1 1 1 1 1 1  P      x y 3 3 xy ( x  y)  3xy ( x  y) xy 1  3xy xy 3 x y 2 1  Đặt 0  t  xy      2  4 1 1 1  Xét hàm số f (t )   với 0  t  1  3t t 4 3 1 3 3 f / (t )   2  f / (t )  0  t  (1  3t ) 2 t 6 2
  3. Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số  BBT 3- 3 1 t 0 6 4 f /(t) _ + 0 +∞ 8 f(t) 4+2 3 3 3   Suy ra P  f    42 3   6  1 2 3  3  1 2 3  3   Vậy GTLN P  4  2 3 khi x  1  ; y  1  . 2  2 3 3      Thí dụ 4. (khối D 2009) Cho các số thực không âm x, y thỏa điều kiện x  y  1 . Tìm GTLN và GTNN của biểu thức S  (4 x2  3 y)(4 y 2  3x)  25xy Lời giải.  Do x  y  1 nên S  (4 x 2  3 y)(4 y 2  3x)  25xy  16 x 2 y 2  12( x 3  y 3 )  9 xy  25xy   16 x 2 y 2  12 ( x  y) 3  3xy ( x  y)  34 xy  16 x 2 y 2  2 xy  12 x y 2 1  Đặt 0  t  xy      2  4 1  Xét hàm số f (t )  16t 2  2t  12 với 0  t  4 1 f / (t )  32t  2  f / (t )  0  t  16 1 1 t 0 16 4 f /(t) _ 0 + 12 25 f(t) 191 2 16 25 1  Vậy GTLN S  khi x  y  2 2 191 2 3 2 3 2 3 2 3 GTNN S  khi x  ,y  hoặc x  ,y  . 16 4 4 4 4 Thí dụ 5. Cho các số thực thay đổi x, y thỏa điều kiện y  0 và x2  x  y  12 . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P  xy  x  2 y  17 . Lời giải.  Ta có x 2  x  12  y  0  4  x  3 3
  4. Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số  P  x( x 2  x  12)  x  2( x 2  x  12)  17  x 3  3x 2  9 x  7  Xét hàm số f ( x)  x 3  3x 2  9 x  7 với  4  x  3 f ( x)  3x  6 x  9  f ( x)  0  x  3; x  1 / 2 / x -4 -3 1 3 f /(x) + 0 - 0 + 20 20 f(x) -13 -12  Vậy GTLN P  20 khi x  3, y  6 hoặc x  3, y  0 GTNN P  12 khi x  1, y  10  Thí dụ 6. Cho các số thực x  0 và y  0 thỏa x  y  2 . x 2  xy  y 2  x  3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  . 3x  xy  1 Lời giải.  x0    y0 0 x2 x  y  2  x 2  x( 2  x)  ( 2  x) 2  x  3 x 2  x  1  P  2 3 x  x(2  x)  1 x  x 1 2x 2  2 P/  ( x 2  x  1) 2 x 0 1 2 P/ - 0 + P 1 3 1  Vậy GTNN P  khi x  1; y  1 . 3 Thí dụ 7. Cho các số thực thay đổi x, y thỏa điều kiện x  y  1, x2  y 2  xy  x  y  1. xy Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P  . x  y 1 Lời giải.  Từ giả thiết x 2  y 2  xy  x  y  1  xy  ( x  y) 2  ( xy)  1 2 t 2  t 1  Đặt t  x  y , ta có ( x  y)  4 xy  3t  4t  4  0    t  2 . Khi đó P  2 2 3 t 1 4
  5. Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số t 2  t 1 2  Xét hàm số f (t )  với   t  2 t 1 3 t  2t 2 t  2 f / (t )   f / ( x )  0   t 0 (t  2) 2  -2 t 0 2 3 f /(t) _ + 0 1 1 f(t) 3 3 -1 1 1  Vậy GTLN P  khi x  y   hoặc x  y  1 3 3 GTNN P  1 khi x  1, y  1 hoặc x  1, y  1 . Thí dụ 8. Cho các số thực thay đổi x, y thỏa điều kiện x, y  0 , xy( x  y)  x2  y 2  x  y  2 . 1 1 Tìm GTLN của biểu thức P   . x y Lời giải.  Từ giả thiết suy ra xy ( x  y)  ( x  y) 2  2 xy  ( x  y)  2 t2 t  2  Đặt t  x  y suy ra xy  t2 t 3  2t 2  4t  8  Ta có ( x  y)  4 xy  2  0  t  2  2  t t2 x y t 2  2t  Khi đó P   2 xy t t 2 t 2  2t  Xét hàm số f (t )  t  2  2  t với t2 t  2  3t 2  4t  4 2 f (t )  2 /  f / ( x)  0  t  ; t2 (t  t  2) 2 3 t -∞ -2 2 +∞ f /(t) _ _ 1 2 f(t) -2 7 1  Vậy GTLN P  2 khi x  y  1 . Thí dụ 9. Cho các số thực thay đổi x, y thỏa điều kiện 1  y 2  x( x  y) . x6  y 6  1 Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P  . x3 y  xy 3 5
  6. Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số Lời giải.  Ta có 1  x 2  y 2  xy  xy  xy  1 1 1  x 2  y 2  xy  ( x  y) 2  3xy  xy   3 x6  y 6  1 ( x  y ) ( x  y )  3x y  2 2 2 2 2 2 2 1  Ta có P  3   x y  xy 3 xy ( x  y ) 2 2  xy x  y 2 2   Đặt t  xy  x  y  1  t 2 2  2t 2  3  P t 1  2t 2  3 1  Xét hàm số f (t )  với   t  1 t 1 3  2t  4t  3 2 f / (t )  0 (t  1) 2 -1 t 1 3 _ f /(t) 25 f(t) 1 6 2 1  Vậy GTNN P  f (1)  khi x  y  1 2 1 25 1 GTLN P  f ( )  khi x   y   . 3 6 3 Thí dụ 10. (Khối B 2011)Cho a, b các số thực dương thỏa 2(a2  b2 )  ab  (a  b)(ab  2) .  a 3 b3   a 2 b 2  Tìm GTNN của biểu thức P  4  3  3   9 2  2  . b a  b a  Lời giải. a b 1 1 a b 2 2  a b  Từ giả thiết ta có 2    1    (ab  2)  2    1  a   b   2 2     b a a b b a b a  b a  a b 5  Đặt t    2t  1  2 2 t  2  4t 2  4t  15  0  t  b a 2 a 3 b  a 3 2 b  2  Ta có P  4 3  3   9 2  2   4(t 3  3t )  9(t 2  2)  4t 3  9t 2  12t  18 b a  b a  5  Xét hàm số f (t )  4t 3  9t 2  12t  18 với  t 2 1 f / (t )  12t 2  18t  12  f / ( x)  0  t   ; t  2 2 5 t +∞ 2 f /(t) + +∞ f(t) -23 6 4
  7. Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số 5 23  Suy ra P  f     2 4 23  Vậy GTNN P   khi a  1, b  2 hay a  2, b  1 . 4 Thí dụ 11. Cho các số thực thay đổi x, y thỏa điều kiện 2( x2  y 2 )  xy  1 . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P  x  y . 4 4 2 xy  1 Lời giải.    Đặt t  xy . Ta có: xy  1  2  x  y   2 xy  4 xy  xy   2 1 5 và xy  1  2   x  y   2 xy   4 xy  xy  . ĐK:   t  . 2 1 1 1  3 5 3 x  2 2  y2  2 x2 y 2 7t 2  2t  1  Suy ra : P   . 2 xy  1 4  2t  1  Do đó: P '   7 t 2  t , 2  2t  1 2  1 1 2 1 P '  0  t  0, t  1( L) P   P   và P  0    5  3  15 4 1 1 t - 0 5 3 P/ 0 + 0 _ 1 P 2 4 2 15 15 1 2  Vậy GTLN là và GTNN là . 4 15 Thí dụ 12. Cho các số thực a, b, c thỏa abc  2 2 . a 6  b6 b6  c 6 c6  a6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu P    a 4  b 4  a 2b 2 b 4  c 4  b 2 c 2 c 4  a 4  c 2 a 2 Lời giải. (a 2  b 2 )(a 4  b 4  a 2 b 2 ) (b 2  c 2 )(b 4  c 4  b 2 c 2 ) (c 2  a 2 )(c 4  a 4  c 2 a 2 )  Ta có P    a 4  b 4  a 2b 2 b4  c 4  b2c 2 c4  a4  c2a2  Nhận xét: Do abc  2 2 nên a 2 , b2 , c2 là các số thực dương x 2  y 2  xy  Xét A = A  với x,y > 0 x 2  y 2  xy x t2  t 1  Chia tử và mẫu cho và đặt t  ta được A  2 với t > 0 y t  t 1 t 2  t 1 2x 2  2  Xét hàm số f (t )  với 0  t  f / (t )  t 2  t 1 ( x 2  x  1) 2 7
  8. Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số t 0 1 +∞ f /(t) _ 0 + f(t) 1 3 1 1 1 2 2  Suy ra P  (a 2  b 2 )  (b 2  c 2 )  (c 2  b 2 )  3 3 3 3   a  b 2  c 2  23 a 2 b 2 c 2  4  Vậy GTNN P  4 khi a  b  c  2 . Thí dụ 13. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x  1, y  1 và 3( x  y)  4 xy.  1 1  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x3  y 3  3  2  2  . x y  Lời giải. 3a  Đặt x  y  a . Khi đó xy  , a  0. 4 3a  Suy ra x, y là nghiệm của phương trình t 2  at  0 (1) 4  Phương trình (1) có nghiệm    a 2  3a  0  a  3. 3a  Vì x, y  1 nên ( x  1)( y  1)  0. Hay là xy  ( x  y)  1  0   a  1  0  a  4. 4  Vậy ta có 3  a  4 . 1 1 4  Mặt khác, từ giả thiết ta lại có   . x y 3 2 1 1 6 9 8 16  Suy ra P  ( x  y)  3xy ( x  y)  3    3  a3  a 2   . x y xy 4 a 3 9 8 16  Xét hàm số f (a)  a 3  a 2   , 3  a  4. 4 a 3 9 8 3 8  Ta có f ' (a)  3a 2  a  2  3a(a  )  2  0, a [3; 4]. 2 a 2 a a 3 4 f ' (a) + 94 3 P  f (a) 113 12 113 3  Dựa vào BBT ta suy ra min P  , đạt khi a  3  x  y  ; 12 2 94  x  1, y  3 max P  , đạt khi a  4   . 3  x  3, y  1. 8
  9. Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số Thí dụ 14. Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn x2  y 2  z 2  3 . 5 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  xy  yz  zx  . x yz Lời giải. t2 3  §Æt t  x  y  z  t  3  2( xy  yz  zx)  xy  yz  zx  2 . 2  Ta cã 0  xy  yz  zx  x 2  y 2  z 2  3 nªn 3  t 2  9  3  t  3 v× t  0. t2  3 5  Khi ®ã A   . 2 t t2 5 3  XÐt hµm sè f (t )    , 3  t  3. 2 t 2 5 t3  5  Ta cã f ' (t )  t  2  2  0 v× t  3. t t 14  Suy ra f (t ) ®ång biÕn trªn [ 3, 3] . Do ®ã f (t )  f (3)  . 3  DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi t  3  x  y  z  1. 14  VËy GTLN cña A lµ , ®¹t ®-îc khi x  y  z  1.  3 Thí dụ 15. Cho hai số thực x thỏa mãn 0  x  1, 0  y  1 và x  y  4 xy. Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức M  x2  y 2  7 xy. Lời giải.  §Æt xy  t  x  y  4t. Theo ®Þnh lÝ Viet ®¶o x, y lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh h( X )  X 2  4tX  t  0.  V× 0  x1 , x 2  1 nªn ph-¬ng tr×nh h( X )  0 cã nghiÖm X 1 , X 2 tho¶ m·n '  4t 2  t  0  1.h(0)  t  0 1 1 0  X 1  X 2  1  1.h(1)  1  3t  0  t  .  4 3 s 0   2t  1  2 Khi ®ã M  x  y 2  9 xy  16t 2  9t , víi  t  . 1 1  4 3 9 1 1  Ta cã M ' (t )  32t  9  0  t    ;  . Suy ra B¶ng biÕn thiªn 32  4 3  1 9 1 t 4 32 3 M'(t) - 0 + 5 11 M 4  9 81  64 9
  10. Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số 11 1 1 1  Suy ra: Mmax   , ®¹t khi xy   x  1, y  hoÆc x  , y  1. 9 3 3 3 81 9 3 3 Mmin   , ®¹t khi xy   x  2 y  hoÆc y  2 x  .  64 32 4 4 Thí dụ 16. Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x  y  xy  3. 2 2 Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x4  y 4  4 xy  x3 y3 Lời giải.  §iÒu kiÖn: x  1; y  3 .  §Æt u  x  1  0; v   y  3  0 . Khi ®ã hÖ ®· cho trë thµnh u  v  a u  v  a   2  a 2  2a u  v 2  2 a uv   2 a  2a 2  u, v lµ nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh f t   t 2  at   0. 2  HÖ ®· cho cã nghiÖm  ph-¬ng tr×nh f t   0 cã nghiÖm t1 , t2 tho¶ m·n t1  0  t 2 a 2  2a 1. f 0  0   0  0 a  2. 2  §Æt t  xy . Tõ gi¶ thiÕt x 2  y 2  xy  3 ta cã: +) 3  x  y   xy   xy  xy  3 . 2 +) 3  x 2  y 2  xy  3xy  xy  1. VËy  3  t  1 . +) x  y  x  y   2 x y  3  xy   2 x y 2  9  6 xy  x 2 y 2 . 4 4 2 2 2 2 2 2 2 Suy ra A  t 3  t 2  2t  9,  3  t  1 .  XÐt hµm sè f t   t 3  t 2  2t  9,  3  t  1 . f ' t   3t 2  2t  2  0, t . VËy hµm sè nghÞch biÕn trªn , nªn: min f t   f 1  5; max f t   f  3  33 3t 1 3t 1  §Ó ý r»ng t  1  x  y  1 vµ t  3  x   y   3  VËy min A  5 , ®¹t khi x  y  1 max A  33 , ®¹t khi x   y   3 . Thí dụ 17. (khối B 2012) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện x  y  z  0 và x2  y 2  z 2  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  x5  y5  z5 . Lời giải. Cách 1:  1  xy  ( x  y ) 2   x  y  z  0  2   2  x  y  z  1 2 2  2  x  y  2  3 3  P = x5 + y5 + z5 = x5 + y5 – (x + y)5 = -5xy(x3 + y3) – 10x2y2(x + y) 5 1  5 5 =   ( x  y )3  ( x  y )    t 3  t ; t = x + y 2 2  2 4 5 5  f(t) =  t 3  t 2 4 10
  11. Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số 15 5 f’(t) =  t 2  2 4 1 f’(t) = 0  t =  6 t  2  1 1 3 6 6 2 3 f’(t) – 0 + 0 – f(t) 5 6 5 6 36 36 5 6 36  Suy ra P  5 6 36 . Vậy max P = 5 6 36 xảy ra khi t = 1 6 x  y  1 x  y   2  6  3     xy   1 3 (có nghiệm) hay  xy  1 6 (có nghiệm)     z  ( x  y )  z  ( x  y )   Cách 2:  Với x + y + z = 0 và x2  y 2  z 2  1 , ta có: 0   x  y  z   x 2  y 2  z 2  2 x  y  z   2 yz  1  2x 2  2 yz , nên yz  x 2  . 2 1 2 y 2  z 2 1  x2 1 1  x2 6 6  Mặt khác yz   , suy ra x 2   , do đó   x  (*) 2 2 2 2 3 3  Khi đó: P  x5  ( y 2  z 2 )( y3  z 3 )  y 2 z 2 ( y  z ) 2  1  x5  (1 x 2 ) ( y 2  z 2 )( y z ) yz ( y z)   x2  x  2  1   2  1 5  x  (1 x )  x (1 x2 ) 5 2 x x2      x2  x (2 x3 x).   2   2 4 6 6  6  Xét hàm f ( x)  2 x3  x trên   ;  , suy ra f ( x)  6 x  1 ; f ( x)  0  x   2  3 3  6  6  6 6  6  6 6 6  Ta có f     f     , f    f      Do đó f ( x)    3   6  9  3   6  9 9 5 6 Suy ra P   36 6 6  Khi x 3 , yz 6 thì dấu bằng xảy ra. 5 6  Vậy giá trị lớn nhất của P là 36   Thí dụ 18. Cho 2 số thực x, y thỏa mãn : x  y  2 x  2  y  1  1 . x y 2(1  xy x  y ) Tìm GTLN, GTNN của F = ( x  y )  ( y  x)  . 2 2 x y 11
  12. Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số Lời giải.  Từ giả thiết  x  2; y  1 .    Vì 2. x  2  1. y  1   22  12   x  2  y  1  2 x  2  y  1  5( x  y  1) . 2 Nên từ x  y  2 x  2  y  1  1  x  y  5( x  y  1)  1 . Đặt t = x + y , ta có: t  1  5(t  1)  1  t  6 1 2 1 2  Khi đó: F = ( x  y)2   t2  . 2 x y 2 t 1 2 1  Xét f (t )  t 2  , với t  1;6 , có f ' (t )  t   0; t  1;6 2 t t t 5 2  Min f (t )  f (1)  ; Max f (t )  f (6)  18  t1;6 2 t1;6 6 5 x  2  GTNN của F là: đạt được tại: t  1   2  y  1 2 x  6  Vậy GTLN của F là 18  đạt được tại :t= 6    6  y  0 Thí dụ 19. Cho x và y là các số thực thỏa mãn: 1  y 2  x( x  y) . x6  y 6  1 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: P  x3 y  xy 3 Lời giải.  Từ giả thiết ta có: 1  x2  y 2  xy  2 xy  xy  xy  1. 1 1  x2  y 2  xy  ( x  y)2  3xy  3xy  xy  . 3  Ta có x 2  y 2  1  xy nên x6  y 6  ( x 2  y 2 ) ( x 2  y 2 )2  3x 2 y 2   1  (1  t ) (1  t ) 2  3t 3   1  Đặt t  xy với t    ;1 \ 0 . Khi đó ta được P   3  t (1  t ) 2t  3 2  Hay P  = f (t ) t 1  1   Hàm số f (t ) trên   ;1 \ 0  3  2t 2  4t  3  1   Ta có f '(t )   0 t    ;1 \ 0 (t  1) 2  3  1  Vậy MinP  P(1)   t  1  x  y  1 2 1 25 1 1 MaxP  P( )   t    x  y    3 6 3 3 Thí dụ 20. Cho x, y, z thuộc đoạn  0;2 và x  y  z  3 . Tìm giá trị lớn nhất của A  x 2  y 2  z 2 Lời giải.  Cho x, y, z thuộc  0;2 và x  y  z  3 . Tìm giá trị lớn nhất của A  x 2  y 2  z 2  Giả sử: x  y  z  3  x  y  z  3z  z  1  z  1;2 12
  13. Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số  Lại có: x 2  y 2  ( x  y )2 ,(*)  A  3  z   z 2  2z 2  6z  9 2 3  Xét f ( z )  2 z 2  6 z  9, z  1;2  f '( z )  4 z  6, f '( z )  0  z  2 3 9 f (1)  5; f (2)  5; f    2 2  Kết hợp (*) ta có  Vậy max A  5 khi x  0; y  1; z  2  13
  14. Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số II. XÂY DỰNG GIÁN TIẾP HÀM SỐ f (t ) BẰNG SỬ DỤNG TÍNH CHẤT BẤT ĐẲNG THỨC: Phương pháp chung:  Dự đoán khả năng dấu bằng xảy ra hoặc giá trị đặc biệt trong điều kiện để đặt được biến phụ t thích hợp.  Khả năng biến đổi được về hàm f(t)là khó buộc phải sử dụng bất đẳng thức.  Lưu ý khi sử dụng bất đẳng thức điều kiện dấu bằng xảy ra phải đúng  Cần thuộc một số bất đẳng thức phụ để có thể đưa về theo một đại lượng thích hợp nào đó theo ý mong muốn.  Hàm f(t) tương đối khảo sát được.  Chú ý phần tìm điều kiện của t (phải thật chính xác)  Thích hợp cho các đề thi khối A và B. Thí dụ 1. (Khối B 2009) Cho các số thực thay đổi thỏa ( x  y)3  4 xy  2 . Tìm GTNN của biểu thức P  3( x4  y 4  x2 y 2 )  2( x2  y 2 )  1 . Lời giải. 2  x2  y2   Ta có ( xy )   2   2    x2  y2   2  P  3( x  y )   2 2 2    2( x 2  y 2 )  1   2   ( x  y) 2 1  Đặt t  x 2  y 2   (theo giả thiết ( x  y) 3  ( x  y) 2  ( x  y) 3  4 xy  2 ) 2 2 2 9t 1  Xét hàm số f (t )   2t  1 với t  4 2 9 t f / (t )   2 2 1 x 2 f /(t) + f(t) 9 16 1 9  Suy ra P  f (t )  f ( )  2 16 9 1  Vậy GTNN P  khi x  y  z  . 16 2 Thí dụ 2. (Khối B 2010) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa a  b  c  1. Tìm GTNN của biểu thức P  3(a 2b2  b2c2  c2 a 2 )  3(ab  bc  ca)  2 a 2  b2  c2 Lời giải.  Ta biến đổi P  (ab  bc  ca)2  3(ab  bc  ca)  2 1  2(ab  bc  ca) (a  b  c) 2 1  Đặt t  ab  bc  ca , điều kiện 0  t  ab  bc  ca   3 3 14
  15. Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số  1  Xét hàm số f (t )  t 2  3t  2 1  2t , t  0;  , ta có  3 2 f '(t )  2t  3  1  2t 2 f / / (t )  2  0 (1  2t )3  1  11 Do vậy f / (t ) là hàm nghịch biến: f / (t )  f /     2 3  0 . 3 3 Suy ra f (t ) là hàm số đồng biến  BBT 1 t 0 3 f / t  - 10  6 3 9 f (t ) 2  Suy ra P  f (t )  f (0)  2  ab  bc  ca   Vậy GTNN P  2 khi ab  bc  ca  0 khi (1; 0; 0) và các hoán vị.   a b  c 1  Thí dụ 3. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 3. Tìm GTLN của biểu thức P  3(a 2 b2  c2 )  4abc . Lời giải. 3  Giả sử 0  a  b  c  1  c  2  Ta có P  3(a  b)  6ab  3c  4abc  3(3  c) 2  3c 2  2(3  c)ab 2 2 ab 2  3(3  c) 2  3c 2  2(3  c)   2  3c 2  3(3  c) 2  3c 2  2(3  c)   2  3 27  c3  c2  2 2 3 27 3  Xét hàm số f (t )  t 3  t 2  với 1  t  2 2 2 f / (t )  3c 2  3c  BBT: 3 t 0 1 2 f /(t) _ 0 + f(t) 13 15
  16. Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số  Suy ra P  f (1)  13  Vậy GTNN P  13 khi a  b  c  1. Thí dụ 4. Cho các số dương x, y, z thỏa x  y  z  1 . 1 1 1 Tìm GTNN của biểu thức P  x  y  z    . x y z Lời giải.  Theo bất đẳng thức Côsi ta có 1  x  y  z  33 xyz 1 1 1 3    x y z 3 xyz 3  Suy ra P  33 xyz  3 xyz 3 1  Xét hàm số f (t )  3t  với 0  t  t 3 3 3  3t 2 f / (t )  3  2  0 t t2 1 x 0 3 _ f /(t) f(t) 10 1  Suy ra P  f (t )  f ( )  10 3 1  Vậy GTNN P  10 khi x  y  z  3 Thí dụ 5. (Khối A 2003) Cho các số đương x, y, z thỏa x  y  z  1 . 1 1 1 Tìm GTNN của biểu thức P  x 2  2  y2  2  z2  2 . x y z Lời giải. 2  1  2 1 1 1  Ta có P  ( x  y  z )       3 (33 xyz ) 2   33 2   x y z  xyz  x yz 2 9 1 1  Xét hàm số f (t )  9t  với 0  t  0t    t 9  3  9 9 9  9t 2 f / (t )  9  2  0 t t2 1 x 0 9 _ f /(t) f(t) 16 82
  17. Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số 1  Suy ra P  f (t )  f ( )  82 9 1  Vậy GTNN P  82 khi x  y  z  . 3 Thí dụ 6. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa a  b  c  3 . Tìm GTLN của biểu thức P  (a 2  ab  b2 )(b2  bc  c 2 )(c 2  ca  a 2 ) . Lời giải.  Giả sử 0  a  b  c  3 a ( a  b )  0 a 2  ab  b 2  b 2  Suy ra   2 a ( a  c)  0  a  ac  c  c 2 2  Do đó P  b 2 c 2 (b 2  bc  c 2 )  b 2 c 2 (b  c) 2  3bc  abc 3  Từ  ta có b  c  a  b  c  b  c  3  2 bc  b  c  3 0  a  b  c  3 9  Suy ra 0  bc  4  Từ đó ta có P  b 2 c 2 (9  3bc) 9  Xét hàm số f (t )  3t 3  9t 2 với 0  t  4 f (t )  9t  18t / 2 9 t 0 2 4 f /(x) 0 + 0 _ 12 f(x)  Suy ra P  f (2)  12  Vậy GTLN P  12 khi a  0; b  1; c  2 và các hoán vị.  Thí dụ 7. Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thuộc 0; 2 . 1 1 1 Tìm GTNN của biểu thức P    . (a  b) (b  c) (c  a) 2 2 2 Lời giải.  Giả sử 0  a  b  c  2  1 1    0ca  2  (c  a ) 2 4  Từ   0  c  b  2  b  1  1  (b  c) 2 ( 2  b) 2 1 1 1  Suy ra P  2   b ( 2  b) 2 4 17
  18. Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số 1 1 1  Xét hàm số f (b)  2   với 0  b  2 b ( 2  b) 2 4 2 2 f / (b)   3  b ( 2  b) 3 b 0 1 2 _ f /(b) 0 0 + f(b) 9 4 9  Suy ra P  f (1)  4 9  Vậy GTNN P  khi a  0; b  1; c  2 và các hoán vị.  4 Thí dụ 8. Cho các số đương x, y thỏa x  y  1. x y Tìm GTNN của biểu thức P   . 1 x 1 y Lời giải. a b  Áp dụng BĐT  a b b a x 1 x  P   x  1 x 1 x x  Xét hàm số f ( x)  x  1  x với 0  x  1 1 1 1 f / ( x)   . f /  x  0  x  2 x 2 1 x 2 1 x 0 1 2 f /(x) 0 + 0 _ 2 f(x) 1  Suy ra P  f ( )  2 2 1  Vậy GTNN P  2 khi x  y  . 2 Thí dụ 9. (Khối B 2006) Cho các số thực thay đổi x, y . Tìm GTNN của biểu thức P  ( x  1)2  y 2  ( x  1)2  y 2  y  2 Lời giải.  Ta có BĐT a 2  b 2  c 2  d 2  (a  c) 2  (b  d ) 2 P  (1  x  x  1) 2  ( y  y) 2  y  2  2 1  y 2  y  2 18
  19. Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số  Xét hàm số f ( y)  2 1  y 2  y  2  Trường hợp y  2  0  y  2 f ( y)  2 1  y 2  y 2y f / ( y)  1 1 y 2 1  f / ( y)  0  y  3  1  Suy ra f ( y)  f    2  3  3  Trường hợp y  2  0  y  2 y -∞ 2 _ f /(y) +∞ f(y) 2+ 3 f ( y)  2 1  y 2  2 1  2 2  2  3 1  Vậy GTNN P  2  3 khi x  0, y  . 3 Thí dụ 10. Cho các số đương x, y, z thỏa x  y  z  3 . 1 2 Tìm GTLN của biểu thức P   . x 2  y 2  z 2  1 ( x  1)( y  1)( z  1) Lời giải.  Áp dụng BĐT côsi, ta có 1 2 1 1 x2  y2  z 2 1  ( x  y 2 )  ( z 2  1)  ( x  y  z  1) 2 2 2 4  x  y  z  3 3 ( x  1)( y  1)( z  1)     3  2 54  Suy ra P   x  y  z  1 ( x  y  z  3) 3  Đặt t  x  y  z  1  1 2 54 P  t (t  2) 3 2 54  Xét hàm số f (t )   với 1  t t (t  2) 3 2 162 f / (t )   2   f / (t )  0  t  1; t  4 t (t  2) 4 t 0 4 +∞ f /(t) + 0 _ 19 1 f(t) 4
  20. Một kỹ thuật tìm GTLN và GTNN của hàm số 1  Suy ra P  f (4)  4 1  Vậy GTLN P  khi x  y  z  1 . 4 x y z Thí dụ 11. Cho các số dương x, y, z . Tìm GTLN của biểu thức P    x2  y 2 y2  z2 z 2  x2 Lời giải. y z x  Đặt a  , b  , c   abc  1 x y z 1 1 1 1  1 1   Suy ra P      2   1 b 1 c2  2 1 a 2 1 b 2 1 c 2 1 a 2 1 2 2 1     2 1 1 a2 1  bc 1 x 1 x 1 1  Đặt t  với 0  t  1 x 2  Xét hàm số f (t )  t 2  2 1  t 2  2t  1 f / (t )  0 t 1 1 t 0 2 f /(t) + 3 f(t) 2 -∞ 1 3  Suy ra P  f ( )  2 2 1  Vậy GTLN P  khi x  y  z  1 . 4 Thí dụ 12. Cho các số dương x, y, z thỏa x  y  z  3 . xy  yz  zx Tìm GTNN của biểu thức P  x 2  y 2  z 2  2 . x y  y2 z  z2 x Lời giải.  Ta có 3(a 2  b 2  c 2 )  (a  b  c)(a 2  b 2  c 2 )  a 3  b 3  c 3  a 2 b  b 2 c  c 2 a  ab 2  bc 2  ca 2 a 3  ab 2  2a 2 b   Mà  b 3  bc 2  2b 2 c  3(a 2  b 2  c 2 )  3(a 2 b  b 2 c  c 2 a)  0  c 3  ca 2  2c 2 a   Đặt t  x 2  y 2  z 2 9  (x2  y 2  z 2 ) 9t  P  x2  y2  z2  t 2( x  y  z ) 2 2 2 2t 1 9  Xét hàm số f (t )  t   với 3  t 2 2t 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2