Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI TRƯỜNG THPT SỐ 2 TP LÀO CAI
CHUYÊN ĐỀ :
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG GIẢI BÀI TOÁN ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH
Người viết : Phạm Hồng Lan Tổ: Toán - Tin Trường: THPT số 2 TP Lào Cai
Lào Cai, tháng 11 năm 2010
1
Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai
Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích
PHẦN MỞ ĐẦU
-Như ta đã biết, chuyên đề về bất đẳng thức, phương trình, bất phương
I. Lí do chọn đề tài
trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình chiếm một lượng khá lớn trong
chương trình phổ thông ( Đại số, lượng giác, ….). Tuy nhiên trong số các bài
tập đó có một lượng lớn bài tập mà ta không thể giải được bằng phương
pháp thông thường hoặc có thể giải được nhưng gặp rất nhiều khó khăn và
phức tạp.
- Ta đã biết giữa PT, BPT, HPT, HBPT và hàm số có mối liên quan rất
chặt chẽ. Khi định nghĩa PT, BPT, ta cũng dựa trên khái niệm hàm số, nếu ta
biết sử dụng hàm số để giải các bài tập đó thì bài toán sẽ đơn giản hơn. Tuy
nhiên không phải bài nào cũng có thể sử dụng hàm số để giải nhưng ứng
dụng đạo hàm của hàm số để giải là rất lớn, chính vì vậy tôi chọn đề tài sáng
kiến kinh nghiệm là: "Sử dụng phương pháp hàm số trong giải bài toán đại
số ".
II. Mục tiêu đề tài
- Trang bị cho học sinh thêm một phương pháp hữu hiệu để giải các bài
toán: Chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình,
hệ phương trình, hệ bất phương trình
- Cung cấp thêm phương pháp cho học sinh và giáo viên trong dạy và
học toán.
III. Giả thuyết khoa học Nêu hệ thống hoá các kiến thức liên quan cùng
với việc đưa ra phương pháp cùng ví dụ minh họa cụ thể thì sẽ giúp học sinh
2
có thêm 1 phương pháp hay khi tìm lời giải những bài toán đại số.
Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai
Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích
IV. Biện pháp thực hiện.
- Nghiên cứu các tài liêụ, các sách tham khảo, đề thi đại học, cao đẳng,
các đề dự bị đại học, đề thi thử đại học của các trường…
- Giới thiệu khoảng 6 tiết cho học sinh lớp 12 và học sinh ôn thi đại học
V. Nội dung
I . Kiến thức cơ bản
II. Phương pháp. hàm số biện luận phương trình, bất phương trình
III. Các bài toán minh họa phương pháp hàm số
IV. Bài tập tự luyện
a b ,
x
∀ < ∈
(
)
( f x
)
)
( f x 1
2
2
a b ,
x
>
NỘI DUNG
(
< )
( f x
)
( f x 1
2
2
ta có ) ta có
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. y = f (x) đồng biến / (a, b) ⇔ x 1 2. y = f (x) nghịch biến / (a, b) ⇔ x ∀ < ∈ 1 3. y = f (x) đồng biến / (a, b) ⇔ ƒ′(x) ≥ 0 ∀x∈(a, b) đồng thời ƒ′(x) = 0 tại
một số hữu hạn điểm ∈ (a, b).
4. y = f (x) nghịch biến / (a, b) ⇔ ƒ′(x) ≤ 0 ∀x∈(a, b) đồng thời ƒ′(x) = 0 tại
x
f
( ) x′
một số hữu hạn điểm ∈ (a, b).
x = ⇔ k
x
x
− ε
+ ε
j
j
j
x
x
x
+ ε
− ε
đổi dấu tại điểm
i
i
x i
a x b
3
5. Cực trị hàm số: Hàm số đạt cực trị tại điểm kx
Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai
Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích
x
,
( a b∈
)
x 1,...,
n
)
( ) f x
Max
,...,
,
( f a
,
f
;
=
. 6. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số • Giả sử y = ƒ(x) liên tục trên [a, b] đồng thời đạt cực trị tại
)
( f x
)
( f x 1
n
} ( ) b
)
Max ] [ x a b , ∈ ( ) f x
M in
,...,
,
( f a
,
f
=
)
( f x
)
{ ( f x 1
n
{
} b ( )
M in [ ] x a b , ∈
)
)
( ) f x
( f a
( ) f x
( f b
=
=
Khi đó:
Min ] [ x a b , ∈
; Max [ ] x a b , ∈
)
( ) f x
( ) f b
( ) f x
( f a
=
=
• Nếu y = f (x) đồng biến / [a, b] thì
Min [ ] x a b , ∈
; Max [ ] x a b , ∈
( ) f x
[
];a b
x= α + β trên đoạn
• Nếu y = f (x) nghịch biến / [a, b] thì
đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ • Hàm bậc nhất
4
nhất tại các đầu mút a; b
Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai
Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích
II. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
( ) y u x
y
( ) v x
=
=
1. Nghiệm của phương trình u(x) = v(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị
với đồ thị .
2. Nghiệm của bất phương trình u(x) ≥ v(x) là u(x)
( ) y u x
=
phần hoành độ tương ứng với phần
y
( ) v x
=
v(x) đồ thị nằm ở phía trên
α
β b
. so với phần đồ thị a x
3. Nghiệm của bất phương trình u(x) ≤ v(x) là
( ) y u x
y
( ) v x
=
=
phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị
nằm ở phía dưới so với phần đồ thị .
( ) y u x
=
4. Nghiệm của phương trình u(x) = m là hoành độ
( ) u x m
≥
. giao điểm của đường thẳng y = m với đồ thị
Min I x ∈
5. BPT u(x) ≥ m đúng ∀x∈I ⇔
( ) u x m
≤
y =
Max I x ∈
( ) u x m
≥
6. BPT u(x) ≤ m đúng ∀x∈I ⇔
Max x I ∈
( ) u x m
≤
7. BPT u(x) ≥ m có nghiệm x∈I ⇔ a x b
Min I x ∈
5
8. BPT u(x) ≤ m có nghiệm x∈I ⇔
Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai
Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích
2
( )
mx
2
3
f x mx =
+
−
]1;3−
2
2
( )
)
2
2
mx
( m x
x
( ) g x
m
f x mx =
+
3 0 − = ⇔
+
3 = ⇔
=
=
=
III. CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Bài 1. Cho hàm số a. Tìm m để phương trình ƒ(x) = 0 có nghiệm x∈[1; 2] b. Tìm m để bất phương trình ƒ(x) ≤ 0 nghiệm đúng ∀x∈[1; 4] c. Tìm m để bất phương trình ƒ(x) ≥ 0 có nghiệm x∈[ Giải: a. Biến đổi phương trình ƒ(x) = 0 ta có:
2
2
2
x
x
3 +
(
x
+
( ) g x m
( ) g x
≤
≤
1
≤
3 ) 1
.
Min [ ] x 1;2 ∈
2
2
( )
)
2
mx
3
2
x
Max [ ] x 1;2 ∈ ( m x
f x mx =
+
+
Để ƒ(x) = 0 có nghiệm x∈[1; 2] thì
− ≤ ⇔ 0
1 − 3 m⇔ ≤ 8 ≤ ⇔ 3
( ) g x m
⇔
≥
( ) g x
, m x
=
≥
∀ ∈
b. Ta có ∀x∈[1; 4] thì
[ 1; 4
]
2
M in [ ] x 1;4 ∈
x
2
x
3 +
( ) g x
( ) 4
( ) g x
g
m
=
=
.
Min [ ] x 1;4 ∈
1 = ≥ 8
(
x
+
2
2
( )
)
2
mx
3
( m x
3
f x mx =
+
x+ 2
≥
Do giảm trên [1; 4] nên ycbt ⇔
thì .
3 ) 2 1 1 − ]1;3− c. Ta có với x∈ [
− ≥ ⇔ 0
( ) g x
,
x
=
∈
[
]3− 1;
2
x
2
3 +
.0 0 3
x =
( ) g x m≤
x ∈
x ∈
⇔
≤
Đặt . Xét các khả năng sau đây:
m = ≥ (
x thì bất phương trình trở thành 0 ]0;3 (
]0;3
] 0;3
( ) g x
=
g
m
( ) 3
⇔
=
+ Nếu + Nếu thì BPT ⇔ có nghiệm nên vô nghiệm. . ( ) Min g x m ( x ∈
]0; 3
( ) Min g x ] ( x 0;3 ∈
1 = ≤ 5
2
( ) g x m
⇔
≥
x
x+ 2
< 0
Do nên ycbt giảm / (
3 ) 2 1 1 x − + thì )1; 0
)1; 0
( [ x ∈ −
[ x ∈ −
( ) ′ g x
0,
x
1; 0
⇔
≥
−
=
≤ ∀ ∈
có nghiệm + Nếu
[
]
1;0
2
)
( ) Max g x m [ −
) 2 2 )
x
x
(
( ) g x
g
3
) 1
m
=
− = − ≥
2 + nghịch biến nên ta có
. Ta có . nên BPT ( x 3 2 + − (
1;0
( ) Max g x [ ) −
m
;
U
+∞
]1;3−
Do đó
( ⇔ ∈ −∞ −
] ; 3
Kết luận: ƒ(x) ≥ 0 có nghiệm x∈[
)
1 5
⎡ ⎢⎣
6
Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai
Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích
3
x
mx 3
−
+
2 − <
1 3
− x
3
2
,
mx 3
x
m x 3
2,
x
( ) f x
−
+
⇔
<
−
1 + ∀ ≥ ⇔ <
=
x ∀ ≥
Bài 2. Tìm m để bất phương trình: nghiệm đúng ∀x ≥ 1
1.
2 x
1 3 x
′
( ) f x
f
( ) x
2
x
2 2
x
=
+
−
≥
−
=
>
0 suy ra
Giải: BPT
1 4 x 2 − 2
4 5 x
2 2 x
4 5 x
2 2 x
4 2 x
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
( ) f x
( ) f x
f
m x 3 ,
( ) 1
2 3
⇔
>
∀ ≥ ⇔
=
m = > ⇔ >
m
tăng. Ta có
x
1 min 1 ≥
2 3
x
x
2
+
(
m
.4
m
) 1 .2
m
1 0
x∀ ∈ ¡
+
−
+
x
x
2
+
(
.4
m
) 1 .2
m
+
−
− >
0
t =
>
− > đúng
+ 2
2 x ) t 1 .
0,
m
0
( m t
1 0 ) 1
t 4
YCBT
t > ∀ > ⇔
+
−
+
+
+
x∀ ∈ ¡ + ∀ > t 0
2
t 4
−
( ) g t
m
t
0
( ) ′ g t
0
⇔
=
, < ∀ >
=
<
Bài 3. Tìm m để bất phương trình Giải: Đặt 2 ( m t . 4 ⇔ thì m ) ( m 1 − đúng t 4 1, >
( )g t nghịch biến
2
2
− 2
1
+ 4 t
t
4 t +
1 +
t 4
t 2 ) 1
t
+
0; +∞
g
( ( ) 0
m
=
1 = ≤
)
. Ta có nên
+
( ) Max g t 0 t
≥
(
)
x x
x
12
m
5
4
x
+
+
=
x − +
−
trên [ suy ra ycbt ⇔
có nghiệm.
x
( ) f x
m
=
⇔
=
0
x≤ ≤ 4
Bài 4. Tìm m để phương trình:
+ 4
+ x − +
12 x −
f
( ) x′
. Giải: Điều kiện . Biến đổi PT
12
0
( ) g x
( ) ′ g x
x x
x
x
=
0 > ⇒
+
+
=
+
>
Chú ý: Nếu tính
x x 5 rồi xét dấu thì thao tác rất phức tạp, dễ nhầm lẫn. 3 2
12
2
( ) h x
5
4
x
0
( ) ′ h x
=
x − +
=
− > ⇒
−
<
0
1 x + 1 2 4
−
( ) 0
g x >
( ) h x
0
>
Thủ thuật: Đặt
x và tăng
1 − x 2 5 − 1 > 0 và giảm hay ( ) h x
f x m=
⇒
( ) f x
=
và tăng; Suy ra:
( ) g x ( ) h x
(
( ) f x
( ) f x
f
( ) 0 ;
f
( ) 4
2
15
) 12 ;12
m ⇔ ∈
=
=
−
[
]
⎡ ⎣
⎤ ⎦
min [ ] 0;4
; max [ ] 0;4
⎡ ⎣
⎤ ⎦
3
3
x
23 x
( m x
x
+
1 − ≤
−
− ) 1
tăng. Suy ra ( ) có nghiệm
) 3
x
x
1
0
1x ≥
+
−
có nghiệm.
> ta nhận được
3
(
( . Nhân cả hai vế BPT với ) 3
( ) f x
)( 1
1
x
x
x
=
+
−
−
≤
Bài 5. Tìm m để bất phương trình: Giải: Điều kiện
m .
3
23 x (
+ ) 3
( ) g x
x
23 x
1 ;
( ) h x
x
1
x
=
+
−
=
+
bất phương trình
2
1
− (
) 2
( ) ′ g x
3
x
6
x
0,
x
1;
( ) ′ h x
3
x
x
1
=
+
> ∀ ≥
=
+
−
+
>
Đặt
0 .
x
2 ( )
( ) 0
⎛ ⎜ 2 ⎝ ( ) f x
1 x − ( ) g x h x .
g x >
=
1x∀ ≥
( ) 0
h x >
Ta có
⎞ ⎟ 1 ⎠ tăng
7
Do và tăng ; và tăng nên 1x∀ ≥
Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai
Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích
( )
f x m≤
( ) f x
f
( ) 1
m
⇔
=
3 = ≤
min 1 x ≥
2
(
) (
)
4
x
6
x
x
2
+
−
≤
−
x m +
[ x∀ ∈ −
]4, 6
Khi đó bất phương trình có nghiệm
2
(
) (
)
2
x
4
x
6
x
⇔
+
+
+
−
[ x∀ ∈ −
]4, 6
nghiệm đúng
)
′
f
( ) x
x
x
x
1
( 1
2
0
2 = −
2 + +
=
−
+
= ⇔ =
(
)
)
(
= − x + ) ( x
x
x
x 2 6
2
6
4
( ) f x 2 − 4 +
−
−
+
≤ m đúng 1 ⎞ ⎟ ) ( x ⎠
⎛ ⎜ ⎝
f
( ) 1
m
=
6 = ≤
Bài 6. Tìm m để Cách 1. BPT
4,6
( ) Max f x [ ] −
(
)
(
)
4
x
6
x
+
−
(
) (
)
5
t
4
x
6
x
=
+
−
≤
=
Lập bảng biến thiên suy ra Max
+ 2
2
2
2
2
x 24,
( ) t
0;5
24
Cách 2. Đặt .
t + −
]
′
f
( ) t
f
( ) 5
m
=
6 = ≤
f
1 0
f
f
( ) t m t
. Khi đó bất phương trình trở thành ⇔ . Ta có:
; ≤ ∀ ∈
⇔
[ m t ; ≤ ∀ ∈ ] [ 0;5
2 4 2 x = − + + ] [ m 0; 5 t f t + ∀ ∈ = t tăng nên + > ⇒ ( )
max [ ] 0;5
2
2
x
3
6
x
x
m
m
x + +
x − −
18 3 +
−
≤
−
+ 1
Ta có t t t + ≤ − ( ) 2 t t =
[
]3, 6 −
2
2
(
) (
)
3
t
t
3
6
2
3
x
6
x
x + +
=
=
−
+
−
2
6 (
− > 0 x ) (
( (
x + + ( )
x )
2
3
t
6
x
x
6
x
18
9 = +
≤
+
đúng ∀ ∈
+
) =
−
2
2
)
(
) (
3 (
x
t
+ ) 9 ;
t
3;3 2
18 3
x
x
3
x
6
=
−
⇒ +
−
=
+
−
⎡ ∈ ⎣
9 = + ⎦ ⎤
9 ≤ + 1 2
2
′
f
( ) t
t
f ;
( ) t
0;
1
t
t
3; 3 2
f
( ) t
f
( ) 3
3
= −
t + +
= − < ∀ ∈
⇒
=
=
⇒ ) x − Bài 7. Tìm m để Giải: Đặt ⇒ 9
⎡ ⎣
⎤ ⎦
9 2
1 2
max ⎤ ⎡ 3;3 2 ⎦ ⎣
2
2
f
( ) t
m
m
m
1
m
2 0
m
⇔
3 = ≤
−
+ ⇔ −
− ≥ ⇔ ≤ −
≥ 1 V m 2
Xét
max ⎤ ⎡ 3;3 2 ⎦ ⎣
4
2
m x
1
3
x
2
x
1
+
−
1 + =
− có nghiệm thực.
1x ≥
4
1 3
m
2
3 ⇔ −
+
=
ycbt
1 1
x x
− +
( ) g t′
. t 0 1 Bài 8. (Đề TSĐH khối A, 2007) Tìm m để phương trình Giải: ĐK: 1 1 , biến đổi phương trình x − x +
4
4
u
1
=
=
−
∈
,1 . ) 0
[
1 1
1 3
( )g t
23 t
x − x + ( ) g t
= −
+
+ 0 – Đặt
2 x 1 + = m t 2
8
Khi đó 0 – 1
Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai
Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích
( ) ′ g t
t 6
t
1
m
2 0 = − + = ⇔ =
⇔ − <
≤
1 3
1 3
0m >
Ta có . Do đó yêu cầu
2
)
x
x
( m x
2
2
+
8 − =
−
, phương
+∞
x ≥
( ) g x′
x 2 . 2 +
) (
)
( m x
x
2
6
( x ⇔ −
+
− 2
=
g x ( )
+∞
2
2
)
(
)
x
( m x
2
6
( x ⇔ −
+
=
−
2
3
3
2
(
)
2 )
)(
2
x
x
0
m
32
2 V g x
6
x
x
32
−
−
= ⇔ =
=
+
( ) g x m
2; +∞
⇔
(
Bài 9. (Đề TSĐH khối B, 2007): Chứng minh rằng: Với mọi trình luôn có đúng hai nghiệm phân biệt. Giải: Điều kiện: Biến đổi phương trình ta có: ) 0 )
)
( x ⇔ − ycbt ( ) ′ g x
( ) g x
0,
4
x
( ) g x
3
( x x
=
+
6 x + − = có đúng một nghiệm thuộc khoảng đồng biến mà
> ∀ > 2 . Do đó
= m . ) liên tục và
( )
2; +∞
g
( ) 2
( ) g x
=
(
)
= +∞ nên
. Thật vậy ta có:
g x m= có đúng một nghiệm ∈
0; lim x →+∞
2
)
0m∀ >
x
x
( m x
2
2
+
8 − =
−
.
có hai nghiệm phân biệt. , phương trình
9
Vậy
Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai
2
x
2
x
4 2 6
2 6
x
biệt: 4
+
+
x − +
− = m
4
Bài 10. (Đề TSĐH khối A, 2008) Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân
Giải: Đặt
( ) f x
2
x
2
x
4 2 6
2 6
x
x
0; 6
=
+
+
x − +
−
∈
;
[
]
1
1
′
f
( ) x
0;
=
+
−
∈
−
Ta có:
x ,
(
) 6
3
3
4
4
1 2
x
x
1 2
1 6 −
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
(
)
(
)
x
x
2
6
−
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
1
1
Đặt
( ) u x
( ) v x
;
=
−
=
−
∈
, x
(
) , 6 0
3
3
4
4
x
x
1 2
1 6 −
(
)
(
)
x
x
2
6
−
( )
x ( ) 0,
x
0, 2
> ∀ ∈
0,
0, 2
x
> ∀ ∈
(
)
0
x ( ) 0,
x
2, 6
⇒
=
=
< ∀ ∈
( (
) )
( ) 2 ( )
(2) 0 =
0,
x
, 6 2
< ∀ ∈
(
)
′⎧ f ⎪ ′⇒ f ⎨ ⎪ ′ f ⎩
( ) ⎧ , u x v x ⎪ ( ) v 2 u ⎨ ⎪ ( ) u x v x , ⎩
f
( ) x′
0 2 6 x
3 2
+ 0 –
6+
4 2 6
+
4 12
2 3
+
2 6
2 6
4 2 6
m
3 2
+
≤
<
+ 6
f(x)
5
y + +
=
1 y
1 x
Nhìn BBT ta có PT có 2 nghiệm phân biệt ⇔ Bài 11. (Đề TSĐH khối D, 2007):
3
3
15
10
x
y
m
+
+
+
=
−
1 3 x
1 3 y
⎧ + x ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪⎩
3
3
x
x
x
x
u
;
v
3
u 3
x = +
y = +
+
=
+
−
⋅
+
u = −
Tìm m để hệ phương trình có nghiệm
)
)
(
(
1 x
1 x
1 x
1 x
1 y
1 3 x
u
x
x
2
x
.
2 ;
v
y
2
y
.
=
+
=
+
≥
=
=
+
≥
ta có Giải: Đặt
= 2
1 x
1 x
1 x
1 y
1 y
5
v + =
5
⇔
và
3
3
(
)
m
v + = 8 = −
v
3
u
v
15
m
10
+
−
+
=
−
u ⎧ ⎨ uv ⎩
u ⎧ ⎪ ⎨ u ⎪ ⎩
2
f
( ) t
t
t 5
8
, v
=
−
Khi đó hệ trở thành
+ = m
là nghiệm của phương trình bậc hai ⇔ u
Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích
f
⇔
( ) t m =
t
2;
t
≥
≥ . 2
t 2,t 1
1
2
f
Hệ có nghiệm có 2 nghiệm thỏa mãn
t với
t ≥ 2
Lập Bảng biến thiên của hàm số ( )
−∞
– 2 2 5/2 + ∞ t
–
–
+
f
( ) t′
f
t + ∞ ( )
0
+ ∞
22
2
≤
∨
m 22 ≥
2 7/4
2
cos
sin
2
x
x
y
1 0
y∀ ∈ ¡
+
+
+ ≥ đúng với
Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm
.
7 m⇔ ≤ 4 Bài 12. (Đề 1I.2 Bộ đề TSĐH 1987-2001): Tìm x để bất phương trình ) y
(
u
sin
y
2, 2
y
=
+
(
cos (
⎡ ∈ −⎣ ) 2 1
x
( ) g u
2
) x u
0,
2, 2
( ) g u
+
+
⇔
=
u ≥ ∀ ∈ −
⇔
≥
Giải: Đặt
0
⎦ , ⎤ ⎡ ⎣
⎤ ⎦
2 , 2
Min ⎡ u ∈ −⎣
⎤ ⎦
y
( ) g u
=
u
2, 2
BPT
⎡ ∈ −⎣
⎦ nên ⎤
2
)
0
g
x
2 2
x
1 0
x
2
1
≥
−
−
+ ≥
≥
+
⇔
⇔
( ) g u
≥ 0
2
2 , 2
Min ⎡ u ∈ −⎣
⎤ ⎦
x
2 2
x
1 0
x
+
+ ≥
≤
2 1 −
( (
2 )
g
2
0
≥
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
⎡ ⇔ ⎢ ⎢ ⎣
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
2
2
2
b
c
abc
+
+
+
≥ 4
Do đồ thị là một đoạn thẳng với
0 c
3
, , a b c ≥ b a + + =
⎧ ⎨ ⎩
2
2
2
2
(
)
(
)
(
)
a
b
c
abc
a
a
a
2 bc
4
3
2
+
−
+
≥ ⇔ +
−
+
−
bc 4 ≥
Bài 13. Cho Chứng minh rằng: a
2
2
2
b
c
(
)
(
)
( ) f u
a
u
a
a
bc
a
2
2
6
5
0
0
3
⇔
=
−
+
−
u ≤ =
≤
=
−
+ ≥ trong đó
Giải: BĐT ⇔ +
.
)
1 4
(
) 2
y
( ) f u
=
u
a
3
∈
−
. Ta có Như thế đồ thị
( + 2 10; 4
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
2
2
2
2
(
(
)
(
)
a
a
f
a
a
a
a
f
) 1
2
( ) 0
2
6
5 2
0;
3
−
+
=
−
+ =
−
−
=
≥ 0
(
1 + ≥ 2
1 4
) 2
(
( ) 0;
f u ≥
a
3
u ∀ ∈
−
1 4 .
⎤ ⎥ ⎦
2
2
2
a
abc
4
b
c
1
a
c
+
+
+
⇔ = = = . b
3 2 ⎡ ⎢ ⎣ . Đẳng thức xảy ra
nên suy ra là một đoạn thẳng với ) ) ( 10; 4
2
Vậy ≥ Bài 14. (IMO 25 – Tiệp Khắc 1984):
Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai
Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích
ca
2
abc
ab bc +
+
−
≤
7 27
0 c
1
, , a b c ≥ b a + + =
⎧ ⎨ ⎩
(
)
)
)
)
)
a b c
a bc a
( 1
a
a bc a
( 1
a
) a u
( ) f u
+
+
( 1 2 −
=
−
+
( 1 2 −
=
−
+
( 1 2 −
=
Cho . Chứng minh rằng: .
2
) 2
( 1
b
c
y
( ) f u
) a u
a
( 1
=
=
( 1 2 −
+
0
bc
u ≤ =
≤
=
− a với )
Giải:
)
(
+ 2
a − 4
a
a
)
f
( ) 0
a
( 1
a
=
−
≤
là một đoạn thẳng Đồ thị
( 1 + − 2
1 = < 4
7 27
⎡ ⎢ ⎣
) 2 ⎤ ⎥ ⎦
2
2
3
)
(
a
a
f
a
a
a
2
( 1
) 1
=
−
+
≤
−
+
+
=
−
2 −
)
và với 2 giá trị đầu mút
(
)(
7 27
7 27
1 4
1 3
1 4
1 4
) 2
y
( ) f u
=
f
( ) 0
u
a
<
( 1
∈
−
là một đoạn thẳng với và ;
) 2 1 3 10; 4
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
)
f
a−
≤
a
b
c
7 27 ⇔ = = =
( ) f u ≤
)2
1 1 ( 4
7 27
1 3
(
)
(
)
2
a b c
ca
,
0, 2
+
+
−
ab bc +
+
4, ≤ ∀
a b c ∈ ,
[
]
. Đẳng thức xảy ra nên
( Do đồ thị ( 7 7 2 Bài 15. Chứng minh rằng:
(
)
(
)
)
b c a
2
2
4, ≤ ∀
− −
b c +
+
[
)
)
( f a
y
a ∈
=
( ) 0 ;
Max
( f a
f
f
≤
] 0, 2 ]0, 2 [
bc , a b c , − là một đoạn thẳng với
.
} ( ) 2
{
)
(
) (
)
f
c
b
2
2
4;
bc
( ) 0
( ) 2
( f a
a b c , ,
≤
−
−
4 = −
4 ≤ ⇒
4, ≤ ∀
)
b
a
) ( 1
) ( 1
a b c d
a b c d ,
) ( 1
1,
d
c
,
,
−
−
+ + + + ≥ ∀
−
−
[ ] 0, 2 ∈ ] [ ∈ 1 0,
)
b c d
b
c
c
) ( 1
) ( 1
( 1
,
( 1 + −
∈
−
)
+ + + ≥ ∀ )
b = − − ( f a
0,
y
,
a ∀ ∈
=
1, ( f a
f
nên Giải: Biến đổi bất đẳng thức về hàm bậc nhất biến số a, tham số b, c ta có ( f a ∈ = Đồ thị
Min
=
) ( 1 [
] ) ) ( 1 d a − − ]1 là một đoạn thẳng nên
, , a b c d {
} ( ) 1
Min [ ] a ∈ 0,1
f
( ) 1
1 1,
b c d , ,
)
c
b
c
] ) d b
b c d ) ( 1
) ( 1
( 1
) ( 1
−
−
( 1 + − ( )
y
= + + + ≥ ∀ )( 1 c − ( ) g b
0,
,
b ∀ ∈
=
) d [
[ ] 0,1 ( ) 0 , f Ta có f 4 = − Bài 16. CMR: ( 1 Giải: Biểu diễn bất đẳng thức về hàm bậc nhất biến số a, tham số b, c, d, ta có: [ ( ) 1 f a d − Đồ thị
] [ ∈ 0,1 [ ( ) 1 b c d g b − + + + ⇔ = − − ]1 là một đoạn thẳng nên
d { g b Min g =
+ + d c } ( ) ( ) 1 0 , g
Min [ ] b ∈ 0,1
)
g
( ) 1
c d
c d
cd
= + + ≥
+ + = +
≥1
f
( ) 0
d − ) 1
( ) g b
1,
b
≥ ∀ ∈
=
1 1; [
( ) ( 0 g 1 c = − ]0,1 . Vậy
) ( 1 1 f a ≥ hay ta có (đpcm) (
Ta có ( ( ) 1 0 f = − Đồ thị
Ta có ⇒ Để giải các bài toán dạng trên có bài ta giải được bằng nhiều phương pháp
khác nhau , cũng có bài chỉ có thể giải được bằng phương pháp sử dụng tính đơn
điệu của hàm số.Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải toán là một phương
pháp hay. Để sử dụng phương pháp này,điều cốt yếu là chúng ta cần xây dựng
một hàm số thích hợp ,rồi nghiên cứu tính đồng biến ,nghịch biến của nó trên
đoạn thích hợp.Các hàm số ấy trong nhiều trường hợp có thể nhận tra ngay từ
3
đầu ,còn trong các trường hợp đặc biệt ta cần khôn khéo để phát hiện ra chúng .
Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai
Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích
IV. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
)3x( +
log 52
2
x1 = 2
x21 − 2
x
x
2
2
−
Bài 1: Giải các phương trình và bất phương trình sau: = x a. b. 2log3(tgx) = log2(sinx)
1 x
1 −= 2
x 2
3 + 1
cos
c.
1x
1m1x
+−
≤+
2 +
d. 2x = 2x = e. 3 x
2
2
2
sin
x
cos
x
sin
x
3
3.m
+
=
Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm
2 Bài 4: Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈R:
2
2
cos
x
cos
x
2.2
4)1m −
+
+
m
)3x(4)1x)(3x( ++
−
−
=
( 01m >+
1x + 3x −
Bài 5: Cho phương trình:
a. Giải phương trình với m = 3 b. Tìm m để phương trình có nghiệm c. Tìm m để phương trình có nghiệm x
)∞+
[ ∈ ;4 ]5;4∈ [
2
2
2x2
x
−
x2
x
x2
x
−
−
9.m
4.m
−
6).1m2( +
+
≥
d. Tìm m để phương trình có nghiệm x
Bài 6: Cho bất phương trình: 0
1 x ≥ 2
log
)8x4( −
2
x(
)2
m x.(2
)2
−
=
−
Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thoả mãn
3
x
x
4
≤
≤
≤
Bài 7: Cho phương trình: a. Giải PT khi m = 2
1
2
5 2
4
b. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thoả mãn:
Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai
Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích
KẾT LUẬN
Xuất phát từ mục đích, nhiệm vụ của đề tài, bản đề tài SKKN đã đề cập đến
nhứng vấn đề chính sau :
- Cung cấp các kiến thức cơ bản liên quan đến phương pháp
- Đưa ra các ví dụ minh họa tương ứng
- Bài tập áp dụng
Sau khi được rèn luyện hệ thống kiến thức trên,các em học sinh đã mạnh
dạn hơn ,linh hoạt hơn trong việc dùng sử dụng phương pháp hàm số để giải
toán .Cái hay của cách giải này là sử dụng linh hoạt tính đơn điệu của hàm số để
chứng minh bất đẳng thức ,giải phương trình, giải bất phương trình, giải hệ
phương trình .
- Tránh được việc biện luận theo tham số ở một số bài toán hết sức phức tạp.
- Tránh phải xét nhiều trường hợp ở một số bài toán.
- Tránh việc bình phương hai vế dễ dẫn đến sai sót ,thừa nghiệm và tránh việc
giải phương trình bậc cao.
Trên đây là một số ứng dụng mà theo tôi là hay gặp trong khi giải phương
trình và bất phương trình. Rất mong các thầy cô và các đồng chí góp ý để bài
viết được hoàn thiện hơn.
5
Xác nhận của nhà trường Người viết
Phạm Hồng Lan- Trường THPT số 2TP Lào Cai
Ứng dụng đạo hàm trong giải bài toán Đại Số& giải tích
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Phạm Hồng Lan
1. Sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản.
2. Sách bài tập giải tích 12 cơ bản.
3. Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao.
4. Sách bài tập giải tích 12 nâng cao.
5. Báo Toán học và tuổi trẻ
6. Đề thi Đại học từ năm 2002-2010
6
7. Đề dự bị Đại học từ năm 2002-2009
![Tài liệu tham khảo Tiếng Anh lớp 8 [mới nhất/hay nhất/chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250806/anhvan.knndl.htc@gmail.com/135x160/54311754535084.jpg)
![Phiếu bài tập cuối tuần Tiếng Việt 1 tuần 2 đề 2: [Hướng dẫn chi tiết]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250728/thanhha01/135x160/42951755577464.jpg)
