Chuyên đề luyện thi đại học năm 2016 ThS: Đỗ Viết Tuân

Vấn đề 4: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

I. Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng:

Dạng 1: Áp dụng trực tiếp công thức

Phương pháp: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường với

là

Ví dụ 1: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

Bài 1: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

a) b)

c) d)

e) f) và

g) Parabol tiếp tuyến tại đỉnh của Parabol và trục tung.

h) và tiếp tuyến với đường cong tại điểm có hoành độ

i) sin

k)

l)

Dạng 2: Dựa vào đồ thị để tính diện tích hình phẳng Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

Bài 2: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

a) và các tiếp tuyến với đường cong xuất phát từ điểm M ( ;-1)

b)

c) d)

e) f)

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi m thì đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng

tại hai điểm phân biệt. Tìm m để phần diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường

trên là nhỏ nhất

Page 1 Trung tâm bồi dưỡng văn hóa EDUFLY -0987708400

ThS: Đỗ Viết Tuân

Chuyên đề luyện thi đại học năm 2016 Bài 4: Xét hàm số trên đoạn . Giả sử m là một giá trị bất kì thuộc . Gọi S1 là

diện tích giới hạn bởi các đường , và , S2 là diện tích giới hạn bởi các đường

và . CMR với mọi giá trị của ta đều có .

II. Thể tích tròn xoay Dạng 1: Tính thể tích tròn xoay quanh trục Ox

Phương pháp: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường với

Khi hình phẳng này quay xung quanh Ox sẽ tạo ra một vật thể tròn xoay có thể tích là

.

Ví dụ 3: Tính thể tích khối trong xoay giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh trục Ox

Ví dụ 4: Tính thể tích tròn xoay sinh bởi các đường sau khi quay quanh Ox:

và

Bài 5: Tính thể tích tròn xoay giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh 0x

a) ln , sin , b)

d) c)

f) . e)

Bài 6: Cho parabol (P): y = x2. Gọi (d) là tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2. Gọi (H) là hình giới hạn bởi (P), (d) và trục hoành. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (H)

khi quay quanh trục Ox. Dạng 2: Tính thể tích tròn xoay quanh trục Oy

Phương pháp: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = a, y = b, x = 0, x = g(y) với

Khi hình phẳng này quay xung quanh Oy sẽ tạo ra một vật thể tròn xoay có thể tích

là

Bài 7: Tính thể tích tròn xoay giới hạn bởi các đường Khi quay quanh

a) 0x b) 0y

Bài 8: Tính thể tích tròn xoay của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau khi quay quanh 0y

a) ; b) ;

c) .

Page 2 Trung tâm bồi dưỡng văn hóa EDUFLY -0987708400