Xây dựng trường định chuẩn cho đơn cực SO(8) trong không gian trực giao chín chiều

TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Phan Ngọc Hưng và tgk<br /> _____________________________________________________________________________________________________________<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> XÂY DỰNG TRƯỜNG ĐỊNH CHUẨN CHO ĐƠN CỰC SO(8)<br /> TRONG KHÔNG GIAN TRỰC GIAO CHÍN CHIỀU<br /> PHAN NGỌC HƯNG*, THỚI NGỌC TUẤN QUỐC**<br /> <br /> TÓM TẮT<br /> Bằng cách mở rộng thừa số pha trong không gian chín chiều trực giao, chúng tôi xây<br /> dựng trường định chuẩn cho đơn cực SO(8) và chứng tỏ đơn cực này đáp ứng hai điều<br /> kiện Dirac.<br /> Từ khóa: trường định chuẩn, đơn cực SO(8), không gian 9 chiều.<br /> ABSTRACT<br /> Developing gauge field for so(8) monopole in orthogonal nine-dimensional space<br /> By generalizing the phase factor in orthogonal nine-dimensional space, the<br /> researchers constructed gauge field for SO(8) monopole, and proved that monopole satisfy<br /> two Dirac conditions.<br /> Keywords: gauge field, SO(8) monopole, nine-dimensional space.<br /> <br /> 1. Mở đầu<br /> Khái niệm đơn cực từ lần đầu tiên được Dirac đưa ra năm 1931 trong nỗ lực đối<br /> xứng hóa hệ phương trình Maxwell, theo đó, tồn tại một “đơn cực từ” đóng vai trò là<br /> nguồn sinh từ trường [1]. Dirac đưa ra hai điều kiện cho đơn cực từ (hai điều kiện<br /> Dirac):<br /> i. Trường đơn cực phải có tính đối xứng cầu đối với miền không gian xung quanh<br /> đơn cực.<br /> ii. Thông lượng từ trường gửi qua một mặt kín bất kì bao quanh đơn cực phải khác<br /> không.<br /> Sau sự xuất hiện của đơn cực từ Dirac, nhiều mô hình đơn cực khác được xây<br /> dựng trong các không gian với số chiều khác nhau, trong đó có đơn cực Yang được xây<br /> dựng trong không gian trực giao 5 chiều [3], [4]. Mô hình đơn cực SU(2) của Yang là<br /> sự mở rộng trực tiếp của mô hình đơn cực U(1) của Dirac, dựa trên việc mở rộng khái<br /> niệm thừa số pha cho không gian 5 chiều.<br /> Ở một cách tiếp cận khác, khi nghiên cứu về sự liên hệ giữa bài toán dao động tử<br /> điều hòa 16 chiều và bài toán Coulomb 9 chiều, nhóm tác giả Lê Văn Hoàng đề xuất<br /> phép biến đổi Hurwitz mở rộng để biến đổi giữa hai bài toán này và nhận thấy phép<br /> biến đổi từ bài toán dao động tử điều hòa 16 chiều về bài toán Coulomb 9 chiều làm<br /> xuất hiện một thế đơn cực SO(8). [2]<br /> Tuy nhiên, cho đến nay, chúng tôi vẫn chưa thấy công trình nào khảo sát về đơn<br /> cực này trên khía cạnh xây dựng trường gauge như với các đơn cực Dirac và đơn cực<br /> <br /> *<br /> ThS, Trường Đại học Sư phạm TPHCM; Email: hung.catalunya@gmail.com<br /> **<br /> ThS, Trường THPT Năng khiếu, ĐHQG TPHCM<br /> <br /> <br /> 65<br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 2(67) năm 2015<br /> _____________________________________________________________________________________________________________<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Yang. Do đó, trong công trình này, chúng tôi sẽ xây dựng lý thuyết gauge cho đơn cực<br /> SO(8) trong không gian 9 chiều theo phương pháp luận của Yang, cụ thể như sau:<br /> i. Khử kì dị dây Dirac của đơn cực trong không gian 9 chiều bằng cách chia không<br /> gian thành hai miền phủ lên nhau, mỗi miền không chứa kì dị.<br /> ii. Xây dựng thừa số pha mở rộng cho mỗi miền này.<br /> iii. Xây dựng bộ thế đơn cực và bộ cường độ trường đơn cực trong mỗi miền từ thừa<br /> số pha.<br /> iv. Kiểm tra hai điều kiện Dirac trên bộ cường độ trường tìm thấy.<br /> 2. Đơn cực SO(8) trong không gian trực giao 9 chiều<br /> Trong công trình [2], đơn cực SO(8) được đưa ra với bộ thế đơn cực gồm 7 thành<br /> phần:<br /> g<br /> A1 =  x2 , x1 , x4 , x3 , x6 , x5 , x8 , x7 ,0<br /> r r  x9 <br /> g<br /> A2 = x3 , x4 , x1 , x2 , x7 , x8 , x5 , x6 ,0<br /> r r  x9 <br /> g<br /> A3 = x4 , x3 , x2 , x1 , x8 , x7 , x6 , x5 ,0<br /> r r  x9 <br /> g<br /> A4 =  x5 , x6 , x7 , x8 , x1 , x2 , x3 , x4 ,0<br /> r r  x9  (1)<br /> g<br /> A5 = x6 , x5 , x8 , x7 , x2 , x1 , x4 , x3 ,0<br /> r r  x9 <br /> g<br /> A6 = x7 , x8 , x5 , x6 , x3 , x4 , x1 , x2 ,0<br /> r r  x9 <br /> g<br /> A7 =  x8 , x7 , x6 , x5 , x4 , x3 , x2 , x1 ,0<br /> r r  x9 <br /> với Aj là các thành phần thế đơn cực lấy theo thành phần tọa độ  (  = 1,2,...,9) trong<br /> không gian 9 chiều trực giao và theo vi tử thứ j của nhóm SO(8), g là từ tích của đơn<br /> cực. Bộ thế này tồn tại kì dị dây Dirac là phần âm của trục Ox9 . Các giá trị của j từ 1<br /> đến 7, trong khi nhóm Lie SO(8) có đến 28 vi tử, nên theo chúng tôi, bộ thế này chưa<br /> phải là bộ thế hoàn chỉnh, hoặc nhóm đối xứng thật sự của đơn cực này không phải là<br /> SO(8) . Ngoài ra, nếu đơn cực SO(8) này đúng là sự mở rộng của đơn cực Dirac và đơn<br /> cực Yang thì sẽ có một lớp nghiệm nữa ứng với kì dị dây Dirac là phần dương của trục<br /> Ox9 .<br /> Khi mở rộng bài toán đơn cực lên không gian 9 chiều, chúng tôi chú ý một điểm<br /> sau đây của nhóm đối xứng: nhóm đối xứng của đơn cực từ Dirac là U(1) đẳng cấu với<br /> nhóm cầu S1, nhóm đối xứng của đơn cực Yang là SU(2) đẳng cấu với nhóm cầu S 3.<br /> Điều này gợi ý cho chúng tôi lựa chọn nhóm đối xứng của bài toán là nhóm S 7 trong<br /> bài toán 9 chiều. Tuy nhóm S7 không phải là nhóm Lie và đại số không đóng kín,<br /> <br /> <br /> 66<br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Phan Ngọc Hưng và tgk<br /> _____________________________________________________________________________________________________________<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> nhưng lại đẳng cấu với nhóm quotient SO(8)/SO(7) nên ta có thể xem nhóm SO(8) là<br /> nhóm đối xứng mở rộng của đơn cực này.<br /> 3. Mở rộng thừa số pha và biểu diễn yếu tố T<br /> Để thuận tiện cho việc mở rộng cho đơn cực trong không gian 9 chiều, trước hết<br /> ta nhắc lại cách xây dựng trường gauge cho đơn cực Dirac. Để khử kì dị, ta chia không<br /> gian thành hai miền phủ lên nhau:<br /> <br /> Ra : 0   <  a ,<br /> 2<br />  (2)<br /> Rb :  a <    , (0  a   / 2 )<br /> 2<br /> Trong hai miền đó, thế đơn cực có dạng:<br /> g 1  cos  g <br /> Ar a  = Aa  = 0; Aa  = = tan ,<br /> r sin  r 2<br /> <br /> (3)<br /> b  b  b  g 1  cos   g <br /> Ar = A = 0; A = =  cot .<br /> r sin  r 2<br /> Trong miền Ra , thừa số pha được viết tường minh:<br /> ieg<br />  ( Pa ) dP P  1  1  cos  d  [exp 2ieg d ] p  <br /> c  c  (4)<br /> 1<br /> với p   = 1  cos  .<br /> 2<br />  2ieg <br /> Ta xét một hàm theo tọa độ T r , ,  = exp  . Hàm này xác định đơn trị ở<br />  c <br /> 2eg<br /> mọi nơi trừ trục z do điều kiện lượng tử hóa của từ tích = n . Thừa số pha trong<br /> c<br /> miền này có thể được viết lại dưới dạng:<br />  p  <br /> <br />  (Pa ) dP P = T P  dP TP1  .<br /> (5)<br /> Tương tự, thừa số pha viết cho trường đơn cực trong miền Rb :<br /> <br /> <br />  (bP) dP P = T P1 dP TP <br /> p  1<br /> .<br /> (6)<br /> Dựa trên cách xây dựng cho đơn cực trong không gian 3 chiều trên, chúng tôi mở<br /> rộng cho trường hợp không gian 9 chiều. Chúng tôi chọn hệ tọa độ cầu r ,  , 1 ,..., 7 <br /> để mô tả không gian 9 chiều trực giao, liên hệ với hệ tọa độ Euclide 9 chiều<br /> x1 , x2 ,..., x9  theo quy luật:<br /> x9 = r cos  ; x j = r sin h j 1 ,..., 7 <br /> (7)<br /> <br /> <br /> <br /> 67<br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 2(67) năm 2015<br /> _____________________________________________________________________________________________________________<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> với j = 1,2,...,8 . Trong đó h j 1 ,...,  7  chỉ phụ thuộc vào 7 góc phương vị 1 ,  2 ,...,  7 <br /> và thỏa mãn tính chất:<br /> h12  h22  ...  h82 = 1.<br /> (8)<br /> Để gỡ bỏ kì dị dây, chúng tôi chia không gian 9 chiều thành 2 miền phủ lên nhau:<br /> <br /> Ra : 0   <  <br /> 2<br />  (9)<br /> Rb :   <   <br /> 2<br /> <br /> trong đó, 0 <  < . Trong hai miền Ra và Rb , thừa số pha của trường đơn cực được<br /> 2<br /> mở rộng trực tiếp từ các phương trình (5-6):<br />  p  <br /> <br />  (Pa ) dP P = T P  dP TP1  , (<br /> p  1 (10)<br />  (bP) dP P = T 1<br /> T<br /> P  dP  P  .<br /> trong đó, yếu tố T là một yếu tố thuộc nhóm đối xứng mở rộng SO(8) . Trong biểu<br /> diễn ma trận, T là một ma trận là một ma trận 8 8 và thỏa mãn tính chất trực giao của<br /> nhóm này TT C = T C T = I . Tính chất này cho thấy, nếu T đáp ứng được yêu cầu của bài<br /> toán đơn cực thì ma trận chuyển vị của nó, T C cũng thỏa mãn yêu cầu đặt ra. T và T C<br /> ứng với hai biểu diễn trong mỗi miền không gian Ra và Rb .<br />  <br /> Trong phần phủ lên nhau của hai miền chia, Rab :        , ta chứng<br /> 2 2<br /> minh được:<br /> (<br /> TP1dP ( aP) dPPTP =  ( bP) dP P .<br /> (11)<br /> Phương trình này cho ta một phép biến đổi gauge giữa hai trường đơn cực trong<br /> miền phủ lên nhau. Một cách tương tự như trong trường hợp 3 chiều, khi mở rộng lên<br /> không gian 9 chiều, T bắt buộc chỉ phụ thuộc vào 7 biến số góc 1 ,...,7  , do đó các<br /> thành phần ma trận của T phải là các tổ hợp tuyến tính bậc nhất của các tọa độ từ<br /> x1  x8 chia cho r sin  . Biểu diễn sau đây của nhóm SO(8) cùng các phương trình<br /> (10) xác định hoàn toàn trường đơn cực  :<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 68<br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Phan Ngọc Hưng và tgk<br /> _____________________________________________________________________________________________________________<br /> <br /> <br /> <br /> <br />  x1  x2 x3 x4  x5  x6 x7 x8 <br />  <br />  x2 x1  x4 x3 x6  x5  x8 x7 <br />   x3 x4 x1 x2  x7 x8  x5 x6 <br />  <br /> 1   x4  x3  x2 x1 x8 x7 x6 x5  (<br /> T =<br /> r sin   x5  x6 x7  x8 x1 x2  x3 x4  (12)<br />  <br />  x6 x5  x8  x7  x2 x1 x4 x3 <br />  x x8 x5  x6 x3  x4 x1 x2 <br />  7 <br />  x x  x  x5  x4  x3  x2 x1 <br />  8 7 6<br /> <br /> Trường đơn cực  được xác định hoàn toàn nhờ vào các phương trình (10), và<br /> biểu diễn T là ma trận chuyển vị của ma trận T  .<br /> <br /> <br /> <br /> 4. Các thành phần thế của trường đơn cực<br /> Trong phần này chúng tôi chỉ thực hiện các tính toán trên miền Rb . Đối với các<br /> trường trong miền Ra , ta có thể sử dụng phép biến đổi gauge (11) dựa trên các kết quả<br /> tính được trong miền Rb .<br /> Thừa số pha của trường đơn cực SO(8) trong miền Rb được xác định bởi phương<br /> trình (10). Khai triển đến gần đúng bậc thấp nhất vế phải của phương trình này:<br /> T (<br />  bP dPP  1  q  TP1dP<br /> P P (13)<br /> 1<br /> với q   = 1  p   = 1  cos   . Mặt khác, thừa số pha theo định nghĩa được tính bởi:<br /> 2<br /> 1 ab (<br />   P  dPP  1 A  ab dx <br /> 2g (14)<br /> trong đó,  ab là vi tử của nhóm đối xứng của đơn cực. Đối với trường hợp đơn cực<br /> SO(8),  ab  jk =  aj bk   ak  bj với a = 1,2,...,8 , b = a  1, a  2,...,8 và  bk là kí hiệu<br /> Kronecker.<br /> Bằng cách thay các giá trị tường mình của T  vào (13) và đồng nhất với (14),<br /> chúng tôi thu được bộ thế của trường đơn cực  trong miền Rb . Tương ứng với 28 vi<br /> tử của nhóm SO(8), chúng tôi thu được 28 thành phần thế viết trong không gian đại số<br /> Lie. Với nhóm đối xứng của đơn cực là nhóm cấu S7, các vi tử được chọn có dạng 1b<br /> với b = 2,3,...,8 , ta thu được bộ thế đơn cực<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 69<br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 2(67) năm 2015<br /> _____________________________________________________________________________________________________________<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> g<br /> A12 =  x2 , x1 , x4 , x3 , x6 , x5 , x8 , x7 ,0<br /> r r  x9 <br /> g<br /> A13 = x3 , x4 , x1 , x2 , x7 , x8 , x5 , x6 ,0<br /> r r  x9 <br /> g<br /> A14 = x4 , x3 , x2 , x1 , x8 , x7 , x6 , x5 ,0<br /> r r  x9 <br /> g (<br /> A15 =  x5 , x6 , x7 , x8 , x1 , x2 , x3 , x4 ,0<br /> r r  x9  (15)<br /> g<br /> A16 =  x6 , x5 , x8 , x7 , x2 , x1 , x4 , x3 ,0<br /> r r  x9 <br /> g<br /> A17 = x7 , x8 , x5 , x6 , x3 , x4 , x1 , x2 ,0<br /> r r  x9 <br /> g<br /> A18 = x8 , x7 , x6 , x5 , x4 , x3 , x2 , x1 ,0<br /> r r  x9 <br /> Các thành phần còn lại ứng với 21 vi tử của nhóm con bất biến SO (7) của nhóm<br /> SO (8) .<br /> Một cách tương tự, sử dụng T  thay vì T  , chúng tôi cũng thu được bộ thế của<br /> trường đơn cực β trong miền Rb :<br /> g<br /> A12 = x2 , x1 , x4 , x3 , x6 , x5 , x8 , x7 ,0<br /> r r  x9 <br /> <br /> g<br /> A13 =  x3 , x4 , x1 , x2 , x7 , x8 , x5 , x6 ,0<br /> r r  x9 <br /> g<br /> A14 =  x4 , x3 , x2 , x1 , x8 , x7 , x6 , x5 ,0<br /> r r  x9 <br /> g (<br /> A15 = x5 , x6 , x7 , x8 , x1 , x2 , x3 , x4 ,0<br /> r r  x9  (16)<br /> g<br /> A16 = x6 , x5 , x8 , x7 , x2 , x1 , x4 , x3 ,0<br /> r r  x9 <br /> g<br /> A17 =  x7 , x8 , x5 , x6 , x3 , x4 , x1 , x2 ,0<br /> r r  x9 <br /> g<br /> A18 =  x8 , x7 , x6 , x5 , x4 , x3 , x2 , x1 ,0<br /> r r  x9 <br /> 5. Cường độ trường đơn cực và kiểm chứng hai điều kiện Dirac<br /> Cường độ trường đơn cực được xây dựng theo công thức<br /> 1 (<br /> Fab =   Aab   Aab  f (ab)(cd)(jk) Acd Ajk ,<br /> 2g (17)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 70<br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Phan Ngọc Hưng và tgk<br /> _____________________________________________________________________________________________________________<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> trong đó, f ( ab )( cd )( jk ) là các hằng số cấu trúc của nhóm SO(8) được xác định từ hệ thức<br /> giao hoán của các vi tử của nhóm này:  ab ,  cd  = if ab cd  gh  gh .<br /> Bằng cách thay các giá trị tương ứng của các thế đơn cực ứng với các trường α và<br /> β, ta có thể thu được biểu thức của tất cả các thành phần của cường độ trường α và β<br /> tương ứng.<br /> Để kiểm tra hai điều kiện Dirac, trong không gian 9 chiều trực giao chúng tôi<br /> chọn hệ tọa độ Descartes với các vector đơn vị cơ sở là (e ) (  j = 1,2,...,9) . Trong hệ<br /> j<br /> <br /> tọa độ này, chúng ta sẽ tính các thành phần cường độ trường dọc theo các trục tọa độ<br /> theo công thức:<br /> F1 =   F2 3 F4 5 F6 7 F8 9 , (<br /> 23 ... 89<br /> (18)<br /> trong đó,   là tensor hạng 8 hoàn toàn phản xứng với quy ước 12345678  1 ,<br /> 2  3 ...8  9<br /> <br /> 1，  2，..., 9  1,2,...,9 . Bằng cách sử dụng ngôn ngữ lập trình Mathematica, chúng tôi<br /> đã kiểm tra trên tất cả các bộ cường độ trường có thể, và thu được kết quả:<br /> x (<br /> F( )  3 g 4 9<br /> r (19)<br /> Do đó, vector cường độ trường đơn cực α trong không gian chín chiều có dạng:<br />  ( ) <br /> 4 x  e 4 r (<br /> F  3 g  3g 9 .<br /> r 9<br /> r (20)<br /> Với trường đơn cực β, chúng tôi cũng thu được biểu thức có dạng tương tự:<br />  <br /> x e r (<br /> F(  )  3 g 4  9   3 g 4 9 .<br /> r r (21)<br /> Từ đây, ta dễ dàng nhận thấy các vector cường độ trường hướng dọc theo bán<br /> kính, nói cách khác và độ lớn tỉ lệ nghịch với r8, do đó điều kiện Dirac thứ nhất về tính<br /> đối xứng cầu được đảm bảo. Mặt khác, thông lượng gửi qua mặt cầu quanh đơn cực<br /> được tính theo công thức:<br />   (<br /> 8 = FdS = FdS  3 g 4 S8，<br /> (22)<br /> trong đó, S8 là diện tích mặt cầu 9 chiều bao quanh đơn cực, dấu + ứng với trường đơn<br /> cực α và dấu - ứng với trường đơn cực β. Biểu thức trên chứng tỏ thông lượng này<br /> không bị triệt tiêu, tức điều kiện Dirac thứ hai đã được thỏa mãn.<br /> 6. Kết luận:<br /> Như vậy bằng cách mở rộng khái niệm thừa số pha, chúng tôi đã xây dựng được<br /> các trường đơn cực của đơn cực SO(8) như một mở rộng tự nhiên của đơn cực Dirac và<br /> đơn cực Yang cho không gian 9 chiều trực giao. Cách xây dựng biểu thức tường mình<br /> của các trường đơn cực cũng được chúng tôi chỉ ra. Đồng thời, chúng tôi cũng đã<br /> chứng tỏ đơn cực này hoàn toàn thỏa mãn các điều kiện Dirac.<br /> <br /> <br /> 71<br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐHSP TPHCM Số 2(67) năm 2015<br /> _____________________________________________________________________________________________________________<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> TÀI LIỆU THAM KHẢO<br /> 1. Dirac P (1931), “Quantised Singularities in the Electromagnetic Field”, Proc. Roy.<br /> Soc. A 22, pp. 60-71.<br /> 2. Le Van Hoang, Nguyen Thanh Son, Phan Ngoc Hung, (2009), “A hidden non-<br /> Abelian monopole in a 16-dimensional isotropic harmonic oscillator”, J. Phys. A 42,<br /> 175204 (8pp).<br /> 3. Yang C. N., (1978), “Generalization of Dirac’s monopole to SU(2) gauge fields”, J.<br /> Math. Phys. 19, pp. 320-328.<br /> 4. Yang C. N., (1978), “SU2 Monopole harmonic”, J. Math. Phys. 19(12), pp. 2622 –<br /> 2627.<br /> <br /> (Ngày Tòa soạn nhận được bài: 19-12-2014; ngày phản biện đánh giá: 25-12-2014;<br /> ngày chấp nhận đăng: 12-02-2015)<br /> <br /> <br /> <br /> THIẾT KẾ HỆ THỐNG THỦY NHIỆT…<br /> <br /> (Tiếp theo trang 38)<br /> <br /> <br /> 8. Tomoko Kasuga , Masayoshi Hiramatsu , Akihiko Hoson , Toru Sekino , and Koichi<br /> Niihara (1998), “Formation of Titanium Oxide Nanotube”, Langmuir, 14(12),<br /> pp.3160–3163.<br /> 9. Xiaobo Chen and Samuel S. Mao (2007), Titanium Dioxide Nanomaterials:<br /> Synthesis, Properties, Modifications, and Applications”, Chem. Rev.,107,<br /> pp.2891−2959.<br /> 10. Yan Li Wang, Shun Tan, Jia Wang, Zhi Jin Tan, Qiu Xia Wu, Zheng Jiao, Ming<br /> Hong Wu (2011), “The gas sensing properties of TiO2 nanotubes synthesized by<br /> hydrothermal method”, Chinese Chemical Letters, 22, pp.603–606.<br /> <br /> (Ngày Tòa soạn nhận được bài: 29-12-2014; ngày phản biện đánh giá: 27-01-2015;<br /> ngày chấp nhận đăng: 12-02-2015)<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 72<br />