Đề thi Toán bồi dưỡng học sinh giỏi THCS [năm học mới nhất]

Ồ ƯỠ

Ỏ

TOÁN B I D

NG HS GI

I THCS

Ề

ứ

2 (a2 + b2)(c2 +

ấ ẳ

ấ ủ ứ ể ỏ ị PH N IẦ : Đ BÀI ỉ ố 1. Ch ng minh 7 là s vô t . 2 + (ad bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) ứ 2. a) Ch ng minh : (ac + bd) ứ ứ b) Ch ng minh b t d ng th c Bunhiacôpxki : (ac + bd) d2) 3. Cho x + y = 2. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : S = x

2 + y2. + a b 2

(cid:0) ấ ẳ ứ ứ . 4. a) Cho a 0, b 0. Ch ng minh b t đ ng th c Cauchy :

+ + a b c

bc a

ab c ấ ủ

(cid:0) ằ ứ b) Cho a, b, c > 0. Ch ng minh r ng :

ị

> -

3 + b3 + abc ab(a + b + c) + a b

a b

ấ ủ ấ ủ ứ ứ

ệ ữ

ươ ố ấ ẳ ứ ứ t r ng : 2 4a

ứ

b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2)

ca b ị ớ c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá tr l n nh t c a tích P = ab. 3 + b3. ể ỏ 5. Cho a + b = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : M = a 6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : N = a + b. ị ớ ể ứ 7. Cho a, b, c là các s dố ng. Ch ng minh : a ế ằ 8. Tìm liên h gi a các s a và b bi 9. a) Ch ng minh b t đ ng th c (a + 1) ứ b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Ch ng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8 ấ ẳ ứ 10. Ch ng minh các b t đ ng th c : a) (a + b)2 2(a2 + b2) 11. Tìm các giá tr c a x sao cho :

ị ủ

c) 2x(2x 1) 2x 1.

ế ằ a) | 2x 3 | = | 1 x |b) x2 4x 5 t r ng : a

ể ủ ớ ị

ạ ấ ỏ ỏ ị

ứ ị ứ ỏ ị

2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) ố 12. Tìm các s a, b, c, d bi 2 + ab + b2 3a 3b + 2001. V i giá tr nào c a a và b 13. Cho bi u th c M = a ấ thì M đ t giá tr nh nh t ? Tìm giá tr nh nh t đó. 2 + xy + y2 3(x + y) + 3. CMR giá tr nh nh t c a P ấ ủ ể 14. Cho bi u th c P = x ằ b ng 0. ị ứ 15. Ch ng minh r ng không có giá tr nào c a x, y, z th a mãn đ ng th c sau :

ủ ứ ằ ẳ ỏ

x2 + 4y2 + z2 2a + 8y 6z + 15 = 0

ị ớ ấ ủ ứ ể 16. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : -

15 và 7

5 1 và

1 + 4x 9 17. So sánh các s th c sau (không dùng máy tính) : b) 17

ố ự

a) 7

và

2 3

23 2 19 3 ộ ố ữ ỉ

- c) d) 3 2 và

2 nhng nh h n

ộ ố ơ

+ + 6x 7 ứ

= - 10x 21 5 2x x ề

- ỏ ơ .

ấ ủ ệ ớ ỉ ớ + 2y v i các đi u ki n x, y > 0 và

ế 18. Hãy vi t m t s h u t và m t s vô t l n h n + + ơ ư ng trình : i phả 19. Gi 5x ể ị ớ 20. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A = x 2x + xy = 4.

Ồ ƯỠ

Ỏ

NG HS GI

I THCS

....

+ + ...

- +

TOÁN B I D 1 2.1997

1 1.1998

1 k(1998 k 1)

1 1998 1

. 21. Cho -

1998 1999

Hãy so sánh S và .

ứ ế ố ự ố ả nhiên a không ph i là s chính ph ư ng ơ

ố

ứ ấ ằ ằ 22. Ch ng minh r ng : N u s t ỉ thì a là s vô t . 23. Cho các s x và y cùng d u. Ch ng minh r ng :

(cid:0) a)

y x

ố y x 2 - (cid:0) b)

2 + 2

y x

x y � x � y � � x � y �

� � � x y + + � � � y x � � � ỉ ố

y x ố

- (cid:0) . c)

� � � x + � � � y � � � � � x � � y � � 24. Ch ng minh r ng các s sau là s vô t :

ằ

ứ a) 1

2+ 3 n

ố ữ ỉ ớ v i m, n là các s h u t , n 0. b)

+ (cid:0)

4 3

ố ơ ổ ỉ ư ng nào mà t ng là s h u t không ? 25. Có hai s vô t d

ứ ố ằ 26. Cho các s x và y khác 0. Ch ng minh r ng :

y x 2

z x

x y ộ ố ữ ỉ ớ

y 2 z ộ ố

� � y x +� � . x y � � y z x + + . z x y ộ ố

ố ữ ỉ x y 2 (cid:0) ằ ố ơ ứ ng. Ch ng minh r ng : 27. Cho các s x, y, z d

ỉ ổ ằ ứ ủ

2).

ứ

]

[

]

2 + .. + an 30. Cho a3 + b3 = 2. Ch ng minh r ng a + b 2. ứ [ 31. Ch ng minh r ng :

(cid:0) 28. Ch ng minh r ng t ng c a m t s h u t v i m t s vô t là m t s vô t .ỉ ấ ẳ ứ 29. Ch ng minh các b t đ ng th c : a) (a + b)2 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2) 2 + a2 c) (a1 + a2 + .. + an)2 n(a1 ằ [ + x y ứ ằ .

1 + 6x 17

ấ ủ ị ớ ứ ể . 32. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : -

+ + v i x, y, z > 0. ớ

ị ỏ ấ ủ 33. Tìm giá tr nh nh t c a :

ế t x + y = 4.

z y x x z y 2 + y2 bi ỏ 34. Tìm giá tr nh nh t c a : A = x 35. Tìm giá tr l n nh t c a : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) v i x, y, z 0 ; x + y + z = 1.

ấ ủ ấ ủ ị ị ớ ớ

Ỏ

NG HS GI ỉ

Ồ ƯỠ ố

TOÁN B I D I THCS ế 36. Xét xem các s a và b có th là s vô t không n u :

ể ố

a b

ỉ ố là s vô t . a) ab và

a b

ố ữ ỉ là s h u t (a + b 0) b) a + b và

c) a + b, a2 và b2 là s h u t (a + b 0)

ứ ố ữ ỉ 37. Cho a, b, c > 0. Ch ng minh : a

3 + b3 + abc ab(a + b + c) d + a b

c + d a

a + b c

b + c d

]

(cid:0) ứ 38. Cho a, b, c, d > 0. Ch ng minh :

[ [ ] 2 x ho c ặ 2 x ạ ố ồ ạ ố

ằ ứ

ứ ố

[ ]2x b ng ằ 1+ 39. Ch ng minh r ng ươ ố 40. Cho s nguyên d ng a. Xét các s có d ng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; ; ữ ố ầ ằ a + 15n. Ch ng minh r ng trong các s đó, t n t i hai s mà hai ch s đ u tiên là 96. ể 41. Tìm các giá tr c a x đ các bi u th c sau có nghĩa :

ị ủ ể

= D

= E

+ x

A= x

= 3 B

= C

1 +

2 + - x

2x 1

ứ 1 - - - - - -

4x 5 + + 2 x

- + 5x 3

x 1

- -

3x 1 ứ

ả ằ ấ = ” x y ra khi nào ?

ỏ ể ứ

G 42. a) Ch ng minh r ng : | A + B | | A | + | B | . D u ấ ủ b) Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c sau : + 6x 9

+ 2

ị + + - .

4x 4 ươ

x ng trình :

+ 18x 81

+ 20x 25

= + 8x 16 .

- = 4x 5 12

- - - i phả ươ i phả

8x 3 x ể

+ +

ng trình : ị ủ ứ

= D

= - C 2

1 9x

x 2

= M x c) Gi 43. Gi 2x ể 44. Tìm các giá tr c a x đ các bi u th c sau có nghĩa : 1 1 3x

+ 5x 6

- - -

x 2

= H

- + 2x 3 3 1 x

1 + +

2x 1

- - - -

- ơ i phả ư ng trình : 45. Gi -

3x x 3 ể ể

ỏ

+ . x x - + 3 x x

ứ ứ ị ị ớ ấ ủ ấ ủ

3 và b=

13 4 3 và

3 1

- - 48. So sánh : a) ; b) 5

= 46. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : A = 47. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c : B + 3 1 2 ố (n là s nguyên d

+ - c) n 2 ớ

+ n 1 và ủ

ứ ể ạ ỏ ị ị

+ + 2 1 6x 9x

(3x 1)

= - A 1 50. Tính :

- - ư ng)ơ n+1 ấ 49. V i giá tr nào c a x, bi u th c sau đ t giá tr nh nh t : .

4 2 3

11 6 2

27 10 2

- -

Ồ ƯỠ

NG HS GI

TOÁN B I D +

m 8m 16

- - -

Ỏ I THCS - + + = n 2 n 1 e) B

n 2 n 1

d) A (n > 1)

45 4 41

+ ẳ

ọ ứ ể . 51. Rút g n bi u th c : -

8 41 + ứ 52. Tìm các s x, y, z th a mãn đ ng th c :

+ 2

ố

- -

+ 2 (y 2) ị

ỏ = + + 2 (x y z) ấ ủ

(2x y) ứ 53. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : .

30x 9

25x ả

ể + - -

25x ng trình sau :

P 54. Gi

- =

- + = 2

ỏ + + 20x 4 ươ i các ph

a) x

x 2

+ = 2

+ - = 2 x x - = -

- - -

d) x

1 1

b) x + 2 e) x

1 1 x + + - = 4x 4

x 4

- + c) x - + g) x 2

x 3

- -

h) x

+ + 2x 1

+ = 6x 9 1

+ + i) x 5

- = 2 x

+ -

+ +

- =

- - -

+ + l) 8x 1

7x 4

3x 5

2x 2

- = + - x 8 6 x 1 1 ỏ

ề ệ

2 2

- + k) x 3 4 x 1 ố ự 55. Cho hai s th c x và y th a mãn các đi u ki n : xy = 1 và x > y. CMR: y x x y

(cid:0) . -

ứ ể ọ 56. Rút g n các bi u th c :

+ a) 13 30 2

9 4 2

- + + b) m 2 m 1

m 2 m 1

- -

c) 2

3. 2

3 . 2

+ 2

+ d) 227 30 2

123 22 2

- -

6 2

2 2

ứ ằ . 57. Ch ng minh r ng

ọ ứ ể

(

)

+ 6 2

6 2

a) C

b) D

9 6 2 3

- - - 58. Rút g n các bi u th c : ) ( - -

.59. So sánh :

20 và 1+ 6

17 12 2 và

+ 2 1

28 16 3 và 3 2

- -

- - ứ

x ể

ể 60. Cho bi u th c : ị

ậ ọ ể

+ 4x 4 x A ứ ủ a) Tìm t p xác đ nh c a bi u th c A. ứ b) Rút g n bi u th c A. 61. Rút g n các bi u th c sau :

11 2 10

9 2 14

- - ứ ể ọ

+ 11 6 2

6 2 5

+ 5 2 6 + 7 2 10

NG HS GI

I THCS

Ồ ƯỠ ứ

Ỏ ẳ

TOÁN B I D ứ 62. Cho a + b + c = 0 ; a, b, c 0. Ch ng minh đ ng th c :

< -

1 a ươ

1 1 2 2 b c ả ấ i b t ph

x 6

+ 16x 60 .

- .

3 3 x ị ớ

x ấ

1 1 1 + + 2 a b c 63. Gi ng trình : - + (cid:0) 64. Tìm x sao cho : ỏ 65. Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a A = x

2 + y2 , bi x2(x2 + 2y2 3) + (y2 2)2 = 1 (1)

ế ằ ấ ủ ị t r ng :

ể ể ứ 66. Tìm x đ bi u th c có nghĩa:

a) A

b) B

+ 8x 8

16 x + 2x 1

2x 1

- - . - -

x + x

x ứ

x ể ể

- - - - ứ . ể 67. Cho bi u th c : - - -

ọ ể ứ

ị ủ ủ ố ữ ố

0,9999....9 (20 ch s 9) | x 2 | + | y 1 | v i ớ | x |

ầ ị ớ ị ủ ể ữ ố ậ ấ ỏ ị ấ ủ

ị

n 2 và 2 n+1

4 + y4 + z4 bi ế ằ ố (n là s nguyên d

ấ ủ + + t r ng xy + yz + zx = 1 ươ ố ớ ng), s nào l n

7 4 3

- ể

5)( 2

5)(

+ 3

. Tính giá tr c a A theo hai cách. + ị ủ + - - -

5)( 2 ỉ

3 ố

5 ;

2 ; 2 2 3

x a) Tìm giá tr c a x đ bi u th c A có nghĩa. b) Rút g n bi u th c A. c) Tìm giá tr c a x đ A < 2. 68. Tìm 20 ch s th p phân đ u tiên c a s : 69. Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a : A = + | y | = 5 ỏ 70. Tìm giá tr nh nh t c a A = x 71. Trong hai s : ố h n ?ơ ứ A 72. Cho bi u th c + + 73. Tính : ( 2 3 ứ 74. Ch ng minh các s sau là s vô t :

- ố

5 và

3 3 3 và b=2 2 1

+ 5 1 2

- - ; 75. Hãy so sánh hai s : ố a

- - - và s 0.ố 76. So sánh 4

+ 3 + 2

+ 6 + 3

ứ ể ọ . 77. Rút g n bi u th c :

+ 8 4 4 ể . Hãy bi u di n P d

140

+ 2

ễ ướ ạ ủ ổ i d ng t ng c a 3

- - ể ế ằ t r ng : .

= 2 y 1 x .

x 1 y - + 1 x

+ 1 x

ỏ ị ớ 78. Cho P 14 ứ ậ căn th c b c hai ị ủ 79. Tính giá tr c a bi u th c x ấ 80. Tìm giá tr nh nh t và l n nh t c a :

A ) 2

+ -

ứ 2 + y2 bi ấ ủ ( ấ ủ ớ v i a, b > 0 và a + b 1. ị ớ 81. Tìm giá tr l n nh t c a :

ố ấ có ít nh t hai s d

+ 4 6 8 3 4 2 18

ể ọ . 82. CMR trong các số 2b c 2 ad ; 2c d 2 ab ; 2d a 2 bc ; 2a b 2 cd ươ ng (a, b, c, d > 0). ứ 83. Rút g n bi u th c :

Ỏ

NG HS GI

I THCS

Ồ ƯỠ +

+ + =

TOÁN B I D zx yz xy

ứ , trong đó x, y, z > 0. Ch ng minh x = y =

1)(1 + a2)…(1 +

ứ

84. Cho x y z z. 85. Cho a1, a2, …, an > 0 và a1a2aan = 1. Ch ng minh: (1 + a an) 2n.

) 2

+ 2 2(a b) ab

( ằ

(cid:0) ứ (a, b 0). 86. Ch ng minh :

ứ ạ ộ

ẳ ộ ế ạ ẳ ợ ậ ư c thành ượ c thành

ộ ộ 87. Ch ng minh r ng n u các đo n th ng có đ dài a, b, c l p đ a , b , c cũng l p đậ m t tam giác thì các đo n th ng có đ dài m t tam giác.

+ (x 2)

a b

2 x

- - - ọ 88. Rút g n : a) b) -

2 +

(cid:0) ọ ố ự ứ ề ằ ớ . Khi nào có 89. Ch ng minh r ng v i m i s th c a, ta đ u có :

ứ

- ằ b ng hai cách. ẳ đ ng th c ? 90. Tính : A

và 6,9

12 và

- - 91. So sánh : a)

5 + 3 7 5 2 5 3 +

2 +

2 + +

- . 92. Tính : - -

3 - + x 2 3 2x 5

x 2

- - ươ i phả ng trình : 93. Gi

P n

1.3.5...(2n 1) 2.4.6...2n

- = 2x 5 1 2n 1 2

- ứ ằ 94. Ch ng minh r ng ta luôn có : Z+ . 2 2 + ; (cid:0) n (cid:0)

a b

b a

(cid:0) ứ ế . ằ 95. Ch ng minh r ng n u a, b > 0 thì

+ 4(x 1)

+ x

4(x 1)

1 � � -� . . 1 �-� x 1 �

4(x 1) +

a b

b a

= -

- - - ứ ể ọ A = 96. Rút g n bi u th c : - -

a b

ứ ứ ẳ (a, b > 97. Ch ng minh các đ ng th c sau : -

= -

1 a

+ a +

15 1

a a 1

� : � �

� + c) 1 � �

�� 1 ��

� a = - � a 1 �

- - - - - - - -

0 ; a b) � 14 � 1 � (a > 0).

29 6 20

; b) 2 3

. - - - - 98. Tính : a)

+ 7

� � � +

5 và 15

� 28 16 3 . � � 15 và 12

b) 2

- - c) .

99. So sánh : a)

Ỏ

TOÁN B I D

NG HS GI

I THCS

19 và 9

và 5. 25

Ồ ƯỠ 16 2

ứ ẳ ằ 100. Cho h ng đ ng th c :

a 2

- - - (cid:0) (cid:0) (a, b > 0 và a2 b > 0).

ả ể ụ ế ọ Áp d ng k t qu đ rút g n :

3 2 2

+ 3 2 2

; b)

2 +

3 +

17 12 2

+ 17 12 2

2 +

- - - - - -

2 10

- -

2 3 1 ứ

- -

30 2 2 2 10 2 2 ị ị 101. Xác đ nh giá tr các bi u th c sau :

ể

1. y

, y

a) A

1 2

1 � � + � � a � �

1 � � + � � b � �

1. y

- - - v i ớ (a > 1 ; b > 1) - -

, m 1

b) B

2am ( + b 1 m

+ a bx + a bx

a bx a bx

- v i ớ . - -

P(x)

2x 3x

- - ể ứ 102. Cho bi u th c -

1 x + 4x 1 t c các giá tr c a x đ P(x) xác đ nh. Rút g n P(x).

ấ ả ể ọ ị

+ -

ằ ị ủ a) Tìm t ế ứ b) Ch ng minh r ng n u x > 1 thì P(x).P( x) < 0.

+ + x 2 4 x 2

- + x 2 4 x 2 4 2 x

4 - + x ố

ứ ể . 103. Cho bi u th c

ứ ể ể ứ b) Tìm các s nguyên x đ bi u th c A là

ộ ố

ị ớ ủ ế ế ấ ấ ỏ ị

ể ể ọ a) Rút g n bi u th c A. m t s nguyên. ặ 104. Tìm giá tr l n nh t (n u có) ho c giá tr nh nh t (n u có) c a các ứ bi u th c sau:

a) 9 x

b) x

> x (x

+ c) 1

2 x

d) x 5 4

- - - - -

e) 1 2 1 3x

g) 2x

+ 2x 5

h) 1

+ 2 x

2x 5

+ x

- - - - - -

2x 1

- - - - ứ ể ọ ằ , b ng ba cách ? 105. Rút g n bi u th c :

5 3 5 48 10 7 4 3

ứ ể ọ - 106. Rút g n các bi u th c sau :

+ 10 2 5

94 42 5

+ 94 42 5

10 2 5 ẳ

- - - .

ứ ằ

b) 107. Ch ng minh các h ng đ ng th c v i b 0 ; a (

2 a

= b

(cid:0) - (cid:0) - ứ ớ ) b) a)

a 2

- - - (cid:0) (cid:0)

Ỏ

I THCS

- - ọ ể

TOÁN B I D Ồ ƯỠ + = ứ

NG HS GI - + x 2 2x 4

x 2 2x 4

+ x

- 108. Rút g n bi u th c : + - = 109. Tìm x và y sao cho : x y 2

(

)

(

+ b d

(cid:0) ấ ẳ ứ ứ . 110. Ch ng minh b t đ ng th c :

b +

) c a + + a b c 2

c + a b

a + b c ứ

+ +

a b

a 1

b c

+ (cid:0) a

(cid:0) ứ . 111. Cho a, b, c > 0. Ch ng minh :

b 1 (

b) ) (

(

(a b)(c d)

(cid:0) 112. Cho a, b, c > 0 ; a + b + c = 1. Ch ng minh : + + + < c 1 3,5 a) ) ) ) ( 113. CM :

A x

= + +

ỏ ớ v i a, b, c, d > 0. ấ ủ ị 114. Tìm giá tr nh nh t c a :

ấ ủ ỏ . ị 115. Tìm giá tr nh nh t c a :

. x (x a)(x b) x ấ ủ ị ấ ị ớ

ế t 2x

2 x-

ấ ủ

x 1 +

- - -

x 2 x 1 +

2 + =

. 3x 2 - = - i phả i phả

21x 18 2 x + + + 2

2 = -

ươ ng trình :

- ươ

6x 7 ỉ ố

7x 7 + 10x 14 2

5x 3

;

4 2x x + 2 2

4 x ứ

- (cid:0) .

ươ ằ ọ ng pháp hình h c :

+ v i a, b, c > 0.

b(a

b . b +

(cid:0) ỏ 116. Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a A = 2x + 3y 2 + 3y2 = 5. bi ị ớ 117. Tìm giá tr l n nh t c a A = x + - = ơ ư ng trình : 118. Gi 5x 1 - + ươ 119. Gi ng trình : x 2 x 1 i phả 120. Gi i phả ng trình : 121. Gi ố ứ 122. Ch ng minh các s sau là s vô t : - + ứ 123. Ch ng minh x 2 ấ ẳ ứ 124. Ch ng minh b t đ ng th c sau b ng ph ớ

(cid:0)

(a b)(c d) ế

v i a, b, c, d > 0. ậ ớ ộ ằ ạ ẳ

ạ ẳ ộ

ộ ộ ứ 125. Ch ng minh ợ ứ 126. Ch ng minh r ng n u các đo n th ng có đ dài a, b, c l p đ c thành ợ a , b , c cũng l p đậ c thành m t tam giác thì các đo n th ng có đ dài m t tam giác.

a b

b a

(cid:0) ớ v i a, b 0. ứ 127. Ch ng minh

+ a b 4 b +

+ (a b) 2 a + b c

c + a b

+ 2

ớ v i a, b, c > 0. ứ 128. Ch ng minh

c . Ch ng minh r ng x

2 + y2 = 1.

= 2 y 1 x

x 1 y

- - ứ ằ 129. Cho

+ x 2 x 1

- - ỏ

- + x 2 x 1 - + 1 x 2

+ 1 x 2

+ + 1

= -

+ 2

1 ấ ủ A ị 130. Tìm giá tr nh nh t c a = 131. Tìm GTNN, GTLN c a ủ A ị 132. Tìm giá tr nh nh t c a ị 133. Tìm giá tr nh nh t c a

+ 4x 12

+ 2x 3

+ 2x 5 + 2 x

- - ấ ủ ấ ủ ỏ ỏ .

Ồ ƯỠ

Ỏ

TOÁN B I D

NG HS GI

I THCS

134. Tìm GTNN, GTLN c a :ủ = - -

)

(

= a) A 2x

5 x

+ b) A x 99

101 x

= 1

a x

b y

ủ ế ỏ t x, y > 0 th a mãn 135. Tìm GTNN c a A = x + y bi

ươ ằ ng).

ủ

yz x

ớ v i x, y, z > 0 , x + y + z = 1. 137. Tìm GTNN c a ủ ố (a và b là h ng s d ớ 136. Tìm GTNN c a A = (x + y)(x + z) v i x, y, z > 0 , xyz(x + y + z) = 1. zx y

xy z x + x y

y + y z

z + bi z x

= . 1

(

) 2

ế t x, y, z > 0 , 138. Tìm GTNN c a ủ

ấ ủ ớ v i a, b > 0 , a + b 1 ị ớ 139. Tìm giá tr l n nh t c a : a)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

b) =

ớ

x + 3y v i x + y = 4.

ớ ị

ớ 141. Tìm GTNN c a ủ v i a, b, c, d > 0 và a + b + c + d = 1. ỏ 140. Tìm giá tr nh nh t c a A = 3 c + v i b + c a + d ; b, c > 0 ; a, d 0. a b ấ ủ b + c d

ả

+ -

+ =

b) x

= 4x

8 x 1

c) 4x 1

3x 4 1

- =

- +

ươ ng trình sau : = - - - - 142. Gi 2 a) x i các ph + 5x 2 3x 12 0

d) x 1

+ = x 1

e) x 2 x 1

x 1 1

g) x

2x 1

- = x

2x 1

+ -

- =

- - - - - -

- + h) x 2 4 x 2

+ - x 7 6 x 2

+ i) x

= 1 x

k) 1

x 1

2x 2

= x x + = -

- - -

m) x

x 2 x

+ + + l) 2x 8x 6 = + x 10

- = 2 x + + x 2

1 + x 5

(

- + o) x 1

+ + x 3 2

) ( x 1 x

+ + n) x 1 ) = - + 3x 5

4 2x

+ +

- -

p) 2x 3

x 2

1 2 x 2

+ +

q) 2x

+ - 2x 2 - = 9x 4 3 2x 1

- -

) (

)

+ = + x 2 + 2 2x ( = A 2 2

21x 11 + 5 3 2

+ 20 2 2

- - ứ ể ọ . 143. Rút g n bi u th c :

ứ 144. Ch ng minh r ng, Z+ , ta luôn có :

....

) + - n 1 1

1 2

1 3

(cid:0) n (cid:0) ( . ằ 1 n

1 2

+ . x 1

ứ ở ẫ ụ m u : 145. Tr c căn th c

Ồ ƯỠ

Ỏ

TOÁN B I D

NG HS GI

I THCS

146. Tính :

29 12 5

- - - - - - -

+ b) 6 2 5 ) (

+ )

29 6 20 ( + 5. 3

- - ố ự ứ ằ . Ch ng minh r ng a là s t nhiên. 147. Cho

3 2 2

+ 3 2 2 +

17 12 2

- - ố ự ả . b có ph i là s t nhiên không ? 148. Cho -

ươ ả

(

) = 3 1 x

( + 2

) 3 1 x 3 3

ng trình sau : = - - - i các ph ) - + -

3 1 x x 4 (

)

3 )

x 3

5 x

d) x

- = x 5

- - - 149. Gi ( a) (

- + 5 x - + 5 x

x 3 ể

25 4 21

+ 12 5 29

25 4 21

+ + ...

- - - - ứ ị ủ 150. Tính giá tr c a bi u th c : + M 12 5 29

1 +

1 - + n 1

ọ . 151. Rút g n :

+ 4

- + ... 5

2n 1

- ứ ể 152. Cho bi u th c : - - - -

1 + 2n ố ữ ỉ b) P có ph i là s h u t

ả ọ a) Rút g n P.

+ + ...

không ?

1 +

1 + 4 3 3 4

1 + 100 99 99 100

2 3

+ + ...

. 153. Tính :

1 + 2 1 1 2 1 2

3 2 1 3

ứ . 154. Ch ng minh :

1 n ị ủ . Hãy tính giá tr c a bi u th c: A = (a

5 + 2a4 17a3 a2 +

17 1

- ứ ể

a 2

a 3

- - - - ứ (a 3) 155. Cho a 18a 17)2000. 156. Ch ng minh :

- ứ (x 0) 157. Ch ng minh :

- + x 1

y 2

- < a 1 1 + > x 2 ấ ủ S 158. Tìm giá tr l n nh t c a

- ị ớ ế , bi t x + y = 4.

1 2a

: A

3 4

+ 1 2a + + 1 2a

1 2a

- ị ủ ứ ể . ớ 159. Tính giá tr c a bi u th c sau v i - -

ứ ẳ 160. Ch ng minh các đ ng th c sau :

(

)

= + b) 4 2 2 6

) + 3 1

( a) 4

- -

) (

(

)

c) 3

) ( ( + 5 3

8 d)

+ 7

= 48

+ 3 1 e) 17 4 9 4 5

5 2

2 2

- - - - ứ = 15 ) = 2

ứ ấ ẳ

< 10

5 + 5

5 5

- - - 161. Ch ng minh các b t đ ng th c sau : 5 5 ứ 5 5

Ồ ƯỠ

Ỏ

I THCS

3 4

0, 2

> 1,01 0

NG HS GI 1 + 3

+ 5 1 + 5

TOÁN B I D 5 1 3

� � 1 �

��

� � �

- - - -

> 2

+ +

2 2

3 1 6

2 2 6

+ 2

1 + 2

� � 2 �

� � �

- - - - -

+ 2 2

- + 2 1

+ 17 12 2

3 1

- - -

3 2

2 <

2 2 (

- > 2 1 1,9 ) <

+ 3

+ 5

0,8

- -

)

(

< + - 2 n 1 2 n

2 n

2 n 1

1 < n

< +

2005

2004 1

+ + ...

1 2

1 3

- - ứ ằ ừ . T đó suy ra: 162. Ch ng minh r ng :

+ +

1 1006009 + 2 + 3

3 6

4 + 8 4

3 2

ứ ở ẫ ụ . m u : 163. Tr c căn th c

và y=

3 + 3

2 2

3 3

2 2 2 Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2.

2002

2003

- . 164. Cho -

2003 2002

ấ ẳ ứ ứ . 165. Ch ng minh b t đ ng th c sau :

2002 2003 + 3xy y + + x y 2

= + 3

5 và y

= - 3

- ứ ể v iớ ị ủ 166. Tính giá tr c a bi u th c :

= +

3 2 x x

6x 3 x

1 x

. - - ơ i phả ư ng trình : . 167. Gi - -

ả ấ i b t các pt : a) 168. Gi

+ 3 3 5x

+ 10x 14 1 c) 2 2 2

1 4

(cid:0) - (cid:0) (cid:0) .

- +

a) A

29 12 5

= b) B

1 a

a(a 1)

a 1 a

+ +

+ 2

+ +

ứ ể ọ 169. Rút g n các bi u th c sau : - - - -

c) C

d) D

5x 6 x 9 x 2

- -

+ 3x x

(x 2) 9 x

x 3 2 x - + 2x 6 1

x 1

- - -

...

+ 3

- - - - - - -

3 x

ứ ủ ể . 170. Tìm GTNN và GTLN c a bi u th c - -

2 1 x

1 x

ấ ủ ỏ ớ v i 0 < x < 1. ị 171. Tìm giá tr nh nh t c a -

I THCS

TOÁN B I D Ồ ƯỠ - + = x 1

a) A

Ỏ NG HS GI ế t x + y = 4 ; b) bi y 2

172. Tìm GTLN c a : ủ

x 1 x

y 2 y

- -

1997

= 1996 ; b

1998

1997

- - ớ ớ ố . So sánh a v i b, s nào l n

= -

+ 2

a) A

b) B

+ 2x 4

173. Cho a h n ?ơ

5 2 6 x

174. Tìm GTNN, GTLN c a : ủ -

A x 1 x

2 + 4y2 = 1.

ấ ủ ấ ủ ủ ế ế

2 + y2 = 1. = . y 1

t x t x, y 0 ; x + t ế bi . ị ớ . 175. Tìm giá tr l n nh t c a ị ớ 176. Tìm giá tr l n nh t c a A = | x y | bi 3 + y3 bi 177. Tìm GTNN, GTLN c a A = x + 178. Tìm GTNN, GTLN c a ủ A x x y y

- + 1 x

+ + 3x 2 (x 2)

x 1 = x 2

- - - ơ i phả ư ng trình : . 179. Gi -

+ + ...

ươ i phả ng trình : . 180. Gi

- = 2x 9 1 1 2 3 2

+ + ...

. 181. CMR, (cid:0) n (cid:0) Z+ , ta có :

1 1.1999

1 2.1998

+ + 6 4x 2x 1 4 3 1 3.1997

1 + (n 1) n 1 1999.1

. Hãy so sánh A và 182. Cho

ố ố ữ ỉ ứ ằ là s h u t . Ch ng minh r ng m i s ỗ ố

x ố ữ ỉ x ; y đ u là s h u t +

1,999. 183. Cho 3 s x, y và ề

= 2 6 ; b

+ + 3 2 2

6 4 2

3 3

2 2

- - . CMR : a, b là các s ố 184. Cho -

ữ ỉ h u t .

+ - a

a 1

2 +

a +

a 2 a 1

� � �

� a 2 a a . �- a 1 �

- - - ứ ể ọ . 185. Rút g n bi u th c :

4 a

a 1 + + a 1

� 1 = � a �

- - - ứ . (a > 0 ; a 1) 186. Ch ng minh : -

+ a 1 a 1 ) 2

(

2 x

- (a > 0 ; a (cid:0) � � � �� + x 2 ọ (0 < x < 2) 187. Rút g n : -

ab b

a ab

b ab a

+ a b ab

� � �

- - ọ 188. Rút g n : -

(cid:0)

)

� � : �� (

2 x

5a + 2

ả ấ ươ i b t ph ng trình : (a (cid:0) 0) 189. Gi

Ồ ƯỠ

Ỏ

( A 1 a

NG HS GI + �� 1 a a �� + 1 a ��

TOÁN B I D � � 1 a a + � � 1 a � � �

I THCS � � + � � � � �

- - - 190. Cho -

ọ ứ

ớ

ủ ớ ị

+ +

a 2 ab

b ab

+ a

b ab

a a

� � a �

� . � �

- - ứ ể 191. Cho bi u th c : - ể a) Rút g n bi u th c A. ị ủ b) Tính giá tr c a A v i a = 9. c) V i giá tr nào c a a thì | A | = A. b 1 ab

= +

ọ ứ

6 2 5

+ a

1 + a b

a b a b

a b

� � +� : 1 � ��

�+ � �

192. Cho - - - ể a) Rút g n bi u th c B. ế a ị ủ b) Tính giá tr c a B n u ớ c) So sánh B v i 1. � � �

= +

ọ

ứ ể a) Rút g n bi u th c A. ế t | A | = A. b) Tìm b bi ị ủ c) Tính giá tr c a A khi

4 a

5 4 2 ; b + a 1 a 1

a 1 + + a 1

1 a

� � �

a � � �

- - - ứ ể 193. Cho bi u th c - . 2 6 2 � � ��

ứ ể ọ a) Rút g n bi u th c A.

ị ủ ế b) Tìm giá tr c a A n u .

ị ủ c) Tìm giá tr c a a đ .

+ a

1 2 a

a + a 1

a a 1

+ 2 ể A A> � a � 2 �

�� a ��

� . � �

- - - ứ ể 194. Cho bi u th c -

ọ ứ

ể a) Rút g n bi u th c A. ể ị ủ b) Tìm giá tr c a A đ A = 4

1 a + 1 a

+ 1 a 1 a

1 a + 1 a

� � �

+ 1 a 1 a +

- - - ự ệ 195. Th c hi n phép tính : - -

�� : �� 2

2 +

3 +

- ự ệ 196. Th c hi n phép tính : - -

ứ ể ọ 197. Rút g n các bi u th c sau :

a) A

1 + + x y 2 xy

1 y

xy xy

2 +

(

) 3

� 1 +� � x �

� � � � � � � � �

= - 2

3 ; y

� � � 1 1 � + . � � � x y � � � � = + 2

v i ớ x .

2(x y)

- - - - ớ b) v i x > y > 0 -

Ỏ

I THCS

TOÁN B I D 1 2

1 a a

NG HS GI � a ; 0 < a < 1 �- 1 a �

2a 1 x + 1 x

x (

- - c) v i ớ -

Ồ ƯỠ � � � ) 1

D (a b)

) ( 1 b + 2

- ớ v i a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1 d)

x 2 x 1

. 2x 1

- + x 2 x 1 - + 2x 1

2x 1

- - - e) - -

4 =

+ 2x 4 x

- - - ứ ớ v i x 2. 198. Ch ng minh :

- + 1

, b

- - . Tính a7 + b7. 199. Cho

2 2 1 ướ ạ

m 1

- - ố ự

m ọ ố

ằ i d ng ớ t aế 2 ; a3 d ứ ơ ớ ạ , trong đó m là s t ố n vi ư ng n, s a nhiên. c dợ t đế i d ng

3 + ax2 + bx + c = 0

ủ ế ộ ơ

t x = ệ ố ữ ỉ

- < 2 n 3

2 n

1 + 2

+ +

- (cid:0) v i nớ N ; n 2. ứ 202. Ch ng minh 200. Cho a a) Vi b) Ch ng minh r ng v i m i s nguyên d trên. ư ng trình x 2 là m t nghi m c a ph 201. Cho bi ạ ớ i. v i các h s h u t . Tìm các nghi m còn l 1 < n ệ ệ 1 + + ... 3

6 ...

ầ ấ (có 100 d u căn).

3 � � a � �.

2 � � a � � ố ữ ỉ

ủ ố 203. Tìm ph n nguyên c a s = + 2 204. Cho

3. Tính a) y+

+ + ...

ứ ằ là s h u t . Ch ng minh r ng m i s ỗ ố x , y

1 2

1 3 2

1 4 3

1 + (n 1) n

N : ố 205. Cho 3 s x, y, ố ữ ỉ ề đ u là s h u t 206. CMR, (cid:0) n 1 , n (cid:0)

+ + ...

ỏ nhiên a

1 , a2 , a3 , a25 th a đk : = . Ch ng minh r ng trong 25 s t 9 ố ự ằ

1 a

ứ nhiên đó 207. Cho 25 s t 1 a

1 a 1 ồ ạ t n t

2 +

x +

ố ự 1 a 3 ố ằ i 2 s b ng nhau. - ươ i phả ng trình . 208. Gi - -

2 + + 1 x + - 1 x

x 1 x 1 x

- ả ệ ậ ớ ố . i và bi n lu n v i tham s a 209. Gi -

) ( + x 1 y ) ( + y 1 z ) ( + z 1 x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ệ ươ i h ph ng trình 210. Gi (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ứ ằ 211. Ch ng minh r ng :

Ồ ƯỠ

Ỏ

TOÁN B I D

NG HS GI

I THCS

8 3 7

ữ ố ẩ ấ

7 4 3

ữ ố ề ấ ẩ ờ có m i ch s 9 li n sau d u ph y.

) 7 a) S ố ( ề có 7 ch s 9 li n sau d u ph y. ) 10 b) S ố ( 212. Kí hi u aệ n là s nguyên g n =

(cid:0) ầ ố

�

�� 3 1,7

= 1 1

2 ;

�� 2 1, 4 1

+ + ...

N*), ví d : ụ = ấ n nh t (n 1 ;

� a 1 a

1 a

1 ; 1 a 2 ầ

Tính : .

a 1980 ủ 213. Tìm ph n nguyên c a các s (có n d u căn) :

+ +

ấ ố

2 ...

+ +

4 ...

+ +

1996

1996 ...

1996

+ 8n 3

16n

4n ) 200

A 2+

(cid:0) ủ ầ ớ 214. Tìm ph n nguyên c a A v i n

ứ ằ ớ ạ ế ố t s x = ậ d i d ng th p phân, ta 215. Ch ng minh r ng khi vi

ữ ố ề ớ ấ ẩ ợ đ c ch s li n tr N : ( ữ ố ề c d u ph y là 1, ch s li n sau d u ph y là 9.

+ + ...

ẩ ) 250 ữ ố ậ ủ ầ ấ 2+ .

ổ

ủ ( 216. Tìm ch s t n cùng c a ph n nguyên c a � � � � � � � � 3 � � � � � � � � 2(3 x) v i x 0. ớ

- = 7 x

i phả ị ớ ấ ủ ng trình : a) b)

ố ữ ỉ ươ ế i các s h u t d ng a, b không n u : a) a b)

ươ + = x 1 3 ồ ạ = . 4

3 5

ố ỉ

217. Tính t ng 218. Tìm giá tr l n nh t c a A = x + + 219. Gi x 1 - + 3 x 2 220. Có t n t 2 b ứ ứ ố

abc

(cid:0) . ố 221. Ch ng minh các s sau là s vô t : a) ớ ứ ấ ẳ 222. Ch ng minh b t đ ng th c Cauchy v i 3 s không âm : + + a b c 3

b +

d +

a + 1 a

c + 1 b 1 c 1 d

(cid:0) ứ ằ t ế . Ch ng minh r ng : 223. Cho a, b, c, d > 0. Bi

abcd

1 81

(cid:0) .

+ + v i x, y, z > 0 ớ

x y

y z

x y

y z

(cid:0) ấ ẳ ứ ứ 224. Ch ng minh b t đ ng th c :

z x ứ

z x ằ

= 3 ; b

3 2 3

- . Ch ng minh r ng : a < b. 225. Cho

1 � �+ 1 � � n � �

ọ ố ứ ớ ươ ng n, ta có : . 226. a) Ch ng minh v i m i s nguyên d

ố ự

Ồ ƯỠ ố

TOÁN B I D ằ

nhiên), s ố 3 3

Ỏ I THCS n n (n là s t

- +

x 1

x t x 4.

+ + + x x 1 2(2 x) bi ế . 9 x ấ ủ

= A x ị ớ

2 6) bi ế ủ m i góc c a hình vuông ộ

ỏ t 0 x 3.

ế ắ ộ

i ta c t đi m t hình vuông nh r i g p bìa đ đ ạ ợ ỏ ể ể ộ ủ ộ ắ

NG HS GI ạ ứ b) Ch ng minh r ng trong các s có d ng ấ ị ớ có giá tr l n nh t ấ ủ ỏ ị 227. Tìm giá tr nh nh t c a ấ ủ ỏ ị 228. Tìm giá tr nh nh t c a A = x ấ ủ ị ớ 229. Tìm giá tr l n nh t c a 2 ấ ị 230. Tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a A = x(x ộ Ở ỗ ạ 231. M t mi ng bìa hình vuông có c nh 3 dm. ờ ể ỏ ồ ấ ớ l n, ng c m t cái h p hình ữ ậ ộ h p ch nh t không n p. Tính c nh hình vuông nh đ th tích c a h p là ấ ớ l n nh t. ả 232. Gi + 3 a) 1

- + 2 x

- ư ng trình sau : ơ + x 3

- = 3 d) 2 2x 1

- = x 1 1 + x

x 1

i các ph = 3 x 16 + +

- = x 1 (

) 1

= -

= - 2

6 x

- - - - - - -

x 5 x 5

7 x - + 7 x

+ 2

- = 2

(x 1)

1 1

+ + 3 x 2

+ = 3 x 3

+ + 3 x 1 - = 4

+ - 4

+ (x 1) + 2

b x

+ + 1 x

- = 1 x

- + 4 a x

a b 2x

k) 1 x tham s )ố

2 a b

- (a, b là

b 2

a 3

. 233. Rút g n ọ

b ể

ab ấ ủ

- + + x 1

ị ứ

+ + 2 x 1 ủ

x ệ

A ộ 3+ .

3 + ax2 + bx + 12 = 0 là 1 ỉ ố 3 3 là s vô t . 3

ị

a ỏ 234. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c : ố 235. Xác đ nh các s nguyên a, b sao cho m t trong các nghi m c a ph ươ ng trình : 3x ứ 236. Ch ng minh 237. Làm phép tính :

+ 9 4 5. 2

2 . 3 2 2

- - .

20 14 2

- . 238. Tính :

7 5 2

20 14 2 = 7 2 5

- . ứ 239. Ch ng minh :

+ 4 28 16 3 . 7

- -

)

(

. 240. Tính :

ớ ệ ố ệ ộ ươ ng trình f(x) = 0 v i h s nguyên có m t nghi m là :

ậ .

3 + 3x 14 v iớ

ứ ể

7 5 2

+ +

- .

x 2

ả i các ph . 243. Gi

3b)

- = 25 x + 2 x

+ 4 32 2 x

= 32

- - 241. Hãy l p ph + x ị ủ 242. Tính giá tr c a bi u th c : M = x 1 + 7 5 2 ơ ư ng trình : a) + - = 2 (x 3) x 9

Ỏ

NG HS GI

I THCS

+ 3

ủ ể

TOÁN B I D Ồ ƯỠ ứ 244. Tìm GTNN c a bi u th c : (

2 1

ơ ứ

( 245. Cho các s dố

x 3

x 2

8 x 3 x 2

3 2 x x

+ 2

2 x

� 3 � �

- - ọ ; x > 0 246. Rút g n : - -

) ) ng a, b, c, d. Ch ng minh : a + b + c + d � + � � �

� � � � � 3 � �

� � : 2 � �

44 abcd . � 2 � � �

3 6x +

+ 17

+ 5

- ủ ươ ệ là nghi m c a ph ng trình x

, x (cid:0) 8 247. CMR : 10 = 0.

3 3x + 1987.

- ứ ị ể . Tính giá tr bi u th c y = x 248. Cho -

9 4 5

= -

a 1

+ 9 4 5

+ 2 a

- - ứ ứ ẳ . 249. Ch ng minh đ ng th c : - -

9 4 5

5 2 2,1 0

� 3 � �

� 3 5 . � �

- - ấ ẳ ứ ứ . 250. Ch ng minh b t đ ng th c :

2 a b

ứ ể ọ 251. Rút g n các bi u th c sau :

b 2

a 3

b + b 8

24 + b 8

(

� � � � �

1 b 1 3 b

� � +� 1 2 4b �� . ) � � �+ 1 2. � � �

� � � � � �

- - a) -

3 a a

2 a b

+ 3 2a b 2

2 a b 3 a

ab b

� � . � 3 �

- - . c) - -

= M x

+ + 4a 9

+ 4x 8

� � � � 252. Cho r ng:ằ

- - ị ủ ứ ể ế . Tính giá tr c a bi u th c M bi t

+ - 4x 9

+ = 4x 8 2

x =

- -

+ 2bx b ộ

- -

x ủ

ấ ủ ế ứ . + + 2 2ax a ạ ị (a < b) 253. Tìm giá tr nh nh t c a : x ộ 254. Ch ng minh r ng, n u a, b, c là đ dài 3 c nh c a m t tam giác thì :

ỏ ằ abc (a + b c)(b + c a)(c + a b)

ị ủ ứ ể ế

+ + + =

- +

ế t x + y = 2 và xy = 1 ị ủ ể ứ t a b = 255. Tìm giá tr c a bi u th c | x y | bi 256. Bi

2 x 2 4 y 3 6 z 5

x y z 4

2 + 1 , b c = 2 1, tìm giá tr c a bi u th c : A = a2 + b2 + c2 ab bc ca. ế ằ t r ng :

- .

- + x 2 x 1

x 2 x 1

- - ị ủ ế . CMR, n u 1 x 2 thì giá tr c a y là

M 7 x 1

- - - : ử (x 1).

+ - 2 x x 1 ư ng chéo b ng 8

2 , hãy tìm hình

= ữ ậ ấ

ằ ờ

ớ 257. Tìm x, y, z bi + 258. Cho y ố ộ ằ m t h ng s . 259. Phân tích thành nhân t ấ ả t c các hình ch nh t có đ 260. Trong t ệ ữ ậ ch nh t có di n tích l n nh t.

Ồ ƯỠ

Ỏ

TOÁN B I D

NG HS GI

I THCS

ề ạ 261. Cho tam giác vuông ABC có các c nh góc vuông là a, b và c nh huy n

(cid:0) ứ ằ là c. Ch ng minh r ng ta luôn có : . ạ + a b 2

+ +

aa'

bb '

cc'

(a b c)(a ' b ' c') thì

ơ ứ ằ ng a, b, c, a, b, c. Ch ng minh r ng : 262. Cho các s dố

a a'

b b '

c c '

N u ế .

ươ ng trình : | x

2 1 | + | x2 4 | = 3. 263. Gi ể ị ủ 264. Ch ng minh r ng giá tr c a bi u th c C không ph thu c vào x, y :

(

) 4

+ x y

i phả ứ ứ ụ ằ ộ

4xy

+ x y 2 x y

+ x y + x y

� � � �

+ x y + x y ị ể

- - ớ v i x > 0 ; y > 0. -

ụ ứ ộ

+ - a

a 1

a +

2 +

a 2 a 1

� � � � ứ 265. Ch ng minh giá tr bi u th c D không ph thu c vào a: � a 2 a a �- a 1 �

� � �

- - - ớ v i a > 0 ; a 1

ac c

� � �

a ac

c ac

- - ứ ể . 266. Cho bi u th c - -

ọ ứ

ể ứ ể ị ủ

ị ớ ể

+ 1

2mn 2 1+n

1 2 n

- ứ ể ớ v i m 0 ; n 1 267. Cho bi u th c : ủ � A= m+ � �

ứ ể a) Rút g n bi u th c B. b) Tính giá tr c a bi u th c B khi c = 54 ; a = 24 c) V i giá tr nào c a a và c đ B > 0 ; B < 0. � 2mn �+ 2 1 n � ớ ị ủ b) Tìm giá tr c a A v i a) Rút g n bi u th c A.

56 24 5

ọ +

ấ ủ

1 x - + 2

1 2 x

1 x x

+ - 1 x

1 x

� � �

��

- - . m ỏ ị c) Tìm giá tr nh nh t c a A. 268. Rút g nọ + 1 x - - - - - -

2 x x 1

1 + x 1 x x

2 x x

x 1

�� : 1 ��

� � - + 1 x � � v i x 0 ; x 1. �+ �

� � � ể

- - ớ 269. Cho - - -

ứ ọ a) Rút g n bi u th c P.

+ - 1

2x x

x + x 1

b) Tìm x sao cho P < 0. x ứ ể . 270. Xét bi u th c -

x ả ử b) Gi

ể ứ ằ s x > 1. Ch ng minh r ng : y

ấ ủ ỏ ị

ƯỚ ọ a) Rút g n y. Tìm x đ y = 2. | y | = 0 c) Tìm giá tr nh nh t c a y ? PH N IIẦ : H Ả Ẫ NG D N GI I

Ồ ƯỠ

Ỏ

TOÁN B I D

NG HS GI

I THCS

2 hay 7n m

m n

ố ả s (t i gi n). Suy ra ố ữ ỉ (cid:0) ả ử 7 là s h u t 1. Gi

m 2 n nên m

ứ ố

ạ ố ố ứ ẳ (1). Đ ng th c này ch ng t 7k (k (cid:0) ừ (3). T (3) ta l ỏ 2m 7M mà 7 là s nguyên t Z), ta có m2 = 49k2 (2). T (1) và (2) suy ra 7n nên n ừ 2 M 7 và vì 7 là s nguyên t i có n ặ ố M 7. Đ t m = 2 = 49k2 nên n2 = 7k2 M 7. m và n cùng chia

7 không ph iả

m n

ố ả ả ế ố ế h t cho 7 nên phân s không t i gi n, trái gi thi ậ t. V y

(cid:0) ặ ế ừ ử ợ ế ố ữ ỉ ể b) vì (ad chung, ta đ ả c v ph i. T a)

2 + (2 x)2 = 2(x 1)2 +

ừ

(cid:0) x = y = 1.

ớ ấ ẳ

4.2(x2 + y2) = 2S (cid:0) S.2 (cid:0)

và

ặ ố ngơ

ợ , ta l n lầ t có: ụ ca bc ; a b

2c;

bc a

ab c

ca b

bc ab . c a ứ

ca ab . b c ả

(cid:0) (cid:0) (cid:0) c ngộ ;

ằ ấ ấ ẳ ab ca ; c b bc ca . b a ợ ấ ẳ c b t đ ng th c c n ch ng minh. D u b ng x y ra khi a = b =

ươ ố

3a.5b

(cid:0) (cid:0) ấ ẳ ứ ng 3a và 5b , theo b t đ ng th c Cauchy ta có : 4.15P (vì P = a.b) (cid:0) (3a + 5b)2 (cid:0) 122 (cid:0) 60P

12 5

(cid:0) ỉ ố là s h u t ; do đó 7 là s vô t . 2. Khai tri n v trái và đ t nhân t bc)2 0. 3. Cách 1 : T x + y = 2 ta có y = 2 x. Do đó : S = x 2 2. ậ V y min S = 2 ứ ụ Cách 2 : Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki v i a = x, c = 1, b = y, d = 1, Ta có :(x + y)2 (x2 + y2)(1 + 1) (cid:0) mim S = 2 khi x = y = 1 ứ 4. b) Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho các c p s d ab bc c a ab ca bc c b a ứ ầ ế ừ t ng v ta đ c. ớ c) V i các s d + 3a 5b 2 P (cid:0) max P = (cid:0) .

(cid:0) ấ ả ằ a = 2 ; b = 6/5.

ấ ả

(cid:0)

(cid:0) ặ a = b = . b3 = 2 a3 = 2 (1 + x)3 = 1 3x 3x2 x3 = (1 + 3x + 3x2

ớ

ả ằ

2 4a = a2 + 2a + 1 4a = a2 2a + 1 = (a 1)2 0.

a2 + 2ab + b2 a2 2ab + ấ ậ ố ab > 0. V y a và b là hai s cùng d u.

D u b ng x y ra khi 3a = 5b = 12 : 2 5. Ta có b = 1 a, do đó M = a3 + (1 a)3 = (3a2 + 3a) . D u = x y ra khi a = . ậ V y min M = 6. Đ t a = 1 + x +x3 = (1 + x)3. ạ Suy ra : b 1 x. Ta l i có a = 1 + x, nên : a + b 1 + x + 1 x = 2. 3 + b3 = 2 và a + b = 2. V y max N = 2 khi a = b = 1. ậ V i a = 1, b = 1 thì a 2(a + b). ế ệ ủ ế 7. Hi u c a v trái và v ph i b ng (a b) 8. Vì | a + b | 0 , | a b | 0 , nên : | a + b | > | a b | (cid:0) 4ab > 0 (cid:0) b2 (cid:0) ệ 9. a) Xét hi u : (a + 1)

Ồ ƯỠ

Ỏ

TOÁN B I D

NG HS GI

I THCS

ấ ẳ ứ

ơ ậ ng, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]

ể ọ c :ợ

2 3(a2 + b2 + c2).

- = -

2x 3

1 x

4 2

- = - 2x 3 1 x � �� - = - 2x 3 x 1 �

= 3x � � = x � | x 2 | 3 (cid:0)

4 3 2 3 x 2 3 (cid:0)

ậ b) Ta có : (a + 1)2 4a ; (b + 1)2 4b ; (c + 1)2 4c và các b t đ ng th c này có 2 64abc = 64.1 = 82. V y (a + ế ề hai v đ u d 1)(b + 1)(c + 1) 8. 10. a) Ta có : (a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2). Do (a b)2 0, nên (a + b) 2 2(a2 + b2). b) Xét : (a + b + c)2 + (a b)2 + (a c)2 + (b c)2. Khai tri n và rút g n, ta đ 3(a2 + b2 + c2). V y : (a + b + c) (cid:0) (cid:0) 11. a) (cid:0) (cid:0)

(x 2)2 33 (cid:0)

1 x 5. ể ỉ (2x 1)2 0. Nhng (2x 1)2 0, nên ch có th : 2x 1

ướ ạ ứ t đ ng th c đã cho d

2 + b2 + c2 + d2 ab ac ad = 0 (1). 2 + (a 2b)2 + (a 2c)2 + (a 2d)2 =

ế ủ ớ i d ng : a ề ạ ồ a v d ng : a

b) x2 4x 5 (cid:0) c) 2x(2x 1) 2x 1 (cid:0) = 0 ậ V y : x = . ế ẳ 12. Vi Nhân hai v c a (1) v i 4 r i đ 0 (2). Do đó ta có :

a = a 2b = a 2c = a 2d = 0 . Suy ra : a = b = c = d = 0.

+ - = a b 2 0

- = a 1 0 - = b 1 0

M 1998. 13. 2M = (a + b 2)2 + (a 1)2 + (b 1)2 + 2.1998 2.1998 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả ấ ồ ờ ậ D u = x y ra khi có đ ng th i : V y min M =1998 a = b= (cid:0) (cid:0)

ự

2 + 4(y 1)2 + (x 3)2 + 1 = 0.

. max A=

i tả ươ ẳ ng t ứ 1. 14. Gi bài 13. 15. Đa đ ng th c đã cho v d ng : (x 1)

(

1 + 4x 9

1 �� 5

. 16. - -

x 2 + +

+ >

15 + > 5 1

16 3 4 7 4 1 4 2 1 7

7 49

15 45

ề ạ 1 1 ) 2 + 5 = + = . V y ậ + = + + = = < 7 . 17. a) 7 b) 17

= = 5

9 16 23 2 16 3

23 2.4 3

23 2 19 3 sả ử

- - - . c)

�

3 2

2 3

3 2

2 3

3 2

2 3

> 18 12

d) Gi

)

(

3 2

2 3

ấ ẳ ứ .

ố B t đ ng th c cu i cùng đúng, nên : + ể ố 18. Các s đó có th là 1,42 và

ươ ng trình d ư i d ng :

+ 5(x 1)

+ 6 (x 1)

ớ ạ = - . ế ạ 19.Vi t l + 2 3(x 1) i ph + + 4

Ồ ƯỠ

TOÁN B I D

NG HS GI

I THCS ế

ỏ ơ ươ ủ ả ớ ơ

Ỏ ng trình không nh h n 6, còn v ph i không l n h n 6. ằ ỉ ả

ế ề ế ậ V trái c a ph ả ứ ẳ V y đ ng th c ch x y ra khi c hai v đ u b ng 6, suy ra x = 1.

+ a b 2

+� � a b (cid:0) � � 2 � �

(cid:0) ấ ẳ ứ ớ ạ vi ế ạ ư i d ng i d t l (*) 20. B t đ ng th c Cauchy

ấ ẳ ứ ướ ạ ớ ố ươ i d ng (*) v i hai s d ng 2x và xy

ụ ượ (a, b 0). Áp d ng b t d ng th c Cauchy d Ta đ c :

2x.xy

2 � � �

(cid:0)

+� 2x xy � 2 � ứ

(cid:0) ấ max A = 2 (cid:0)

ả D u = x y ra khi : 2x = xy = 4 : 2 t c là khi x = 1, y = 2. x = 2, y = 2.

2 + . a b

1 ab

ấ ẳ ứ ớ ạ ế ạ ư i d ng : i d t l 21. B t đ ng th c Cauchy vi

ụ . Áp d ng ta có S >

2xy =

x y

y x

y + - = 2 x

- - (cid:0) (cid:0) . V y ậ 23. a) ứ x y

2 + 2

y x

y + x

x + y

� � y = � � x � �

1998 1999 ư bài 1. 22. Ch ng minh nh 2 2 y x xy � � �

� x � y �

(x y) xy � x � y �

� � �

- - b) Ta có :

y x

x y

y x

x + y

� x � y �

(cid:0) - - - (cid:0) Theo câu a :

c) T câu b suy ra :

2 + 2

+ = 2 � � � � y x

y x

x y

� � x � � y � � 2

- (cid:0) (cid:0) ừ . Vì (câu a).

d) Do đó :

2 + 2

y x

- (cid:0) .

� � � � x + . � � � � y � � � � 2 2 � � � � � � � + 1 1 � � � � � � � � � � 4 � � x � � y � � � � � � � x y x + + � � � � � y x y � � � � � ố ữ ỉ = m (m : s h u t )

� x � y � ả ử 1 s

y x 2+

(cid:0) 2 = m2 1 (cid:0) 2 là s ố

24. a) Gi ữ ỉ h u t (vô lí)

3 n

(cid:0) ả ử ố ữ ỉ s m + = a (a : s h u t ) = a m (cid:0) 3 = n(a m) (cid:0) b) Gi

= 2) 5

- ạ

�

+ = 2

+ 2 (5 2 x y

y x

x y

y x

(cid:0) ễ ứ . D dàng ch ng minh nên 26. Đ t ặ

2 2 + 4 3a

ứ ấ ẳ ố ữ ỉ 3 là s h u t , vô lí. ẳ 25. Có, ch ng h n x y a2 4, do đó | a | 2 (1). B t đ ng th c ph i ch ng minh t ớ ng v i : a ng đ (cid:0) ươ ươ (a 1)(a 2) 0 (2)

ừ ế

ứ ợ ứ ả a2 3a + 2 0 (cid:0) ế ặ T (1) suy ra a 2 ho c a 2. N u a 2 thì (2) đúng. N u a 2 thì (2) cũng đúng. Bài toán đ c ch ng minh.

TOÁN B I D ứ ả + + 2

ấ ẳ ứ

I THCS ớ ng v i : ) 2

4 y x

4 z x

- (cid:0) .

Ỏ Ồ ƯỠ NG HS GI ươ ươ ng đ 27. B t đ ng th c ph i ch ng minh t ( + + 2 2 4 2 x z y x z y xyz x z 2 2 2 x y z

3z2(x y) + y3x2(y z) + z3y2(z x) 0.

ử ứ không âm, t c là : x

ứ ể ả ử  y  z  x nên có th gi s x

ươ ng đ ớ ng v i : ứ ầ C n ch ng minh t (1) ị ể ổ Bi u th c không đ i khi hoán v vòng x ợ ườ ấ ố ớ là s l n nh t. Xét hai tr ng h p : ở (1) thành (x y + y z), (1) t a) x y z > 0. Tách z x

(cid:0) ươ x3z2(x y) + y3x2(y z) z3y2(x y) z3y2(y z) 0 z2(x y)(x3 y2z) + y2(y z)(yx2 z3) 0

3 y2z 0 , y z 0 , yx2 z3 0 nên b t đ ng th c trên đúng.

ễ ấ ứ

ấ ẳ ơ ở ớ ng v i : ng đ D th y x y 0 , x b) x z y > 0. Tách x y

(cid:0)

ơ (1) thành x z + z y , (1) t x3z2(x z) + x3z2(z y) y3x2(z y) z3y2(x z) 0 z2(x z)(x3 zy2) + x2(xz2 y3)(z y) 0 ứ ễ ấ

ơ ơ ớ ả ứ ấ ẳ ế ư ng đ ư ng v i : D th y b t đ ng th c trên dúng. ứ Cách khác : Bi n đ i b t đ ng th c ph i ch ng minh t

+ 1

z x

y z

- - - (cid:0) .

2 � � � � � � � � ả

ứ ứ ớ ố ỉ

ố ữ ỉ

ế ả ớ

2 3(a2 + b2 + c2)

ệ ủ ỉ ả ậ t. V y c ph i là s vô t . (a + b)2 2(a2 + b2). ọ ể c :ợ

(cid:0) a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8 (cid:0) (a + b)3 > 8 (cid:0) 2 +

ổ ấ ẳ 2 2 � � � � y x z x + + + + 1 1 � � � � � � � � z x y y � � � � ủ ố ữ ỉ ả ử ổ ằ s t ng c a s h u t a v i s vô t 28. Ch ng minh b ng ph n ch ng. Gi ố ữ ỉ ố ấ b là s h u t c. Ta có : b = c a. Ta th y, hi u c a hai s h u t c và a là s ố ữ ỉ ố ữ ỉ h u t , nên b là s h u t , trái v i gi thi 29. a) Ta có : (a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2) (cid:0) b) Xét : (a + b + c)2 + (a b)2 + (a c)2 + (b c)2. Khai tri n và rút g n ta đ 3(a2 + b2 + c2). V y : (a + b + c) ậ c) Tư ng t ự câu b ơ nh ả ử s a + b > 2 30. Gi 3ab(a + b) > 8 (cid:0) ế ơ ab(a + b) > a3 + b3. Chia hai v cho s d ố ư ng a + b : ab ab(a + b) > 2 (cid:0)

]y y nên [

]y x + y. Suy ra [ ầ

> a2 ab + b2 (cid:0)

]y là ] x y+ là ]y ]x + [

]

ậ ]x + [ ]x x ; [ ]x + [ [ ị t quá x + y (1). Theo đ nh nghĩa ph n nguyên, [ ớ ợ ừ t quá x + y (2). T (1) và (2) suy ra :

[

]x < 1 ; 0 y [

]y < 1.

ị

N u 0 (x + y) (

]y ) < 1 thì [

]y (1)

]x + [

(a b)2 < 0, vô lí. V y a + b 2. 31. Cách 1: Ta có : [ ợ ố s nguyên không v ấ ố s nguyên l n nh t không v [ x y+ Cách 2 : Theo đ nh nghĩa ph n nguyên : 0 x ]x + [ Suy ra : 0 (x + y) ([ ờ ] [ x y+ ế ầ ]y ) < 2. Xét hai trư ng h p : ợ ]x + [ = [

Ỏ

TOÁN B I D ]x + [

[

Ồ ƯỠ NG HS GI I THCS ]y ) < 2 thì 0 (x + y) ([ ả

]x + [ ợ

[ ]y + 1 (2). Trong c hai tr

]y + 1) < 1 nên ]x +

[ [

ườ ề ng h p ta đ u có :

ế N u 1 (x + y) ( = [ ]x + [ ] x y+ ] ]y + [ x y+

ử ẫ ủ ố ươ và m u c a A là các s d ng , 32. Ta có x2 6x + 17 = (x 3)2 + 8 8 nên t

1 A

ớ ỏ ỏ ấ (cid:0) suy ra A > 0 do đó : A l n nh t ấ (cid:0) nh nh t x2 6x + 17 nh nh t. ấ

1 8 ợ

ậ V y max A = x = 3. (cid:0)

ị  y  z  x và gi ả ử s x

ấ ẳ ụ ố ươ 33. Không đư c dùng phép hoán v vòng quanh x y z. Cách 1 : Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho 3 s d ng x, y, z :

x y

z x

x y z y z x

�

min

= = y

(cid:0) ứ y + + z

y + + z

z x

x y

� x � y �

Do đó

x y

y x

� = � � y + + z

z x

x y

z + - x

y x

x y

� � �

(cid:0) Cách 2 : Ta có : . Ta đã có (do x,

y z z x � � � y y + + � � � z x � � � y x + + z y

y z

z + - x

y x

(cid:0) (cid:0) ể ứ ầ (1) y > 0) nên đ ch ng minh ứ ta c n ch ng minh:

z x ế ớ ố y(x z) z(x z) 0 (cid:0) ỏ

ơ (1) (cid:0) xy + z2 yz xz (nhân hai v v i s d ng xz) (cid:0) (x z)(y z) 0 (2)

ế ằ ả ố ố xy + z2 yz xz 0 (cid:0) ớ thi (2) đúng v i gi

ợ ấ ủ ị ừ đúng. T đó tìm đ ỏ c giá tr nh nh t c a ấ x y

2 0 (cid:0) ỉ

t r ng z là s nh nh t trong 3 s x, y, z, do đó (1) y z + + . z x x2 + 2xy + y2 = 16. Ta l ạ x2 2xy + y2

2 + y2) 16 (cid:0)

ừ i có (x y) x2 + y2 8. min A = 8 khi ch khi x = y = 2.

ấ ẳ ứ ố 34. Ta có x + y = 4 (cid:0) 0. T đó suy ra 2(x ụ 35. Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho ba s không âm :

1 = x + y + z 3. 3 xyz (1) + 2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) 3. 3 (x y)(y z)(z x)

ế ề ừ ớ Nhân t ng v c a (1) v i (2) (do hai v đ u không âm) : 2 9. (2) 3 A

(cid:0) max A =

1 3

3 2 � � � � 9 � �

(cid:0) ỉ A = khi và ch khi x = y = z = .

ế ủ 3 2 � � � � 9 � � ể

2(a + b).

ế ệ ủ ế

4(a

(cid:0) ấ ẳ ụ ứ ớ v i x, y > 0 : 38. Áp d ng b t đ ng th c

2 c ) 2

c + d a

a + b c

+ + ad bc + + + (a b c d)

(cid:0) (1) ể 36. a) Có th . b, c) Không th . ả ằ 37. Hi u c a v trái và v ph i b ng (a b) 4 1 + (x y) xy + + ad bc c + + (b c)(a d)

TOÁN B I D

NG HS GI 2

Ỏ I THCS +

2 ab cd d )

(cid:0) ự ơ T ng t (2)

Ồ ƯỠ 4(b d + a b

+ + + + + (a b c d)

b + c d

4(a

+ ad bc

+ ab cd)

ớ

+ + c + + + (a b c d)

(cid:0) = 4B C ng (1) v i (2) c b + + d a c d ộ a + b c

d + a b 1 2

ấ ẳ ứ ơ ươ ầ ứ , b t đ ng th c này t ư ng đ ớ ng v i :

[

]x < thì 0 2x 2[

2(a2 + b2 + c2 + d2 + ad + bc + ab + cd) (a + b + c + d)2 C n ch ng minh B 2B 1 (cid:0) (cid:0) a2 + b2 + c2 + d2 2ac 2bd 0 (cid:0)

]x < 1 nên [

[

]x < 2 (cid:0)

(a c)2 + (b d)2 0 : đúng. ]2x = 2[

]x . ]x + 1) < 1 (cid:0)

]2x = 2

]x < 1 thì 1 2x 2[

0 2x (2[ [

ố ự ẽ ứ i các s t ế 39. N u 0 x ế N u x ]x + 1 [ 40. Ta s ch ng minh t n t

ồ ạ 96000...00 14 2 43 mchöõsoá0 nhiên m, p sao cho : 97000...00 a + 15p < 14 2 43 mchöõsoá0

k 1 a + 15

a m 10

15p m 10

ữ ố ố ọ ứ < 97 (1). G i a + 15 là s có k ch s : 10 T c là 96

x n

15 k 10

a k 10

15p k 10

(cid:0) (cid:0) (2). Đ t ặ . Theo (2) < 10k a 1 k 10 10

15 k 10 ợ

< 1. Ta có x1 < 1 và

]

[

ậ ầ ầ ị

t các giá tr 2, 3, 4, …, các giá tr c a x ơ ẽ ả ế ị Cho n nh n l n l tăng không quá 1 đ n v , khi đó ị ủ n tăng d n, m i l n ỗ ầ nx s tr i qua các giá tr 1, 2, 3, Đ n m t ộ

15p k 10

ứ < 97. B tấ ị a k 10

ứ lúc nào đó ta có � �� px = 96. Khi đó 96 xp < 97 t c là 96 ứ ẳ đ ng th c (1) đ 42. a) Do hai v c a b t đ ng th c không âm nên ta có :

| A + B |2 = ( | A | + | B | )2 (cid:0) ấ ẳ ứ ứ ợ c ch ng minh. ế ủ ấ ẳ | A + B | = | A | + | B | (cid:0) A2 + B2 + 2AB = A2 + B2 + 2| AB | (cid:0) AB = | AB | (b t đ ng th c

ấ

2 4x 5 0 (cid:0)

x x

- = (cid:0)

(cid:0) ả ả ậ ấ 2 x 3 (l p b ng xét d u) (cid:0) ấ ậ ỉ 2 x 3. (cid:0) ơ | 2x + 5 | + | x 4 | = | x + 9 | = | 2x + 5 + 4 x | ả đúng). D u = x y ra khi AB = 0. b) Ta có : M = | x + 2 | + | x 3 | = | x + 2 | + | 3 x | | x + 2 + 3 x | = 5. D u = x y ra khi và ch khi (x + 2)(3 x) 0 V y min M = 5 c) Ph ng trình đã cho (cid:0) (2x + 5)(4 x) 0 (cid:0) 5/2 x 4 (cid:0) - (cid:0) (cid:0) ệ ồ ạ ủ ề ơ i c a ph ng trình : x 43. Đi u ki n t n t (cid:0) (cid:0)

2 3y 2 = 0 (cid:0)

4x 5

- ặ ẩ ợ , ta đ c : 2y (y 2)(2y + 1) = 0.

ụ Đ t n ph 2x 45. Vô nghi mệ

Ỏ

NG HS GI

I THCS

TOÁN B I D i c a

ệ ồ ạ ủ min A = 0

Ồ ƯỠ x là x 0. Do đó : A = x + x 0 (cid:0)

46. Đi u ki n t n t (cid:0)

ặ ề x = 0. ề = y 0, ta có : y2 = 3 x (cid:0) x = 3 y2. ệ 47. Đi u ki n : x 3. Đ t

3 x- 13 4

13 4

11 4

B = 3 y2 + y = (y )2 + . max B = y = (cid:0) x = (cid:0) .

ừ

= + 5 (2 3 1)

= 13 4 3

4 2 3

3 1

- - - - ằ ậ ố . V y hai s này b ng

) =

(

13 4 48. a) Xét a2 và b2. T đó suy ra a = b. b) 5 nhau. c) Ta có : ( + - n 2

+ + n 2

+ n 1

1 và

n+1

+ + n 1

) = n

) ( + >

+ +

- .

n nên

n 1

n+2

+ - n 1

) ( + < Mà n 2 n 1 n 1 49. A = 1 | 1 3x | + | 3x 1 |2 = ( | 3x 1| )2 + .

- .

(cid:0) T đó suy ra : min A = ặ x = ho c x = 1/6

2 5

3 5

(cid:0) (cid:0) . ừ 51. M = 4 52. x = 1 ; y = 2 ; z = 3. 53. P = | 5x 2 | + | 3 5x | | 5x 2 + 3 5x | = 1. min P = 1 (cid:0)

�

c) A

a) A

= B 0

b) A B

�

= A 0 = B 0

= A B

ầ ớ ơ i m t s ph ộ ố ư ng trình d ng sau : 54. C n nh cách gi (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ả A 0 (B 0)

� � �

(cid:0) ạ B 0 = A B

�

d) A B

+ e) A B 0

= A 0 � = B 0

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) . (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

B= A A B= . = . B 0 A B= .

ơ ơ

- = (cid:0)

v 0 ; 7x 4

0 ; 2x 2

0 ; 3x 5

+ = (cid:0) z

8x 1

ề ạ = y 0, đa ph

� � � B 0 = (cid:0)� A B = - A a) Đa phư ng trình v d ng : ề ạ b) Đa phư ng trình v d ng : ề ạ ươ ạ ng trình có d ng : c) Ph A ề ạ ươ ng trình v d ng : d) Đa ph ề ạ ươ ng trình v d ng : | A | + | B | = 0 e) Đa ph ệ g, h, i) Phư ng trình vô nghi m. ơ x 1- ươ k) Đ t ặ ng trình v d ng : | y 2 | + | y 3 | = 1 . Xét ế ấ d u v trái. l) Đ t : ặ

+ = (cid:0) u + = +

u v 2

t 2

z = 2

+ =

v z =� x

8x 1

(cid:0) (cid:0) ừ ứ . T đó suy ra : u = z t c là : ợ ệ Ta đ c h : - - (cid:0)

+ -

u + 7x 4 55. Cách 1 : Xét = 2 2(x y) x

+ 2 x

2 2(x y) 2 2xy

(x y

- - - - - - (cid:0) .

Ồ ƯỠ

Ỏ

TOÁN B I D

NG HS GI

)

I THCS ( +

�۳

2 2

x (

)

y x x y

ế ổ ươ ươ Cách 2 : Bi n đ i t ng đ ng - -

x y 0 (cid:0)

(cid:0)

+ (x y)

2 (x y).

x y

2 x y

1 x y

- - (x2 + y2)2 8(x2 + y2 ) (cid:0) 0 (cid:0) (x2 + y2+ 4)2 (cid:0) 0. ứ + 2 (x y) - (cid:0) - - - - - -

; y

0(cid:0) (x2 + y2)2 8(x y)2 (cid:0) (x2 + y2)2 8(x2 + y2) + 16 (cid:0) ử ụ ấ ẳ Cách 3 : S d ng b t đ ng th c Cauchy : + + 2 2 2.1 2xy 2xy y x y x x y (x > y). - ứ ả ẳ ấ ho cặ D u đ ng th c x y ra khi

+ 6

; y

+ +

- - -

1 1 1 + + a b c

1 2 a

1 2 b

1 2(c b a 2 c

abc

� � �

2 � � �

1 1 1 � � ab bc ca �

� = � �

= 62.

2 1 2 b 1 2 b

1 2 c 1 2 c

1 2 a 1 = 2 a

ứ ề ả . Suy ra đi u ph i ch ng minh.

x 10

x 6 x 10

�

(x 6)(x 10) 0 ��۳ � x 6

+ x 16x 60 0 x 6 0

�(cid:0) x 6

ệ ề 63. Đi u ki n : (cid:0) (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) . (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x > 6.

2 16x + 60 < x2 12x + 36 (cid:0) ng trình đã cho : x 10.

ệ

2 3. Chuy n v : ể

2x 3-

ế x2 3 (1) ế ươ ng hai v : x Bình ph ươ ủ ấ Nghi m c a b t ph ệ ề 64. Đi u ki n x

= (cid:0)

2x 3-

x 3 0

- = x 3 0 (cid:0)� 1

x 2 � (cid:0) x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ừ ặ Đ t th a chung : .(1 ) 0 (cid:0) - - (cid:0) - (cid:0)

3(cid:0) (x2 + y2)2 4(x2 + y2) + 3 = x2 0.

ơ ậ ệ ủ ấ ư ng trình : x = ; x 2 ; x 2.

(A 1)(A 3) 0 (cid:0) 1 A 3.

x = 0, khi đó y = 1. max A = 3 (cid:0) x = 0, khi đó y = 3.

4 x 4

2 16 x

�

�� 8

x 4 2 2

�

1 - < 2

x 4 2 2 + x 4 2 2

� �

+ > 2x 1 0 + (cid:0) x 8x 8 0

> -

2 (x 4) � � � x

1 2

> -

� �(cid:0) � x

1 2

V y nghi m c a b t ph 65. Ta có x2(x2 + 2y2 3) + (y2 2)2 = 1 (cid:0) Do đó : A2 4A + 3 0 (cid:0) min A = 1 (cid:0) 66. a) x 1. b) B có nghĩa (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - - (cid:0) . (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

Ồ ƯỠ

Ỏ

NG HS GI

I THCS

TOÁN B I D x 2x 0

�

x(x 2) 0 2

x 2 < x 0

x 2x

� 2 x

� x

x 2x

(cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) 67. a) A có nghĩa (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

- ớ v i đi u ki n trên.

22 x 2x

2x 2x

- ề < 1 (cid:0) ệ x2 2x < 1 (cid:0) (x 1)2 < 2 (cid:0) 2 < x 1 < 2

(cid:0) b) A = c) A < 2 (cid:0) kq

14 2 43 = a. Ta s ch ng minh 20 ch s th p phân đ u tiên

0,999...99 20chöõsoá9

ữ ố ậ ẽ ứ ầ 68. Đ t ặ

a < 1. Th t ậ a2 < a. T aừ 2 < a < 1 suy

(cid:0) ố ậ a là các ch s 9. Mu n v y ch c n ch ng minh a < a(a 1) < 0 (cid:0) ứ ỉ ầ a2 a < 0 (cid:0)

c a ủ ữ ố ậ v y ta có : 0 < a < 1 ra a < a < 1.

= 0,999...99 0,999...99 14 2 43 . 20chöõsoá9

V y ậ

14 2 43 20chöõsoá9 ụ

ị ớ ấ 69. a) Tìm giá tr l n nh t. Áp d ng | a + b | | a | + | b |.

ạ ẳ max A = 6 + 2 (khi ch ng h n x =

ấ ỏ

ẳ ạ min A = 4 2 (khi ch ng h n x = 2, y =

A | x | + 2 + | y | + 1 = 6 + 2 (cid:0) 2, y = 3) ị ụ b) Tìm giá tr nh nh t. Áp d ng | a b | | a | | b . A | x | 2 | y | 1 = 4 2 (cid:0) 3) 70. Ta có : x4 + y4 2x2y2 ; y4 + z4 2y2z2 ; z4 + x4 2z2x2. Suy ra :

x4 + y4 + z4 x2y2 + y2z2 + z2x2 (1)

2 + b2 + c2

1 3

ứ ễ ặ ợ ế M t khác, d dàng ch ng minh đ c : N u a + b + c = 1 thì a .

2y2 + y2z2 + z2x2

1 3

ế Do đó t ừ ả gi thi t suy ra : x (2).

1 3

3 3

n 2 và 2 n+1

(cid:0) ừ T (1) , (2) : min A = x = y = z = (cid:0)

ta so sánh 71. Làm nh bài 8c ( 2). Thay vì so sánh n

+ < n 2

+ n 1 + < n 1

+ - n 2 + - n 2

. Ta có :

n � ứ

+ 2 n 1 i d u căn thành bình ph

ớ ấ ộ ơ ế ủ ư ng c a m t

+ - và n 1 + + - n n 1 n ể t các bi u th c d ệ ồ

ộ

2 b2. ụ ứ ằ ứ ả ử ồ ạ ố ữ ỉ r mà 3 s t n t i s h u t 2r 8

= r (cid:0) 3 + 2 15 + 5 = r2 (cid:0) 72. Cách 1 : Vi ặ ổ t ng ho c m t hi u. Cách 2 : Tính A2 r i suy ra A. 73. Áp d ng : (a + b)(a b) = a ả 74. Ta ch ng minh b ng ph n ch ng. a) Gi - ố ữ ỉ ỉ ế ế ậ ố ả . V trái là s vô t , v ph i là s h u t , vô lí. V y là

ươ i tả ng t ự . ỉ ố s vô t . b), c) Gi

ả ử

Ồ ƯỠ ươ

NG HS GI ươ ng đ

ổ

Ỏ I THCS ng :

�

3 2 2 1 ( >

TOÁN B I D ế ồ s a > b r i bi n đ i t + > 3 3 2 2 2 ) 2

�

3 3

2 2 2

> + + 27 8 4 8 2

> 15 8 2

> 225 128

(cid:0) 75. a) Gi = > 3 3 ) ậ . V y a > b

ươ ế ồ

- - , rõ ràng A > 0 và A2 = 2 (cid:0) A = 2

( là đúng. ng hai v lên r i so sánh. b) Bình ph + ặ 76. Cách 1 : Đ t A = ặ Cách 2 : Đ t B =

�

= 2.B

8 2 7

- = 8 2 7

2 0

4 77

(

)

= + 1

+ +

) +

( +

2.3 + 3

+ 2.4 2 4 4

- - - - - (cid:0) B =0.

2 2.5 ; 56

2 2.7 ; 140

2 5.7

= - 2

ậ t ế . V y P = .

5 ế ủ

1 y 1 x

- - ừ ả ế ươ t ta có : thi ng hai v c a

1 x

- ợ ừ c :

2 =

ậ . T đó : x 2 4. V y : min A = x = 1 ; max A = 2 . Bình ph 2 + y2 = 1. 2 (cid:0) . 78. Vi 79. T gi x 1 y = ứ ẳ đ ng th c này ta đ 80. Xét A2 đ suy ra : 2 A ể (cid:0) x = 0.

(

)

(

)

2a 2b

(cid:0) - (cid:0) . 81. Ta có :

) =

��(cid:0)

max M 2

= = b

1 2

a + = a b 1

(cid:0) (cid:0) . (cid:0) (cid:0)

+ -

(

)

( + -

( + + - a b 2 ab

) + + c d 2 cd

ổ

2 +

)

= + - 2c d 2 ab ( )

(

)

+ > a c

+ +

+ =

+ +

- - (cid:0) ủ ố 82. Xét t ng c a hai s : ) ( + 2a b 2 cd = ( .

2 3

+ = 2

2 3 2

+ . 2

2 +

83. N ( =

12 8 3 4 4 6 4 2 2 ) ( (cid:0) )

(

xy ) 2 + z

= x

- - - .

i ( i = 1, 2, 3, n ).

ậ

ab 0, ta có :

+ +

ấ ẳ ấ ẳ ụ ụ ứ ứ ớ

) 2

(

+ 4 6 8 3 4 2 18 ) ( ) 2 2 2 3 2 + + = 84. T ừ x y z ( ) ( V y x = y = z. 85. Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho 1 và a ố 86. Áp d ng b t đ ng th c Cauchy v i hai s a + b 0 và 2 + 2 2(a b) ab

2 2(a b) ab hay

a b 2 ab

(cid:0) (cid:0) .

ấ ả D u = x y ra khi a = b.

Ồ ƯỠ

Ỏ

TOÁN B I D

NG HS GI

I THCS

bc > a hay

( +

) >

87. Gi ( + ả ử s a b c > 0. Ta có b + c > a nên b + c + 2 ) 2

a , b , c l p đậ ư c thành m t

ạ ậ ẳ ợ ộ . V y ba đo n th ng

ườ ệ ề

a = - b

b. b 2

- - Do đó : b tam giác. 88. a) Đi u ki n : ab 0 ; b 0. Xét hai tr b.( a - - ợ ờ * Tr ng h p 1 : a 0 ; b > 0 : . ợ ng h p : a = b

1 2

a = - b

a + - b

a = - b

a b

- - ợ ờ * Tr ng h p 2 : a 0 ; b < 0 : . -

+ (x 2) >

x �

x � (cid:0) x

2 x

(cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ề ệ ệ ớ ề . V i các đi u ki n đó thì : b) Đi u ki n : (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0)

+ (x 2)

- - -

(x 2) . x x 2

x 2 . x x 2

2 x

x .

- - . -

ế ế

) 2

• N u 0 < x < 2 thì | x 2 | = (x 2) và B = • N u x > 2 thì | x 2 | = x 2 và B = (

+ + 1

1 2

2 +

ấ ẳ ụ . Áp d ng b t đ ng 89. Ta có :

ứ

+ + 1

1 2

2 +

(cid:0) (cid:0) ứ ả ẳ . V y ậ . Đ ng th c x y th c Cauchy: 1 2

+ = 1

=� a

ra khi :

1 2

- + + 2x 5 3

- = 2x 5 1

a ượ

2 , ta đ

- ế ủ (cid:0) x (cid:0) c :

ứ ạ ọ ớ 93. Nhân 2 v c a pt v i 5/2 ằ 94. Ta ch ng minh b ng qui n p toán h c :

P 1

1 2

1 3

ớ a) V i n = 1 ta có : (*) đúng.

�

P k

1.3.5...(2k 1) 2.4.6...2k

1 + 2k 1 ằ

- ả ử s : b) Gi

1 + (1) 2k 1 ứ c) Ta ch ng minh r ng (*) đúng khi n = k + 1 , t c là :

�

P + k 1

+ +

+ (2)

1.3.5...(2k 1) 2.4.6...(2k 2)

1 + 2k 3

1 2k 3

ứ

Ồ ƯỠ

Ỏ

TOÁN B I D

NG HS GI + 2k 1 + 2k 2

ớ ọ ố ơ V i m i s nguyên d ư ng k ta có : (3)

I THCS + 2k 1 + 2k 3 Nhân theo t ng v các b t đ ng th c (1) và (3) ta đ V y ậ (cid:0)

ấ ẳ ứ ế ợ ấ ẳ ứ c b t đ ng th c (2).

P n

1 + 2n 1

n (cid:0) - Ta có ừ Z+ 1.3.5...(2n 1) 2.4.6...2n

�

a b

b a

ổ ơ ơ ng đ ng : ế 95. Bi n đ i t

( a

b)(a

+ ab

ab ) 2

(

-+ � � � �

- (cid:0) -

4(x 1)

< <

1 x >

4(x 1) - > 4(x 1)

x 1 0

và A=

(đúng). (cid:0) - - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ệ ề 96. Đi u ki n : (cid:0) - (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0)

2 1 x

2 x1

2x 1-

ế ả ả Xét trên hai kho ng 1 < x < 2 và x > 2. K t qu : -

105. Cách 1 : Tính A 2 . Cách 2 : Tính A2 Cách 3 : Đ t ặ

y 1

+ - y 1 2y =

2x 2 2x 1 2

y 1 2

+ - + = (y 1 y 1)

- - - - = y 0, ta có : 2x 1 = y2. + + y 1 2y - - -

2x 2 2x 1 = 2 1 2

ớ ứ V i y 1 (t c là x 1), .

+ + - = (y 1 y 1)

= y 2

4x 2

1 2

- ứ ớ V i 0 y < 1 (t c là x < 1), .

2 . N u x 4 thì A = 2

= 2

+ x

ế .

2y = 2 x 2- ươ

ọ . Bình ph ế ồ ng hai v r i rút g n,

ế 108. N u 2 x 4 thì A = 2 + - + ổ ế 109. Bi n đ i : x y 2 ta đ c :ợ = + - 2(x y 2) ạ ươ ế ồ . L i bình ph

)

) ( 2 2 2 a b c d

ọ ng hai v r i rút g n : (2 y)(x 2) = 0. Đáp : x = 2 , y 0 , x 0 , y = 2. ươ

a2 + c2 + 2ac + b2 + d2 + 2bd

)

(

) ( 2 2 2 a b c d

ế ổ ư ng đ ơ 110. Bi n đ i t ng : a2 + b2 + c2 + d2 + 2 ( (1) (cid:0) + (cid:0) (2)

ứ

ế ế ac + bd ượ ng đ

a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 a2c2 + b2d2 +

c ch ng minh. * N u ac + bd < 0, (2) đ ớ ơ ơ * N u ac + bd 0, (2) t ng v i : (a2 + b2)(c2 + d2) a2c2 + b2d2 + 2abcd (cid:0) 2abcd

(cid:0) ứ

TOÁN B I D Ồ ƯỠ ứ ấ ẳ

Ỏ NG HS GI ậ

I THCS ấ ẳ

c ợ

(ad bc)2 0 (3). B t đ ng th c (3) đúng, v y b t đ ng th c (1) đ ứ

+ b c

ứ ấ ẳ

+�

2 a + b c

+ b c 4

2 a + b c

+ b c (cid:0) = = 4

- .

;

2 c + a b

+ a b 4

(cid:0) - (cid:0) - ự . ơ T ng t : ch ng minh. 111. Cách 1 : Theo b t đ ng th c Cauchy : a 2 + a c 4

+ +

a b c a b c

ế

2 a . + b c 4 2 b + a c ứ C ng t ng v 3 b t đ ng th c : 2 c ) + + a b c +

(cid:0) - ấ ẳ (

)

(

)

+ b c

) + c a

+ a b

� ≥ � �

a + b c

b + c a

c + a b

2 � � + � � � �

� � � � � � �

� ( � � X � � � � � � �

ừ ộ 2 2 a b + + b c c a a b 2 Cách 2 : Theo BĐT Bunhiacôpxki : (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) (ax + by + cz)2. Ta có :

+ +

. b c

. c a

+ . a b

2 � � �

+ +

�

+ + 2 (a b c)

�

2 c +

2 2 b a + + b c c a a b

c + a b 2 2 b a + + b c c a a b

+ + a b c 2

b a � � + + b c c a � 2 � c ] [ . 2(a b c) � + �

� � �

(cid:0)

ướ ạ ụ ộ i d ng m t tích 1.(a + 1) và áp d ng bđt 112. a) Ta nhìn t ng a + 1 d

+ +

+ =

(cid:0) Cauchy : ổ + x y 2

a 1

+ 1.(a 1)

(a 1) 1 a = + 2

+ = +

b 1

1 ;

c 1

(cid:0)

b 2

c 2

+ +

+ =

a 1

b 1

+ (cid:0) c 1

3 3,5

ự ơ T ng t :

+ + a b c 2

ấ ẳ ứ ừ ế ộ C ng t ng v 3 b t đ ng th c : .

(cid:0) ớ ả ế ấ a + 1 = b + 1 = c + 1 (cid:0) a = b = c = 0, trái v i gi thi t a

+ +

ả D u = x y ra + b + c = 1.

a 1

b 1

ậ

+ < . c 1 3,5 ộ 2

+ +

ụ ấ ẳ ố V y : ứ

(

)

(

)

+ a b

+ + (1 1 1)X

+ c a

� � �

+ +

(cid:0) b) Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki v i hai b ba s : ) ( + b c

) 2

a b

b c

+ c a

+ + ớ ( � � � 3(a + b + b + c + c + a) = 6(cid:0)

1. a b 1. b c 1. c a (

(cid:0)

C

+ +

+ (cid:0) c a

B

b

(cid:0)

c

b c ứ

ể giác ABCD có AC ng chéo.

ớ

d

O

a

D

A

a b ờ 113. Xét t BD, O là giao đi m hai đ OA = a ; OC = b ; OB = c ; OD = d v i a, b, c, d > 0. Ta có : + 2 2 b d

2 b c ; AD

2 a d ; CD

2 2 a c ; BC

Ỏ

NG HS GI

I THCS

ậ ậ

TOÁN B I D Ồ ƯỠ ứ ầ ABC ; AD.CD 2SADC. Suy ra :

(

)

) ( 2 a d b d

(a b)(c d)

(cid:0) AC = a + b ; BD = c + d. C n ch ng minh : AB.BC + AD.CD AC.BD. Th t v y ta có : AB.BC 2S Suy ra : AB.BC + AD.CD 2SABCD = AC.BD. ) ( ) 2 a c b c V y : ậ .

) (

(

)

+ 2 2 c b

+ 2 a c

ụ ả ằ ứ ấ ẳ i b ng cách áp d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki :

(

)

ac + cb (1)

= +

Chú ý : Gi (m2 + n2)(x2 + y2) (mx + ny)2 v i m = a , n = c , x = c , y = b ta có : ớ (a2 + c2)(c2 + b2) (ac + cb)2 (cid:0) ) ( 2 a d d b ự ộ ad + bd (2) . C ng (1) và (2) suy ra đpcm. ơ T ng t :

A x

= - . Vaäy minA

1 4

� � �

21 � � 2 �

- (cid:0) - ờ ả i sai : . 114. L i gi

1 4

ứ ỉ ườ ợ Phân tích sai l mầ : Sau khi ch ng minh f(x) , chia ch ra tr ng h p

1 4

= -

ả x y ra f(x) =

1 2

ứ ấ ẳ ả ỉ X y ra d u đ ng th c khi và ch khi . Vô lí.

x ph i có x 0. Do đó A = x +

x 0. min A =

ả ể ồ ạ ả i đúng : Đ t n t i

+ 2 (x a)(x b) x

ax+bx+ab

+ (a b)

ờ L i gi 0 (cid:0) x = 0.

ab x

� x � �

� + � �

. 115. Ta có

2 ab

ab x

(cid:0) ấ ẳ ứ Theo b t đ ng th c Cauchy : nên A 2 ab + a + b =

=� x

(

) 2

ab x > x 0 ớ ạ ấ ẳ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) .min A = ( khi và chi khi . (cid:0) (cid:0)

2 = (2x + 3y)2. Nh l

ứ ứ ụ i b t đ ng th c

ể 116. Ta xét bi u th c ph : A Bunhiacôpxki :

(1)

ụ ế (am + bn)2 (a2 + b2)(m2 + n2) ớ N u áp d ng (1) v i a = 2, b = 3, m = x, n = y ta có :

A2 = (2x + 3y)2 (22 + 32)(x2 + y2) = 13(x2 + y2).

2 . Bây gi

2 d i ớ

ợ ằ ờ ế ỉ ố c h ng s mà A , ta vi t A

ụ

2. 2x )

+ (

(

x 2

(2 3)(2x 3y ) 5.5 25

) 2 3. 3y ( ) �� 3 ��

� = � �

(cid:0) ồ ) r i áp d ng (1) ta có : ) y 3 Vói cách trên ta không ch ra đ ạ d ng : A2 = ( ( � � �

= = -

�

x y

= x y + 2x 3y 5

(cid:0) (cid:0) Do A2 25 nên 5 A 5. min A = 5 (cid:0) (cid:0)

Ồ ƯỠ

Ỏ

TOÁN B I D

I THCS

�

= = x y 1

NG HS GI = x y + 2x 3y 5

(cid:0) (cid:0) max A = 5 (cid:0) (cid:0)

ề ặ ệ 117. Đi u ki n x 2. Đ t

+ = - = - 2 y a 2 y

maxA =

��

= �

9 4

1 2

7 4

2 x- 2 1 � � + � � 2 � �

- = y 0, ta có : y2 = 2 x. 9 9 4 4

(cid:0) ề

2 15x 13x 2

- ể ươ x 1. ng hai v : x 1 = 5x 1 + 3x 2 +

- ọ ầ ề

ệ 118. Đi u ki n x 1 ; x 1/5 ; x 2/3 ế ế ồ Chuy n v , r i bình ph (3) Rút g n : 2 7x = 2 15x 13x 2 ế ơ Bình ph ng hai v : 4 28x + 49x . C n có thêm đi u ki n x 2/7. 2 = 4(15x2 13x + 2) (cid:0) ệ 11x2 24x + 4 = 0

ả x1 = 2/11 ; x2 = 2. ơ ề ệ ệ ề ậ ỏ ư ng trình đã cho vô

ươ ệ (11x 2)(x 2) = 0 (cid:0) C hai nghi m đ u không th a mãn đi u ki n. V y ph nghi m.ệ ề 119. Đi u ki n x 1. Ph

- =

- + + x 1 1

x 1

x 1 1 1

- =

ổ - + - - ế ng trình bi n đ i thành : - = � x 1 1 2

- + x 1

x 1 1 1

�

= x 1 1x 2

- + - x 1 1

- ả ộ , không thu c kho ng

- + = x 1 1 2 ậ ế

ế * N u x > 2 thì : đang xét. ế * N u 1 x 2 thì : ệ . Vô s nghi m 1 x 2

ố K t lu n : 1 x 2.

+ = y 0 (cid:0)

7x 7

2 + 7x + 7 0. Đ t ặ ở

ệ x2 + 7x + 7 = y2.

2x 2 3 + 2y = 2 (cid:0)

ơ 3y2 + 2y 5 = 0 (cid:0) (y 1)

ề 120. Đi u ki n : x Ph ng trình đã cho tr thành : 3y (3y + 5) = 0

+ = 1 (cid:0)

7x 7

(cid:0) ạ ớ y = 5/3 (lo i) ; y = 1. V i y = 1 ta có x2 + 7x + 6 =

2 + 7x + 7 0 là

0 (cid:0) (cid:0) ỏ ị (x + 1)(x + 6) = 0. Các giá tr x = 1, x = 6 th a mãn x

+ +

3(x 1) 4

+ (cid:0) 5(x 1) 9 ậ

= . 9 5 ằ

4 2 = 5 (x + 1)2 5. V y hai v đ u b ng 5, khi đó x = 1. ế ề ở

ệ ủ

ấ ẳ ứ ứ ề ế ẳ

ế ớ ậ nghi m c a (1). ế 121. V trái : ả V ph i : 4 2x x ả ị V i giá tr này c hai b t đ ng th c này đ u tr thành đ ng th c. K t lu n : x = 1 - (cid:0) - ữ ỉ ả ử 3 s = a (a : h u t ) 5 2 6 = a2 (cid:0) . 122. a) Gi

25 a 2 ỉ ố là s vô t .

- ậ ố ỉ

ả i tả ố ữ ỉ ế câu a. ng t

ẽ ứ = b, ta có a2 + b = 2. S ch ng minh a + b 2. = a, 4 x- ự x 2- ế V ph i là s h u t , v trái là s vô t . Vô lí. V y ơ b) Gi 123. Đ t ặ

A

; b

+ 2 a 1 2

+ 2 b 1 2

(cid:0) (cid:0) ế ấ ẳ ứ ừ ộ C ng t ng v b t đ ng th c : .

ẳ ộ

b

(cid:0)

c

a

ạ ớ ễ ấ ẻ ặ 124. Đ t các đo n th ng BH = a, HC = c trên m t đ K HA BC v i AH = b. D th y AB.AC 2S ẳ ờ ng th ng. ABC = BC.AH.

B

C

Ồ ƯỠ

NG HS GI

TOÁN B I D ế ồ

Ỏ ợ ấ ẳ

I THCS c b t đ ng th c t

ọ

ơ ứ ư ng ơ ấ ẳ ể ứ ứ ằ

bc > a

ả ử ề s a b c > 0. Theo đ bài : b + c > a. Suy ra : b + c + 2 ơ 125. Bình phư ng hai v r i rút g n, ta đ 2 0. Chú ý : Cũng có th ch ng minh b ng b t đ ng th c đư ng : (ad bc) Bunhiacôpxki. 126. Gi (cid:0)

)

(

)

�

(cid:0) (

+ +

ậ ạ ượ ộ c thành m t tam giác.

a b

+ 2 (a b) 2

1 2

b , c , a l p đậ ộ ẳ V y ba đo n th ng có đ dài ấ ẳ 127. Ta có a, b 0. Theo b t đ ng th c Cauchy : + a b a b � = � �

� ab a b � �

� � �

(cid:0)

+ a b b a

� � �

� + +� ab a b �

ứ ầ ế C n ch ng minh : ệ . Xét hi u hai v : ứ + � � 2 � 1 2

)

( ab a

1 2

1 + + - 2

� + +� ab a b �

� � �

� ab a b � �

� � �

- = = =

1 2

2 � � + � � � �

2 � � �

� � � � � � �

� � � �

- - 0

1 4

ứ ẳ ấ ả ặ X y ra d u đ ng th c : a = b = ho c a = b = 0.

+ b c a

+ + b c a 2a

� � �

� 1 : 2 � �

(cid:0) ấ ẳ ứ . 128. Theo b t đ ng th c Cauchy :

;

a +

b +

2b + +

c +

2c + +

b c a b c

a b a b c

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ươ ự Do đó : ng t :

2a + + . T a + b c

a c a b c + + 2(a b c) + + a b c

c + a b

(cid:0) ế ộ . ừ C ng t ng v :

�

+ + = a b c 0

b + c a = + a b c = + b c a = + c a b

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ứ ấ ẳ ả ớ ả ế X y ra d u đ ng th c : , trái v i gi thi t a, b, c > (cid:0) (cid:0)

ấ ẳ ậ

+ -

ấ ẳ 0. ả ứ V y d u đ ng th c không x y ra. ứ 129. Cách 1 : Dùng b t đ ng th c Bunhiacôpxki. Ta có :

)

2 2 y 1 y 1 x

+ 2 x 1 y

2 x

) ( (m 1)2 0 (cid:0)

- - (cid:0) - - .

- - ừ ả ế Đ t xặ Cách 2 : T gi

( 2 + y2 = m, ta đ c : 1 ợ t : thi x2(1 y2) = 1 2y

) ( 2 y 1 x 2 m(2 m) (cid:0) = - 2 2 1 y 1 x x 1 y + y2(1 x2) (cid:0) 21 x- )2 (cid:0) y =

21 x-

0 = (y

(cid:0) ụ m = 1 (đpcm). ươ ế ng hai v : + y2 21 x- x2 + y2 = 1 . 1 x 2 . . Bình ph x2 = 1 2y (cid:0) 130. Áp d ng | A | + | B | | A + B | . min A = 2

Ồ ƯỠ

Ỏ I THCS 2 2 + 2

TOÁN B I D 21 x- . Do 0

131. Xét A2 = 2 + 2

(cid:0)

NG HS GI 1 (cid:0) 21 x- 4 2 A2 4. min A = 2 v i x = 1 , max A = 2 v i x = 0. ớ + + ụ 2 2 2 (b d) a b

21 x- ớ + 2 (a c)

+ 2 2 c d

(cid:0) ấ ẳ ứ (bài

+ -

132. Áp d ng b t đ ng th c : 23)

+ 2 2 x 1

+ 2 2 (1 x) 2

+ + 2 (x 1 x)

- (cid:0)

minA

�

1 x x

= 2 (1 2) 1 3

- .

+ 2

�

� � � 1 x 3

�

+ 2

+ (x 2)(6 x) 0 � + (x 1)(3 x) 0

+ x 4x 12 0 + (cid:0) x 2x 3 0

2 + 4x + 12)( x2 + 2x + 3) = 2x + 9. Do (1) nên 2x + 9 > 0 nên

(cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - ậ ị 133. T p xác đ nh : - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(1) ệ Xét hi u : ( x A > 0.

(

(x 2)(6 x)

+ (x 1)(3 x)

2 (cid:0)

- - - ấ ể Xét : 0 nhưng d u = . Hi n nhiên A

) 2 2 d i d ng khác : ớ ạ

ế ả ổ không x y ra (vì A > 0). Ta bi n đ i A

- - =

- - A2 = (x + 2)(6 x) + (x + 1)(3 x) 2 (x 2)(6 x)(x 1)(3 x) = (x + 1)(6 x) + (6 x) + (x + 2)(3 x) (3 x) 2 (x 2)(6 x)(x 1)(3 x)

- - = (x + 1)(6 x) + (x + 2)(3 x) 2 (x 2)(6 x)(x 1)(3 x) + 3

(x 1)(6 x)

+ + (x 2)(3 x)

) 2 ớ

- - - = ( .

2 5.

A2 3. Do A > 0 nên min A = 3 v i x = 0. ệ

ấ ẳ ứ ấ : Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki :

ề 134. a) Đi u ki n : x ị ớ * Tìm giá tr l n nh t A2 = (2x + 1. A2 25.

2 5 x

2 4(5 x )

�

= x 2

��

2 x � � 2 x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) )2 (22 + 11)(x2 + 5 x2) = 25 (cid:0) x 0 = - . (cid:0) (cid:0) ụ 5 x- 2 x 2 � � 2 x (cid:0) (cid:0)

ớ

ậ ớ V i x = 2 thì A = 5. V y max A = 5 v i x = 2. ỏ ằ ấ : Chú ý r ng tuy t ừ 2 25, ta có 5 x 5, nh ng ư A

ả

2 5 (cid:0)

ủ ị ị * Tìm giá tr nh nh t không x y ra A2 = 5. Do t p xác đ nh c a A, ta có x ậ 5 x 5 . Do đó : 2x 2

5 và 5 x- 2

0. Suy ra :

5 x-

2 5 . Min A = 2 5 v i x =

A = 2x + ứ ể ấ ẳ ụ ụ ớ ứ

b) Xét bi u th c ph | A | và áp d ng các b t đ ng th c Bunhiacôpxki và Cauchy :

Ồ ƯỠ

Ỏ

TOÁN B I D

NG HS GI + +

+ x 99. 99 1. 101 x

I THCS = 2 x (99 1)(99 101 x )

< 2 x .10. 200 x

- (cid:0) - -

)2

(

10.

1000

2 x 200 x 2

x 101

A 1000

�

99 1 =

2 x

2 101 x 2 200 x ớ

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) . Do đó : 1000 < A < 1000. - (cid:0) (cid:0) - (cid:0)

)

+ x y

= + a

min A = 1000 v i x = 10 ; max A = 1000 v i x = 10.

bx y

. 135. Cách 1 : A = x + y = 1.(x + y) = ớ ay x

2 ab

bx y

ay bx . y x

� �+ a b ( � � x y � � ay x

(cid:0) ơ ấ ẳ ứ ớ . ng : Theo b t đ ng th c Cauchy v i 2 s d

(

+ + A a b 2 ab

(cid:0) ố ) 2 Do đó .

bx y

= (cid:0) 1

(

) 2

min A

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x � � y

= + a = + b

ay x a b � � y x > x, y 0

v i ớ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ấ ẳ ứ Cách 2 : Dùng b t đ ng th c Bunhiacôpxki :

(

)

A (x y).1 (x y)

b y

a x

2 � � �

(cid:0) .

� � � b a + � � � y x � � � ấ ủ T đó tìm đ 136. A = (x + y)(x + z) = x2 + xz + xy + yz = x(x + y + z) + yz

+ +

ừ ợ ị ỏ c giá tr nh nh t c a A.

2 xyz(x y z)

(cid:0)

2 1.

ẳ

yz x

(cid:0) ấ ẳ ứ . 137. Theo b t đ ng th c Cauchy : min A = 2 khi ch ng h n y = z = 1 , x = xy yz . x z ạ xy z

2z ;

yz x

zx y

xy z

(cid:0) (cid:0) ự ơ T ng t : . Suy ra 2A 2(x + y + z) = 2.

ớ min A = 1 v i x = y = z = .

x + x y

y + y z

z + z x

1 3 + + x y z 2

(cid:0) ậ ứ ấ ẳ . Theo b t đ ng th c 138. Theo bài t p 24 :

xy ;

yz ;

zx nên

+ y z 2

+ z x 2

x+y+z 2

yz 2

1 = . 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) Cauchy : + x y 2

Ỏ

NG HS GI

min A = .

TOÁN B I D Ồ ƯỠ 1 2

I THCS 1 3

2 =

� (

= = = z )

(

)

(

2a 2b

(cid:0) - (cid:0) ) . 139. a)

��(cid:0)

max A 2

= = b

(cid:0) (cid:0)

1 2

4 =

+ 2

(cid:0) (cid:0)

)

(

)

a + = a b 1 (

)

6ab)

(cid:0) - b) Ta có : (

2(a

6ac) ;

2(a

6ad)

(cid:0) (cid:0)

2(a ) )

( (

2(b

6bc) ;

2(b

6bd)

(cid:0) (cid:0) ự ơ T ng t :

a ( ( (

) ) )

2(c

6cd) Suy ra : B 6(a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd) = 6(a + b + c + d)2 6

(cid:0)

��(cid:0)

max B 6

= = = = c

(cid:0) (cid:0)

1 4

a c b + + + = a b c d 1

+ x y

(cid:0) (cid:0)

= A 3

2 3

2. 3 .3 ổ

3 ấ

= ả ử

(cid:0)

+ (cid:0) b c

ừ ả ớ . min A = 18 v i x = y = 2. ế thi t suy ra : 140. 141. Không m t tính t ng quát, gi

2. 3 s a + b c + d. T gi + + + a b c d 2

+ + + a b c d + 2(c d)

+ c d + c d

+ c d + a b

b + c d

c + a b

c + c d

� � �

+ b c + c d ớ

- - (cid:0) - -

ặ

1 2

x y - = . 2y x

1 2

� � � Đ t a + b = x ; c + d = y v i x y > 0, ta có : y x

1 x + - + 1 2 2y

+ x y 2y

y - + y

y = x

� � �

� x + � 2y �

(cid:0) - (cid:0) -

�

min A

= d

= 0 , x

y 2 , b c

+ a d

1 2

- ạ ẳ � ; ch ng h n khi

+ 2 1, b

= 2,d

+ 2

= 2 1,c ố . Đáp s : x = 3.

( x

- -

= 2 3) ề ế a v : (x

2 + 8)(x2 8x + 8) = 0. Đáp s : x = 4 + 2

2 .

ố 142. a) (x 3) ơ b) Bình ph ng hai v , đ

ả ớ ế ơ . V ph i l n h n v trái. Vô nghi m.

x 1

- - ế ố ơ ế ệ . Bình phư ng hai v . Đáp s : x = ế - = + x 2 x 1 1

ố c) Đáp s : x = 20. + - = + d) x 1 x 1 2 ể e) Chuy n v : 1.

1 2

ế ơ ố x 1 g) Bình phư ng hai v . Đáp s :

I THCS

Ồ ƯỠ - + y 2

NG HS GI y 3

TOÁN B I D ề ạ = y. Đa v d ng

ấ ẳ

Ỏ ế = 1. Chú ý đ n b t đ ng

x 2-

- + -

y 2

3 y

- + - y 2 3 y

h) Đ t ặ th c :ứ (cid:0) ợ ố . Tìm đ c 2 y 3. Đáp s : 6 x 11.

1 x

= - 1

- ế ồ ươ ế , r i bình ph ng hai v . Đáp : x = 0 (chú ể i) Chuy n v :

16 25

ạ ý lo i x = )‌

16 25

. k) Đáp s : ố

ệ ề ặ ơ ọ l) Đi u ki n : x 1 ho c x = 1. Bình ph

- - ế ồ ư ng hai v r i rút g n : .

+ = 2 2 2(x 1) (x 3)(x 1) 2(x + 3)(x 1) = (x + 1)2(x 1)2 (cid:0)

= -

ươ (x + 1)2(x 1) Bình ph

ạ (7x + 25) = 0; ệ lo i. Nghi m là : x = 1. ế ng hai v : 8(x + 1) 25 7

ơ ớ ớ ơ ơ

ươ ế ề ệ ấ

ế ề ệ ệ ư ng trình vô nghi m. ả ế m) V trái l n h n x, v ph i không l n h n x. Ph ệ ệ ng hai v , xu t hi n đi u ki n x 1. n) Đi u ki n : x 1. Bình ph Nghi m là : x = 1.

ế ặ ằ ỏ ơ ơ

+ = x 2

x 2

2x 3 2

+ - y ; 2x 2 +

= + 2

+ = +

ế ằ + + ả ươ ng trình. (1). Ta có : ế ặ ằ ớ o) Do x 1 nên v trái l n h n ho c b ng 2, v ph i nh h n ho c b ng 2. ỏ Suy ra hai v b ng 2, khi đó x = 1, th a mãn ph + = p) Đ t ặ

1 2 x 2 ; y z 1 2 x 2

- . Suy ra y z = 1.

+ (2). T (1) và (2) tính đ

x 2

ừ ợ ạ ố c x. Đáp s : x = 2 (chú ý lo i x

2 9x + 4 = a 0 ; 2x 1 b 0. Ph

3 b

+ a 15b

; 5

ươ ng trình là : . T đó ừ = 1). ặ q) Đ t 2x

1 2

ươ ế ồ ọ ợ ặ ố Bình ph ng hai v r i rút g n ta đ c : b = 0 ho c b = a. Đáp s :

(

)

+ - k 1

144. Ta có :

( + +

(

+ - k 1 ) (

)

1 k

2 2 k

+ k 1

k 1

) + - k 1

+ + ...

- + 2( 2 1) 2( 3

+ 2) 2( 4

+ + 3)

+ - ... 2( n 1

n )

1 3

1 n

+ -

- - = V y :ậ 1 2

= 2( n 1 1) ề ạ ơ ể ứ (đpcm). i d u căn v d ng các bình ph ư ng đúng. M = 2

n 1.

ạ ử ế ớ ấ ứ ở ẫ ừ ụ m u t ng h ng t ả . K t qu : A =

= -

�

+ ( a

+ a 1)

= - P

+ ( 2

+ 2n 1)

+ a 1 ả

150. Đa các bi u th c d 151. Tr c căn th c 1 . 152. Ta có : -

ố ữ ỉ ứ ằ ả ứ P không ph i là s h u t (ch ng minh b ng ph n ch ng).

TOÁN B I D

NG HS GI

=� A

9 10

n n 1

- ứ 153. Ta hãy ch ng minh :

Ỏ I THCS 1 1 + n 1 n

+ + ...

1 2

1 3

1 4

. 154.

Ồ ƯỠ 1 + + (n 1) n 1 n

1 n

ứ ế ặ ổ ổ

ừ ơ ố 155. Ta có a + 1 = 17 . Bi n đ i đa th c trong ngo c thành t ng các lũy th a c s a + 1

- =

A = [(a + 1)5 3(a + 1)4 15(a + 1)3 + 52(a + 1)2 14(a + 1)]2000 = (259 17 225 17 34 17 1)2000 = 1.

- = a 1

;

a 2

a 3

a 1

a 3

- - - ổ . ế 156. Bi n đ i : - -

- + + - 2 x

+ = x

1 + = x 2

1 4

1 2

1 � � � + � � � 2 � � �

- + a 2 2 � � �

và

- - - (cid:0) . 157.

1 2

ể ả ấ ồ ờ D u = không x y ra vì không th có đ ng th i :

+ (cid:0) a b

2(a

2 b )

1 = . 2 (*) (a + b 0) =

ớ ế ứ 168. Tr c h t ta ch ng minh :

- + x 1

y 2

- + - 2(x 1 y 2)

- (cid:0) ụ Áp d ng (*) ta có :

max S

= �� 2

- = - + =

x 1 y 2 x y

3 2 5 2

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

ụ ứ

2 r i áp d ng b t đ ng th c Cauchy. ấ ẳ ồ (cid:0) A (cid:0) 3 . D th y A > 0. Ta xét bi u th c : ứ ể

ả ễ ấ ể * Có th tính S 180. Ta ph i có

= - 2

3 x

1 A

- . Ta có :

�

3 x

� � 3

3 x

� � 0

� 2

� . 2

3 x 1

- - - - - - -

max A

= + 2

�

= - min B 2

= 3

3 x

= x

- . Khi đó (cid:0) -

= 2

�

� � . Khi đó min A =

max B 2

3 x

= x

(cid:0) -

1 2 2x 1 x

1 x x

- ấ ẳ ứ ụ ể ể . ứ 181. Đ áp d ng b t đ ng th c Cauchy, ta xét bi u th c : -

(1)

B 2

2 2 . B 2 2

1 x x

2x 1 x . 1 x

< <

x 1

(2)

2x 1 x 0 (cid:0) x 2 (cid:0) = (cid:0) 1 x (cid:0) . Do 0 < x < 1 nên x 2 = 1 x

Khi đó : - (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) - (cid:0) - (cid:0) (cid:0)

2 = (1 x)2 (cid:0)

i (1) : 2x (cid:0) ả Gi

Ồ ƯỠ

Ỏ

TOÁN B I D

NG HS GI

I THCS

2 1

- (cid:219) x = .

1 + 2 1 2 (cid:0)

ậ Nh v y min B = 2 x = 2 1.

- +

= + =

- = A B

2 1 3

2x + 1 x

2 2x + 1 x

1 1 x x ỉ

1 x � = � x � Do đó min A = 2 2 + 3 khi và ch khi x =

2 1.

ờ Bây gi - - - - - - ệ ta xét hi u : 1 2 � � � + � � � 1 x x � � �

ệ ề ứ ả

(cid:0) ấ ẳ ộ ổ Ở ố ứ đây ta mu n làm tăng m t t ng. Ta dùng b t đ ng th c : .

2 b )

2(a

ấ ẳ 182. a) Đi u ki n : x 1 , y 2. B t đ ng th c Cauchy cho phép làm gi m ộ ổ m t t ng : + a b 2 + (cid:0) a b

- + x 1

y 2

max A

- = - + =

x 1 y 2 x y

� = ��

- + - 2(x 1 y 3) 2 = x 1,5 � � = y 2,5 �

- (cid:0)

ấ ẳ ứ ồ

ấ ẳ ứ ề ộ ộ Cách khác : Xét A2 r i dùng b t đ ng th c Cauchy. b) Đi u ki n : x 1 , y 2. B t đ ng th c Cauchy cho phép làm tr i m t

(cid:0) tích : ệ + a b 2

x 1 , y 2

- - ứ ể Ta xem các bi u th c là các tích :

2(y 2)

- =

- = x 1

1.(x 1) , y 2

+ -

- -

- - (cid:0) ấ ẳ ứ Theo b t đ ng th c Cauchy :

2 x 1 x 2.(y 2)

y 2 y

y 2

1 x 1 2x 1 2 2

max B

- = x 1 1 - = y 2 2

2 4

1 = + 2

2 4

1.(x 1) x + - 2 y 2 2y 2 � ��

1 2 2 4 = x � � = y �

, b

- - (cid:0)

1 +

1998

1997

1 + 1997 < 1996

1996 + 1998

1997

. Ta th yấ 183.

Nên a < b.

6 .

1 5

ớ ớ v i x = 184. a) min A = 5 2 6 v i x = 0. max A =

5 . max B = 5 v i x = 1

+ -

ớ ớ b) min B = 0 v i x = 1

2 x (1 x )

2 (1 x ) = 2

1 2

- (cid:0) . 185. Xét 1 x 0 thì A 0. Xét 0 x 1 thì

Ỏ

TOÁN B I D

(cid:0)

Ồ ƯỠ NG HS GI = - 2 1 x

��(cid:0)

max A

1 2 ớ

x ấ

(cid:0)

I THCS 2 2 2 l n nh t. Theo bđt

ấ ớ

= 2

186. A = (cid:0) x y (cid:0) 0, do đó A l n nh t khi và chi khi A Bunhiacôpxki :

(x y)

.2y

= 2 4y )

1 2

1 4

5 4

� 1.x � �

2 � � � + + 2 1 (x � � � � � �

- - (cid:0)

= -

2 5 5

�

max A =

5 2

1 2 2

= -

2y = -� x � � 2 x

x � � � y

5 10

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) ho c ặ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

�

� x

ị ớ ế thi t : 187. a) Tìm giá tr l n nh t (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

0 � 0

x 1 y 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

��(cid:0)

max A 1

0, y 1 V x 1, y

(cid:0) ừ ả ấ : T gi 2 3 x x � y = (cid:0)

(cid:0) (cid:0)

(cid:0).

+ x y 2

ỏ ị ấ : (x + y)2 2(x2 + y2) = 2 (cid:0) x + y b) Tìm giá tr nh nh t

)

(

) (

+ x y

Do đó :

(cid:0) ấ ẳ ứ . Theo b t đ ng th c Bunhiacôpxki :

)

(

)

(cid:0)

)

(

y )(x y)

3 x . x

3 y . y

� � �

2 � � �

�

= = y

min A

2 2

a ; y

( �� + y2) = 1 1 2 = , ta có a, b 0, a + b = 1.

= (x2

188. Đ t ặ

A = a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2) = a2 ab + b2 = (a + b)2 3ab = 1 3ab. (cid:0) ặ ặ a = 0 ho c b = 0 x = 0 ho c x = 1, y =

2 = -

= =

(cid:0) =

1 3ab

. min A

Do ab 0 nên A 1. max A = 1 (cid:0) 0.

1 4

Ta có

+ (a b) 1 1 � � � � ab 4 4 4 189. Đi u ki n : 1 x 0 , 2 x 0 nên x 1. Ta có :

ề ệ

- + 1 x

(x 1)(x 2)

x 2

- - - - - -

�

x 1 = x 2 - = � 3

(x 1)(x 2)

= (x 1)(x 2)

1 x

= - 3

- + 1 x

- - - - - (cid:0) .

Ồ ƯỠ

Ỏ

TOÁN B I D

NG HS GI

I THCS

ớ ọ

2x 3

ị ủ ặ ơ ớ ọ ị ng trình xác đ nh v i m i giá tr c a x. Đ t

y 3 2 = -

2 2 (loai vì y 0

190. Ta có : 6 + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + 4 = 2(x + 1)2 + 4 > 0 v i m i x. + = y 0, ph V y ph ơ ạ ậ ng trình có d ng : (cid:0) (cid:0) y2 y 2 12 = 0 (cid:0) (y 3 2 )(y + 2 2 ) = 0 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

+ = 3 2 (cid:0)

2x 3

x2 + 2x + 3 = 18 (cid:0) (x 3)(x + 5) = 0 (cid:0) x =

Do đó 2x 3 ; x = 5 . 191. Ta có :

1 + (k 1)k

1 + k 1

1 � � k �

1 � � + = k � � k � �

1 �� k ��

� � �

- -

k + k 1

1 + k 1

1 + (k 1) k

1 + k 1

� . Do đó : � �

1 � � k �

� . � �

�� 1 �� k � �

- - =

+ + ...

... 2

1 + (n 1) n

1 2

1 + n 1

� 2 1 � �

� + � �

1 � � n �

� � �

� 1 � 2 �

� 1 + + � 3 �

- - -

1 + (k 1) k � 1 � � V y :ậ 1 1 2 3 2 � 2 1 � �

1 4 3 1 � < �+ n 1 �

- = (đpcm).

1 ab

ấ ẳ ứ 192. Dùng b t đ ng th c Cauchy

ặ Q .

x , y (cid:0)

2 + (a, b > 0 ; a 0). a b x + y = b (1) thì a, b (cid:0) Q .

ế 193. Đ t x y = a , a) N u b = 0 thì x = y = 0, do đó

�

= y

a b

x y + x

- - ế b) N u b 0 thì Q (2).

�

Q ;

1 2

a � � � � b � �

a � � + � � b � � + +

1 2 =

- ừ T (1) và (2) : .

)

) (

(

ậ 199. Nh n xét :

)

. Do đó : (

) (

5 �

)

(

(1)

2 x

5a + 2

�� x

+ = x

+ (cid:0) x

a + > x

+ + > , (cid:0) x. 0

. Suy ra : Do a 0 nên :

0 >

(cid:0) ậ (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

)

2 x

3 x

0 2

25x

Vì v y : (1) ( (cid:0)+� � + - a x 5 (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

(cid:0)� (cid:0)

3 4

< (cid:0) x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) .

3 4

(cid:0)

Ồ ƯỠ

TOÁN B I D

NG HS GI

I THCS

1 x+

- ớ ế c ợ . Sau đó tính đ 207. c) Trư c h t tính x theo a đ -

Ỏ 1 2a 2 a(1 a)

1 2 a(1 a)

c ượ . -

ố Đáp s : B = 1.

ơ ự d) Ta có a2 + 1 = a2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c). T ng t

: ố b2 + 1 = (b + a)(b + c) ; c2 + 1 = (c + a)(c + b). Đáp s : M = 0.

+ 2x 4 x

ọ ế ứ ề ả . Suy ra đi u ph i ch ng minh. 208. G i v trái là A > 0. Ta có

1 2

3 = . 2

nên : a2 + b2 = (a + b)2 2ab = 1 + 209. Ta có : a + b = 1 , ab =

1 4 1 - = 9

9 4

= -

17 8 3 4

7 4

a4 + b4 = (a2 + b2)2 2a2b2 = ; a3 + b3 = (a + b)3 3ab(a + b) = 1

) 1

7 17 . 4 8

239 64

1 � � ( - = - � � 64 � �

= - 2

- - - Do đó : a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) a3b3(a + b) = .

= 3 2 2 = 3

( 2 1) = 3

- =

- +

- - . 210. a)

( 2 1) ể

8 - = 2 2 6 3 2 1 5 2 7 : (1 2 )n = A B 2 ; (1 + 2 )n = A + B 2

- - .

a b) Theo khai tri n Newton ớ N v i A, B Suy ra : A2 2B2 = (A + B 2 )(A B 2 ) = [(1 + 2 )(1 2 )]n = ( 1)n.

(cid:0)

2 2B2 = 1 (2).

ẻ thì A

ế ợ

2 2b2 = 1 (1). N u n l n. Có hai trư ng h p : ờ : an = ( 2 1)n = (1 2 )n = A B 2 =

- .

ỏ

A-

ẻ . Đi u ề ợ : an = ( 2 1)n = (1 2 )n = B 2 A = thì

ỏ

2 + 2a + b 2 + c = 0

ươ ẵ ế N u n ch n thì A ờ ta xét a Bây gi ẵ ế * N u n ch n thì ệ ề Đi u ki n A2 2B2 = 1 đ c th a mãn do (1). ế * N u n l ki nệ 2B2 A2 = 1 đ c th a mãn do (2). ợ 211. Thay a = 2 vào ph (cid:0) ng trình đã cho : 2 2 (b + 2) = (2a + c).

ữ ỉ ả

ươ Do a, b, c h u t nên ph i có b + 2 = 0 do đó 2a + c = 0. Thay b = 2 , c = 2a vào ph ng trình đã cho :

+ + ...

x3 + ax2 2x 2a = 0 (cid:0) ệ (x2 2)(x + a) = 0. 2 và a.

. 212. Đ t ặ x(x2 2) + a(x2 2) = 0 (cid:0) ơ ư ng trình đã cho là: 1 n

- ỗ ố ạ ủ ả Các nghi m ph 1 1 2 3 A 2 n 3 ứ a) Ch ng minh : Làm gi m m i s h ng c a A :

Ồ ƯỠ

I THCS

Ỏ (

)

TOÁN B I D 2 +

+ - k 1 (

) + -

)

1 k > A 2

NG HS GI 2 + + k 1 ( + 3

= ) + + - 4 ...

= n 1

k ( � �

� �

+ -

+ - >

+ 2 ) =

+ - n 1

> 2 n 1 2 2

2 n 1 3 2 n 3

- .

< A 2 n

- ủ Do đó ( ứ b) Ch ng minh

)

2 2 +

1 k

k 1

ộ ỗ ố ạ : Làm tr i m i s h ng c a A : 2 - - -

k ) + +

(

( 2 )

k 1 )

k (

< A 2

...

n 1

+ 2

2 n

= ( � �

� �

- - - - - Do đó : .

+ +

na =

6 + =

6 ... <

+ =

6 3

3 ; a

6 3

3 ... a

+ 6 a

6 3

100

3 ậ

6 3 ; a ể Hi n nhiên

2 100 < 3, do đó [ a100 ] = 2.

6 + + 6 a 6 a a100 > 6 > 2. Nh v y 2 < a

2 = (2 + 3 )2 = 7 + 4 3 . ậ

2 ] = 13.

ấ có n d u căn. Ta có : 213. Kí hi u ệ

3 )2 thì y = 7 4 3 . Suy ra x + y = 14.

13 < a2 < 14. V y [ a 3 )2 thì x = 7 + 4 3 .

3 < 1 nên 0 < (2 3 )2 < 1, t c là 0 < y < 1. Do đó 13 < x < ứ

ể ễ ấ

ự ế 214. a) Cách 1 (tính tr c ti p) : a nên 6 < 4 3 < 7 (cid:0) Ta có 4 3 ặ ế Cách 2 (tính gián ti p) : Đ t x = (2 + ứ Xét bi u th c y = (2 D th y 0 < 2 14.

2 ] = 13.

3 ] = 51. +

ứ ậ V y [ x ] = 13 t c là [ a

= (1) thì a và b là s h u t . Xét hai tr

ố ữ ỉ ườ ng

ố b) Đáp s : [ a ặ 215. Đ t x y = a ; h p :ợ

�

= y

a b

x y + x

- - ế ố ữ ỉ ừ là s h u t (2). T (1) và (2) a) N u b 0 thì

1 2

a � � -� � b b � �

Ta có : ố ữ ỉ là s h u t ; ố ữ ỉ là s h u t .

1 2 ố ữ ỉ x , y là s h u t .

ể

1 + n 1

1 � � n �

1 � � + = n � � n � �

1 �� n ��

1 � = � + n 1 �

- -

� � �

a � � +� � b b � � ế b) N u b = 0 thì x = y = 0, hi n nhiên 216. Ta có 1 + (n 1) n � 1 � �

n + n(n 1) �� 1 �� n � �

1 1 � � < 2 � � + n 1 n � � ứ ả

n + n 1 ứ

- - ả ợ ừ i đ c bài toán. . T đó ta gi

ố ự nhiên đã cho,

1 + n 1 ả ử s trong 25 s t ổ ấ

ằ s a ả ử 1 < a2 < .

ằ 217. Ch ng minh b ng ph n ch ng. Gi ố không có hai s nào b ng nhau. Không m t tính t ng quát, gi < a25. Suy ra : a1 1 , a2 2 , …

Ồ ƯỠ

TOÁN B I D

....

1 a

(cid:0) ế ạ (1). Ta l i có : a25 25. Th thì :

Ỏ NG HS GI 1 1 2 1

I THCS 1 25

....

+ < 1

25 2 +

2 +

1 24

1 2

1 1

+ =

24 (

....

1 2

+ 24

+ + 23 ....

) + = 1

1 25 2 +

2 +

25 2 +

- - -

2 ) + =

1 9

....

- (2)

< , trái v i gi 9

+ ( 1 a

1 a

ừ ớ ả ế T (1) và (2) suy ra : thi ậ ồ t. V y t n

2 ố 1 , a2 , , a25.

i hai s b ng nhau trong 25 s a

= (cid:0) a

0 ; 2

b 0

= (cid:0) x 2

- ố ằ ề ệ ặ ạ t 218. Đi u ki n : 0 x 4. Đ t . 2

a + 2 a

ươ ng trình là : , a2 + b2 = 4. Ph Ta có : ab = 4 x- -

(cid:0)

b 2 b a2 2 a2b + b2 2 + ab2 = 2 (2 b 2 + a 2 ab) 2 (a2 + b2 2 + ab) ab(a b) = 2(a b) 2 (2 + ab) = (a b)(2 + ab) (chú ý : a2 + b2 = 4) a b = 2 (do ab + 2 0) ab = 1 (cid:0)

2 + b2 2ab = 2 (cid:0)

(cid:0)

2ab = 2 (cid:0) 4 x- = 1. Tìm đ cợ

= 2

1 x

ề ươ ọ ế ồ ng hai v r i thu g n : ơ Bình ph ng : a x = 3 . 219. Đi u ki n : 0 < x 1 , a 0. Bình ph - - ệ a 1 + . a 1

ớ ươ ế ố ợ V i a 1, bình ph ng hai v , cu i cùng đ c : x = .

2 a a 1+ Đi u ki n x 1 th a mãn (theo b t đ ng th c Cauchy).

ấ ẳ ứ ề ệ ỏ

2 a a 1+ ự ố ớ

ế ệ ậ ớ K t lu n : Nghi m là x = . V i a 1.

ế ể ơ ư ng t đ i v i y và z. N u xyz 0, hi n

ế 220. N u x = 0 thì y = 0, z = 0. T nhiên x, y, z > 0

2y + 1 y

(cid:0) ươ ừ ệ T h ph ng trình đã cho ta có : .

2y 2 y ả

z ; ớ

(cid:0) (cid:0) ấ ấ ở . Suy ra x = y = z. X y ra d u = các b t

ự ứ ệ ậ

7 )7. Đ ch ng minh bài toán, ch c n tìm s B sao

ể ứ ỉ ầ ố ơ T ng t ế ẳ đ ng th c trên v i x = y = z = 1. K t lu n : Hai nghi m (0 ; 0 ; 0) , (1 ; 1 ; 1). ặ 221. a) Đ t A = (8 + 3

1 10

ố ự cho 0 < B < và A + B là s t nhiên.

Ồ ƯỠ

NG HS GI

I THCS

TOÁN B I D ễ ấ

7 )7. D th y B > 0 vì 8 > 3

Ỏ 7 . Ta có 8 + 3 7 > 10 suy

ọ Ch n B = (8 3 ra :

(

) 7 <

�

8 3 7

1 10

(

)

8 3 7

7 )7 = a + b 7 v i a, b

(cid:0) ạ ớ i có : A = (8 + 3 N.

ố ự nhiên. ể Theo khai tri n Newton ta l B = (8 3 7 )7 = a b 7 . Suy ra A + B = 2a là s t

1 10

ố ự ữ ố ề ả Do và A + B là s t nhiên nên A có b y ch s 9 li n sau

ẩ

ơ i tả

n là s t

ư ng thì

ứ ố ế nhiên, n u n khác s ớ ....,5 . Do đó ng v i

n nh t.ấ ằ

ơ ỉ n là s vô t , nên N* có duy nh t m t s nguyên a ộ ố ố ự n không có d ng ạ n g n ầ

n b ng 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, Ta ố ố ố t nh n các giá tr : hai s 1, b n s 2, sáu s 3

ố ớ ằ ợ

< + x 1

ậ ấ ơ ư ng trình :

< + x 2

ệ ự có hai nghi m t nhiên.

< + x 3

ố ệ ự có b n nghi m t nhiên.

1 2 1 2 1 2

< + x k

ệ ự có sáu nghi m t nhiên. ấ d u ph y. Chú ý : 10 7 = 0,0000001. ự câu a. nh ng t b) Gi ố ớ ấ 222. Ta th y v i n là s chính ph ố ơ chính ph ng thì ỗ ố (cid:0) ấ m i s n ằ ấ ằ Ta th y r ng, v i n b ng 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, thì a ị n l n lầ ẽ ứ s ch ng minh r ng a ẽ ứ Nói cách khác ta s ch ng minh b t ph 1 - < 2 1 - < 2 1 - < 2

1 - < 2

ổ ệ ự ấ ẳ T ng quát : có 2k nghi m t ậ ậ nhiên. Th t v y, b t đ ng

2 k +

1 2 1 4

1 4

ơ ơ ơ th c tứ ng đ ớ ng v i : k < x < k2 + k + . Rõ ràng b t phấ ng trình

2 k + 1 ; k2 k + 2 ; ; k2 + k. Do đó :

+ + ...

= 2.44 88

1 a 1

1 a 2

a 1980

1 1 1 1 + + + 2 2 2 2 1 44 2 4 43 4 soá

ệ này có 2k nghi m t nhiên là : k

� � � � 1 1 1 + + + ... � � 44 44 44 1 4 44 2 4 4 43 � � � � 88 soá

� � = � � �

ự � � � � 1 1 � � + + � � � 1 1 { � � � � � � 2 soá

ự i tả ng t

n ] = 1.

n ]

2 = 1936 < 1996 < 2025 = 452, còn 462 = 2116.

ậ b) 2 an 3. V y [ a

ơ bài 24. 223. Gi ậ a) 1 < an < 2. V y [ a = 2. ấ c) Ta th y : 44

ứ ỏ ớ v i n 2 thì 45 < a

n ] = 44, v i n 2 thì [ a

n ] = 45.

ớ a1 = 1996 = 44 < a1 < 45. n < 46. ớ Hãy ch ng t ậ Nh v y v i n = 1 thì [ a

Ồ ƯỠ

TOÁN B I D

NG HS GI

I THCS

ả ộ

ế

Ỏ nhiên B sao cho B A < B + 1. Làm gi m và làm tr i nhiên liên ti p.

+ + 216n 8n 3

ố ự ầ 224. C n tìm s t A đ để ố ự ợ c hai s t Ta có : (4n + 1)2 < 16n2 + 8n + 3 < (4n + 2)2 (cid:0) 4n + 1 <

+ < 4n2 + 4n + 2 < 4n2 + 8n + 4

(cid:0) 4n2 + 4n + 1 < 4n2 + < 4n + 2 + 216n 8n 3

+ < (2n + 2)2.

+ 216n 8n 3

(cid:0)

(2n + 1)2 < 4n2 + ậ ậ

ề ệ ỏ ố ỉ

ấ L y căn b c hai : 2n + 1 < A < 2n + 2. V y [ A ] = 2n + 1. ể ứ 225. Đ ch ng minh bài toán, ta ch ra s y th a mãn hai đi u ki n : 0 < y < 0,1 (1).

ằ ậ nhiên có t n cùng b ng 2 (2).

- - ọ Ta ch n y = . Ta có 0 < 3 < 0,3 nên 0 < y < 0,1.

ợ

100

200

ằ

(

+ 5 2 6

5 2 6

x y

- - .

ể ậ ) ) 100 + 6 , b = 5 2 6 .

ộ ố ự x + y là m t s t ) 200 ( ệ ứ ề Đi u ki n (1) đ c ch ng minh. ộ ố ự ứ ờ nhiên có t n cùng b ng 2. Ta có : ta ch ng minh x + y là m t s t Bây gi ( ( ) ) ( 200 = + = n = an + bn v i a = 5 + 2 ớ ứ ổ Xét bi u th c t ng quát S Sn = (5 + 2 6 )n = (5 2 6 )n

ổ ệ ằ ơ ư ng trình

ằ ứ ủ 2 = 10a 1 (3) ; b2 = 10b 1 (4).

A và b có t ng b ng 10, tích b ng 1 nên chúng là nghi m c a ph X2 10X + 1 = 0, t c là : a Nhân (3) v i aớ n , nhân (4) v i bớ n : an+2 = 10an+1 an ; bn+2 = 10bn+1 bn.

Suy ra (an+2 + bn+2) = 10(an+1 + bn+1) (an + bn),

n+2 = 10Sn+1 Sn , hay Sn+2 (cid:0) Sn+2 (cid:0)

ứ t c là S Sn+1 (mod 10)

Do đó Sn+4 (cid:0) Sn (mod 10) (5)

2 , S3 , , Sn là s t ổ

nhiên, và S

0 , S4 , S8 , , S100 có nhiên có t n cùng b ng 2.

ố ự ộ ố ự

ậ ề ằ ứ ừ ả ứ ượ c ch ng minh. T (1) và (2) suy ra đi u ph i ch ng

250

125

)

5 2 6

Ta có S0 = (5 + 2 6 )0 + (5 2 6 )0 = 1 + 1 = 2 ; S1 = (5 + 2 6 ) + (5 2 6 ) = 10. ứ ừ T công th c (5) ta có S ằ ậ t n cùng b ng 2, t c là t ng x + y là m t s t ứ ệ ề Đi u ki n (2) đ minh.

( ữ ố ậ

) Ph n nguyên c a nó có ch s t n cùng b ng 9.

ổ ( ế 226. Bi n đ i ủ ầ ằ

+ +

(

)

(

ươ ự (Gi i tả ng t bài 36)

1 ...

+ + ...

227. Ta có : ( A

) ( � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ố ằ ộ

ố

ố ằ ộ ố

) ố Theo cách chia nhóm nh trên, nhóm 1 có 3 s , nhóm 2 có 5 s , nhóm 3 có 7 ố ằ ộ ộ ố s , nhóm 4 có 9 s . Các s thu c nhóm 1 b ng 1, các s thu c nhóm 2 b ng ằ ố 2, các s thu c nhóm 3 b ng 3, các s thu c nhóm 4 b ng 4. V y A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70

ậ

Ồ ƯỠ

Ỏ

TOÁN B I D

NG HS GI

I THCS x x 2 2

ế ớ ạ ụ ấ t A d i d ng : A = 4. .(3 x). Áp d ng b t . 228. a) Xét 0 x 3. Vi

x 2

+ + -

3 x

x x 2 2

ứ ố ẳ đ ng th c Cauchy cho 3 s không âm , (3 x) ta đ c : ợ .(3 x) , .

3 � � � � �

. 1

� � � � � Do đó A 4 (1) b) Xét x > 3, khi đó A 0 (2). So sánh (1) và (2) ta đi đ n k t lu n :

ế ế ậ

= -

3 x

maxA 4

= x 2

��(cid:0)

(cid:0) (cid:0) . (cid:0) (cid:0) (cid:0)

x 2 x 0 ằ ng hai v , áp d ng h ng đ ng th c (a + b)

3 = a3 + b3 +

ứ ụ ế ẳ ậ

+ x 1 7 x 3. (x 1)(7 x).2 8

+ (x 1)(7 x) 0

� (th a)ỏ - =

+ =

ơ 229. a) L p ph 3ab(a + b), ta đ c :ợ + + - + 3 - - (cid:0) x = 1 ; x = 7

ặ 3 x 2 y ; x 1 z ệ . Khi đó x 2 = y2 ; x

y z 3 (2) = 3 y

2 z

3 (3)

z 0 (4)

ươ ề ệ ề b) Đi u ki n : x 1 (1). Đ t + 1 = z2 nên z2 y3 = 3. Ph ư c đợ a v h : ng trình đã cho đ + = (cid:0) (cid:0) - (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)

3 y2 + 6y 6 = 0 (cid:0)

(2) : z = 3 y. Thay vào (3) : y (y 1)(y2 + 6) = 0 Rút z t (cid:0) ừ y = 1

ế ậ ỏ ỏ Suy ra z = 2, th a mãn (4). T đó x = 3, th a mãn (1). K t lu n : x = 3.

ạ ẳ . 230. a) Có, ch ng h n : ừ 1 2

1 2 ố ữ ỉ i các s h u t d

ơ ả ử ồ ạ s t n t ng a, b mà . Bình

+ +

ơ b) Không. Gi ế ph ng hai v :

a b 2 ab

�

2 ab

+ 2 (a b)

- .

2 2(a + b) 2 (cid:0)

ơ ế 2(a + b) 2 = 2 + (a +

ố ữ ỉ ế ẩ ỉ Bình ph ng 2 v : 4ab = 2 + (a + b) b)2 4ab ố ả ế V ph i là s h u t , v trái là s vô t (vì a + b 0), mâu thu n.

m n

ố ố ả s (phân s t i gi n). Suy ra 5 = . ố ữ ỉ ả ử 3 5 là s h u t 231. a) Gi

3 m 3 n m n

ứ ế ề ả ằ ả ế ẫ Hãy ch ng minh r ng c m l n n đ u chia h t cho 5, trái gi thi t là

ố ố phân s t ả i gi n.

Ồ ƯỠ

Ỏ

TOÁN B I D

NG HS GI

I THCS

= +

32 )

ố ố ố ữ ỉ ả (phân s t là s h u t i gi n). Suy ra :

= + 6

�

6 3. 8.

m 6n 6mn (1) m 2 m 2

�� M

m n

ả ử 3 b) Gi s (

3 m 3 n Thay m = 2k (k (cid:0) ra 3n3 chia h t cho 2

m n 6m n Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2 (cid:0) n3 chia h t cho 2 ế

(cid:0) (cid:0) ế ậ 4k3 = 3n3 + 6kn2. Suy ế v y m và n chia h t cho 2. Nh

ế ố ố ế ả ớ n cùng chia h t cho 2, trái v i gi là phân s t ả i gi n. thi t

m n 3 , b = y3 , c = z3. B t đ ng th c c n ch ng minh ấ ẳ

3 x

3 z

ứ ầ ứ ặ

abc

xyz hay

3 y 3

(cid:0) (cid:0) ớ ơ ơ ng v i x3 + y3 + z3 3xyz 0. t ng đ 232. Cách 1 : Đ t a = x + + a b c 3

ẳ ằ ứ

ậ x3 + y3 + z3 3xyz = (x + y + z)[(x y)2 + (y z)2 + (z x)2]. (bài t p sbt) Ta có h ng đ ng th c : 1 2

abc

(cid:0) Do a, b, c 0 nên x, y, z 0, do đó x3 + y3 + z3 3xyz 0. Nh v y :ậ + + a b c 3

ẳ ỉ

ả ớ ế ố ố ấ ứ ứ

+ + +

ứ X y ra d u đ ng th c khi và ch khi a = b = c. ấ ẳ Cách 2 : Tr c h t ta ch ng minh b t đ ng th c Cauchy cho b n s không âm. Ta có :

(

)

ab. cd

abcd

a b c d 1 a b c d 2

1 2

� � �

abcd

(cid:0) (cid:0)

+ + a b c 3

� � 2 � + + + a b c d 4

�(cid:0) � �

+ + +

a b c

+ + a b c 3

(cid:0) � abc.

abc.

ứ , đ t ặ ta đ c :ợ ấ ẳ Trong b t đ ng th c

+ + a b c 3

� � �

4 � � �

� � � � �

� � � 4 � � � � �

+ + a b c 3

�۳

abc

ố ươ ườ ộ ợ ố ế Chia hai v cho s d ng (tr ng h p m t trong các s a, b, c

+ + a b c 3

� � �

3 � � �

ứ ợ ằ b ng 0, bài toán đ ư c ch ng minh) : .

+ + a b c 3

ả ẳ ứ X y ra đ ng th c : a = b = c = a = b = c = 1 (cid:0)

d +

a +

1 ấ ụ + . Áp d ng b t

a 1 a 1

(cid:0) - ế ừ ả thi t suy ra : 233. T gi

3. 3

b + ươ ẳ đ ng th c Cauchy cho 3 s d c 1 + +

d +

+ a 1 b 1 c 1 d 1

c + b 1 c 1 d 1 ố ng : bcd + (b 1)(c 1)(d 1)

(cid:0) (cid:0) ự ơ . T ng t : ứ b +

Ồ ƯỠ

Ỏ

NG HS GI

I THCS

3. 3

TOÁN B I D 1 + b 1

acd + (a 1)(c 1)(d 1)

(cid:0)

3. 3

1 + c 1

abd + (a 1)(b 1)(d 1)

(cid:0)

3. 3

1 + d 1

abc + (a 1)(b 1)(c 1)

(cid:0) � 1 81abcd

abcd

(cid:0)

1 81

ừ ố ấ ẳ ứ Nhân t b n b t đ ng th c : .

2 x 2 y

2 y 2 z

2 z 2 x

ấ ẳ ụ ứ . Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacôpxki : 234. G i ọ

2 z 2 x

� � �

2 � � �

� + + (cid:0) (1 1 1) � � ớ

2 � x � 2 y � ứ

(1)

ấ ẳ ố

3. 3

= (2)

2 y x y z + + 2 y z x z ụ Áp d ng b t đ ng th c Cauchy v i ba s không âm : x y z + + y z x

x y z y z x

+ + (cid:0) + +

(cid:0)

x y z y z x

� � �

� � + +� 3 � � � �

2 � � �

ừ ớ ế Nhân t ng v (1) v i (2) :

3 a3 , ta đ

3 ; y

- thì x3 + y3 = 6 (1). Xét hi u bệ

235. Đ t ặ c :ợ

b3 a3 = 24 (x + y)3 = 24 (x3 + y3) 3xy(x + y)

3 + b3), ta có :

ở Do (1), ta thay 24 b i 4(x

3 > a3 , do đó b > a. V y bậ ớ ớ

b3 a3 = 4(x3 + y3) (x3 + y3) 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) 3xy(x + y) = = 3(x + y)(x2 xy + y2 xy) = 3(x + y)(x y)2 > 0 (vì x > y > 0).

ấ ẳ ứ ể

236. a) B t đ ng th c đúng v i n = 1. V i n 2, theo khai tri n Newton, ta có :

= +

1 n.

+ + ...

1 n(n 1) 1 n(n 1)(n 2) 1 + 3 n n

2 n

n(n 1)...2.1 1 n n

1 � �+ 1 � � n � �

+ +

1 1

+ + ...

- - - -

1 1 + 2! 3!

� � �

+ + ...

� � � 1 1 + 2! 3!

1 n! 1 1 1 n! 1.2 2.3

1 (n 1)n

(cid:0) ễ ứ D dàng ch ng minh : -

1 1 1 - + - + + ... 2 2 3

1 n

= -

1 1 - = - < 1 n 1 n n1 ) n

Do đó

NG HS GI

TOÁN B I D 3 3

(cid:0)

Ồ ƯỠ 2>

ứ

Ỏ I THCS ậ ậ (1). Th t v y, (1)

(

) 3 3

+> n 1

ớ 6 (cid:0) 32 > 22.

n 1

+ n(n 1)

+ n 1

(

ứ ớ

(2)

�

+ n (n 1)

+ (2). Th t v y : ậ ậ + n (n 1) n n

n 1 � � + 1 � � � n � �

b) V i n = 2, ta ch ng minh ) ( V i n 3, ta ch ng minh ) ) + n 1

(3)

n1 � �+ 1 � � n � � ứ =

ứ ợ Theo câu a ta có , mà 3 n nên (3) đ c ch ng minh.

2 2 x 1

4 x

x 1 4

ợ Do đó (2) đ c ch ng minh. + + (cid:0) ớ . min A = 2 v i x = 0. 237. Cách 1 :

ụ

- +

+ (cid:0) 2

ứ + + (cid:0)

) ( ấ ẳ Cách 2 : Áp d ng b t đ ng th c Cauchy : 2 4 2 (x

x 1 2

= x 1) ớ

+ 4 2 4 x 1)(x 2 x min A = 2 v i x = 0.

2(x 2). Áp d ng ụ

ớ ớ

+ + -

x 2

x x 2 2

ứ ố 238. V i x < 2 thì A 0 (1). V i 2 x 4, xét A = x ấ ẳ b t đ ng th c Cauchy cho ba s không âm :

.(x 2)

A 4

x x . 2 2

3 � � �

� � � � �

3 � -� � 2x 2 = � � 3 � � �

- - (cid:0) (cid:0)

ớ A 32. min A = 32 v i x = 4.

+ -

2 9 x

2 x 2

A 32 (cid:0) 2 9. ệ ề 239. Đi u ki n : x

x (9 x ) 4.

2 (9 x ) 4

4.27

2 2 x x . 2 2

2 � x � 2 � � � �

3 � � = � � � �

- - (cid:0)

6 .

ớ max A = 6 3 v i x =

6 thì A = x(x2 6) 0.

ấ

ớ 0 x2 6 3.

ị ớ 240. a) Tìm giá tr l n nh t : ớ Cách 1 : V i 0 x < 6 x2 9 (cid:0) 6 . Ta có 6 x 3 (cid:0) V i x Suy ra x(x2 6) 9. max A = 9 v i x = 3. ớ Cách 2 : A = x(x2 9) + 3x. Ta có x 0, x2 9 0, 3x 9, nên A 9.

ớ max A = 9 v i x = 3

ấ ỏ

ị b) Tìm giá tr nh nh t : Cách 1 : A = x3 6x = x3 + (2 2 )3 6x (2 2 )3 =

= (x + 2 2 )(x2 2 2 x + 8) 6x 16 2

= (x + 2 2 )(x2 2 2 x + 2) + (x + 2 2 ).6 6x 16 2 = (x + 2 2 )(x 2 )2 4 2 4 2 .

2 .

ớ min A = 4 2 v i x =

Ồ ƯỠ

Ỏ

NG HS GI

TOÁN B I D ấ ẳ

ụ ớ ứ Cách 2 : Áp d ng b t đ ng th c Cauchy v i 3 s không âm :

I THCS ố 3 x .2 2.2 2 = 6x.

x3 + 2 2 + 2 2 3.

2 .

ớ Suy ra x3 6x 4 2 . min A = 4 2 v i x =

x

ọ ủ ể ộ ỏ

3-2x

x

ạ ị ớ ầ

3-2x

ấ ẳ ứ ủ 241. G i x là c nh c a hình vuông nh , V là th tích c a hình h p. ấ ủ C n tìm giá tr l n nh t c a V = x(3 2x) ơ Theo b t đ ng th c Cauchy v i ba s d

x

ớ + - ố + -

x

4x 3 2x 3 2x 3

2. ng : 3 � � �

� � � max V = 2 (cid:0)

= 8 4V = 4x(3 2x)(3 2x)

1 2

4x = 3 2x (cid:0) x =

3 khi c nh hình vuông nh b ng

1 2

- =

ấ ủ ể ớ ộ ỏ ằ ạ Th tích l n nh t c a hình h p là 2 dm

- = b) Đ t ặ 3 2 x a; x 1 b

ố . Đáp

dm. 242. a) Đáp s : 24 ; 11. ố s : 1 ; 2 ; 10.

5 2

ơ ế ố ng hai v . Đáp s : 0 ; ậ c) L p ph

3 + 1 = 2y , y3 + 1 = 2x, đ c (x y)(x

2 + xy

ả ệ ợ = y. Gi i h : x

d) Đ t ặ 3 2x 1- + y2 + 2) = 0 - (cid:0) (cid:0) x = y. Đáp s : 1 ; .

x 4

(

1 2

- =

3 7 x a; x 5 b

- - ố ) ế c : ợ ố . Đáp s : x = 4. ọ e) Rút g n v trái đ

. Ta có : a3 + b3 = 2, a3 b3 = 12 2x, do đó v ế g) Đ t ặ 3

3 3 a b 2

- ươ ươ ở ả ủ ph i c a ph ng trình đã cho là . Ph ng trình đã cho tr thành :

a b + = a b

3 3 a b 2

- - .

3 a b a b = 3 a b a b

- - Do a3 + b3 = 2 nên (a b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 b3) (cid:0)

ừ ợ

- =

ợ + = . Ta có : a2 + b2 + ab = 1 (1) ; a3 b3 = 2 (2).

ừ ố

ươ ợ c a = 1. Đáp s : x = 0. ớ ế ng trình. V i x + 2 0, chia hai v cho

Do a + b 0 nên : (a b)(a2 ab + b2 = (a b)(a2 + ab + b2). ừ c x = 7 ; x = 5. c x = 6. T ab = 0 ta đ T a = b ta đ h) Đ t ặ 3 3 x 1 a; x 1 b T (1) và (2) : a b = 2. Thay b = a 2 vào (1) ta đ ệ i) Cách 1 : x = 2 nghi m đúng ph 3 x 2+ .

+ x 1 + x 2

+ x 3 + x 2

ệ . Gi ả ệ 3 + b3 = 2, a + b = 1. H này vô i h a Đ t ặ 3

nghi m.ệ

ậ . L p ph ư ng ơ

TOÁN B I D Ỏ Ồ ƯỠ NG HS GI - + ế ể 3 y 1

I THCS + = - 3 y 1

Cách 2 : Đ t ặ 3 x 2+ = y. Chuy n v : hai v ta đế c :

3 y 1-

ượ y3 1 + y3 + 1 + 3. y3 = y. .

6 = y6

3 y 1-

ớ ệ ớ ơ .( y) = y3 (cid:0) 2 = ậ . L p ph ng : y

ệ ươ ớ ng trình. V i x < 2, x > 2,

ả ơ ớ V i y = 0, có nghi m x = 2. V i y 0, có y 1. Vô nghi m.ệ ấ Cách 3 : Ta th y x = 2 nghi m đúng ph ệ ph ng trình vô nghi m, xem b ng d ư i đây :

3 x 1+ < 1 > 1

3 x 2+ < 0 > 0

3 x 3+ < 1 > 1

x x < 2 x > x ế V trái < 0 > 0

ặ = 3 (2) k) Đ t 1 + x = a , 1 x = b. Ta có : a + b = 2 (1),

+ m n 2

b 1 +

a 1 +

(cid:0) ấ ẳ ứ Theo b t đ ng th c Cauchy , ta có :

a. b

1. a

1. b

1 a 1 b +

+ (cid:0) b 1

+ = 1

2 + = . 2 3

+ a b 2

(cid:0)

ẳ

4 a x m 0 ; b x n 0

ấ - = ứ ứ - = (cid:0) (cid:0)

4 m n+

ừ ậ ở ng trình đã cho tr thành : m + n = . Nâng lên lũy th a b c

2 + 3mn + 2n2 > 0.

ế ồ ọ

ả ử ươ ứ ể ng trình đã cho là x = a. s a b thì nghi m c a ph

2 + b2 0 (a và b không đ ng th i ờ

ệ ồ

2 2x y

x x

y + xy y

+ 2

ả ả Ph i x y ra d u đ ng th c, t c là : a = b = 1. Do đó x = 0. thì m4 + n4 = a + b 2x. l) Đ t ặ 4 ươ Ph 2 + 3mn + 2n2) = 0. ố b n hai v r i thu g n : 2mn(2m ế ặ Suy ra m = 0 ho c n = 0, còn n u m, n > 0 thì 2m ả Do đó x = a , x = b. Ta ph i có x a , x b đ các căn th c có nghĩa. ủ ệ Gi ứ ể ể ề 243. Đi u ki n đ bi u th c có nghĩa : a ằ b ng 0). - Đ t ặ 3 =

A (

3 x ; b (

2 2x y + 2 x )

(xy) 2

y +

+ + 2 y x y + + 2 xy y ) ( xy x + + 2 y

- - - .

a ể

- (v i aớ

ab ơ

2 + b2 0). b ấ ẳ ứ ư ng nên ta có th áp d ng b t đ ng ể

ủ ổ ụ

+ + (cid:0) 2

- + 2

+ + 2

= , ta có : ) + xy y ậ V y : 244. Do A là t ng c a hai bi u th c d th c Cauchy : - + + x 1

x 1 2

x 1. x

x 1)(x

x 1)

4 2 (x 2

ứ

+ + = x 1 + + = 2

- +

x 1

=� x

42 x

+ (cid:0) 2

x 1 x + =

1 1

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ẳ = ứ ả . Đ ng th c x y ra khi : . (cid:0) (cid:0)

x ậ

(cid:0) ứ ả ẳ Ta có A 2, đ ng th c x y ra khi x = 0. V y : min A = 2 x = 0.

Ỏ

I THCS

NG HS GI ươ

3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên

ng trình 3x

TOÁN B I D Ồ ƯỠ ủ ệ 245. Vì 1 + 3 là nghi m c a ph 246. Ta có :3(1 + 3 )3 + a(1 + 3 )2 + b(1 + 3 ) + 12 = 0. ọ

ự ể ệ ế ổ ợ Sau khi th c hi n các phép bi n đ i, ta đ ứ c bi u th c thu g n :

(4a + b + 42) + (2a + b + 18) 3 = 0.

Z nên p = 4a + b + 42 (cid:0) Z và q = 2a + b + 18 (cid:0) ả Z. Ta ph i tìm các

3 =

3 = 0 ta suy ra p = 0.

ế ừ N u q 0 thì , vô lí. Do đó q = 0 và t p + q Vì a, b (cid:0) ố s nguyên a, b sao cho p + q 3 = 0. p q

3 + ax2 + bx + 12 = 0 khi và

3 là m t nghi m c a ph

ủ ệ ộ ơ ư ng trình 3x

+ + + +

= =

4a b 42 0 2a b 18 0

ậ ỉ V y 1 + ch khi : (cid:0) (cid:0) . Suy ra a = 12 ; b = 6. (cid:0)

p q

ố ố ả s ( là phân s t i gi n ). Suy ra : 3 = . ố ữ ỉ ả ử 3 3 là s h u t 246. Gi

p q

ứ ế ả ớ ả ế Hãy ch ng minh c p và q cùng chia h t cho 3, trái v i gi thi t là phân

+ =

(

) 2

ố ố s t ả i gi n.

1 2 2 2

. 247. a) Ta có :

3 2 2 ) 2

(

= 2 . 3 2 2

= + 6 3 2 2 . 3 2 2

= 2 2

- - - Do đó : .

9 4 5. 2 ụ

- .

3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có :

= - b) 6 5 248. Áp d ng h ng đ ng th c (a + b)

ứ ằ ẳ

�

3 20 14 2 20 14 2 3 (20 14 2)(20 14 2).a

= 3 a

+ 40 3 20

(14 2) .a

- - -

(cid:0) (a 4)(a2 + 4a + 10) = 0. Vì a2 + 4a + 10 > 0 (cid:0) a = 4.

3 = a3 + b3 + 3ab(a + b).

= a3 6a 40 = 0 (cid:0) ự i tả bài 21. 249. Gi ng t . 250. A = 2 + 3 2 ụ 251. Áp d ng : (a + b) 9+ ừ T x = ẳ ằ ử ụ

. Suy ra x3 = 12 + 3.3x (cid:0) x3 9x 12 = 0.

3 = A3 B3 3AB(A B). Tính x3. K t ế

ứ

3 252. S d ng h ng đ ng th c (A B) qu M = 0 253. a) x1 = 2 ; x2 = 25.

ả

3 = -

9 , v

= - x

(cid:0) (cid:0) (cid:0) ượ , ta đ c : (cid:0) u = v = 2 (cid:0) x = 1. b) Đ t ặ (cid:0) (cid:0)

v = > . K t qu x = 7. ế

4 x

+ -

+ + + 1 1

1 1

ả c) Đ t : ặ

ể ụ . Áp d ng | A | + |

1 x 0.

ấ ẳ ụ ứ ầ ứ ề ạ 254. Đa bi u th c v d ng : B | = | A + B | min A = 2 (cid:0) 255. Áp d ng b t đ ng th c Cauchy hai l n.

Ỏ

I THCS

TOÁN B I D 3

Ồ ƯỠ NG HS GI =

�

2 +

256. Đ t ặ

y thì (

)

(

P 2 x )

x a

x b

- - = | x a | + | x b | | x a + b x | = b a

(cid:0) (cid:0) ứ ả ậ a x b. V y min P = b a a

ấ ẳ ụ ứ

+ + - (a b c)

+ - (b c

+ -

a) =

ặ ố 258. Ta có : (a < b). ẳ ấ D u đ ng th c x y ra khi (x a)(x b) 0 x b. 259. Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b. Áp d ng b t đ ng th c Cauchy cho ừ t ng c p s d ngươ

+ - (a b c)(b c

+ - (b c

+ a)

+ - (c

+ -

a b) =

(cid:0)

+ - (b c

a)(c

a b)

+ -

+ a b)

+ -

+ - (a b c) =

(cid:0)

+ - a b)(a b c)

(cid:0)

ấ ẳ ươ

ứ ợ ấ ẳ ề ứ ầ ế ấ ẳ ng. Nhân 3 b t đ ng th c này ẳ ứ ứ ứ ả c b t đ ng th c c n ch ng minh. Đ ng th c x y ra khi

ế ủ Các v c a 3 b t d ng th c trên đ u d ừ theo t ng v ta đ ỉ và ch khi

+ (x y)

4 4

2 2

- - - a = b = c (tam giác đ u).ề + = . a + b c = b + c a = c + a b (cid:0) = = 4xy x y

)

(

)

(

= 2 260. (x y) 261. 2A = (a b)2 + (b c)2 + (c a)2. Ta có : c a = (a c) = [(a b) + (b c)] = ( 2 + 1 + 2 1) = 2 2 . Do đó : 2A = ( 2 + 1)2 + ( 2 1)2 + (2 2 )2 = 14. Suy ra A = 7. ) 2 + x 2 1

= z 5 3

y 3 2

- - - - - - ề ạ . 262. Đa pt v d ng :

- = (cid:0)

ế

)

x 1

- - - .

( ữ ậ

ọ ướ ủ ọ ớ

2 + b2 = c2 (đ nh lí (a + b)2 (cid:0)

2 + b2 (cid:0) a2 +b2 + 2ab (cid:0)

263. N u 1 x 2 thì y = 2. ) ( = - + y 0. M x 1 x 1 2 3 264. Đ t : ặ 265. G i các kích th c c a hình ch nh t là x, y. V i m i x, y ta có : x + y2 2xy. Nhng x2 + y2 = (8 2 )2 = 128, nên xy 64. Do đó : max xy = 64 (cid:0) x = y = 8. ọ ớ 266. V i m i a, b ta luôn có : a Pytago) nên : c2 (cid:0) 2ab (cid:0) ư 2ab. Nh ng a 2c2 (cid:0) ị c 2

a + b (cid:0) c . 2c2 (cid:0) + a b 2

2 +

ấ ẳ ứ ả ỉ

)

(

)

a 'b

ab '

a 'c

) 2 + ac '

b 'c

= bc '