intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

20 đề thi đại học 2011 và đáp án chi tiết

Chia sẻ: Đặng Hải Nam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:98

Thêm vào BST
Báo xấu
706
lượt xem 382
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Giới thiệu 20 đề thi đại học 2011 và đáp án chi tiết cho các bạn học sinh khối A tham khảo

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: 20 đề thi đại học 2011 và đáp án chi tiết

  1. danghainamn@yahoo.com.vn 20 ñ thi ñ i h c và ñáp án chi ti t ð1 I. PH N CHUNG (C m ) Câu 1: ( 2 ñi m) Cho hàm s y = x 4 + 2(m − 2) x 2 + m 2 − 5m + 5 1, Kh o sát s bi n thiên và v ñ th hàm s khi m = 1. 2, V i nh ng giá tr nào c a m thì ñ th ( Cm) có ñi m c c ñ i và ñi m c c ti u, ñ ng th i các ñi m c c ñ i và ñi m c c ti u l p thành m t tam giác ñ u. Câu 2: ( 2 ñi m) 1, Gi i phương trình: (1 + cos x )(1 + cos 2 x)(1 + cos 3 x) = 1 2 2 log1− x (− xy − 2 x + y + 2) + log 2+ y ( x − 2 x + 1) = 6 2  2, Gi i h phương trình:  log1− x ( y + 5) − log 2+ y ( x + 4) = 1  (x − x ) 1 1 33 Câu 3: ( 2 ñi m ) 1, Tính tích phân: I = ∫ dx . x4 1 3 2, Cho các s th c dương a, b, c tho mãn ab + bc + ca = abc . Ch ng minh r ng: a4 + b4 b4 + c4 c4 + a4 + + ≥1 ( ) ab a 3 + b 3 bc(b 3 + c 3 ) ca (c 3 + a 3 ) C©u 4: ( 2 ®iÓm ) Trong kh«ng gian víi hÖ trôc to¹ ®é §Òc¸c Oxyz, cho mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng 2 x − y − 2 = 0 tr×nh: 2 x + y + z − 1 = 0 v ®−êng th¼ng ( d) cã ph−¬ng tr×nh:   y + 2z + 2 = 0 1, T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña ( d) v (P). TÝnh sè ®o gãc t¹o bëi ( d) v (P). 2, ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆ ) ®i qua A, (∆ ) n»m trong (P) sao cho gãc t¹o bëi hai ®−êng th¼ng (∆ ) v ( d) b»ng 450. II. PhÇn riªng ( ThÝ sinh chØ l m mét trong hai phÇn) C©u 5A: ( 2 ®iÓm ) ( D nh cho THPT kh«ng ph©n ban) 1, ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ®i qua hai ®iÓm A( 2;5 ), B9 4; 1) v tiÕp xóc víi ®−êng th¼ng cã ph−¬ng tr×nh: 3 x − y + 9 = 0 . () () () nn 12 22 n2 2, Víi n l sè nguyªn d−¬ng, chøng minh hÖ thøc: C n + 2 C n + ... + n C n = C 2 n 2 C©u 5B: ( 2 ®iÓm) ( D nh cho THPT ph©n ban) 1, Gi¶i ph−¬ng tr×nh: log 2 ( x + 3) + log 4 ( x − 1) = log 2 4 x . 1 1 8 2 4 2, Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S. ABCD cã c¹nh ®¸y b»ng a, chiÒu cao còng b»ng a. Gäi E, K lÇn l−ît l trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AD v BC. TÝnh b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp S. EBK. ðÁP ÁN ð 1 I. PhÇn chung (C m ) C©u 1: ( 2 ®iÓm) Cho h m sè y = x 4 + 2(m − 2) x 2 + m 2 − 5m + 5 1, Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ h m sè khi m = 1. 2, Víi nh÷ng gi¸ trÞ n o cña m th× ®å thÞ ( Cm) cã ®iÓm cùc ®¹i v ®iÓm cùc tiÓu, ®ång thêi c¸c ®iÓm cùc ®¹i v ®iÓm cùc tiÓu lËp th nh mét tam gi¸c ®Òu. §k ®Ó ( Cm) cã 3 ®iÓm cùc trÞ l m < 2. C¸c ®iÓm cùc trÞ cña ( Cm) l ( )( ) A(0; m 2 − 5m + 5); B − 2 − m ;1 − m ; C 2 − m ;1 − m 1
  2. danghainamn@yahoo.com.vn §¸p sè: m = 2 − 3 3 C©u 2: ( 2 ®iÓm) 1, Gi¶i ph−¬ng tr×nh: (1 + cos x )(1 + cos 2 x)(1 + cos 3 x) = 1 2 2  3x  x 1 §−a ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng:  cos . cos x. cos  =  2 2 16 Sö dông c«ng thøc biÕn ®æi tÝch th nh tæng gi¶i hai ph−¬ng tr×nh: x 3x 1 x 3x 1 = v cos . cos x. cos =− cos . cos x. cos 2 24 2 2 4 π kπ 2π (k , m ∈ Z ) + m 2π Ta ®−îc c¸c hä nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ® cho l : x = + ;x = ± 4 2 3 2 log1− x (− xy − 2 x + y + 2) + log 2+ y ( x 2 − 2 x + 1) = 6  2, Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:  log1− x ( y + 5) − log 2+ y ( x + 4) = 1  − 4 < x < 1, x ≠ 0 §K   y > −2; y ≠ −1 §−a ph−¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ vÒ d¹ng: log1− x (2 + y ) + log 2+ y (1 − x ) = 2 §Æt t = log1− x (2 + y ) , t×m ®−îc t = 1, kÕt hîp víi ph−¬ng tr×nh thø hai cña hÖ,®èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn trªn, t×m ®−îc nghiÖm ( x; y ) = (− 2;1) . (x − x ) 1 1 33 C©u 3: ( 2 ®iÓm ) 1, TÝnh tÝch ph©n: I = ∫ dx . x4 1 3 1 1 1 3 1 1 §−a I vÒ d¹ng: I = ∫  2 − 1 . 3 dx . Dïng ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè, ®Æt t = 2 − 1 1 x x x 3 §¸p sè: I = 6. 2, Cho c¸c sè thùc d−¬ng a, b, c tho¶ m n ab + bc + ca = abc . Chøng minh r»ng: a4 + b4 b4 + c4 c4 + a4 + + ≥1 ( ) ab a 3 + b 3 bc(b 3 + c 3 ) ca (c 3 + a 3 ) ( ) ( ) Tõ a + b ≥ a 3b + ab 3 ⇒ 2 a 4 + b 4 ≥ a 4 + a 3b + b 4 + ab 3 = a 3 + b 3 (a + b ) . 4 4 a +b a+b 11 1 4 4 ≥ =  + . VËy ( ) ab a + b 3 3 2ab 2  a b  T−¬ng tù cho c¸c bÊt ®¼ng thøc cßn l¹i, suy ra ®pcm. C©u 4: ( 2 ®iÓm ) Trong kh«ng gian víi hÖ trôc to¹ ®é §Òc¸c Oxyz, cho mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng 2 x − y − 2 = 0 tr×nh: 2 x + y + z − 1 = 0 v ®−êng th¼ng ( d) cã ph−¬ng tr×nh:   y + 2z + 2 = 0 1, T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña ( d) v (P). TÝnh sè ®o gãc t¹o bëi ( d) v (P). §¸p sè. 1) A(1;0;−1); ∠(d , ( P ) ) = 30 0 . 2, ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆ ) ®i qua A, (∆ ) n»m trong (P) sao cho gãc t¹o bëi hai ®−êng th¼ng (∆ ) v ( d) b»ng 450. Hai ®−êng th¼ng tho¶ m n ®Ò b i cã ph−¬ng tr×nh: (∆1 ) : x − 1 = y = z + 1 ; (∆ 2 ) : x − 1 = y = z + 1 − 2 + 3 −1+ 3 5 − 3 3 − 2 − 3 −1− 3 5 + 3 3 2
  3. danghainamn@yahoo.com.vn II. PhÇn riªng ( ThÝ sinh chØ l m mét trong hai phÇn) C©u 5A: ( 2 ®iÓm ) ( D nh cho THPT kh«ng ph©n ban) 1. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ®i qua hai ®iÓm A( 2;5 ), B(4; 1) v tiÕp xóc víi ®−êng th¼ng cã ph−¬ng tr×nh: 3 x − y + 9 = 0 . Hai ®−êng trßn tho¶ m n ®Ò b i cã ph−¬ng tr×nh: (C1 ) : (x − 1)2 + ( y − 2)2 = 10; (C 2 ) : (x − 17 )2 + ( y − 10)2 = 250 2, Víi n l sè nguyªn d−¬ng, chøng minh hÖ thøc: (C n ) + 2(C n ) + ... + n(C n ) = C 2 n nn 12 22 n2 2 n− k §Æt S l vÕ tr¸i hÖ thøc cÇn chøng minh, l−u ý C n = C n = 1 v C n = C n ta thÊy: 0 n k () () ( ) () (1) 2 2 2 2 + .... + n C n −1 2S = n C n + n Cn + n Cn 1 2 n n Tõ (1 + x ) (1 + x ) = (1 + x ) , ∀x ∈ R . So s¸nh hÖ sè cña x n trong khai triÓn nhÞ thøc Newton cña n n 2n v (1 + x ) ta suy ra: (C n ) + (C n ) + ... + (C n ) = C 2 n (1 + x )n (1 + x )n (2) 2 2 2 2n 1 2 n n Tõ (1) v (2) cã ®pcm. C©u 5B: ( 2 ®iÓm) ( D nh cho THPT ph©n ban) 1, Gi¶i ph−¬ng tr×nh: log 2 ( x + 3) + log 4 ( x − 1) = log 2 4 x . 1 1 8 2 4 §k x > 0 v x ≠ 1 . §−a ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng log 2 ( x + 3) + log 2 x − 1 = log 2 (4 x ) . XÐt hai kh¶ n¨ng 0 < x < 1 v x > 1, ®èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn ta t×m ®−îc hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh l : x = −3 + 2 3 v x = 3. 2, Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S. ABCD cã c¹nh ®¸y b»ng a, chiÒu cao còng b»ng a. Gäi E, K lÇn l−ît l trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AD v BC. TÝnh b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp S. EBK. a 29 §¸p sè: R = . 8 ð2 2x − 3 có ñ th là (C) Câu 1: Cho hàm s y = x−2 1) Kh o sát s bi n thiên và v ñ th (C) c a hàm s trên. 2) Tìm trên (C) nh ng ñi m M sao cho ti p tuy n t i M c a (C) c t 2 ti m c n c a (C) t i A, b sao cho AB ng n nh t Câu 2: 1/.Gi i phương trình: 2 2 sin( x − π ).cos x = 1 12 8x y + 27 = 18y3 (1) 33 2/.Gi i h phương trình:  2 4x y + 6x = y (2) 2 Câu 3: π 1 2 2 1) Tính tích phân I = π sin x ⋅ sin x + ∫ dx 2 6 2) Tìm các giá tr c a tham s th c m sao cho phương trình sau có nghi m th c: (m - 3) x + ( 2- m)x + 3 - m = 0. (1) 3
  4. danghainamn@yahoo.com.vn Câu 4: Cho ba s th c dương a, b, c th a mãn abc = 1. Ch ng minh r ng: a b c + + ≥1 8c + 1 8a + 1 8b3 + 1 3 3 Câu 5: Cho hình chóp S. ABC có góc ((SBC), (ACB)) =600, ABC và SBC là các tam giác ñ u c nh a. Tính theo a kho ng cách t B ñ n m t ph ng (SAC). Ph n riêng: 1.Theo chương trình chu n: Câu 6a: Cho ∆ ABC có B(1;2), phân giác trong góc A có phương trình (∆ ) 2x +y –1 =0; kho ng cách t C ñ n (∆ ) b ng 2 l n kho ng cách t B ñ n (∆). Tìm A, C bi t C thu c tr c tung. Câu 7a: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x –2y +z -2 =0 và hai ñư ng th ng :  x = 1 + 2t 3 − y z+ 2  (d1) x + 1 = = ; (d2)  y = 2 + t (t ∈ ) . Vi t phương trình tham s c a ñư ng th ng ∆ 1 1 2  z = 1+ t  n m trong mp(P) và c t c 2 ñư ng th ng (d1) , (d2) 2.Theo chương trình nâng cao: Câu 6b: Cho ∆ ABC có di n tích b ng 3/2; A(2;–3), B(3;–2), tr ng tâm G ∈ (d) 3x –y –8 =0. tìm bán kinh ñư ng tròn n i ti p ∆ ABC. Câu 7b: Trong không gian Oxyz cho ñư ng th ng (d) là giao tuy n c a 2 m t ph ng: (P): 2x–2y–z +1 =0, (Q): x+2y –2z –4 =0 và m t c u (S): x2 +y2 +z2 +4x –6y +m =0. Tìm t t c các giá tr c a m ñ (S) c t (d) t i 2 ñi m MN sao cho MN= 8. ðÁP ÁN ð 2 2x − 3 có ñ th là (C) Câu 1: Cho hàm s y = x−2 1) Kh o sát s bi n thiên và v ñ th (C) c a hàm s trên. 2) Tìm trên (C) nh ng ñi m M sao cho ti p tuy n t i M c a (C) c t 2 ti m c n c a (C) t i A, B sao cho AB ng n nh t 2x0 − 3 )∈ (C) . G i M(xo; x0 − 2 − x + 2x0 − 6x0 + 6 2 Phương trình ti p tuy n t i M: (∆) y = ( x0 − 2)2 ( x0 − 2)2 2x0 − 2 (∆ ) ∩ TCð = A (2; ) x0 − 2 (∆ ) ∩ TCN = B (2x0 –2; 2) uuu r cauchy AB = (2x0 − 4; −2 ) ⇒ AB = 4( x0 − 2)2 + ( x0 − 2)2 ≥ 4 22 x0 − 2  x0 = 3 → M (3;3) ⇒ AB min = 2 2 ⇔   xo = 1 → M (1;1) Câu 2: 1) Gi i phương trình: 2 2 sin( x − π ).cos x = 1 12 4
  5. danghainamn@yahoo.com.vn  x = π + kπ  3 phương trình ⇔ 2(cosx–sinx)(sinx– 3 cosx)=0 ⇔  (k ∈ ) x = π + kπ   4 8x y + 27 = 18y (1) 33 3 2).Gi i h phương trình:  2 4x y + 6x = y (2) 2 (1) ⇒ y ≠ 0  3  8x3 + 27 = 18 (2x)3 +  3  = 18   y3    y H ⇔ 2 ⇔ 2x. 3  2x + 3  = 3  4x + 6 x = 1   y y2    y y a + b = 3 a3 + b3 = 18 ð t a = 2x; b = 3 . Ta có h :  ⇔ ab(a + b) = 3 ab = 1 y → H ñã cho có 2 nghi m  3 − 5 ; 6  ,  3 + 5 ; 6     3+ 5   4 3− 5  4 Câu 3: π 1 2 2 1) Tính tích phân I = π sin x ⋅ sin x + ∫ dx 2 6 π 3 3 2 − cos 2 x ⋅ d (cos x) . §Æt cos x = ⋅ cos u I =−∫ 2 π 2 6 π 32 = ⋅ ∫ sin 2 udu = (π + 2 ) 3 ⇒I 2π 16 4 2) Tìm các giá tr c a tham s th c m sao cho phương trình sau có nghi m th c: (m - 3) x + ( 2- m)x + 3 - m = 0. (1) ðk x ≥ 0. ñ t t = x ; t ≥ 0 (1) tr thành (m–3)t+(2-m)t2 +3-m = 0 ⇔ m = 2t 2 − 3t + 3 (2) 2 t − t +1 Xét hàm s f(t) = 2t 2 − 3t + 3 (t ≥ 0) 2 t − t +1 L p b ng bi n thiên (1) có nghi m ⇔ (2) có nghi m t ≥ 0 ⇔ 5 ≤ m ≤ 3 3 Câu 4: Cho ba s th c dương a, b, c th a mãn abc = 1. Ch ng minh r ng: a b c + + ≥1 8c + 1 8a + 1 8b3 + 1 3 3 cauchy a a 8c3 + 1 = (2c + 1)(4c2 − 2c + 1) ≤ 2c2 + 1 ⇒ ≥2 8c + 1 2c + 1 3 5
  6. danghainamn@yahoo.com.vn b b c ≥c ≥2; Tương t , 2a + 1 8b3 + 1 2b2 + 1 8a + 1 3 a + b + c ≥ 1 (1) Ta s ch ng minh: 2c + 1 2a2 + 1 2b2 + 1 2 Bñt(1) ⇔ 4(a3b2+b3a2+c3a2) +2(a3+b3+c3 )+2(ab2+bc2+ca2)+( a+b+c) ≥ ≥ 8a2b2c2 +4(a2b2 +b2c2 +c2a2) +2 (a2 +b2 +c2 )+1 (2) 2a3b2 +2ab2 ≥ 4a2b2; …. (3) Ta có: 2(a3b2+b3a2+c3a2) ≥ 2.3. a5b5c5 =6 (do abc =1)(4) 3 a3+b3+c3 ≥ 3abc =3 = 1 +2 a2b2c2 (5) a3 +a ≥ 2a2; …. (6) Công các v c a (3), (4), (5), (6), ta ñư c (2). D u b ng x y ra khi a=b=c=1 Câu 5: Cho hình chóp S. ABC có góc ((SBC), (ACB)) =600, ABC và SBC là các tam giác ñ u c nh a. Tính theo a kho ng cách t B ñ n m t ph ng (SAC). G i M là trung ñi m c a BC và O là hình chi u c a S lên AM. Suy ra: SM =AM = a 3 ; AMS = 600 và SO ⊥ mp(ABC) 2 3 ⇒ V(S.ABC) = 1 dt ( ABC ).SO = a 3 ⇒ d(S; BAC) = SO = 3a 4 3 16 M t khác, V(S.ABC) = 1 dt ( SAC ).d ( B; SAC ) 3 2 ∆SAC cân t i C có CS =CA =a; SA = a 3 ⇒ dt(SAC) = a 13 3 2 16 3V 3a = V y d(B; SAC) = dt ( SAC ) 13 Ph n riêng: 1.Theo chương trình chu n: Câu 6a: Cho ∆ ABC có B(1;2), phân giác trong góc A có phương trình (∆ ) 2x +y –1 =0; kho ng cách t C ñ n (∆ ) b ng 2 l n kho ng cách t B ñ n (∆). Tìm A, C bi t C thu c tr c tung. G i H, I l n lư t là hình chi u c a B, C lên (∆). M là ñ i x ng c a B qua ∆ ⇒ M ∈ AC và M là trung ñi m c a AC. ( ) ( ) (BH): x –2y + 3 =0 → H −1; 7 → M −7 ; 4 55 55  y0 = 7 BH = 3 5 ⇒CI = 6 5 ; C∈ Oy ⇒ C(0; y0) ⇒   yo = −5 5 5 ( ) C(0; 7) ⇒ A −14 ; −27 ∉ (∆)→lo i 5 5 ( ) (0; –5) ⇒ A −14 ; 33 ∈ (∆)→ nh n. 55 Câu 7a: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x –2y +z -2 =0 và hai ñư ng th ng :  x = 1 + 2t x + 1 = 3 − y = z + 2 ; (d )  y = 2 + t (t ∈ ) . Vi t phương trình tham s c a ñư ng 2 (d1) 1 1 2  z = 1+ t  th ng ∆ n m trong mp(P) và c t c 2 ñư ng th ng (d1) , (d2) 6
  7. danghainamn@yahoo.com.vn  x = 1 − 2t  (P) ∩ (d1) = A(1;1;2); (P) ∩ (d2) = B(3;3;2)→ (∆)  y = 1 − 2t (t ∈ ) z = 2  2.Theo chương trình nâng cao: Câu 6b: Cho ∆ ABC có di n tích b ng 3/2; A(2;–3), B(3;–2), tr ng tâm G ∈ (d) 3x –y –8 =0. tìm bán kinh ñư ng tròn n i ti p ∆ ABC. a − b − 5 2S∆ABC = C(a; b) , (AB): x –y –5 =0 ⇒ d(C; AB) = AB 2  a − b = 8(1) ⇒ a− b− 5 = 3⇔   a − b = 2(2) ( ) Tr ng tâm G a + 5 ; b − 5 ∈ (d) ⇒ 3a –b =4 (3) 3 3 3 (1), (3) ⇒ C(–2; 10) ⇒ r = S = 2 + 65 + 89 p 3 (2), (3) ⇒ C(1; –1) ⇒ r = S = 2+2 5 p Câu 7b: Trong không gian Oxyz cho ñư ng th ng (d) là giao tuy n c a 2 m t ph ng: (P): 2x–2y–z +1 =0, (Q): x+2y –2z –4 =0 và m t c u (S): x2 +y2 +z2 +4x –6y +m =0. Tìm t t c các giá tr c a m ñ (S) c t (d) t i 2 ñi m MN sao cho MN= 8. (S) tâm I(-2;3;0), bán kính R= 13 − m = IM (m < 13) G i H là trung ñi m c a MN ⇒ MH= 4 ⇒ IH = d(I; d) = − m − 3 r uur u; AI  r (d) qua A(0;1;-1), VTCP u = (2;1; 2) ⇒ d(I; d) =  r  = 3 u − m − 3 =3 ⇔ m = –12( th a ñk) V y: ð3 A. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 ñi m) Câu I. (2,0 ñi m) Cho hàm s y = x 3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x − m , v i m là tham s th c. 1. Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s ñã cho ng v i m = 1 . 2. Xác ñ nh m ñ hàm s ñã cho ñ t c c tr t i x1 , x 2 sao cho x1 − x 2 ≤ 2 . Câu II. (2,0 ñi m) π 1 sin 2 x cot x + = 2 sin( x + ) . 1. Gi i phương trình: sin x + cos x 2 2 2. Gi i phương trình: 2 log 5 (3 x − 1) + 1 = log 3 5 (2 x + 1) . x2 +1 5 Câu III. (1,0 ñi m) Tính tích phân I = ∫ dx . x 3x + 1 1 Câu IV. (1,0 ñi m) Cho hình lăng tr tam giác ñ u ABC . A' B ' C ' có AB = 1, CC ' = m (m > 0). Tìm m bi t r ng góc gi a hai ñư ng th ng AB ' và BC ' b ng 60 0 . Câu V. (1,0 ñi m) Cho các s th c không âm x, y, z tho mãn x 2 + y 2 + z 2 = 3 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u t h c 7
  8. danghainamn@yahoo.com.vn 5 A = xy + yz + zx + . x+ y+z B. PH N RIÊNG (3,0 ñi m) Thí sinh ch ñư c làm m t trong hai ph n (ph n a, ho c b). a. Theo chương trình Chu n: Câu VIa. (2,0 ñi m) 1.Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 6) , phương trình các ñư ng th ng ch a ñư ng cao và trung tuy n k t ñ nh C l n lư t là 2 x − y + 13 = 0 và 6 x − 13 y + 29 = 0 . Vi t phương trình ñư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC . 2. Trong không gian v i h to ñ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có M (5; 3; − 1), P (2; 3; − 4) . Tìm to ñ ñ nh Q bi t r ng ñ nh N n m trong m t ph ng (γ ) : x + y − z − 6 = 0. Câu VIIa. (1,0 ñi m) Cho t p E = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6}. T các ch s c a t p E l p ñư c bao nhiêu s t nhiên ch n g m 4 ch s ñôi m t khác nhau? b. Theo chương trình Nâng cao: Câu VIb. 1. Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy, xét elíp ( E ) ñi qua ñi m M (−2; − 3) và có phương trình m t ñư ng chu n là x + 8 = 0. Vi t phương trình chính t c c a ( E ). 2. Trong không gian v i h to ñ Oxyz, cho các ñi m A(1; 0; 0), B (0;1; 0), C (0; 3; 2) và m t ph ng (α ) : x + 2 y + 2 = 0. Tìm to ñ c a ñi m M bi t r ng M cách ñ u các ñi m A, B, C và m t ph ng (α ). Câu VIIb. (1,0 ñi m) Khai tri n và rút g n bi u th c 1 − x + 2(1 − x) 2 + ... + n(1 − x) n thu ñư c ña th c P ( x) = a 0 + a1 x + ... + a n x n . Tính h s a8 bi t r ng n là s nguyên dương tho mãn 1 7 1 + 3= . 2 Cn Cn n ðÁP ÁN ð 3 A. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 ñi m) Câu I. (2,0 ñi m) Cho hàm s y = x 3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x − m , v i m là tham s th c. 1. Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s ñã cho ng v i m = 1 . Víi m = 1 ta cã y = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 1 . * TËp x¸c ®Þnh: D = R * Sù biÕn thiªn • ChiÒu biÕn thiªn: y ' = 3 x 2 − 12 x + 9 = 3( x 2 − 4 x + 3) x > 3 Ta cã y ' > 0 ⇔  , y' < 0 ⇔ 1 < x < 3 . x < 1 Do ®ã: + H m sè ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng (−∞,1) v (3, + ∞) . + Hàm sè nghÞch biÕn trªn kho¶ng (1, 3). • Cùc trÞ: H m sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 1 v yCD = y (1) = 3 ; ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 3 v yCT = y (3) = −1 . 8
  9. danghainamn@yahoo.com.vn • Giíi h¹n: lim y = −∞; lim y = +∞ . x → −∞ x → +∞ • B¶ng biÕn thiªn: • §å thÞ: §å thÞ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0, − 1) . 2.Xác ñ nh m ñ hàm s ñã cho ñ t c c tr t i x1 , x 2 sao cho x1 − x 2 ≤ 2 . Ta cã y ' = 3 x 2 − 6(m + 1) x + 9. +) H m sè ®¹t cùc ®¹i, cùc tiÓu t¹i x1 , x 2 ⇔ ph−¬ng tr×nh y ' = 0 cã hai nghiÖm pb l x1 , x 2 ⇔ Pt x − 2(m + 1) x + 3 = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt l 2 x1 , x 2 .  m > −1 + 3 ⇔ ∆' = (m + 1) 2 − 3 > 0 ⇔  (1) m < −1 − 3  +) Theo ®Þnh lý Viet ta cã x1 + x 2 = 2(m + 1); x1 x 2 = 3. Khi ®ã x1 − x 2 ≤ 2 ⇔ ( x1 + x 2 ) − 4 x1 x 2 ≤ 4 ⇔ 4(m + 1) − 12 ≤ 4 2 2 ⇔ (m + 1) 2 ≤ 4 ⇔ −3 ≤ m ≤ 1 ( 2) Tõ (1) v (2) suy ra gi¸ trÞ cña m l − 3 ≤ m < −1 − 3 v − 1 + 3 < m ≤ 1. Câu II. (2,0 ñi m) π 1 sin 2 x cot x + = 2 sin( x + ) . 1. Gi i phương trình: sin x + cos x 2 2 §iÒu kiÖn: sin x ≠ 0, sin x + cos x ≠ 0. cos x 2 sin x cos x + − 2 cos x = 0 Pt ® cho trë th nh 2 sin x sin x + cos x 2 cos 2 x cos x ⇔ − =0 2 sin x sin x + cos x π   ⇔ cos x sin( x + ) − sin 2 x  = 0   4 π + kπ , k ∈ Ζ . +) cos x = 0 ⇔ x = 2 π π    x = 4 + m 2π 2 x = x + 4 + m 2π π +) sin 2 x = sin( x + ) ⇔  ⇔ m, n ∈ Ζ  x = π + n 2π 2 x = π − x − π + n 2π 4     4 3 4 π t 2π ⇔x= + , t ∈ Ζ. 4 3 §èi chiÕu ®iÒu kiÖn ta cã nghiÖm cña pt l π π t 2π x = + kπ ; x = + , k , t ∈ Ζ. 2 4 3 2.Gi i phương trình: 2 log 5 (3 x − 1) + 1 = log 3 5 (2 x + 1) . 1 §iÒu kiÖn x > . (*) 3 9
  10. danghainamn@yahoo.com.vn Víi ®k trªn, pt ® cho ⇔ log5 (3x − 1) 2 + 1 = 3 log5 (2 x + 1) ⇔ log 5 5(3 x − 1) 2 = log 5 (2 x + 1) 3 ⇔ 5(3 x − 1) 2 = (2 x + 1) 3 ⇔ 8 x 3 − 33 x 2 + 36 x − 4 = 0 ⇔ ( x − 2) 2 (8 x − 1) = 0 x = 2 ⇔ x = 1  8 §èi chiÕu ®iÒu kiÖn (*), ta cã nghiÖm cña pt l x = 2. x2 +1 5 Câu III. (1,0 ñi m) Tính tích phân I = ∫ dx . x 3x + 1 1 3dx 2tdt §Æt t = 3 x + 1 ⇒ dt = ⇒ dx = . 2 3x + 1 3 Khi x = 1 th× t = 2, v khi x = 5 th× t = 4. 2  t 2 −1  +1  4  4 4 3 2 dt 2tdt Suy ra I = ∫ ∫ (t − 1)dt + 2∫ t 2 − 1 = 2 . t −1 2 3 92 2 2 .t 3 4 4 t −1 21 3  100 9 =  t − t  + ln = + ln . t +1 93  27 5 2 2 Câu IV. (1,0 ñi m) Cho hình lăng tr tam giác ñ u ABC . A' B ' C ' có AB = 1, CC ' = m (m > 0). Tìm m bi t r ng góc gi a hai ñư ng th ng AB ' và BC ' b ng 60 0 . ( D ∈ A' B ' ) - KÎ BD // AB ' ⇒ ( AB' , BC ' ) = ( BD, BC ' ) = 60 0 B C ⇒ ∠DBC ' = 60 0 hoÆc ∠DBC ' = 1200. - NÕu ∠DBC ' = 600 A V× l¨ng trô ®Òu nªn BB ' ⊥ ( A' B ' C ' ). ¸p dông ®Þnh lý Pitago v ®Þnh lý cosin ta cã A’ m BD = BC ' = m + 1 v DC ' = 3. 2 KÕt hîp ∠DBC ' = 600 ta suy ra ∆BDC ' ®Òu. 1 B’ C’ Do ®ã m 2 + 1 = 3 ⇔ m = 2. 120 0 1 - NÕu ∠DBC ' = 120 0 3 D ¸p dông ®Þnh lý cosin cho ∆BDC ' suy ra m = 0 (lo¹i). VËy m = 2 . * Chó ý: - NÕu HS chØ xÐt tr−êng hîp gãc 600 th× chØ cho 0,5® khi gi¶i ®óng. - HS cã thÓ gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p vect¬ hoÆc to¹ ®é víi nhËn xÐt: 10
  11. danghainamn@yahoo.com.vn AB '.BC ' cos( AB ' , BC ' ) = cos( AB ', BC ') = . AB '.BC ' Câu V. (1,0 ñi m) Cho các s th c không âm x, y, z tho mãn x 2 + y 2 + z 2 = 3 . Tìm giá tr l n nh t c a bi u t h c 5 A = xy + yz + zx + . x+ y+z t2 −3 §Æt t = x + y + z ⇒ t 2 = 3 + 2( xy + yz + zx) ⇒ xy + yz + zx = . 2 Ta cã 0 ≤ xy + yz + zx ≤ x 2 + y 2 + z 2 = 3 nªn 3 ≤ t 2 ≤ 9 ⇒ 3 ≤ t ≤ 3 v× t > 0. t2 − 3 5 Khi ®ã A = +. 2 t t2 5 3 XÐt h m sè f (t ) = + − , 3 ≤ t ≤ 3. 2t2 5 t3 − 5 Ta cã f ' (t ) = t − 2 = 2 > 0 v× t ≥ 3. t t 14 Suy ra f (t ) ®ång biÕn trªn [ 3 , 3] . Do ®ã f (t ) ≤ f (3) = . 3 DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi t = 3 ⇔ x = y = z = 1. 14 , ®¹t ®−îc khi x = y = z = 1. VËy GTLN cña A l 3 B. PH N RIÊNG (3,0 ñi m) Thí sinh ch ñư c làm m t trong hai ph n (ph n a, ho c b). a. Theo chương trình Chu n: Câu VIa. (2,0 ñi m) 1. Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 6) ,phương trình các ñư ng th ng ch a ñư ng cao và trung tuy n k t ñ nh C l n lư t là 2 x − y + 13 = 0 và 6 x − 13 y + 29 = 0 . Vi t phương trình ñư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC . - Gäi ®−êng cao v trung tuyÕn kÎ tõ C l CH v CM. Khi ®ã CH cã ph−¬ng tr×nh 2 x − y + 13 = 0 , CM cã ph−¬ng tr×nh 6 x − 13 y + 29 = 0. C(-7; -1) 2 x − y + 13 = 0 ⇒ C (−7; − 1). - Tõ hÖ  6 x − 13 y + 29 = 0 - AB ⊥ CH ⇒ n AB = u CH = (1, 2) ⇒ pt AB : x + 2 y − 16 = 0 . B(8; 4)  x + 2 y − 16 = 0 M(6; 5) H ⇒ M (6; 5) A(4; 6) - Tõ hÖ  6 x − 13 y + 29 = 0 ⇒ B (8; 4). - Gi¶ sö ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC : x 2 + y 2 + mx + ny + p = 0. 11
  12. danghainamn@yahoo.com.vn 52 + 4m + 6n + p = 0  m = −4   V× A, B, C thuéc ®−êng trßn nªn 80 + 8m + 4n + p = 0 ⇔ n = 6 . 50 − 7 m − n + p = 0  p = −72   Suy ra pt ®−êng trßn: x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 72 = 0 hay ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 = 85. 2. Trong không gian v i h to ñ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có M (5; 3; − 1), P (2; 3; − 4) . Tìm to ñ ñ nh Q bi t r ng ñ nh N n m trong m t ph ng (γ ) : x + y − z − 6 = 0. - Gi¶ sö N ( x0 ; y0 ; z0 ) . V× N ∈ (γ ) ⇒ x0 + y0 − z 0 − 6 = 0 (1) MN = PN  - MNPQ l h×nh vu«ng ⇒ ∆MNP vu«ng c©n t¹i N ⇔  MN .PN = 0  ( x0 − 5) 2 + ( y0 − 3) 2 + ( z0 + 1) 2 = ( x0 − 2) 2 + ( y0 − 3) 2 + ( z0 + 4) 2  ⇔ ( x0 − 5)( x0 − 2) + ( y0 − 3) 2 + ( z0 + 1)( z0 + 4) = 0   x0 + z0 − 1 = 0 ( 2) ⇔ ( x0 − 5)( x0 − 2) + ( y0 − 3) + ( z0 + 1)( z0 + 4) = 0 2 (3)  y 0 = −2 x0 + 7 . Thay v o (3) ta ®−îc x0 − 5 x0 + 6 = 0 2 - Tõ (1) v (2) suy ra   z 0 = − x0 + 1  x0 = 2, y 0 = 3, z 0 = −1  N (2; 3; − 1) ⇒ hay  .  x0 = 3, y 0 = 1, z 0 = −2  N (3; 1; − 2) 7 5 - Gäi I l t©m h×nh vu«ng ⇒ I l trung ®iÓm MP v NQ ⇒ I ( ; 3; − ) . 2 2 NÕu N (2; 3 − 1) th× Q (5; 3; − 4). NÕu N (3;1; − 2) th× Q (4; 5; − 3). Câu VIIa. (1,0 ñi m) Cho t p E = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6}. T các ch s c a t p E l p ñư c bao nhiêu s t nhiên ch n g m 4 ch s ñôi m t khác nhau? Gi¶ sö abcd l sè tho¶ m n ycbt. Suy ra d ∈ {0, 2, 4, 6}. +) d = 0. Sè c¸ch s¾p xÕp abc l A6 . 3 +) d = 2. Sè c¸ch s¾p xÕp abc l A6 − A5 . 3 2 +) Víi d = 4 hoÆc d = 6 kÕt qu¶ gièng nh− tr−êng hîp d = 2. ( ) Do ®ã ta cã sè c¸c sè lËp ®−îc l A6 + 3 A6 − A5 = 420. 3 3 2 b. Theo chương trình Nâng cao: Câu VIb. (2,0 ñi m) 1. Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy, xét elíp ( E ) ñi qua ñi m M (−2; − 3) và có phương trình m t ñư ng chu n là x + 8 = 0. Vi t phương trình chính t c c a ( E ). x2 y 2 + =1 ( a > b > 0) . - Gäi ph−¬ng tr×nh ( E ) : a2 b2 12
  13. danghainamn@yahoo.com.vn 4 9  a2 + b2 = 1 (1)  - Gi¶ thiÕt ⇔  2 a = 8 ( 2) c  Ta cã (2) ⇔ a 2 = 8c ⇒ b 2 = a 2 − c 2 = 8c − c 2 = c(8 − c). 4 9 + =1. Thay v o (1) ta ®−îc 8c c(8 − c) c = 2 ⇔ 2c − 17c + 26 = 0 ⇔  13 2 c =  2 2 y2 x * NÕu c = 2 th× a 2 = 16, b 2 = 12 ⇒ ( E ) : + = 1. 16 12 x2 y2 13 39 * NÕu c = th× a = 52, b = ⇒ (E) : + = 1. 2 2 2 4 52 39 / 4 2. Trong không gian v i h to ñ Oxyz, cho các ñi m A(1; 0; 0), B (0;1; 0), C (0; 3; 2) và m t ph ng (α ) : x + 2 y + 2 = 0. Tìm to ñ c a ñi m M bi t r ng M cách ñ u các ñi m A, B, C và m t ph ng (α ). Gi¶ sö M ( x0 ; y0 ; z0 ) . Khi ®ã tõ gi¶ thiÕt suy ra x0 + 2 y0 + 2 ( x0 − 1) 2 + y0 + z0 = x0 + ( y0 − 1) 2 + z0 = x0 + ( y0 − 3) 2 + ( z0 − 2) 2 = 2 2 2 2 2 5  ( x0 − 1) 2 + y0 + z0 = x0 + ( y0 − 1) 2 + z0 2 2 2 2 (1) 2  ⇔  x0 + ( y0 − 1) 2 + z0 = x0 + ( y0 − 3) 2 + ( z0 − 2) 2 2 2 ( 2)  ( x0 − 1) 2 + y0 + z0 = ( x0 + 2 y0 + 2) 2 2 2 (3)   5  y0 = x0 Tõ (1) v (2) suy ra  .  z0 = 3 − x0 Thay v o (3) ta ®−îc 5(3 x0 − 8 x0 + 10) = (3 x0 + 2) 2 2  x0 = 1  M (1; 1; 2)  ⇒  23 23 14 ⇔  x0 = 23  M ( ; ; − ).   33 3 3 Câu VIIb. (1,0 ñi m) Khai tri n và rút g n bi u th c 1 − x + 2(1 − x) 2 + ... + n(1 − x) n thu ñư c ña th c P ( x) = a 0 + a1 x + ... + a n x n . Tính h s a8 bi t r ng n là s nguyên dương tho mãn 1 7 1 + 3= . 2 Cn Cn n n ≥ 3  1 71 + 3 = ⇔ 2 Ta cã 7.3! 1  n(n − 1) + n(n − 1)(n − 2) = n 2 Cn Cn n  13
  14. danghainamn@yahoo.com.vn n ≥ 3 ⇔ 2 ⇔ n = 9. n − 5n − 36 = 0  Suy ra a8 l hÖ sè cña x8 trong biÓu thøc 8(1 − x)8 + 9(1 − x)9 . 8.C8 + 9.C9 = 89. 8 8 §ã l ð4 I:PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 ñi m) x+2 Câu I. (2,0 ñi m)Cho h m sè y = (C) x −1 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ h m sè (C). 2. Cho ®iÓm A(0;a) .X¸c ®Þnh a ®Î tõ A kÎ ®−îc hai tiÕp tuyÕn tíi (C) sao cho hai tiÕp ®iÓm t−¬ng øng n»m vÒ hai phÝa trôc ox. Câu II. (2,0ñi m) x − 4x + y − 6 y + 9 = 0 4 2 2 1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh :  2 .  x y + x 2 + 2 y − 22 = 0  π 2π  1 2 2  = ( sin x +1) 2. Gi i PT : cos  x +  + cos  x +  3  3 2 π sin 6 x + cos 6 x Câu III. (1,0ñi m) Tính tích phân I= ∫ 4π dx 6x + 1 − 4 Câu IV. (2,0 ñi m)Cho h×nh chãp S.ABCD, cã ®¸y ABCD l h×nh vu«ng t©m O c¹nh b»ng a, SO ⊥ (ABCD). Gäi M, N lÇn l−ît l trung ®iÓm cña SA v BC. TÝnh gãc gi÷a ®−êng th¼ng MN v a 10 mÆt ph¼ng (ABCD) v thÓ tÝch khèi chãp M.ABCD, biÕt r»ng MN = . 2  a , b, c > 0 C©u V (1 ®iÓm) Cho ba sè a, b, c sao cho  .  abc = 1 1 1 1 +3 +3 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøcA = 3 a (b + c ) b (a + c ) c (b + a ) PhÇn Riªng: (3 ®iÓm) ThÝ sinh chØ ®−îc chän l m mét trong hai phÇn (phÇn A hoÆc phÇn B) A. Theo ch−¬ng tr×nh chuÈn. C©u VI.a (2 ®iÓm) 1)Cho ∆ ABC cã PT hai c¹nh l : 5 x − 2 y + 6 = 0, 4x + 7y - 21 = 0. Trùc t©m cña tam gi¸c trïng víi gèc to¹ ®é O, lËp ph−¬ng tr×nh c¹nh cßn l¹i. 2.Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho ñi m M(2 ; 1 ; 0) và ñư ng th ng d víi x −1 y +1 z = = .Vi t phương trình chính t c c a ñư ng th ng ñi qua ñi m M, d: −1 2 1 c t và vuông góc v i ñư ng th ng d v t×m to¹ ®é cña ®iÓm M’ ®èi xøng víi M qua d C©u VII.a (1 ®iÓm) Mét líp häc cã 40 häc sinh, cÇn cö ra mét ban c¸n sù gåm mét líp tr−ëng, mét líp phã v 3 ñy viªn (BiÕt r»ng kh«ng ph©n biÖt c¸c chøc danh l ñy viªn). Hái cã bao nhiªu c¸ch lËp ra mét ban c¸n sù. B. Theo ch−¬ng tr×nh n©ng cao. C©u VI.b (2 ®iÓm) 1)Trong măt ph ng v i h tr c t a ñ Oxy cho A(4;3), ñư ng th ng (d) : 14
  15. danghainamn@yahoo.com.vn x – y – 2 = 0 và (d’): x + y – 4 = 0 c t nhau t i M. Tìm B ∈ (d ) và C ∈ (d ') sao cho A là tâm ñư ng tròn ngo i ti p tam giác MBC. 2) Trong kg Oxyz cho ñư ng th ng ( ∆ ): x= -t ; y=2t -1 ; z=t +2 và mp(P):2x – y -2z - 2=0 Vi t PT m t c u(S) có tâm I ∈ ∆ và kho ng cách t I ñ n mp(P) là 2 và m t c u(S) c t mp(P )theo giao tuy n ñư ng tròn (C)có bán kính r=3 C©u VII.b (1 ®iÓm) T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ®−êng th¼ng y = −2 x + m c¾t ®å thÞ h m sè x2 + x −1 y= t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B sao cho trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB thuéc trôc tung. x ðÁP ÁN ð 4 I:PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 ñi m) x+2 Câu I. (2,0 ñi m)Cho h m sè y = (C) x −1 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ h m sè (C). 2. Cho ®iÓm A(0;a) .X¸c ®Þnh a ®Î tõ A kÎ ®−îc hai tiÕp tuyÕn tíi (C) sao cho hai tiÕp ®iÓm t−¬ng øng n»m vÒ hai phÝa trôc ox. Ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn qua A(0;a) cã d¹ng y=kx+a (1) x + 2  x − 1 = kx − a (2 )  cã nghiÖm x ≠ 1 §iÒu kiÖn cã hai tiÕp tuyÕn qua A:  −3  =k (3)  (x − 1) 2  Thay (3) v o (2) v rót gän ta ®−îc: (a − 1)x − 2(a + 2)x + a + 2 = 0 2 ( 4) a ≠ 1 a ≠ 1  §Ó (4) cã 2 nghiÖm x ≠ 1 l : f (1) = −3 ≠ 0 ⇔  a > −2 ∆' = 3a + 6 > 0  Ho nh ®é tiÕp ®iÓm x 1 ; x 2 l nghiÖm cña (4) x +2 x +2 Tung ®é tiÕp ®iÓm l y 1 = 1 , y2 = 2 x1 − 1 x2 − 1 (x 1 + 2)(x 2 + 2) §Ó hai tiÕp ®iÓm n»m vÒ hai phÝa cña trôc ox l : y 1 .y 2 < 0 ⇔ − VËy − < a ≠ 1 tho¶ m n ®kiÖn
  16. danghainamn@yahoo.com.vn ( x − 2) + ( y − 3) = 4 ( x − 2) 2 + ( y − 3)2 = 4  2 2 2 2  2 2 ( x + 2) y + x 2 − 22 = 0 ( x − 2 + 4)( y − 3 + 3) + x 2 − 2 − 20 = 0    x2 − 2 = u u 2 + v 2 = 4 Dat  * Thay v o hÖ ph−¬ng tr×nh ta cã:  y −3 = v u.v + 4(u + v) = 8 u = 2 u = 0 hoÆc   v = 0 v = 2  x = 2  x = −2  x = 2  x = − 2   thÕ v o c¸ch ®Æt ta ®−îc c¸c nghiÖm cña hÖ l :  ; ; ; ; y = 3 y = 3 y = 5 y = 5   π 2π   1  = ( sin x +1) 2. Gi i PT : cos 2  x +  + cos 2  x +  3  2 3 2π 4π π ) + 1 + cos(2 x + ) = 1 + sin x ⇔ 2 cos(2 x + π ).cos = sin x − 1 ⇔ 1 + 2 cos(2 x + 3 3 3 π 5π ⇔ 1 − cos 2 x − sin x = 0 ⇔ 2 sin 2 x − sin x = 0 ⇔ x = + 2kπ ; x = + 2kπ ; hayx = kπ 6 6 π sin 6 x + cos 6 x Câu III. (1,0ñi m) Tính tích phân I= ∫ 4π dx 6x + 1 − 4 π sin 6 x + cos 6 x Tính tích phân I= ∫ 4π dx 6x + 1 − 4 * ðăt t = -x => dt = -dx π π π π * ð i c n: x = − ⇒t = ;; x = ⇒t =− 4 4 4 4 π π sin t + cos t sin t + cos t 6 6 6 6 I = ∫ 4π 6t dt ; => 2 I = ∫ 4π (6t + 1) dt 6 +1 6t + 1 t − − S 4 4 π = ∫ 4π (sin 6 t + cos 6 )tdt − 4 M π π π a 10 3  5 3  5 31  4 2 I = ∫ π 1 − sin 2 2t dt = ∫ 4π  + cos 4t dt =  t + 2 4 sin 4t  D 4  48  8 8 4 − π − − 4 8 α O 4 5π 5π H N A = ⇒I= a 16 32 B Câu IV. (2,0 ñi m)Cho h×nh chãp S.ABCD, cã ®¸y ABCD l h×nh vu«ng t©m O c¹nh b»ng a, SO ⊥ (ABCD). Gäi M, N lÇn l−ît l trung ®iÓm cña SA v BC. TÝnh gãc gi÷a ®−êng th¼ng MN v a 10 mÆt ph¼ng (ABCD) v thÓ tÝch khèi chãp M.ABCD, biÕt r»ng MN = . 2 16
  17. danghainamn@yahoo.com.vn SO ⊥ (ABCD). Dùng MH//SO, H thuéc AC, khi ®ã MH ⊥ (ABCD), suy ra gãc gi÷a ®−êng th¼ng MN víi mp(ABCD) chÝnh l gãc MNH = α . Ta cÇn tÝnh α . ˆ XÐt tam gi¸c CNH cã : 3 3a 2 a HC = . AC = , CN = . 4 4 2 C HN = HC + CN − 2 HC.CN . cos 45 0 2 2 2 9a 2 a 2 3a 2 Hay HN 2 = + − 8 4 4 a 10 HN a 10 2 1 . VËy cos α = Suy ra HN = = =. . 4 MN 4 a 10 2 DÉn ®Õn α = 60 0. VËy gãc gi÷a ®−êng th¼ng MN v mÆt ph¼ng (ABCD) b»ng 600. ThÓ tÝch khèi chãp M.ABCD. Trong tam gi¸c HMN cã, MH a 10 3 a 30 tan 60 0 = ⇒ MH = HN . tan 60 0 = = . . HN 4 2 8 MH l chiÒu cao cña khèi chãp M.ABCD. VËy thÓ tÝch cña khèi chãp n y l : 1 2 a 30 a 3 30 1 V = S ABCD .MH = a . = . 3 3 8 24  a , b, c > 0 C©u V (1 ®iÓm) Cho ba sè a, b, c sao cho  .  abc = 1 1 1 1 +3 +3 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøcA = 3 a (b + c ) b (a + c ) c (b + a ) 1 1 1 §Æt x = , y = , z = . Khi ®ã: a b c 3 3 z3 x 3 yz y 3 xz z 3 xy 3 x y + + ≥ A= + + = (*) 1 1 1 1 1 1 y+z z+x x+ y 2 + + + yzxzyx x2 y2 z2 Do abc = 1 ⇒ xyz = 1 nªn ta cã A = + + (1) y+z z+x x+ y a+b+c a2 b2 c2 ≤ + + Ta chøng minh bÊt ®¼ng thøc . ThËt vËy. b+c c+a b+a 2 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho c¸c sè d−¬ng ta cã: b+c c+a a+b a2 b2 c2 + ≥ a, + ≥ b, + ≥ c. b+c c+a a+b 4 4 4 Céng ba bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu trªn ta cã : a+b+c a2 b2 c2 ≤ + + . b+c c+a b+a 2 B¹n ®äc tù ®¸nh gi¸ dÊu “=” x¶y ra khi a = b = c. 17
  18. danghainamn@yahoo.com.vn x+ y+ z 33 2 2 z2 x y 3 + + ≥ ≥ xyz = VËy A= y+z z+x x+ y 2 2 2 3 DÊu “=” x¶y ra khi x = y = z = 1. VËy minA = khi a = b = c = 1 . 2 PhÇn Riªng: (3 ®iÓm) ThÝ sinh chØ ®−îc chän l m mét trong hai phÇn (phÇn A hoÆc phÇn B) A. Theo ch−¬ng tr×nh chuÈn. C©u VI.a (2 ®iÓm) 1)Cho ∆ ABC cã PT hai c¹nh l : 5 x − 2 y + 6 = 0, 4x + 7y - 21 = 0. Trùc t©m cña tam gi¸c trïng víi gèc to¹ ®é O, lËp ph−¬ng tr×nh c¹nh cßn l¹i. Ta gi¶ sö tam gi¸c ABC cã c¹nh AB : 5 x − 2 y + 6 = 0 AC: 4x + 7y - 21 = 0 , suy ra täa ®é cña A l nghiÖm cña hÖ ph−¬ng A tr×nh: 5 x − 2 y = −6 B’ A , gi¶i hÖ suy ra A(0; 3)   4 x + 7 y = 21 O(0; 0) NhËn thÊy A thuéc Oy, OA l ®−êng cao cña tam gi¸c, OA ⊥ BC ⇒ BC // Ox A’ suy ra ph−¬ng tr×nh cña BC cã d¹ng y = y0. §−êng cao BB’ ®i qua trùc t©m O v vu«ng gãc víi AC suy ra BB’ B C cã ph−¬ng tr×nh l : 7(x – 0) - 4(y – 0) = 0 hay BB’: 7x – 4y = 0. §iÓm B = BB '∩ AC ⇒ täa ®é cña B l nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh:  7x − 4 y = 0  x = −4 ⇔  5 x − 2 y = −6  y = −7 §−êng th¼ng ®i qua B(- 4; - 7) v song song víi Ox chÝnh l ®−êng th¼ng BC suy ra ph−¬ng tr×nh c¹nh BC: y = - 7. VËy ph−¬ng tr×nh c¹nh cßn l¹i cña tam gi¸c ABC l y = -7. 2.Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho ñi m M(2 ; 1 ; 0) và ñư ng th ng d víi x −1 y +1 z = = .Vi t phương trình chính t c c a ñư ng th ng ñi qua ñi m M, d: −1 2 1 c t và vuông góc v i ñư ng th ng d v t×m to¹ ®é cña ®iÓm M’ ®èi xøng víi M qua d G i H là hình chi u vuông góc c a M trên d, ta có MH là ñư ng th ng ñi qua M, c t và vuông góc v i d.  x = 1 + 2t  d có phương trình tham s là:  y = −1 + t z = − t  uuuu r Vì H ∈ d nên t a ñ H (1 + 2t ; − 1 + t ; − t).Suy ra : MH = (2t − 1 ; − 2 + t ; − t) r Vì MH ⊥ d và d có m t vectơ ch phương là u = (2 ; 1 ; −1), nên : uuuu r 2 2.(2t – 1) + 1.(− 2 + t) + (− 1).(−t) = 0 ⇔ t = . Vì th , MH =  1 ; − 4 ; − 2    3 3 3 3 uuuu r uuuu r uMH = 3MH = (1; −4; −2) x − 2 y −1 z = = Suy ra, phương trình chính t c c a ñư ng th ng MH là: −4 −2 1 712 8 5 4 Theo trªn cã H ( ; − ; − ) m H l trung ®iÓm cña MM’ nªn to¹ ®é M’ ( ; − ; − ) 333 3 3 3 C©u VII.a (1 ®iÓm) Mét líp häc cã 40 häc sinh, cÇn cö ra mét ban c¸n sù gåm mét líp tr−ëng, mét líp phã v 3 ñy viªn (BiÕt r»ng kh«ng ph©n biÖt c¸c chøc danh l ñy viªn). Hái 18
  19. danghainamn@yahoo.com.vn cã bao nhiªu c¸ch lËp ra mét ban c¸n sù. • §Çu tiªn ta chän ra 2 häc sinh ®Ó l m líp tr−ëng v líp phã, (chó ý r»ng hai chøc danh ®ã l kh¸c nhau) Mét c¸ch xÕp 2 häc sinh l m líp tr−ëng v líp phã l mét chØnh hîp chËp 2 cña 40 2 Sè c¸ch xÕp 2 häc sinh l m líp tr−ëng v líp phã l A40 Cßn l¹i 38 häc sinh. • TiÕp ®ã ta chän 3 häc sinh l m ñy viªn (kh«ng ph©n biÖt thø tù) 3 Sè c¸ch chän 3 häc sinh l m ñy viªn l C 38 • Theo qui t¾c nh©n ta cã sè c¸ch chän ra mét ban c¸n sù l : A40 .C 38 = 13160160 c¸ch 2 3 B. Theo ch−¬ng tr×nh n©ng cao. C©u VI.b (2 ®iÓm) 1)Trong măt ph ng v i h tr c t a ñ Oxy cho A(4;3), ñư ng th ng (d) : x – y – 2 = 0 và (d’): x + y – 4 = 0 c t nhau t i M. Tìm B ∈ (d ) và C ∈ (d ') sao cho A là tâm ñư ng tròn ngo i ti p tam giác MBC. 2) Trong kg Oxyz cho ñư ng th ng ( ∆ ): x= -t ; y=2t -1 ; z=t +2 và mp(P):2x – y -2z - 2=0 Vi t PT m t c u(S) có tâm I ∈ ∆ và kho ng cách t I ñ n mp(P) là 2 và m t c u(S) c t mp(P )theo giao tuy n ñư ng tròn (C)có bán kính r=3 m c u(S) có tâm I ∈ ∆ g s I(a;b;c ) =>(a;b;c) tho m n PT c a ∆ (1) * d ( I ;( P)) = 2 (2) T (1) và(2) ta có h  2 a − b − 2c − 2 = 6    11 14 1   1 1 7 a=t ⇒ .... ⇒ heconghiem  ; − ;  ; va  − ; − ;  PT:  b = 2t − 1 6 3 6  3 3 3  c =t+2   Do r = R 2 − 4 = 3 ⇔ R = 13 V y có 2 m t c u theo ycbt : 2 2 2  11   14   1 ( S1 ) :  x −  +  y +  +  z −  = 13  6  3  6 2 2 2 ( S2 ) :  x +  +  y +  +  z −  = 13 1 1 7      3  3  3 C©u VII.b (1 ®iÓm) T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ®−êng th¼ng y = −2 x + m c¾t ®å thÞ h m sè x2 + x −1 y= t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B sao cho trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB thuéc trôc tung. x Ph−¬ng tr×nh ho nh ®é giao ®iÓm: x2 + x +1 = −2 x + m ⇔ 3 x 2 + (1 − m) x − 1 = 0 ( x ≠ 0) (1) x NhËn thÊy x = 0, kh«ng l nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) v cã biÖt sè: ∆ = (1 − m )2 + 12 > 0, ∀m , suy ra ph−¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai ph©n biÖt x1 , x 2 kh¸c 0 víi mäi m, tøc th¼ng lu«n c¾t ®−êng cong t¹i hai ®iÓm A, B ph©n biÖt víi mäi m. b m −1 Theo ®Þnh lÝ ViÐt ta cã x1 + x2 = − = a 3 19
  20. danghainamn@yahoo.com.vn x + x2 m − 1 Ho nh ®é trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng AB l x I = 1 = . 2 6 §iÓm I ∈ Oy ⇔ x I = 0 ⇔ m − 1 = 0 ⇔ m = 1. VËy m = 1 l gi¸ trÞ cÇn t×m. ð5 I: PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH CâuI (2ñi m): Cho hàm s y = x3 - 3x2 + 4 (C) 1: Kh o sát hàm s . 2: G i (d) là ñư ng th ng ñi qua ñi m A(2 ; 0) có h s góc k.Tìm k ñ (d) c t (C) t i ba ñi m phân bi t A ; M ; N sao cho hai ti p tuy n c a (C ) t i M và N vuông góc v i nhau. Câu II (2 ñi m): 1 x x 3(sin 3 − cos 3 ) = 2 cos x + sin 2 x 1: Gi i phương trình: 2 2 2 x 2 + 35 < 5 x − 4 + x 2 + 24 2: Gi i b t phương trình: ln( x − 1 + 1) 5 ∫ x −1+ Câu III (1ñi m): Tính tích phân : I = dx x −1 2 Câu IV (1ñi m): Cho tam gi¸c ABC c©n néi tiÕp ®−êng trßn t©m J b¸n kÝnh R=2a (a>0) ,gãc BAC =1200.Trªn ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC) lÊy ®iÓm S sao cho SA = a 3. Gäi I l trung ®iÓm ®o¹n BC .TÝnh gãc gi÷a SI v h×nh chiÕu cña nã trªn mÆt ph¼ng (ABC) & tính bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp SABC theo a Câu V (1ñi m): 2y 2x 2z 1 1 1 + 3 2+ 3 ≤ 2+ 2+ 2 1). Cho x,y,z là các s th c dương. Ch ng minh: x +y y +z z +x 3 2 2 x y z  x3 − y 3 + 3 y 2 − 3x − 2 = 0  2).Tìm m ñ h phương trình:  có nghi m th c x2 + 1 − x2 − 3 2 y − y 2 + m = 0   PH N RIÊNG: Thí sinh ch ñư c làm m t trong hai ph n A ho c B A.Theo chương trình chu n (2ñi m) Câu VIa: 1) Trong m t ph ng Oxy cho ñư ng tròn (C) tâm I(-1; 1), bán kính R=1, M là m t ñi m trên (d ) : x − y + 2 = 0 . Hai ti p tuy n qua M t o v i (d) m t góc 450 ti p xúc v i (C) t i A, B. Vi t phương trình ñư ng th ng AB. 2) Cho hình l p phương ABCDA1B1C1D1 có ñi m A(0;0;0); B(2;0;0); D(0;2;0); A1(0;0;2). M là trung ñi m AB; N là tâm c a hình vuông ADD1A1. Tính bán kính c a ñư ng tròn là giao tuy n c a m t c u ñi qua C ; D1 ; M ; N v i m t ph ng MNC1 Câu VII/a: Cho n là s t nhiên n ≥ 2.Tính n S = ∑ k 2Cnk 2k = 12.Cn .2 + 22.Cn .22 + ... + n 2 .Cnn .2n 1 2 k =1 B. Theo chương trình nâng cao (2ñi m) 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2