Bài giảng chuyên đề Cơ học chất điểm – GV. Phạm Nguyên Hoàng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:57

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng chuyên đề Cơ học chất điểm gồm có những nội dung chính sau: Chương 1 động học chất điểm, chương 2 động lực học chất điểm, chương 3 các định luật bảo toàn, chương 4 động lực học hệ chất điểm. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng chuyên đề Cơ học chất điểm – GV. Phạm Nguyên Hoàng

CHUYÊN ĐỀ CƠ HỌC CHẤT ĐIỂM Giáo viên: Phạm Nguyên Hoàng A. KIẾN THỨC TOÁN HỌC BỔ TRỢ I. HÌNH HỌC 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông AB CB B + sin   (1) + cos  (2) CA CA AB CB C α + tan   (3) + cot an  (4) CB AB A 2. Công thức hình chiếu B Hình chiếu của véc tơ AB trên trục Ox  A α là A B được xác định theo công thức: ' ' A' B ' =| AB |.cosα =| AB |.sin (5) O A’ B’ x 3. Định lý hàm số cosin Trong tam giác A, B, C cạnh a, b, c ta luôn có: B + a2 = b2 + c2 - 2b.c.cos A (6) c 2 2 2 a + b = a + c - 2a.c.cos B (7) + c2 = a2 + b2 - 2a.b.cos C (8) A b C 4. Định lý hàm số sin B Trong tam giác bên ta có: c a b c a   (9) sin A sin B sin C A 5. Phép cộng hai véc tơ b C      Cho hai véc tơ a , b gọi: c = a  b (10)   c là véc tơ tổng của hai véc tơ đó thì c được xác định theo quy tắc hình bình hành. Gọi α là góc giữa hai véc tơ   a , b thì theo định lí hàm số cosin ta có: | c |2 = | a |2 + | b |2 -2| a || b |cos  (11) Hay | c |2 = | a |2 + | b |2 +2| a || b |cos  (12) Suy ra:   + Nếu a , b cùng hướng thì: |c | = |a | + |b | (13)   + Nếu a , b ngược hướng thì:
| c | = || a | - | b || (14)   + Nếu a , b vuông góc thì: | c |2 = | a |2 + | b |2 (15) 6. Bất đẳng thức Cô si a  b  2 ab ( a, b dương). (16) a  b  c  3 3 abc ( a, b, c dương). (17) - Dấu bằng xảy ra khi các số bằng nhau. - Khi tích hai số không đổi, tổng nhỏ nhất khi hai số bằng nhau. - Khi tổng hai số không đổi, tích hai số lớn nhất khi hai số bằng nhau. 7. Bất đẳng thức Bunhiacôpski (a1b1  a2b2 )2  (a1  a2 )2 (b1  b2 )2 (18) a1 b1 Dấu bằng xảy ra khi  a2 b2 II. ĐẠO HÀM. NGUYÊN HÀM. VI PHÂN. TÍCH PHÂN 1. Đạo hàm y  Định nghĩa: y' (x 0 )  lim . Trong đó x  x - x 0 ; y  f(x 0  x) - f(x 0 ). x  0 x  Quy tắc tính đạo hàm theo định nghĩa: Bước 1: Cho x một số gia x rồi tính y = f(x0 + x) – f(x0). y Bước 2: Tìm giới hạn lim . x  0 x  Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M0(x0; f(x0)). Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M0(x0; f(x0)) có phương trình y = f ’(x0)(x – x0) + f(x0).  Ý nghĩa cơ học của đạo hàm: v(t0) = s’(t0).  Đạo hàm của hàm số trên một khoảng + Hàm số f(x) gọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm f ’(x) tại x  J. + Nếu hàm số f(x) có đạo hàm trên J thì hàm số f ’(x) xác định bởi f ': J  R gọi là x  f '(x) đạo hàm của hàm số f(x).  Đạo hàm của vài hàm số thường gặp: (c)’ = 0 (c là hằng số) (x)’ = 1 (xn)’ = nxn-1 u  n '  n.u n-1.u'
' ' 1 1 1 u'   - 2   - 2 x x u u  x '  1 2 x  u   2u'u ' u  v '  u'  v ' (uv)’ = u’v + uv’ (ku)’ = ku’ (k là hằng số) ' '  u  u ' v - uv ' k kv '      - 2 (k là hằng số) v v2 v v y'x  y 'u .u 'x  Đạo hàm của các hàm số lượng giác (sinx)’ = cosx; (sinu)’ = u’cosu (cosx)’ = - sinx; (cosu)’ = - u’sinu 1  tanx    tanu  u' '  ' ; cos2 x cos2 u 1  cotx   - 2 ; ' u'  cotu   - ' sin x sin 2 u 2. Vi phân  Vi phân của hàm số tại một điểm ứng với số gia x: df(x0) = f ’(x0)x. Vi phân của hàm số: df(x) = f ’(x)x hay dy = y’x.  Ứng dụng của vi phân: f(x0 + x)  f(x0) + f ’(x0).x 3. Bảng các nguyên hàm  dx  x  C  sin 1 2 dx   cot x  C x x 1  x dx    1  C   1   tan xdx   ln cos x  c dx  x  ln x  C  x  0   cot xdx  ln sin x  c  e dx  e C x x  kdx  kx  C ax 1  ax  b   1  a dx  ln a  C  0  a  1 x   ax  b  dx  a   1  C   1   cos xdx  sin x  C dx 1  ln ax  b  C  x  0   ax  b a  sin xdx   cos x  C 1  cos 1 2 dx  tan x  C  e axb dx  e ax b  C a x
1  e dt  e C t t  cos  ax  b  dx  a sin  ax  b   C at  cos  ax  b dx  a tan  ax  b   C 0  a  1  a dt  ln a  C t 1 1 2 1 1  sin  ax  b  dx   a cot  ax  b   C 2  cos tdt  sin t  C  dt  t  C  sin tdt   cos t  C t  1 1  t du    1  C   1   cos2 t dt  tan t  C 1  sin du  t  ln t  C  t  0  2 t dt   cot t  C 4. Các tính chất tích phân Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a; b] a  f ( x)dx  0 a b a  f ( x)dx   f ( x)dx a b b b  k. f ( x)dx  k  f ( x)dx a a ( k là hằng số) b b b  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx a a a b c b  f ( x)dx   f (c)dx   f ( x)dx a a c 5. Phương pháp đổi biến số b Cần tính I =  f ( x)dx a Loại 1: Tiến hành theo các bước + Chọn đặt: t = t(x) rồi suy ra dt = t’(x)dx + Tìm cận mới: Nếu hai cận mới là  và  thì  = t(a);  = t(b). + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính. Loại 2: Tiến hành theo các bước + Chọn đặt: x = u(t) rồi suy ra dx = u’(t)dt + Tìm cận mới: lần lượt cho u(t) = a và u(t) = b để tìm hai cận mới. + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính.
Lưu ý về cách đặt: f ( x) có chứa Cách đặt a2  x2   Đặt x  a sin t (với  t  ) hoặc x  a cos t (với 2 2 0t  ) a 2  x 2 hoặc Đặt x  a tan t (với    t   ) hoặc x  a cot t (với 1 2 2 0t  ) a2  x2 x2  a2 a    a Đặt x  (với t    ;  \ 0 hoặc x  (với sin t  2 2 cos t   t   0;  \   2 6. Phương pháp tích phân từng phần b b  udv  uv   vdu b  Công thức: a a a b  Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính I  P ( x).Q( x)dx  a P(x): Đa thức Dạng P(x): Đa thức 1 P(x): Đa thức P(x): Đa thức Q(x): hay hàm Q(x): sinkx sin 2 x Q(x):ekx Q(x):ln(ax+b) hay coskx 1 cos 2 x * u = P(x) * u = P(x) * u = ln(ax + b) * u = P(x) * dv là Phần * dv là Phần * dv = P(x)dx * dv là Phần còn còn lại của còn lại của lại của biểu thức Cách đặt biểu thức biểu thức dưới dấu tích phân dưới dấu tích dưới dấu tích phân phân 7. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích a) Diện tích hình phẳng  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục) b S=  a f ( x ) dx (1)
 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số: y = f(x), y = g(x) (liên tục) b x = a; x= b được tính bởi: S =  a f ( x)  g ( x) dx (2) b) Thể tích vật thể tròn xoay Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x); x = a; x = b; y = 0 khi xoay b  quanh trục Ox được tính bởi: V =  f ( x)dx 2 (3) a 8. Ứng dụng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm Dạng 1. Khảo sát trực tiếp Nếu hàm số y = f(x) trên miền D cho ở dạng đơn giản, ta có thể khảo sát trực tiếp hàm số đó và rút ra kết luận GTNN, GTLN của hàm số. Dạng 2. Khảo sát gián tiếp Trong nhiều bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số nếu ta khảo sát trực tiếp có thể gặp nhiều khó khăn, chẳng hạn như tìm nghiệm của f’(x), xét dấu của f’(x). Do đó thay vì khảo sát trực tiếp f’(x) ta có thể khảo sát gián tiếp hàm số đã cho bằng cách sau: - Đặt ẩn phụ t, chuyển hàm số đã cho về hàm số mới g(t). - Tìm điều kiện của ẩn phụ t ( Bằng cách khảo sát hàm số, dùng bất đẳng thức…) - Khảo sát hàm số g(t) suy ra GTNN, GTLN của hàm số. B. CƠ HỌC CHẤT ĐIỂM CHƯƠNG 1. ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM I. Hệ quy chiếu 1. Định nghĩa chuyển động cơ học Chuyển động cơ học là sự chuyển dời vị trí trong không gian của các vật hay là sự chuyển động của một bộ phận này so với bộ phận khác của cùng một vật. Nói một vật chuyển động hay đứng yên thì điều đó chỉ có tính chất tương đối vì điều này còn phụ thuộc vào việc người quan sát đứng ở vị trí nào. Tóm lại, chuyển động có tính chất tương đối và phụ thuộc vào vị trí mà ở đó ta đứng quan sát chuyển động. Thực ra trong vũ trụ không có vật nào đứng yên một cách tuyệt đối, mọi vật đều chuyển động không ngừng. Vậy, khi nói rằng một vật chuyển động thì ta phải nói rõ là vật đó chuyển động so với vật nào mà ta quy ước là đứng yên. 2. Hệ quy chiếu Vật hay hệ vật mà ta quy ước là đứng yên khi nghiên cứu chuyển động của một vật khác được gọi là hệ quy chiếu. Với cùng một chuyển động nhưng trong các hệ quy chiếu khác nhau sẽ xảy ra khác nhau.
Khi xét một chuyển động cụ thể ta thường chọn hệ quy chiếu sao cho chuyển động được mô tả đơn giản nhất. a) Hệ tọa độ Descartes Hệ toạ độ Descartes gồm 3 trục Ox, Oy, Oz tương ứng vuông góc với nhau từng đôi một, chúng tạo thành một tam diện thuận. Điểm O gọi là gốc toạ độ. Vị trí của một điểm M bất kỳ được hoàn toàn xác định bởi bán kính véc tơ r , hay bởi tập hợp của 3 số (x, y, z) là hình chiếu của điểm mút M của véc tơ r lên các trục Ox, Oy, Oz tương ứng, được gọi là 3 toạ độ của điểm Hệ tọa độ Descartes M trong hệ toạ độ Descartes. b) Hệ tọa độ cầu Trong hệ toạ độ cầu, vị trí của một điểm M bất kỳ được xác định bởi 3 toạ độ r, θ, φ. Trong đó, r là độ dài bán kính véc tơ, θ là góc giữa trục Oz và r , còn φ là góc trục Ox và tia hình chiếu của r trong mặt phẳng xOy. Biết ba toạ độ cầu của điểm M, ta có thể tính được toạ độ Descartes của điểm M theo công thức sau: Hệ tọa độ cầu Trong hệ toạ độ cầu: 0 ≤ θ ≤ 1800 và 0 ≤ φ ≤ 3600. Các đường tròn ứng với cùng một giá trị của θ gọi là các đường vĩ tuyến, còn các đường tròn ứng với cùng một giá trị của φ gọi là các đường kinh tuyến. Hệ toạ độ cầu rất thuận tiện khi định vị các địa điểm trên quả đất. 3. Chất điểm và vật rắn Để mô tả chuyển động của các hạt có kích thước, cần phải biết rõ chuyển động của mọi điểm của vật. Tuy nhiên, khi kích thước của vật là nhỏ so với khoảng cách dịch chuyển mà ta xét thì mọi điểm trên vật dịch chuyển gần như nhau, khi đó có thể mô tả chuyển động của vật như chuyển động của một điểm. Trong trường hợp này ta
đã coi vật là một chất điểm, tức là một điểm hình học nhưng lại có khối lượng bằng khối lượng của vật (không có kích thước nhưng có khối lượng). Trong nhiều trường hợp nhờ có khái niệm chất điểm mà việc nghiên cứu chuyển động của các vật trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Một tập hợp chất điểm được gọi là hệ chất điểm. Vật rắn là một hệ chất điểm trong đó khoảng cách tương hỗ giữa các chất điểm của hệ không thay đổi. 4. Phương trình chuyển động và phương trình quỹ đạo của chất điểm a) Phương trình chuyển động Để xác định chuyển động của một chất điểm chúng ta cần biết vị trí của chất điểm tại những thời điểm khác nhau. Nói cách khác, chúng ta cần biết sự phụ thuộc theo thời gian của bán kính véc tơ r của chất điểm: r=r(t) Phương trình này biểu diễn vị trí của chất điểm theo thời gian và gọi là phương trình chuyển động của chất điểm. Trong hệ toạ độ Descartes, phương trình chuyển động của chất điểm là một hệ gồm 3 phương trình:  x  x(t)   y  y (t) (1.1)  z  z (t)  Tương tự trong hệ toạ độ cầu, phương trình chuyển động của chất điểm là: r  r (t)     (t)    (t)  b) Phương trình quỹ đạo Khi chuyển động, các vị trí của chất điểm ở các thời điểm khác nhauvạch ra trong không gian một đường cong liên tục nào đó gọi là quỹ đạo của chuyển động. Vậy quỹ đạo của chất điểm chuyển động là đường tạo bởi tập hợp tất cả các vị trí của nó trong không gian, trong suốt quá trình chuyển động. Phương trình mô tả đường cong quỹ đạo gọi là phương trình quỹ đạo. f (x, y, z)  C Trong đó f là một hàm nào đó của các toạ độ x, y, z và C là một hằng số. Về nguyên tắc, nếu biết phương trình chuyển động (1.1) thì bằng cách khử tham số t ta có thể tìm được mối liên hệ giữa các toạ độ x, y, z tức là tìm phương trình quỹ đạo. Vì vậy, đôi khi người ta còn gọi phương trình chuyền động (1.1) là phương trình quỹ đạo cho ở dạng tham số.
II. Chuyển động thẳng trên trục Ox 1. Độ dời Xét một chất điểm chuyển động theo một quỹ đạo bất kỳ. Tại thời điểm t1, chất điểm ở vị trí M1. Tại thời điểm t2, chất điểm ở vị trí M2. Trong khoảng thời gian  t = t2 – t1 chất điểm đã dời từ điểm M1 đến điểm M2. Véc tơ M 1M 2 gọi là véc tơ độ dời của chất điểm trong khoảng thời gian nói trên. 2. Vận tốc Vận tốc là đại lượng vật lý đặc trưng cho chiều và độ nhanh chậm của chuyển động chất điểm. Để đặc trưng một cách đầy đủ về cả phương, chiều và độ nhanh chậm của chuyển động chất điểm, người ta đưa ra một véc tơ gọi là véc tơ vận tốc. Theo định nghĩa, véc tơ vận tốc tại một vị trí M là một véc tơ v có phương nằm trên tiếp tuyến với quỹ đạo tại M, có chiều theo chiều chuyển động và có giá trị bằng giá trị tuyệt đối của v ds v dt Véc tơ vận tốc Véc tơ vận tốc trong hệ tọa độ Descartes ds dr v  dt dt  dx vx  dt   dy v v y   dt  dz vz  dt  Độ lớn của vận tốc sẽ được tính theo công thức: dx 2 dy 2 dz 2 v  vx  v y  vz2  ( 2 2 ) ( ) ( ) dt dt dt 3. Gia tốc Gia tốc là một đại lượng vật lý đặc trưng cho sự biến thiên của vận tốc. Giả sử sau một khoảng thời gian Δt, vận tốc của chất điểm thay đổi một lượng là Δv thì gia tốc trung bình atb trong khoảng thời gian Δt là: v a tb  t
Ta thấy rằng, muốn đặc trưng cho độ biến thiên của véc tơ vận tốc ở từng thời v điểm, ta phải xác định tỷ số trong khoảng thời gian Δt vô cùng nhỏ, nghĩa là cho t Δt → 0, ta được biểu thức của gia tốc tức thời a tại một điểm trên quỹ đạo: v d v d 2 r a  lim   t 0 t dt d 2t Ta có thể tính ba toạ độ của véc tơ gia tốc theo ba trục toạ độ Descartes:  dv d 2x  ax  x  2  dt d t  dv y d 2 y a a y   2  dt d t  dv d 2z  az  z  2  dt d t d 2x 2 d 2 y 2 d 2z 2 Độ lớn gia tốc được tính theo công thức: a  a  a  a  ( 2 )  ( 2 )  ( 2 ) 2 x 2 y 2 z dt dt dt 4. Các phương trình của chuyển động thẳng đều a=0 v = hằng số x = x0 + vt 5. Các phương trình của chuyển động thẳng biến đổi đều a = hằng số vt = v0 + at 1 2 x = x0 + v 0 t + at 2 a cùng dấu với v: chuyển động thẳng nhanh dần đều. a trái dấu với v: chuyển động thẳng chậm dần đều. 6. Chuyển động rơi tự do a=g vt = gt 1 2 h = gt 2 vt2 = 2gh
III. Chuyển động tròn đều 1. Định nghĩa Chuyển động tròn đều là chuyển động trên quỹ đạo tròn và chất điểm đi được những cung tròn có độ dài bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau tuỳ ý. 2. Tốc độ góc. Vận tốc dài. Gia tốc hướng tâm a) Tốc độ góc Xét một chất điểm chuyển động tròn đều. Trong khoảng v thời gian t bán kính OM0 quét được góc  . M  s Lúc đó   gọi là tốc độ góc. t  0 M0 r  đo bằng rađian trên giây (rad/s). b) Vận tốc dài Giả sử trong khoảng thơi gian t chất điểm đi được cung tròn có độ dài s thì vận tốc dài của chất điểm tính bằng công thức s v = hằng số (1.2) t Đơn vị : (m/s) Vận tốc dài trong chuyển động tròn đều có phương trùng với tiếp tuyến với quỹ đạo tại điển ta xét, có chiều trùng với chiều chuyển động của chất điểm. c) Gia tốc hướng tâm Vì trong chuyển động tròn đều v luôn luôn thay đổi về hướng nên chuyển động tròn đều có gia tốc. - Tại t0 = 0 vật ở A, có vận tốc v0 , sau t giây vật đến M và có vận tốc vt . Theo định nghĩa gia tốc của vật là vt  v0 v  v0 A v0 a =  B t t M Trong khoảng thời gian t rất nhỏ thì điểm M rất gần với điểm A và véc tơ vt rất gần với véc tơ v0 kéo theo v R 0 vt v tiến tới bán kính R. Véc tơ gia tốc a gần như trùng với véc tơ v . Vậy véc tơ gia tốc a có hướng theo bán kính và hướng vào tâm quỹ đạo nên được gọi là gia tốc hướng tâm. * Độ lớn của gia tốc hướng tâm
Xét hai tam giác đồng dạng AOM và CAB ta có CB AB  AM AO với CB = v AM = v. t AB = vt = v v v Nên ta có  v.t R v2 hay a là công thức tính độ lớn của gia tốc hướng tâm. R 3. Chu kỳ. Tần số a) Chu kỳ Chu kỳ T (s) là khoảng thời gian mà chất điểm đi được một vòng trên đường tròn. 2 r Từ công thức (1.2) ta có v  (1.3) T 2 r Ta có T (1.4) v Trong đó r là bán kính đường tròn; vì v không đổi nên T là một hằng số và được gọi là chu kỳ. b) Tần số Tần số f là số vòng mà chất điểm đi được trong một giây 1 f  (1.5) T Đơn vị của tần số là Héc. Ký hiệu Hz. 4. Mối liên hệ giữa tốc độ dài, vận tốc góc, chu kỳ, tần số s  Ta có v =r t t Hay v  r (1.6) Công thức (1.6) cho ta mối quan hệ giữa tốc độ dài và tốc độ góc trong chuyển động tròn đều. Từ công thức (1.3) và (1.6) ta có
2 r v  r = T 2 Từ đó  (1.7) T Và   2 f (1.8) Các công thức (1.7) và (1.8) cho ta mối liên hệ giữa tốc độ góc  với chu kỳ T hay với tần số f. Từ (1.8),  còn được gọi là tần số góc. IV. Tổng hợp chuyển động. Công thức cộng vận tốc Một vật đồng thời tham gia nhiều chuyển động thì các chuyển động thành phần xảy ra độc lập với nhau. Muốn khảo sát chuyển động chung của vật ta phải kết hợp các chuyển động thành phần, đó chính là phép tổng hợp các chuyển động. Ngược lại khảo sát chuyển động phức tạp của vật, để đơn giản ta phải phân tích chuyển động đó ra các thành phần phù hợp. 1. Tổng hợp chuyển động v1 Xét trường hợp một vật đồng thời tham gia hai chuyển động với các vận tốc tương ứng v1 , v2 . 0 v thì chuyển động của vật có vận tốc v  v1  v2 (1.9) v2 Độ lớn của v : v  v12  v2  2v1v2cos 2 (1.10) Với α là góc hợp bởi hai véc tơ v1 , v2 . Nếu α = 0 thì v = v 1 + v2  Nếu α = thì v  v12  v2 2 2 Nếu α =  thì v  v1  v2 Trường hợp vật đồng thời tham gia n chuyển động với các vận tốc v1 , v2 ,...vn thì chuyển động của vật có vận tốc v  v1  v2  ...  vn (1.11)
Chú ý: - Nếu các chuyển động thành phần là chuyển động thẳng đều thì chuyển động tổng hợp là chuyển động thẳng đều. - Nếu các chuyển động thành phần không phải là chuyển động thẳng đều thì các véc tơ vận tốc trong các công thức (1.9) và (1.11) phải ở cùng một thời điểm (hay một điểm trên quỹ đạo). 2. Công thức cộng vận tốc a) Tính tương đối của chuyển động Ta biết rằng muốn xác định vị trí của một vật ta phải so sánh vật đó với một vật khác dùng làm mốc, tức là xác định toạ độ của vật trong hệ toạ độ gắn với vật làm mốc. Trong hệ toạ độ này vật có toạ độ x1 vận tốc v1, thì trong hệ toạ độ khác vật ấy lại toạ độ x2 vận tốc v2. Vì thế ta bảo toạ độ và vận tốc của vật có tính tương đối. b) Công thức cộng vận tốc. v1,3  v1,2  v2,3 Trong đó v1,3 là vận tốc tuyệt đối. v1,2 là vận tốc tương đối. v2,3 là vận tốc kéo theo. Vậy tại mỗi thời điểm, véc tơ vận tốc tuyệt đối bằng tổng véc tơ vận tốc tương đối và véc tơ vận tốc kéo theo. Chú ý: - Nếu hai chuyển động theo phương vuông góc với nhau thì: v1,3  v1,2  v2,3 2 2 2 - Nếu hai chuyển động cùng phương, cùng chiều thì: v1,3  v1,2  v2,3 - Nếu hai chuyển động cùng phương, ngược chiều thì: v1,3  v1,2  v2,3 v1,3 có chiều của véc tơ vận tốc lớn hơn.
V. Khảo sát chuyển động của vật ném theo phương ngang, phương xiên góc với mặt phẳng nằm ngang 1. Phương pháp toạ độ Để khảo sát những chuyển động phức tạp có quỹ đạo là những đường cong, ta thường sử dụng một phương pháp gọi là phương pháp toạ độ. Nội dung của phương pháp này như sau: a) Chọn hệ toạ độ (thường là hệ toạ độ Đêcac) và phân tích chuyển động phức tạp thành các chuyển động thành phần đơn giản hơn trên các trục toạ độ, nghĩa là chiếu chất điểm M xuống hai trục Ox và Oy để có các hình chiếu Mx và My. b) Khảo sát riêng rẽ các chuyển động của Mx và My. c) Phối hợp các lời giải riêng rẽ thành lời giải đầy đủ cho chuyển động thực. 2. Chuyển động của vật bị ném theo phương nằm ngang Xét vật ném từ độ cao h với vận tốc ban đầu vo x nằm ngang v0. Ta dùng phương pháp toạ độ để giải 0 bài toán này. y Để bài toán đơn giản ta chọn chiều dương của trục Oy hướng xuống dưới. h Các phương trình chuyển động theo Ox của Mx là A vx = v 0 ; y x = v0 t (1.12) Các phương trình chuyển động theo Oy của My là vy = gt ; gt 2 y (1.13) 2 Khử t giữa hai phương trình ta có ta có phương trình quỹ đạo: g 2 y 2 x (1.14) 2v0 Quỹ đạo thực là cung parabon OA, A là điểm rơi trên mặt đất. Tầm xa IA bằng hoành độ của điểm A có tung độ yA = h. Thay vào (1.14) ta suy ra 2h xA  v0 (1.15) g
Vận tốc của vật khi chạm đất là: v  vx  vy 2 2 (1.16) 3. Chuyển động của vật bị ném theo phương xiên góc với mặt phẳng nằm ngang Chọn mặt phẳng toạ độ xOy là mặt phẳng thẳng đứng chứa v0 . Gốc O trùng với điểm xuất phát của vật. Trục Oy hướng lên trên. Gốc thời gian là thời điểm ném vật. Các phương trình của chuyển động của vật theo phương Ox là vx  v0 x  v0 cos ax  0 x  (v0cos )t (1.17) Các phương trình của chuyển động của vật theo phương Oy là v0 y  v0 sin  ay  g vy  v0 sin   gt gt 2 y  (v0 sin  )t  (1.18) 2 (1.17), (1.18) là phương trình chuyển động của vật. Rút t từ (1.17) thay vào (1.18), ta được  gx 2 y  (tan  ) x (1.19) 2v0 cos 2 2 (1.19) là phương trình quỹ đạo của vật. Quỹ đạo này là một parabol. * Tầm bay cao. Ta gọi độ cao cực đại mà vật đạt tới là tầm bay cao, ở đó vy triệt tiêu. Thời điểm tương v sin  ứng là t x g v0 sin 2  2 thay vào (5.7) ta có yMax  (1.20) 2g
* Tầm bay xa. Ta gọi khoảng cách giữa điểm ném và điểm rơi (cùng trên mặt đất) là tầm bay xa. 2v sin  Thời điểm vật chạm đất: tA  0 g v0 sin 2 2 Thay vào (1.17) ta có xMax  (1.21) g CHƯƠNG 2. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM I. Khái niệm về lực và khối lượng  Khái niệm về lực Lực là nguyên nhân vật lý gây ra sự chuyển động cũng như sự thay đổi chuyển động của các vật. Lực thể hiện mức độ tương tác giữa các vật.  Khối lượng là độ đo về lượng (nhiều hay ít) vật chất chứa trong vật thể, có thể tính từ tích phân toàn bộ thể tích của vật. II. Các định luật Niutơn Các định luật Niutơn nêu lên quan hệ giữa chuyển động của một vật với tác dụng bên ngoài và quan hệ giữa các tác dụng tương hỗ của các vật. 1. Định luật I Niutơn a) Định luật Nếu một vật không chịu tác dụng của lực nào hoặc chịu tác dụng của các lực có hợp lực bằng 0, thì nó giữ nguyên trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều. Ta gọi vật không chịu tác dụng của vật nào khác là vật cô lập. b) Quán tính Mỗi vật đều có xu hướng bảo toàn vận tốc của mình. Tính chất ấy gọi là quán tính. Quán tính có hai biểu hiện: - Xu hướng giữ nguyên trạng thái đứng yên. Ta nói vật có “tính ì”. - Xu hướng giữ nguyên trạng thái chuyển động thẳng đều. Ta nói các vật chuyển động có “đà”. Với ý nghĩa này, định luật I Niutơn còn gọi là định luật quán tính. Chuyển động thẳng đều gọi là chuyển động theo quán tính.
2. Định luật II Niutơn Véc tơ gia tốc của một vật luôn cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của véc tơ gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của véc tơ lực tác dụng lên vật và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật. F Biểu thức : a m Hay F  ma Trong trường hợp vật chịu nhiều lực tác dụng thì F là hợp lực của các lực đó F  F1  F2  F3  ... 3. Định luật III Niutơn a) Định luật Khi vật A tác dụng lên vật B một lực, thì vật B cũng tác dụng trở lại vật A một lực. Hai lực này là hai lực trực đối. Biểu thức: FAB   FBA b) Lực và phản lực Trong hai lực FAB và FBA , ta gọi một lực là lực tác dụng, lực kia là phản lực. Cần chú ý rằng hai lực này là hai lực trực đối, nhưng không cân bằng nhau, vì chúng tác dụng lên hai vật khác nhau. Lực tác dụng thuộc loại gì (hấp dẫn , đàn hồi, ma sát…), thì phản lực cũng thuộc loại đó. III. Các lực cơ học thường gặp 1. Lực hấp dẫn. Định luật vạn vật hấp dẫn. a) Định luật vạn vật hấp dẫn. Lực hấp dẫn giữa hai vật (coi như chất điểm) tỉ lệ thuận với tích của hai khối lượng của chúng và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. m1m2 Biểu thức: Fhd  G r2 trong đó m1, m2 là khối lượng của hai vật , r là khoảng cách giữa chúng. Hệ số G là một hằng số chung cho mọi vật, gọi là hằng số hấp dẫn. G = 6,67.10-11 N.m2/kg2 b) Trọng lực. Trọng lượng. Trọng lực của một vật theo nghĩa gần đúng là lực hấp dẫn giữa Trái Đất và vật đó, có biểu thức
Mm F G r2 M và m là các khối lượng của Trái Đất và vật, r là khoảng cách từ tâm Trái Đất đến vật ấy. Theo định luật II Niutơn, gia tốc mà vật thu được là: F GM g0   2 (2.1) m r chỉ phụ thuộc vào khoảng cách r. Vì vật chỉ tham gia vào chuyển động tự quay của Trái Đất nên ngoài lực hút của Trái Đất F nó còn chịu một lực Q gọi là lực quán tính li tâm. Hợp lực P  F  Q là trọng lực theo nghĩa chính xác. Vật theo định nghĩa chính xác, trọng lực của một vật là lực mà Trái Đất hút nó khi có kể đến sự tự quay của Trái Đất. c) Biểu thức của gia tốc rơi tự do Coi Trái Đất như một quả cầu đồng tính thì lực hấp dẫn do nó tác dụng lên một vật khối lượng m ở độ cao h so với mặt đất là Mm Fhd  G (2.2)  R  h 2 trong đó M, R là khối lượng và bán kính Trái Đất. Vì lực này cũng là trọng lực của vật, nên nếu đối chiếu (2.2) với công thức P = mg, ta tính được gia tốc g của sự rơi tự do ở độ cao h GM g  R  h 2 2. Lực ma sát a) Lực ma sát trượt Lực ma sát trượt xuất hiên ở mặt tiếp xúc khi hai vật trượt trên bề mặt của nhau. Đặc điểm của lực ma sát trượt: - Lực ma sát trượt tác dụng lên một vật luôn cùng phương và ngược chiều với vận tốc tương đối của vật ấy đối với vật kia. - Độ lớn của lực ma sát trượt tỉ lệ thuận với N (N là độ lớn của áp lực do vật A nén lên vật B hoặc phản lực pháp tuyến do vật A tác dụng lên vật A) tác dụng lên mặt tiếp xúc: Fmst = µtN trong đó µt là hệ số ma sát trượt (không có đơn vị)
b) Lực ma sát lăn. Khi một vật lăn trên mặt một vật khác, lực ma sát lăn (Fmal) xuất hiện ở chỗ tiếp xúc giữa hai vật và có tác dụng cản trở sự lăn đó. Lực ma sát lăn cũng tỉ lệ với áp lực N giống như ma sát trượt, nhưng hệ số ma sát lăn nhỏ hơn hệ số ma sá trượt hàng chục lần. c) Lực ma sát nghỉ Lực ma sát nghỉ chỉ xuất hiện khi có ngoại lực tác dụng lên vật. Ngoại lực này có xu hướng làm cho vật chuyển động nhưng chưa đủ để thắng lực ma sát. Đặc điểm của lực ma sát nghỉ ( F msn). - Giá của F msn luôn nằm trong mặt tiếp xúc giữa hai vật. - F msn ngược chiều với ngoại lực. - F msn cân bằng với ngoại lực F . Vậy độ lớn của Fmsn luôn bằng F. Nhưng khi F tăng dần Fmsn tăng theo đến một giá trị FM nhất định thì vật A bắt đầu trượt trên vật B. FM là giá trị lớn nhất của lực ma sát nghỉ. Fmsn  FM Ta có FM tỉ lệ thuận với áp lực N: FM = µnN trong đó µn gọi là hệ số ma sát nghỉ (không có đơn vị). Trị số của nó phụ thuộc vào từng cặp vật tiếp xúc. Từ các công thức trên ta có thể viết Fmsn  µnN Fmsn = Fx (thành phần ngoại lực song song với mặt tiếp xúc) 3. Lực đàn hồi. Định luật Húc a) Lực đàn hồi Lực đàn hồi là lực xuất hiện khi một vật bị biến dạng đàn hồi, và có xu hướng chống lại nguyên nhân gây ra biến dạng. Đặc điểm của lực đàn hồi: - Lực đàn hồi chỉ xuất hiện khi vật đàn hồi bị biến dạng. - Độ lớn của lực đàn hồi tỉ lệ với độ biến dạng. - Hướng của lực đàn hồi ngược với hướng của biến dạng. - Độ biến dạng cực đại để lực đàn hồi còn có khả năng lấy lại hình dạng ban đầu của vật đàn hồi gọi là giới hạn đàn hồi. b) Định luật Húc. Trong giới hạn đàn hồi, lực đàn hồi của lò xo tỉ lệ thuận với độ biến dạng của lò xo.