BÀI GIẢNG
Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
Môn học: CƠ HỌC LÝ THUYẾT
cuu duong than cong . co m
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
Phần III
ĐỘNG LỰC HỌC
Chương 10: Phương trình vi phân chuyển động
Chương 11: Nguyên lý D’Alembert
Chương 12: Các định lý tổng quát động lực học
Chương 13: Nguyên lý di chuyển khả dĩ
cuu duong than cong . co m
Chương 14: PT tổng quát động lực học và PT Lagrange II
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
Chương 13
NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN KHẢ DĨ
NỘI DUNG
13.1. Khái niệm cơ bản
13.2. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
cuu duong than cong . co m
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
13.1. Khái niệm cơ bản
Liên kết và cơ hệ không tự do
Là những ràng buộc về hình học và động học lên các chất điểm trong hệ,
không phụ thuộc vào lực tác dụng lên nó và các điều kiện đầu của chuyển
động.
Những điều kiện ràng buộc đó thường được diễn tả dưới dạng những hệ
thức giữa các yếu tố xác định vị trí, vận tốc của các chất điểm hay vật rắn
thuộc hệ và thời gian. Người ta gọi đó là những phương trình liên kết và
1, 2, 3...
≤
0
f
, , r V t k k
j
(
)
1, 2, 3...
= k = j
cuu duong than cong . co m
viết dưới dạng:
Trong đó k là số thứ tự của các chất điểm thuộc cơ hệ, j là số thứ tự của
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
các phương trình liên kết.
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
13.1. Khái niệm cơ bản
Ví dụ
1- Vật rắn là một cơ hệ gồm vô số chất điểm với vô số liên kết và liên kết
N
M
đó được biểu thị bằng đẳng thức: MN=const.
A
y
2
≡
≡
1
r 0(1)
x
3
≡
=
y
0,
r (2) A r (3) B
B
(3)
r 0, A (1) r (2) B
O
B
cuu duong than cong . co m
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
2- Hệ tay quay thanh truyền như hình vẽ
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
13.1. Khái niệm cơ bản
Phân loại liên kết
a. Liên kết giữ (liên kết hai phía) và liên kết không giữ (liên kết một phía)
y
O
y
O
Liên kết giữ là loại liên kết mà phương trình liên kết của nó có dạng đẳng thức toán học. Ngược lại, phương trình liên kết có dạng bất đẳng thức toán học thì liên kết ấy được gọi là liên kết không giữ.
l
l
dây
Thanh cứng
( ,M x y
)
( ,M x y
)
cuu duong than cong . co m
x
x
2
2
2
2
2
2
=
+
−
≤
=
+
−
=
)
x
y
l
0
)
x
y
l
0
f x y 2 ( ,
f x y 1( ,
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Liên kết không giữ Liên kết giữ
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
13.1. Khái niệm cơ bản
Phân loại liên kết
b. Liên kết dừng và không dừng.
,...,
,...,
0
;
f
r r , 1 2
r V V , 1 2 n
j
) V ≤ n
(
Liên kết dừng là loại liên kết mà phương trình liên kết của nó không chứa biến thời gian t. Ngược lại, phương trình liên kết có chứa biến thời gian t thì liên kết ấy được gọi là liên kết không dừng.
cuu duong than cong . co m
c. Liên kết holonom và phi holonom
f
,...,
0
f
,...,
;
,...,
0
r r 2, 1
j
r r , 1 2
j
r V V , 1 n 2
(
) r t ≤ ; n
(
) V t ≤ , n
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Liên kết holonom là loại liên kết mà phương trình liên kết của nó không chứa các biến vận tốc. Ngược lại, nếu các phương trình liên kết có chứa biến vận tốc thì liên kết đó được gọi là liên kết phi holonom.
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
13.1. Khái niệm cơ bản
Di chuyển khả dĩ – Bậc tự do của hệ
Cân bằng của cơ hệ
Tĩnh học Động lực học
Phải phân tích phản lực tại Bằng cách áp dụng nguyên lý
từng liên kết nên không phù DCKD ta có thể xét cân bằng cho
cuu duong than cong . co m
hợp cho cơ hệ gồm nhiều vật. cơ hệ mà không cần tách rời từng
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
vật.
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
13.1. Khái niệm cơ bản
Di chuyển khả dĩ
A
y
2
1
x
3
O
'A
C
B
cuu duong than cong . co m
Di chuyển khả dĩ (DCKD) của cơ hệ là tập hợp các di chuyển vô cùng bé của các chất điểm của cơ hệ từ vị trí đang xét sang vị trí lân cận mà vẫn thỏa mãn các liên kết tại vị trí đang xét.
Di chuyển thực vô cùng bé :
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Di chuyển khả dĩ: Để phân biệt di chuyển thực vô cùng bé và DCKD người ta kí hiệu như sau }kd r { }krδ {
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
13.1. Khái niệm cơ bản
Di chuyển khả dĩ
}krδ { Tại mỗi vị trí cơ hệ có vô số DCKD
. Các DCKD này không độc lập
tuyến tính do phải thỏa mãn các phương trình.
Tùy theo tính chất của các liên kết mà ta có thể chỉ ra được một số
DCKD độc lập với nhau sao cho mọi DCKD khác có thể biểu diễn qua
chúng dưới dạng các tổng hình học
y
Viên bi có thể lăn theo nhiều
hướng khác nhau nhưng mọi
DCKD khác đều có thể biểu diễn
x
cuu duong than cong . co m
như tổng của hai độ dời theo các
O
phương x, y
Để xác định chuyển động cơ hệ ta chỉ cần xác định số DCKD độc lập.
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Số DCKD độc lập nhau của cơ hệ còn được gọi là DOF của hệ.
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
13.1. Khái niệm cơ bản
Tọa độ suy rộng
Tọa độ suy rộng của cơ hệ là thông số độc lập được chọn để khảo sát
chuyển động cho toàn cơ hệ ấy. Với mỗi cơ hệ ta có nhiều cách để chọn
các tọa độ suy rộng.
=
=
− N R
dof
3
s
Số tọa độ suy rộng độc lập để xác định hệ:
;...;
q q ; 1 2
q n
Vị trí của cơ hệ được xác định bởi n tọa độ suy rộng:
cuu duong than cong . co m
;...;
δ δ q q ; 2 1
δ q n
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Các DCKD tương ứng của hệ được suy ra từ các tọa độ suy rộng:
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
13.1. Khái niệm cơ bản
1
q 1
O
≡
dt OO A
)
q O A= 1 (
1
q 1
≡ ≡
ϕ ψ
q 2
ϕ A
ϕ
1q ϕ≡
A
1O
B
ψ
cuu duong than cong . co m
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Ví dụ
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
13.1. Khái niệm cơ bản
θ
Ds
s
D
γ
Cϕ
ψ
C
ϕ
Ví dụ
≡
B
5
dof =
≡
A
≡ s q 1 D q ϕ ≡ 2 C
ϕ ψ θ
cuu duong than cong . co m
≡ ≡
q 1 q 2 q 3 q 4
≡
s γ
q 5
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Con lăn lăn không trượt
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
13.1. Khái niệm cơ bản
Lực suy rộng
(
);
k
= ÷ 1
N
a kF
Xét cơ hệ N chất điểm chịu tác dụng của các lực hoạt động .
Giả sử cơ hệ có n bậc tự do và có vị trí được xác định bởi các tọa độ
;...;
q q ; 1 2
q n
suy rộng:
1qδ
, còn các
Cho cơ hệ thực hiện một DCKD sao cho tọa độ q1 có số gia tọa độ khác không đổi.
1qδ
N
δ
=
=
Tổng công phân tố của tất cả các lực trên DCKD
A 1
δ q 1
⋅∑ a F k
Với
)
( δ r k
( δ r k
)
1
1
= 1
k
∂ r k ∂ q 1
N
cuu duong than cong . co m
δ
=
δ
=
⋅
δ q Q q . 1 1
1
A 1
a = Q F k
1
k
= 1
∂ r ∂∑ a k ⋅ F k q 1
∂ r k ∂ q 1
Trong đó:
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Q1 gọi là lực suy rộng ứng với tọa độ suy rộng q1
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
13.1. Khái niệm cơ bản
N
=
Cách tính lực suy rộng
Q i
= 1
k
∂ r ∂∑ a k F k q i
1 – Áp dụng trực tiếp định nghĩa:
>
2 – Áp dụng tính công khả dĩ
0
δ q
0)
iqδ =
j
j
⇒
δ
δ q
= jQA
j
j
Cho hệ di chuyển khả dĩ sao cho: Các DCKD phải độc lập tuyến tính δ≠ 0( q còn
Hệ số tính công chính là hệ lực suy rộng tương ứng
= −
Q i
3 – Áp dụng tính công khả dĩ trong trường hợp lực hoạt động là lực thế
Π
∂Π ∂ q i
cuu duong than cong . co m
= −
+
Là hàm thế năng
Q i
Q i
(lực không thế)
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Trong trường hợp lực hoạt động có cả lực thế và lực không thế ta ∂Π có thể tính ∂ q i
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
13.1. Khái niệm cơ bản
≡
ϕ
Ví dụ
x
O
≡
ψ
q 2
Tính các lực suy rộng biết OA=2a, AB=2b q 1
N
I ϕ A
=
Q i
H
∂ r ∂∑ a k F k q i
P
B
ψ
y
≡
≡
(0,
)
F F (
, 0)
F 3
Q
=
≡
F F 1 sin
P ) cos
a
cuu duong than cong . co m
= 1 k Biểu diễn vector ≡ P (0, + ϕ i a + ϕ
=
≡
ϕ
+
a (2 sin
b
F Q Q 2 ϕ j ψ sin ) i
a (2 cos
b
cos
ψ )
j
≡
=
ϕ
+
+
ϕ
+
+ ψ 2 sin ) i
b
j
a (2 sin
a (2 cos
b 2 cos
ψ )
r 1 r 2 r 3
r I r H r B
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Tính lực suy rộng bằng định nghĩa
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
13.1. Khái niệm cơ bản
3
=
ϕ
+ × −
a
cos
≡ Q Q ϕ
1
= 1
k
ϕ sin )] ϕ
ϕ
= × [0 + ×
a P ( + × −
a
[0 2 cos a
( 2 sin )] ϕ
0 ( 2 sin )] a ϕ
ϕ
aP
sin
+ × [ F − aQ 2
Q + × − ϕ 2 cos a + ϕ aF cos 2 sin
⇒ = − Q 1
3
= × + ×
=
≡ Q Q ψ
2
∂ r ∂∑ a k F k ψ
= 1
k
0] + × −
P ψ cos
ψ sin )]
b Q ( + × −
ψ
ψ
a 0 ( 2 sin )]
cuu duong than cong . co m
= −
⇒
[0 0 + × [0 b × + [ F + bFψ 2
b 2 cos ψ cos
bQ
sin
Q 2
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Sử dụng công thức tính lực suy rộng: ∂ r ∂∑ a k F k ϕ
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
13.1. Khái niệm cơ bản
Ds
Ví dụ Tính các lực suy rộng biết con lăn lăn không trượt
M
E
D
≡ s q 1 D ≡ q ϕ 2 C
Cϕ
Hệ tọa độ suy rộng đầy đủ và độc lập
DP
C
= (Ròng rọc C không quay)
B
=
+
+
δ
δ
)
)
)
(1) A k
A P ( B
A P ( D
A
BP
)
D
Tính Q1
+
−
αδ
A M ( δ P s A
δ P s B
D
D
P D
+ s M D
cuu duong than cong . co m
AP
δ s r E
=
+
−
α
+
(
sin
δ s )
P A
P B
P D
D
sin M r E
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Cho hệ DCKD với δ> δ q q 0 0, 2 1 ∑ δ δ A P ( A + δ =
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
13.1. Khái niệm cơ bản
=
+
+
−
δ
α
⇒
(
δ ) q 1
P B
P A
P D
(1) A k
∑
M r E
+
−
+
α
⇒ =
sin
1
P B
P D
Q P A
sin M r E
δ
δ
δ
+
+
A M (
)
A P ( D + +
=
−
=
−
0 0
(
P A
P r δϕ ) B C C
Tính Q2
⇒
δ
P r B C δ P r q ) B C 2
P r A C (2) = A ( k
P A
cuu duong than cong . co m
⇒
=
−
(
∑ Q 2
P A
P r ) B C
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Cho hệ DCKD với > (Con lăn D đứng yên) δ δ= 0 0, q q 2 1 ∑ (2) + = δ δ A P ( A P A ) ) ) ( B A k δϕ δϕ C C −
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
13.2. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
N
r
=
=
0
δ Q q i i
∑
∑
= 1
= 1
k
i
Phát biểu nguyên lý di chuyển khả dĩ Điều kiện cần và đủ để cơ hệ chịu liên kết giữ, dừng, hình học và lý tưởng cân bằng ở vị trí đang xét là tổng công của tất cả các lực hoạt động trên mọi DCKD đều bằng không δ F r k k
0
iQ =
Nếu các tọa độ suy rộng độc lập tuyến tính ta được
Các loại bài toán áp dụng nguyên lý DCKD
cuu duong than cong . co m
- Tìm điều kiện cân bằng của hệ
- Tìm các thành phần phản lực liên kết của cơ hệ
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
- Thiết lập PT, hệ PT vi phân chuyển động của cơ hệ
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
13.2. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
a
δ
=
∀
0
δ q
δ = kA Q q
∑
Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ để tìm phản lực liên kết, điều kiện cân bằng:
N
δ
+
= ∀ 0
δ q k
qt A k
a A k
( δ
)
∑
= 1
k
cuu duong than cong . co m
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Áp dụng nguyên lý di chuyển khả dĩ để tìm gia tốc
Bộ môn Cơ Kỹ thuật – Khoa Khoa học Ứng dụng – Đại học Bách khoa Tp.HCM
Chương 13. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
13.2. Nguyên lý di chuyển khả dĩ
,ϕ ψ
Ví dụ
≡ ≡
ϕ ψ
x
q 2
O
0
Tính các lực suy rộng biết OA=2a, AB=2b. Tính các góc theo P, Q, F khi hệ cân bằng q 1
= =
0
Q 1 Q 2
⇔
I ϕ A
ϕ
ϕ
ϕ
−
=
cos
0
H
− ψ
+ ψ
−
+
2 =
sin sin
aP bQ
aQ 2 bF 2
sin cos
aF 0
⇒
B
P
ψ
y
F
arctan
=
ϕ
tan
cuu duong than cong . co m
Q
F 2 + P Q 2
ψ
=
tan
arctan
F 2 + P Q 2 F 2 Q
F 2 Q
⇒
= ϕ ⇒ = ψ
CuuDuongThanCong.com
https://fb.com/tailieudientucntt
Điều kiện để hệ cân bằng
