B GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HC NGUYN TT THÀNH
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
B MÔN TOÁN
TÓM TT BÀI GING VÀ BÀI TP
TOÁN CAO CP 2
Lê Th Nhn - Bùi Hùng Vƣơng
LƢU HÀNH NI B
Thành ph H Chí Minh 03/2015
Bài ging Toán 2 Chương 1 – Phép tính vi phân hàm mt biến
Lê Th Nhn - Bùi Hùng Vương 1
Chƣơng 1.
PHÉPNH VI PHÂN HÀM MT BIẾN
1.1. Hàm số sơ cấp
1.1.1. Hàm số sơ cấp cơ bản
Ta điểm lại các hàm sơ cấp cơ bản, mà ta đã biết phần lớn từ chương trình phổ thông.
a. Hàm lũy thừa.
a
yx
. Nếu
m
aQ
n

thì xác định phụ thuộc vào m n. Nếu a
số vô tỉ ta coi miền xác định là
0, 
(trường hợp
0a
có thể coi
0;D 
).
b. Hàm .
,
.DR
c. Hàm logarit.
log ,0 1
a
y x a
, là hàm ngược của hàm mũ, tức là
log y
a
y x x a
,
0;D 
.
d. Hàm lƣợng giác.
sin , cosy x y x
D
;
tanyx
\ 2 1 2
D R k k Z



.
cotyx
\.D R k k Z

e. Hàm lƣợng giác ngƣợc.
arcsinyx
hàm số ngược của hàm số
sinxy
:
, 1,1
22



, tức
arcsin : 1,1 ,
22
yx



.
Vậy
arcsin siny x x y
.
arccosyx
là hàm số ngược của hàm số
cos : 0, 1,1xy
, tức là
arccos : 1,1 0,yx
.
Vậy
arccos cosy x x y
.
arctanyx
là hàm số ngược của hàm số
tan : ,
22
x y R

, tức là
arctan : ,
22
y x R

.
Vậy
arctan tany x x y
.
arccotyx
là hàm số ngược của hàm số
cot : 0,x y R

, tức là
arccot : 0,y x R

Vậy
arccot coty x x y
.
Từ định nghĩa, ta có các liên hệ
Bài ging Toán 2 Chương 1 – Phép tính vi phân hàm mt biến
Lê Th Nhn - Bùi Hùng Vương 2
1.
arcsin arcsin 2 , x x k k Z
2.
arccos arccos 2 , x x k k Z
3.
arctan arctan , x x k k Z
4.
arccot arccot , x x k k Z
5.
2
arctan arcsin ,
1
x
x x R
x




6.
2
arcsin arctan , 1,1
1
x
xx
x



1.1.2. Hàm số sơ cấp
Thực hiện một số hữu hạn các phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia) phép hợp
hàm số lên các hàm sơ cấp cơ bản và các hằng ta được một lớp hàm rất rộng, gọi là các
hàm sơ cấp.
1.2. Giới hn ca hàm số
1.2.1. Các định nghĩa
a. Giới hạn hàm số
Định nghĩa 1. Cho hàm s ( ) xác định trong một khoảng chứa (có thể trừ
điểm ). Ta nói hàm s ( )gii hn khi dần về nếu vi mi ,
tn ti sao cho vi mi thỏa | | thì | ( ) | . hiu
( ) khi hoặc
( )
Vậy
( ) ( | | | ( ) | )
Ví d 1. Cho hàm s ( ) {
Chứng minh rằng ( ) .
Bài giải.
Vi , thì | ( ) | | | | | | | .
Chn , khi đó với mi thỏa | | thì | ( ) | .
Tương tự, ta có các định nghĩa sau.
Định nghĩa 2.
1. Cho hàm s ( ) xác định trong một khoảng chứa (có thể trừ điểm ).
( ) ( | | | ( )| )
( ) ( | | ( ) )
Bài ging Toán 2 Chương 1 – Phép tính vi phân hàm mt biến
Lê Th Nhn - Bùi Hùng Vương 3
( ) ( | | ( ) )
2. Cho hàm s ( ) xác định trong ( ) ( )
( ) ( | | | ( ) | )
( ) ( | | | ( )| )
( ) ( | | ( ) )
( ) ( | | ( ) )
3. Cho hàm s ( ) xác định trong ( )
( ) ( | ( ) | )
( ) ( | ( )| )
( ) ( ( ) )
( ) ( ( ) )
4. Cho hàm s ( ) xác định trong ( )
( ) ( | ( ) | )
( ) ( | ( )| )
( ) ( ( ) )
( ) ( ( ) )
Ví dụ 2.
1. Cho hàm s ( ) . Chứng minh rằng ( ) .
2. Cho hàm s ( ) . Chứng minh rằng ( ) .
3. Cho hàm s ( ) . Chứng minh rằng ( ) .
Bài giải.
1. Vi , thì | ( ) | |
| | | | | .
Chn , khi đó với mi tha thì | ( ) | .
2. Vi , thì ( ) | |
Chn , khi đó với mi thỏa | | thì ( ) .
3. Vi , thì ( ) | | .
Chn , khi đó với mi tha thì ( ) .
b. Giới hạn một phía.
Bài ging Toán 2 Chương 1 – Phép tính vi phân hàm mt biến
Lê Th Nhn - Bùi Hùng Vương 4
Định nghĩa 3. Cho hàm s ( ) xác định trong một khoảng chứa (có thể trừ
điểm ). Ta nói,
1. Hàm s ( ) gii hn trái khi dần về nếu vi mi , tn ti
sao cho vi mi thỏa thì | ( ) | . Kí hiệu
( )
Vậy
( ) ( | ( ) | )
2. Hàm s ( ) gii hn phi khi dần về nếu vi mi , tn ti
sao cho vi mi tha thì | ( ) | . Kí hiệu
( )
Vậy
( ) ( | ( ) | )
Tương tự, ta có các định nghĩa sau.
Định nghĩa 4. Cho hàm s ( ) xác định trong một khoảng chứa (có thể trừ
điểm ).
( ) ( | ( )| )
( ) ( ( ) )
( ) ( ( ) )
( ) ( | ( )| )
( ) ( ( ) )
( ) ( ( ) )
Chú ý. Nếu
( ) ( ) thì tồn tại ( )
( )
( )
( )
1.2.2. Các giới hạn cơ bản.
( )
( )