zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Giải tích 1: Tích phân và các ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:37

Báo xấu

10
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích 1: Tích phân và các ứng dụng, cung cấp những kiến thức như Nguyên hàm của hàm số; Tích phân xác định; Tích phân suy rộng; Ứng dụng của tích phân. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 1: Tích phân và các ứng dụng

Hàm số và tính chất Nguyên hàm của hàm số Đạo hàm và các ứng dụng Tích phân xác định Tích phân và các ứng dụng Tích phân suy rộng Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của tích phân Chương 3 Tích phân và các ứng dụng Giải tích 1: Hàm số một biến 75 / 136
Hàm số và tính chất Nguyên hàm của hàm số Đạo hàm và các ứng dụng Tích phân xác định Tích phân và các ứng dụng Tích phân suy rộng Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của tích phân 1.1 Nguyên hàm và tích phân bất định Tập hợp tất cả nguyên hàm của hàm số f được gọi là tích phân bất định của f theo biến x, và được kí hiệu bởi f (x)dx. (23) Các quy tắc của tích phân bất định: (i). f (x)dx = f (x). (ii). d f (x)dx = f (x). (iii). df = f (x) + c. (iv). cf (x)dx = c f (x)dx. (v). f1 (x) ± f2 (x) dx = f1 (x)dx ± f2 (x)dx. Giải tích 1: Hàm số một biến 76 / 136
Hàm số và tính chất Nguyên hàm của hàm số Đạo hàm và các ứng dụng Tích phân xác định Tích phân và các ứng dụng Tích phân suy rộng Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của tích phân 1.1 Nguyên hàm và tích phân bất định x n+1 1 (i). x n dx = + C. (ii). dx = ln |x| + C. n+1 x dx 1 x dx 1 |a + x| (iii). = arctan . (iv). = ln + C. a2 + x 2 a a a2 − x 2 2a |a − x| dx x dx (v). √ = arcsin + C. (vi). √ = ln |x + x 2 ± a2 | + C. a2 − x 2 a x 2 ± a2 Tích phân bất định của một số hàm cơ bản (vii). u sin udx = − cos u + C. (viii). u cos udx = sin u + C. (ix). u tan udx = − ln | cos u| + C. (x). u cot udx = ln | sin u| + C. 1 x 1 x π (xi). dx = ln | tan | + C. (xii). dx = ln | tan + |+C sin x 2 cos x 2 4 au (xiii). u eu dx = eu + C. (xiv). u au dx = + C. ln a x(ln x − 1) (xv). ln xdx = x(ln x − 1) + C. (xvi). loga xdx = + C. ln a Giải tích 1: Hàm số một biến 77 / 136
Hàm số và tính chất Nguyên hàm của hàm số Đạo hàm và các ứng dụng Tích phân xác định Tích phân và các ứng dụng Tích phân suy rộng Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của tích phân 1.1 Nguyên hàm và tích phân bất định Bài tập: Tìm các tích phân bất định sau √ 2 (1 + x)2 1) (x + 1) dx. 2) √3 dx. x x2 x 4 − 2x 2 + 10 3) dx. 4) dx. x2 + 4 5 − x2 √ √ 1 x2 − 4 − x2 + 4 5) (ln x + − ex )dx. 6) √ dx. x x 4 − 16 (sin x + cos x)2 √ 1 7) dx. 8) ( cos x + √ )2 dx. sin x cos x Giải tích 1: Hàm số một biến 78 / 136
Hàm số và tính chất Nguyên hàm của hàm số Đạo hàm và các ứng dụng Tích phân xác định Tích phân và các ứng dụng Tích phân suy rộng Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của tích phân 1.2 Phương pháp thế Nếu u = g(x) là hàm khả vi mà tập giá trị của nó là tập I và f liên tục trên I thì f (g(x))g (x)dx = f (u)du. (24) 2x + 1 Ví dụ: Tìm dx. x2 +x −3 Đặt u = x 2 + x − 3 thì du = (2x + 1)dx. Chúng ta thu được 2x + 1 du dx = x2 +x −3 u = ln |u| + C = ln |x 2 + x − 3| + C. Giải tích 1: Hàm số một biến 79 / 136
Hàm số và tính chất Nguyên hàm của hàm số Đạo hàm và các ứng dụng Tích phân xác định Tích phân và các ứng dụng Tích phân suy rộng Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của tích phân 1.2 Phương pháp thế Nếu tồn tại x = ϕ(t) sao cho f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt thì f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt = g(t)dt. (25) 1+x Ví dụ: Tìm √ dx. 1 + x√ Đặt x = t 2 thì t = x và dx = 2tdt. Ta thu được 1+x 1 + t2 t3 + t √ dx = 2tdt = 2 dt 1+ x 1+t 1+t dt = 2 (t 2 − t + 2)dt − 4 t +1 1 1 = 2 t 3 − t 2 + 2t − 4 ln |t + 1| + C 3 2 1 3/2 1 √ √ =2 x − x + 2 x − 4 ln | x + 1| + C. 3 2 Giải tích 1: Hàm số một biến 80 / 136
Hàm số và tính chất Nguyên hàm của hàm số Đạo hàm và các ứng dụng Tích phân xác định Tích phân và các ứng dụng Tích phân suy rộng Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của tích phân 1.2 Phương pháp thế √ Nếu có biểu thức √a2 − x 2 thi ta đặt x = a sin t. Nếu có biểu thức √x 2 − a2 thi ta đặt x = a/ cos t. Nếu có biểu thức x 2 + a2 thi ta đặt x = a tan t. √ x2 + 1 dt √ 2 1 Ví dụ: Tìm 2 dx. Đặt x = tan t, dx = 2t , x +1= . x cos cos t √ x2 + 1 1 cos2 t dt 1 2 dx = = dt x cos t sin2 t cos2 t 2 sin t cos t sin2 t + cos2 t 1 cos t = 2 dt = dt + dt sin t cos t cos t sin2 t √ 1 1 2 t| − 1 + tan2 t = ln | tan t + |− + C = ln | tan t + 1 + tan +C cos t sin t √ tan t x2 + 1 = ln |x + x 2 + 1| − + C. x Giải tích 1: Hàm số một biến 81 / 136
Hàm số và tính chất Nguyên hàm của hàm số Đạo hàm và các ứng dụng Tích phân xác định Tích phân và các ứng dụng Tích phân suy rộng Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của tích phân 1.2 Phương pháp thế Bài tập: Tìm các tích phân bất định sau dx 1) √ . 2) x(5x 2 − 3)7 dx. x x2 − 2 dx 1 3) . 4) √ dx. x(1 − x) 1+ 3x dx e2x dx 5) x +1 . 6) . e ex + 1 sin x − cos x cos x 7) dx. 8) dx. sin x + cos x 1 + sin2 x Giải tích 1: Hàm số một biến 82 / 136
Hàm số và tính chất Nguyên hàm của hàm số Đạo hàm và các ứng dụng Tích phân xác định Tích phân và các ứng dụng Tích phân suy rộng Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của tích phân 1.3 Phương pháp tích phân từng phần Cho u(x) và v(x) là các hàm khả tích thì u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − v(x)u (x)dx. (26) Ví dụ: Tìm x 2 cos xdx. Đặt u = x 2 , dv = cos xdx thì du = 2xdx, v = sin x. x 2 cos xdx = x 2 sin x − 2x sin xdx. Đặt u = 2x, dv = sin xdx thì du = 2dx, v = − cos x. 2x sin xdx = −2x cos x + 2 cos xdx = −2x cos x + 2 sin x. Vậy x 2 cos xdx = x 2 sin x + 2x cos x − 2 sin x + C. Giải tích 1: Hàm số một biến 83 / 136
Hàm số và tính chất Nguyên hàm của hàm số Đạo hàm và các ứng dụng Tích phân xác định Tích phân và các ứng dụng Tích phân suy rộng Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của tích phân 1.3 Phương pháp tích phân từng phần Ví dụ: Tìm eax sin bx dx. cos bx Đặt u = eax , dv = sin bx dx thì du = aeax dx, v = − . b 1 a eax sin bx dx = − eax cos bx + eax cos bx dx. b b sin bx Đặt u = eax , dv = cos bx dx thì du = aeax dx, v = . b 1 ax a eax cos bx dx = e sin bx − eax sin bx dx. b b a sin bx − b cos bx ax a2 Vậy eax sin bx dx = e − 2 eax sin bx dx. b2 b ax a sin bx − b cos bx ax Kết quả là e sin bx dx = e + C. a2 + b 2 Giải tích 1: Hàm số một biến 84 / 136
Hàm số và tính chất Nguyên hàm của hàm số Đạo hàm và các ứng dụng Tích phân xác định Tích phân và các ứng dụng Tích phân suy rộng Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của tích phân 1.3 Phương pháp tích phân từng phần Bài tập: Tìm các tích phân bất định sau 1) (x + 1) ln x dx. 2) x 2 ln(x − 1) dx. 1 3) (x + 2) sin 2x dx. 4) x ln dx. x 5) x 2 e3x dx. 6) (x 2 − 2x + 5)e−x dx. ln(ln x) x 2 dx 7) dx. 8) . x (x 2 + 1)2 Giải tích 1: Hàm số một biến 85 / 136
Hàm số và tính chất Nguyên hàm của hàm số Đạo hàm và các ứng dụng Tích phân xác định Tích phân và các ứng dụng Tích phân suy rộng Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của tích phân 2.1 Tích phân xác định Cho f (x) xác định trên [a, b]. Chúng ta chia đoạn [a, b] thành các mảnh nhỏ a = x0 < x1 < x2 < ... < xn−1 < xn = b. Đặt ∆xi = xi − xi−1 và đặt ci ∈ (xi−1 , xi ). Tổng Riemann được tính như sau n Sn = f (ci )∆xi . i=1 Giới hạn của tổng Riemann ∆xi → 0 (n → ∞) là tích phân xác định f (x) trên [a, b]: b n f (x)dx = lim f (ci )∆xi . (27) a n→∞ i=1 Một hàm liên tục thì khả tích. Nghĩa là nếu f liên tục trên đoạn [a, b], thì tích phân xác định của nó trên [a, b] tồn tại. Giải tích 1: Hàm số một biến 86 / 136
Hàm số và tính chất Nguyên hàm của hàm số Đạo hàm và các ứng dụng Tích phân xác định Tích phân và các ứng dụng Tích phân suy rộng Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của tích phân 2.1 Tích phân xác định Quy tắc tính tích phân xác định b b (i) cf (x)dx = c f (x)dx. a a b b b (ii) f (x) + g(x) dx = f (x)dx + g(x)dx. a a a b b (iii) f (x) ≤ g(x)∀x ∈ [a, b] ⇒ f (x)dx ≤ g(x)dx . a a b (iv) m ≤ f (x) ≤ M∀x ∈ [a, b] ⇒ m(b − a) ≤ f (x)dx ≤ M(b − a). a b (v) f (x) liên tục trên (a, b) ⇒ ∃c ∈ (a, b) : f (x)dx = (b − a)f (c). a b c b (vi) f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. a a c x (vii) Nếu f (x) liên tục thì f (t)dt = f (x). a Giải tích 1: Hàm số một biến 87 / 136
Hàm số và tính chất Nguyên hàm của hàm số Đạo hàm và các ứng dụng Tích phân xác định Tích phân và các ứng dụng Tích phân suy rộng Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của tích phân 2.2 Tích phân xác định và nguyên hàm Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) thì b b f (x)dx = F (x) = F (b) − F (a). (28) a a Ví dụ: 2 x2 2 22 − 0 a) x dx = = = 2. 0 2 0 2 e 1 e b) dx = ln |x| = ln e − ln 1 = 1. 1 x 1 π π c) sin x dx = − cos x = 1 − 1 = 0. −π −π Giải tích 1: Hàm số một biến 88 / 136
Hàm số và tính chất Nguyên hàm của hàm số Đạo hàm và các ứng dụng Tích phân xác định Tích phân và các ứng dụng Tích phân suy rộng Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của tích phân 2.2 Tích phân xác định và nguyên hàm Bài tập: Tìm các tích phân xác định sau 4 2 1) 4(x − 2)dx. 2) (x 2 + x − 1)dx. 2 −1 2 4 √ 1 2 1 2 3) 1+ dx. 4) x+√ dx. 1 x 2 x 1 1 5) |x|dx. 6) (1 − |x|)dx. −2 −1 π/2 π/3 7) sin x cos x dx. 8) tan x dx. 0 π/6 Giải tích 1: Hàm số một biến 89 / 136
Hàm số và tính chất Nguyên hàm của hàm số Đạo hàm và các ứng dụng Tích phân xác định Tích phân và các ứng dụng Tích phân suy rộng Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của tích phân 2.3 Tính toán tích phân xác định Nếu u = g(x) là hàm khả tích có tập giá trị là I và f liên tục trên I thì b ub f (g(x))g (x)dx = f (u)du. (29) a ua với ua = u(a) và ub = u(b). Nếu tồn tại x = ϕ(t) sao cho f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt thì b tb tb f (x)dx = f (ϕ(t))ϕ (t)dt = g(t)dt. (30) a ta ta với ta = x −1 (a) và tb = x −1 (b). Giải tích 1: Hàm số một biến 90 / 136
Hàm số và tính chất Nguyên hàm của hàm số Đạo hàm và các ứng dụng Tích phân xác định Tích phân và các ứng dụng Tích phân suy rộng Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của tích phân 2.3 Tính toán tích phân xác định a Ví dụ: Tìm x2 a2 − x 2 dx. 0 x Đặt x = a sin t, dx = a cos t dt, t = arcsin thì a π x1 = 0 ⇒ t1 = 0, x2 = a ⇒ t2 = 2 Ta thu được a π/2 x2 a2 − x 2 dx = a2 sin2 t a2 − a2 sin2 ta cos t dt 0 0 π/2 π/2 a4 = a4 sin2 t cos2 t dt = sin2 2t dt 0 4 0 π/2 a4 a4 1 π/2 a4 = (1 − cos 4t) dt = (t − sin 4t) =π . 8 0 8 4 0 16 Giải tích 1: Hàm số một biến 91 / 136
Hàm số và tính chất Nguyên hàm của hàm số Đạo hàm và các ứng dụng Tích phân xác định Tích phân và các ứng dụng Tích phân suy rộng Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của tích phân 2.3 Tính toán tích phân xác định Tích phân từng phần cho ta b b b u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − v(x)u (x)dx. (31) a a a √ 3 x2 Ví dụ: Tìm dx. 0 (1 + x 2 )2 xdx 1 Đặt u = x, dv = =d − . (1 + x 2 )2 2(1 + x 2 ) 1 Thì du = dx, v = − . Ta thu được 2(1 + x 2 ) √ √ √ 3 3 x2 1 3 dx dx = − + 0 (1 + x 2 )2 2(1 + x 2 ) 0 0 2(1 + x 2 ) √ √ 3 1 √ 3 π =− + arctan 3 = − + . 8 2 8 6 Giải tích 1: Hàm số một biến 92 / 136
Hàm số và tính chất Nguyên hàm của hàm số Đạo hàm và các ứng dụng Tích phân xác định Tích phân và các ứng dụng Tích phân suy rộng Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của tích phân 2.3 Tính toán tích phân xác định Bài tập: Tìm các tích phân xác định sau 6√ 1 1) x − 2dx. 2) x x 2 + 1dx. 2 −1 1 3 1 2x 3) √ dx. 4) √ 3 dx. 0 1+ x 2 x2 − 3 Bài tập: Tìm các tích phân xác định sau π 1 5) ex sin x dx. 6) xe2x dx. 0 0 π/2 2 7) x 2 cos x dx. 8) x 2 e−x dx. −π/2 1 Giải tích 1: Hàm số một biến 93 / 136
Hàm số và tính chất Nguyên hàm của hàm số Đạo hàm và các ứng dụng Tích phân xác định Tích phân và các ứng dụng Tích phân suy rộng Dãy số và chuỗi số Ứng dụng của tích phân 3.1 Tích phân suy rộng loại 1 Dạng I: Tích phân với cận vô cùng. ∞ b (i) f (x)dx = lim f (x)dx. a b→∞ a b b (ii) f (x)dx = lim f (x)dx. −∞ a→−∞ a ∞ c ∞ (iii) f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx. −∞ −∞ c Nếu giới hạn là hữu hạn, ta nói tích phân suy rộng hội tụ và giới hạn đó chính là giá trị của tích phân suy rộng. Nếu giới hạn không tồn tại thì tích phân suy rộng phân kì. Giải tích 1: Hàm số một biến 94 / 136

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.