intTypePromotion=3

Bài giảng giải tích 3 - PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo

Chia sẻ: Nguyen Lan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:91

0
575
lượt xem
203
download

Bài giảng giải tích 3 - PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Với mục đích ghi lại một vài thu hoạch sau một năm công tác dưới vai trò giảng viên tập sự tại Khoa Toán-Tin ứng dụng, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, tác giả biên soạn tài liệu Bài giảng giải tích I. Tài liệu gồm nội dung lý thuyết và bài tập phục vụ cho việc giảng dạy học phần Giải tích I tại trường Đại học Bách Khoa Hà Nội. Tác giả biên soạn tập tài liệu này trước hết với mục đích sử dụng làm giáo án giảng dạy, đồng thời cũng hy vọng có thể...

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng giải tích 3 - PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo

  1. Giáo trình GIẢI TÍCH 3
  2. PGS. TS. Nguy n Xuân Th o Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY T CHU I BÀI 1. CHƯƠNG I. LÝ THUY T CHU I § 1. i cương v chu i s nh nghĩa • Các tính ch t cơ b n • i u ki n c nchu i h i t • 111 1 t v n : 1+ + + + + n + = 2 248 2 • Có ph i là c c ng mãi các s h ng c a v trái thì thành v ph i? • 1 + (– 1)+1 + (– 1) + .... = ? 1. Chu i s : nh nghĩa: V i m i s t nhiên n, cho tương ng v i m t s th c an, ta có dãy s kí hi u là {an } . nh nghĩa: ∞ ∑ an , Cho dãy s {an}, ta g i t ng vô h n a1 + a2 + a3 + là chu i s , ký hi u là n =1 an là s h ng t ng quát. Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an là t ng riêng th n. N u lim Sn = S thì ta b o chu i h i t , n →∞ ∞ ∑ an = S . có t ng S và vi t: n =1 ∞ ∑ an phân kỳ. Khi dãy {Sn} phân kỳ thì ta b o chu i n =1 ∞ ∑ qn Ví d 1. Xét s h i t và tính n =0 n +1 1− q Sn = 1 + q + q 2 + + qn = , q
  3. PGS. TS. Nguy n Xuân Th o Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn  1 lim Sn = lim  1 − =1 n + 1 n →∞   n →∞ ∞ 1 ∑ n ( n + 1) = 1 n =1 ∞ 1 11 1 ∑ Ví d 3. Xét s h i t , phân kỳ (Chu i i u hoà) Sn = 1 + + + + n 23 n n =1 L y n > 2m +1 có  1  1 1  1 1 1 1 11 1 Sn > 1 + + + + m +1 =  1 +  +  +  +  + +  + + m + +  2 m +1   2 3 4 5 8 2 +1 23 2 1 1 1 1 1 > + 2. + 4. + + 2m. m +1 = ( m + 1) 2 4 8 2 2 Do ó Sn có th l n bao nhiêu tuỳ ý, nên có lim Sn = ∞ n →∞ Chu i ã cho phân kỳ ∞ 1 ∑ n2 Ví d 4. Chu i ngh ch o bình phương: n =1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn = 1 + = 1+ < 1+ + + + + + + + + + ( n − 1) n 22 32 n2 2.2 3.3 n.n 1.2 2.3 1 1  1 1   1 1  1 1 1 = 1+  −  +  −  +  −  + −  =2−
  4. PGS. TS. Nguy n Xuân Th o Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ∞ n ∑ phân kỳ n +1 n =1 ∞ ∑ ( −1) n Ví d 6. = 1 + ( −1) + 1 + ( −1) + n =1 1 n ch½n n Có lim ( −1) =  n lÎ.  −1 n →∞ n Không t n t i lim ( −1) n →∞ ∞ ∑ ( −1) n phân kỳ. n =1 35 2n + 1 Ví d 7. Tìm t ng (n u có) c a chu i s sau ( S: 1) + + + + 2 2( 4 36 n + 1) n n ∞  n − 1 ∑ Ví d 8.   (PK)  n + 1 n =1 Tính ch t. Gi s lim an = a, lim bn = b n →∞ n →∞ • lim (α an + β bn ) = α a + β b n →∞ • lim ( an bn ) = a.b n →∞ an a • lim =, b ≠ 0. n →∞ bn b §2. Chu i s dương nh nghĩa • Các tiêu chu n h i t • • Các nh lí so sánh ∞ ∑ an , 1. nh nghĩa: an > 0 n =1 ∞ ∑ an h Nh n xét. i t khi và ch khi Sn b ch n. n =1 Trong bài này ta gi thi t ch xét các chu i s dng 2. Các nh lí so sánh. nh lí 1. Cho hai chu i s dương, an ≤ bn , n tuỳ ý ho c t m t lúc nào ó tr i ∞ ∞ ∑ bn ∑ an h it ⇒ h it n =1 n =1 ∞ ∞ ∑ an phân kỳ ⇒ ∑ bn phân kỳ n =1 n =1
  5. PGS. TS. Nguy n Xuân Th o Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ch ng minh. a1 + a2 + + an < b1 + b2 + + bn 0 < Sn ≤ Tn Rút ra các kh ng nh. ∞ ∞ 1 ∑ ln n 1 ∑ 3n + 1 Ví d 2. Ví d 1. n =2 n =1 Chu i dương Chu i dương ln n < n 3 n + 1 > 3n 1 1 1 1 0< < < n ln n 3n + 1 3n ∞ 1 ∑ ∞ phân kỳ 1 1 ∑ 3n = h it n 1 n =2 1− n =1 ∞ 1 3 ∑ ln n phân kỳ ⇒ Chu i ã cho h i t n =2 ∞ ∞ 3n 2 + 2n + 1 ( n + 1) sin ( 2n β ) ∑ 2n ( 3 n + 2 ) ∑ Ví d 3. a) b) , β ∈ » ; (HTT ) , (HT) 7 3 n + 2n + 3 n =1 n =1 ∞ ∞ a ∑ an ∑ bn cùng h nh lí 2. Cho hai chu i s dương, lim n = k ≠ 0 ⇒ và it n →∞ bn n =1 n =1 ho c cùng phân kì. ∞ ∞ ∑ an và ∑ bn : Nh n xét. i v i các chu i s dương n =1 n =1 ∞ ∞ an ∑ bn ∑ an h h it ⇒ 1°/ N u lim = 0 và it n →∞ bn n =1 n =1 ∞ ∞ a ∑ bn ∑ an phân kì 2/° N u lim n = ∞ và phân kì ⇒ n →∞ bn n =1 n =1 ∞ n+2 ∑ 2n3 − 3 Ví d 4. n =1 Chu i dương 2 2 1+ 1+ n+2 n n = 1. n = 3. 3 2 2n − 3 2n 1 − 3 2n 1 − 3 3 2n 3 2n n +2 1  lim  : 2  =1 n →∞  2n 3 2n 
  6. PGS. TS. Nguy n Xuân Th o Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ∞ 1 ∑ 2n2 h it n =1 ∞ n+2 ∑ 2n3 − 3 h it n =1 ∞ 1 ∑ np , Ví d 5. p>0 n =1 ∞ ∞ 1 1 1 1 ∑ ∑ np p Khi 0 < p ≤ 1 có 0 < n ≤ n ⇒ p ≥ , do phân kỳ nên phân kỳ. n n n n =1 n =1 Khi p > 1, n tuỳ ý, ch n m sao cho n < 2m , có 1  1 1   1 1 1 Sn ≤ S = 1+  p + p + p + + + + + + p p m p 2 −1  4 7 2 ( ) ( ) 3 m −1 2m − 1  2   2 m −1 2 4 1 1 1 ≤ 1+ = 1+ + + + + + + p p p p −1 2 m −1 ( ) ( ) ( ) 2 4 2 2m − 1 2 p −1 2 p −1 1 − am 1 1 , 0 < a = p −1 < 1 = < 1− a 1− a 2 ∞ 1 ∑ np Dãy Sn b ch n trên ⇒ h it . n =1 KL: Chu i h i t v i p > 1 và phân kì v i 0 < p ≤ 1. ∞ 1 ∑ Ví d 6. n3 + 3 n =1 Chu i dương 1 1 1 an = = ; bn = 3 / 2 n3 + 3 n3 / 2 1 + 3 n 3 n a lim n = 1 n →∞ bn ∞ ∑ bn h it n =1 ∞ 1 ∑ h it 3 n +3 n =1
  7. PGS. TS. Nguy n Xuân Th o Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ví d 7 ∞ ∞ ∑ ln (1 + ∑ sin ( n + 2 − n − 1) n + 1 − n − 1) a1) a2) (PK) (PK) n =2 n =2 ( ) 1 ∞ ∞ π 1 ∑ n sin2 2 ∑ b1) b2) n (PK); 2 −1 (HT) n n n =1 n =1 ∞ ∞ n + cos n n + sin n ∑ ∑ c1) c2) (HT) (PK) 5 3 n +1 n +1 n =1 n =1 ∑ n (e ) 1 ∞ ∞ ∑( n + 2 − n − 1) d1) d3) n (PK) −1 (PK) n =2 n =2 ∞ n +1 ∑ sin 3 n7 + 2n3 + 3 d3) (HT) n =1 e) Xét s h i t ∞ ln n 1 ∑ 4 n5 ∑ 1) 2) (HT) (PK) 1 arcsin + ln n n =1 n ∞   π ∑ n ln 1 + arctan2 2 3) (HT)  n3   n =1 3) Các tiêu chu n h i t a) Tiêu chu n D’Alembert a lim n +1 = l n →∞ an ∞ ∑ an Khi l < 1 ⇒ h it n =1 ∞ ∑ an Khi l > 1 ⇒ phân kỳ. n =1 Ch ng minh an +1 a l + ε < 1 ⇒ n +1 < l + ε, ∀ n ≥ n0. = l , ch n ε > 0 • l < 1: T lim bé n →∞ an an an0 +1 aa n −n • M t khác có an = n . n −1 .an0 ≤ ( l + ε ) 0 an0 → 0, n → ∞ an −1 an − 2 an0 Do ó lim an = l n →∞
  8. PGS. TS. Nguy n Xuân Th o Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn an +1 an +1 l−ε>1⇒ > l − ε > 1 ⇒ an + 1 > an = l , ch n ε • l > 1: T lim bé n →∞ an an ⇒ phân kì Nh n xét. Khi l = 1 không có k t lu n gì ∞ 1 ∑ n! Ví d 1. n =1 1 an = >0 n! a 1 1 n! 1 lim n +1 = lim : = lim = lim = 0 0 n! 3n + 1 3 n an +1 3 : = = ( n + 1) ! n ! n + 1 an a lim n +1 = 0 < 1 n →∞ an Chu i ã cho h i t ( 2n − 1) 1.3.5 1 1.3 1.3.5 Ví d 3. Xét s h i t , phân kỳ c a chu i + + + + ( 3n − 1) 2 2.5 2.5.8 2.5.8 ( 2n − 1) > 0 1.3.5 an = ( 3n − 1) 2.5.8 an +1 1.3.5 ( 2n − 1) ( 2n + 1) 1.3.5 ( 2n − 1) 2n + 1 : = = 2.5.8 ( 3n − 1)( 3n + 2 ) 2.5.8 ( 3n − 1) 3n + 2 an an +1 2 lim =
  9. PGS. TS. Nguy n Xuân Th o Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 2 ∞ 7n ( n !) ∑ a3) (HT) n 2n n =1 ∞ ∞ 32n +1 22n +1 ∑ ∑ b1) b2) (PK) (HT) n( n( ) ) n =1 4 ln n + 1 n =1 5 ln n + 1 ∞ ∞ ( 2n + 1) !! ( 2n ) !! ∑ ∑ b3) b4) (HT) (HT) n n n n n =1 n =1 ∞ 3n 2 + 2n + 1 ∑ 2n ( 3 n + 2 ) c1) (HT) n =1 ∞ ∞ n !3n n !π n ∑ ∑ d1) d2) (PK) (PK) nn nn n =1 n =1 b) Tiêu chu n Cauchy Gi s lim n an = l n →∞ ∞ ∑ an N u l 1 phân kỳ n =1 Nh n xét. N u l = 1, không có k t lu n gì n ∞  2n − 1  ∑ Ví d 5.  3n + 2  n =1    2n − 1  an =  >0 3n + 2    2n − 1 na = n 3n + 2 2 lim n an = < 1 3 n →∞ Chu i ã cho h i t n2 ∞  n + 1 ∑ Ví d 6. Xét s h i t , phân kì   (PK) n n =1 Ví d 7. 3n −ln n 2n −ln n  2n 2 + n + 1   3n 2 + n + 1  ∞ ∞ ∑ ∑ a1) a2)     (HT) (HT)  4n 2 + cos n   3n 2 + sin n  n =1 n =1
  10. PGS. TS. Nguy n Xuân Th o Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 2 ∞ n n 5n ∑ a3) (HT) n2 n( n + 1) n =1 2 n ( n + 4) n( n + 4) ∞ ∞ n +2 n +3 ∑ ∑ b1) b2)     (HT) (PK) n + 2 n +3 n =1 n =1 2 ∞ n n 5n ∑ c) (HT) n2 n( n + 1) n =1 3 c) Tiêu chu n tích phân Có m i liên h hay không gi a: b ∞ ∫ f ( x ) dx = blim ∫ f ( x ) dx →+∞ a a k ∞ ∑ an = klim ∑ an và →∞ n =1 n =1 Hình 14.4 n n ∫ f ( x ) dx ≤ a1 + a2 + ∫ + an ≤ a1 + f ( x ) dx , lim f ( x ) = 0 x → +∞ 1 1 N u f(x) là hàm dương gi m v i m i x ≥ 1, f(n) = an, khi ó ∞ ∞ ∑ an và ∫ f ( x ) dx cùng h i t ho c cùng phân kỳ. n =1 1 ∞ 1 ∑ n ln n Ví d 8. n =2 1 f (x) = dương, gi m v i x ≥ 2 và có lim f ( x ) = 0 x ln x x → +∞ b ∞ d ( ln x ) b ∫ ∫ = lim ln ( ln x ) = lim ( ln ( ln b ) − ln ( ln 2 ) ) = ∞ f ( x ) dx = lim 2 ln x b →∞ b →∞ n →∞ 2 2 +∞ ∫ f ( x ) dx phân kỳ 1 ∞ 1 ∑ n ln n phân kỳ n =2 ∞ 1 ∑ n (ln n )p T ng quát có th xét h i t ch khi p > 1. n =2
  11. PGS. TS. Nguy n Xuân Th o Email: thaonx-fami@mail.hut.edu.vn 111 Ví d 9. Ch ng minh r ng: 1 − = ln 2 +−+ 234 1 1  1 1 1 111 1 1 S2n = 1 − = 1 + + + +−+ + −  −  2 + 4 + + 2n  2n − 1 2n  2n − 1    234 3  1 1 1 1  1  1 11 11 11 = 1 + + + +  − 2  2 + 4 + + 2n  =  1 + 2 + 3 + + 2n  −  1 + 2 + 3 + + n  2n      23   1 1 = [ln2n + γ + o(1)] − [ln n + γ + o(1)], víi γ = lim  1 + + + − ln n  n →∞   2 n = ln2 + o(1) → ln 2 khi n → ∞ M t khác ta có 1 S2n +1 = S2n + 2n + 1 lim S2n +1 = lim S2n = ln2 n →∞ ( −1)n +1 = ln2 ∞ ∑ n n =1 11111 3 Ví d 10. Tương t nh n ư c 1 + ln 2. −++−+ = 32574 2 Ví d 11. Xét s h i t phân kì c a chu i s sau 1 ln ∞ ∞ ∞ ln (1 + n ) ln n ∑ ∑ 3n 2 ∑ n a) b) c) (HT); (HT) (HT) ( n + 2 )2 ( n + 3 )2 n =1 n =1 n =2 Happy Happy new year 2011 !
  12. PGS. TS. Nguy n Xuân Th o thaonx-fami@mail.hut.edu.vn HAPPY HAPPY NEW YEAR 2011 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY T CHU I BÀI 2 § 3. Chu i s v i s h ng có d u b t kì • Chu i v i s h ng có d u b t kì • Tính ch t c a chu i h i t tuy t i • Chu i an d u 1. tv n . 2. Chu i v i s h ng có d u b t kì ∞ ∞ ∞ ∑ an ∑ an ∑ an nh nghĩa: ư c g i là h i t tuy t i⇔ h i t . Chu i ư cg i n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∑ an ∑ an h là bán h i t ⇔ phân kì và it . n =1 n =1 ∞ ∞ ∑ an ∑ an h nh lý. h it ⇒ it . n =1 n =1 Ví d 1. Xét s h i t tuy t i c a chu i s sau 2 ∞ ∞ n +n n ∑ sin n2 ∑ ( −1) a) ; b) 2 n 2 n =1 n =1 ∞ ∞ ∑( ) sin n n ∑ sin π ( 2 + 3 ) c) (HTT ) d) (HTT ) 3 n n =1 n =1 H ng d n. ∞ n2 + n ∞ ∑ sin n2 n ∑ ( −1) 2 b) a) n 2 n =1 n =1 +) sin n 2 ∈ » ∞ n ∑ 2n +) Xét +) Không có lim sin n 2 = 0 n =1 n →∞ an +1 1 Th t v y, ph n ch ng có lim sin n 2 = 0 +) lim =
  13. PGS. TS. Nguy n Xuân Th o thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Nh n xét. ∞ ∞ ∑ an ∑ an phân kì 1° / N u phân kì theo tiêu chu n D’Alembert ho c Cauchy ⇒ n =1 n =1 ∞ ∞ ∑ an ∑ an phân kì ( 2° / phân kì ⇒ úng hay sai?) n =1 n =1 3. Chu i an d u ∞ ∑ ( −1) n −1 nh nghĩa. an , an > 0 ư c g i là chu i an d u n =1 ∞ ∑ ( −1) n Chú ý. an , an > 0 cũng ư c g i là chu i an d u. n =1 nh lí Leibnitz ∞ ∞ ∑ ∑ ( −1) ( −1)n −1 an h i t và có n −1 Dãy {an } gi m, an > 0 , lim an = 0 ⇒ an ≤ a1 n →∞ n =1 n =1 Ch ng minh: +) n = 2m : + ( a2m −1 − a2m ) ⇒ {S2m } tăng • Có S2m = ( a1 − a2 ) + ( a3 − a4 ) + • S2m = a1 − ( a2 − a3 ) − ( a4 − a5 ) − − ( a2m − 2 − a2m −1 ) − a2m < a1 ó ∃ lim S2m = S và có S ≤ a1 •T m →∞ +) n = 2m + 1: • S2m +1 = S2m + a2m +1 • Do lim a2m +1 = 0 ⇒ lim S2m +1 = S . m →∞ m →∞ nh lí ư c ch ng minh. Ví d 2. Xét s h i t tuy t i và bán h i t c a các chu i s sau ( −1)n −1 ∞ ∞ ( ) ( −1)n −1 3.5.7… 2n + 1 (HTT ) ∑ ∑ a) (Bán HT) e) 2.5.8… ( 3n − 1) 2n − 1 n =1 n =1 ( −1)n −1 ∞ ∞ ( ) ( −1)n −1 1.4.7… 3n − 2 (PK) ∑ ∑ b) (Bán HT) f) 7.9.11… ( 2n + 5 ) n n =1 n =1 ( −1)n +1 ∞ ∞ 1 ∑ ( 2n − 1)3 ∑ ( −1) n −1 c) (HTT ) g) tan (HTT ) nn n =1 n =1 n −1 n2 ∞ ∞ ( −1) n ∑ n +1 2 ∑ ( −1) d) (PK) h) (PK) 6n − 5 n! n =1 n =1
  14. PGS. TS. Nguy n Xuân Th o thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ∞ ∞ n n −1 ln n ∑ ∑ ( −1) ( −1)n i) (PK) m) (Bán HT) n 2 2n + 1 n =1 n =1 n ∞ ∞ ( n + 1) sin ( 2n β ) ( −1)n  n + 1  (PK)  ∑ ∑ , β ∈ » (HTT )  k) o) n + 2 3 7 3 n + 2n + 3 n =1 n =1 ( −1)n ∞ ∞ ( −1)n −1 ln2 n + 1 (HTT ) ∑ ∑ l) p) (Bán HT) n n − ln n n =1 n =1 H ng d n. ( −1)n −1 ( −1)n −1 n ∞ ∞ ∑ ∑ d) +) là chu i an d u b) +) là chu i an d u 6n − 5 n n =1 n =1 1 ∞ 1 n 1 n ∑ 6n − 5 phân kì  gi m và có lim =0 +)  =⇒ +) lim  n n →∞ n n → ∞ 6n − 5 6 n =1 +) H i t theo Leibnitz n n −1 +) ∃ lim ( −1) ∞ 1 ∑ 6n − 5 n →∞ phân kì ⇒ bán h i t +) n ∞ n ∑ ( −1) n =1 n +) phân kì. 6n − 5 n =1 4. Tính ch t c a chu i h i t tuy t i ∞ ∑ an a) = S ⇒ chu i s nh n ư c t chu i này b ng cách i th t các s h ng n =1 và nhóm tuỳ ý các s h ng cũng h i t tuy t i và có t ng S ∞ ∞ ∑ an = S , ∑ an b) Cho phân kì ⇒ có th thay i th t các s h ng c a nó n =1 n =1 chu i thu ư c h i t và có t ng là m t s b t kì cho trư c ho c tr nên phân kì. ∞ ∞ ∑ an , ∑ bn , khi nh nghĩa. Cho ó ta nh nghĩa phép nhân chu i: n =1 n =1 ∞  ∞ ∞ n ∑ ∑ ∑ ∑ ak bn +1−k  an  bn  = cn , ó cn =     n =1  n =1  n =1 k =1 ∞  ∞  ∞ ∞ ∑ ∑ ∑ ∑ bn = S2 ⇒  an   bn  = S1 S2 c) an = S1,     n =1   n =1  n =1 n =1 ∞ ∞ 1 1 ∑ ∑ 2n −1 . Ví d 3.a) Xét s h i t c a tích các chu i s sau: và nn n =1 n =1
  15. PGS. TS. Nguy n Xuân Th o thaonx-fami@mail.hut.edu.vn n n+2−k  ∞ 1 ∑∑ k −1 .ln2  ( −1) tan  b) Xét s h i t c a chu i s  n + 1− k  kk n =1  k =1  H ng d n. ∞ 1 ∑n a) +) h i t tuy t i n n =1 ∞ 1 ∑ 2n −1 h +) i t tuy t i n =1 ∞ 1 ∞ 1  ∑ ∑ +)  .  h it  n n   n =1 2n −1    n =1   HAVE HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
  16. PGS. TS. Nguy n Xuân Th o thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY T CHU I BÀI 3 § 4. Chu i hàm s tv n . • 1. Chu i hàm s h i t {un ( x )} xác nh nghĩa: Cho dãy hàm s nh trên X , ta nh nghĩa chu i hàm s ∞ ∑ un ( x ) u1 ( x ) + u2 ( x ) + (1) ≡ n =1 ∞ ∞ ∑ ∑ u n ( x0 ) h un ( x ) h i t t i x0 ⇔ chu i s it n =1 n =1 ∞ ∞ ∑ un ( x ) phân kì t ∑ un ( x0 ) phân kì i x0 ⇔ chu i s n =1 n =1 T p các i m h i t c a (1) g i là t p h i t c a nó. T ng c a chu i hàm s là hàm s xác nh trong t p h i t c a nó. Ví d 1. Tìm t p h i t c a các chu i hàm s sau ∞ ∞ ∞ ∞ xn cos nx 1 ∑x ∑ n2 + x 2 ∑ nx ∑ n −1 a) b) c) ( x > 1) d) (») n! n =1 n =1 n =1 n =1 sin ( 2n 2 + 4 ) x ∞ ∞ π π ∑ ∑ ( −1)n −1 e − n cos x + k 2π < x < + k 2π ) e) (») f) (− ( 3n + 1)2 2 2 n =1 n =1 n +1 ∞ ( −1) 1 ∑ n 5 n ( x − 3 )n g) ( x −3 > ) 5 n =1 Hư ng d n. ∞ ∑ x n −1 a) n =1 ∞ ∑ x0n −1 +) Xét chu i s (2) n =1 +) (2) h i t v i x0 < 1 +) T i x0 = 1, (2) phân kì +) T p h i t : x < 1 ∞ cos nx ∑ n2 + x 2 b) n =1 ∞ cos nx0 cos nx0 1 ∑ n2 + x02 ⇒ (2) h i t v i m i x0 +) Xét chu i s (2) +) ≤ n 2 + x0 2 n2 n =1 +) T p h i t »
  17. PGS. TS. Nguy n Xuân Th o thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ví d 2. Tìm t p h i t c a các chu i hàm s sau ( −1)n −1 x 2n + 3 n ∞ ∞ n3 3   4x − 3  ∑ ∑ 2  a) 1) ( −3 ≤ x < 3 ) (  ; 1 ) b) 1) x 32n ( 2n + 3 ) 5  n =1 ( n + 1) 2 n =1 ∞ ( −1)n  1 − x n ∞ 1 ∑ ∑ ( [0 ; + ∞ ) ) 2) ( x > 0 ∨ x ≤ −2 )   2) n n2 − 1  1 + x  n + 1 ( x + 1) n =1 n =2 ∞ ( x 2 − x + 1)n 1 ∑ 3 n + 1 ( x + 2 )n ∞ ∑ ( n + 1) 3) ( x > 1 ∨ x ≤ −3 ) c) ( 0 ≤ x ≤ 1) n+2 n =1 n =0 2. Chu i hàm s h i t u ∞ ∑ un ( x ) nh nghĩa. n S ( x ) trên t p X ⇔ ∀ ε > 0 bé tuỳ ý hit u n =1 ∃ n0 ( ε ) ∈ » : ∀ n > n0 ( ε ) , ta có Sn ( x ) − S ( x ) < ε , ∀ x ∈ X . l n, Sn ( x ) thu c d i ( S ( x ) − ε ; S ( x ) + ε ) . Ý nghĩa hình h c. V i n ∞ ∑ un ( x ) Tiêu chu n Cauchy. u trên t p X ⊂ » ⇔ ∀ ε > 0 bé tuỳ ý hit n =1 ∃ n0 ( ε ) ∈ » : ∀ p > q > n0 ( ε ) , ta có Sp ( x ) − Sq ( x ) < ε , ∀ x ∈ X . ∞ ∑ an Tiêu chu n Weierstrass. N u có un ( x ) ≤ an , ∀n ∈ », ∀ x ∈ X và hit n =1 ∞ ∑ un ( x ) h ⇒ i t tuy t i và u trên X . n =1 ( −1)n −1 ∞ ∑ x 2 + n2 Ví d 3. Xét s h i t u c a chu i hàm n =1 n −1 ∞ ( −1) 1 1 ∑ +) ,∀x +) h it ≤ x 2 + n2 n 2 n2 n =1 +) Chu i ã cho h i t tuy t i và u trên » Ví d 4. Xét s h i t u c a chu i hàm ∞ ∞ xn sin nx ∑ n2 + x ∑ 2n n 3 n , x ∈ [ −2 ; 2] a) , x∈» (HT ) b) (HT ) 2 n =1 n =1 ∞ ∞ x 2n cos nx ∑ ∑ ( −1) n −1 , x ∈ ( −1; 1) c) , x∈» (HT ) d) (HT ) 3n n n =1 n =1 ∞ ∞ n nx x ∑ 1 + n5 x 2 , ∑ n! , e) x ∈ » (HT ) f) x >0 (HTK ) n =1 n =1 Hư ng d n.
  18. PGS. TS. Nguy n Xuân Th o thaonx-fami@mail.hut.edu.vn ∞ n x 1 1 ∑ n4 / 3 b) +) , x ≤2 +) h it ≤ 2n n 3 n 4/3 n n =1 i trên [ −2 ; 2] . +) Chu i ã cho h i t u và h i t tuy t Ví d 5. Xét s h i t u c a chu i hàm 1  1  ∞ n  ∞ n  xdx xdx ∑∫ ∑∫   sin nx, x ∈ » (HT )   cos nx, x ∈ » (HT ) 2) a) 1)  1+ x2    2 n =1 0 1 + x n =1 0   n ∞ n + 1 2x + 1 ∑  , x ∈ [ −1; 1] (HT ) n  x+2  b) 1)  n =1 3 n2 n ∞  n +1  2x + 1 ∑  , x ∈ [ −1; 1] (HT )    2) n + 2  x+2  n =1 ∞ ∑ x2e−nx c) Ch ng minh r ng chu i hàm h it uv i x≥0 n =1 ( −1)n ∞ ∑ x2 + n + 1 h d) 1) Ch ng minh r ng chu i it u trên » n =0 ( −1)n ∞ ∑ x2 + n + 2 h 2) Ch ng minh r ng chu i it u trên » n =0 3. Tính ch t c a chu i hàm s h i t u ∞ ∑ un ( x ) nh lí 1. Chu i S ( x ) trên X , un ( x ) liên t c trên X , v i h it uv n =1 ∀n ∈ » ⇒ S ( x ) liên t c trên X . ∞ ∑ un ( x ) h nh lí 2. n S ( x ) trên [a ; b ] , un ( x ) liên t c trên [a ; b ] , ∀n it u n =1 b b ∞b ∞  ∫∑ ∑ ∫ un ( x ) dx ∫ ⇒ S ( x ) dx =  un ( x )  dx =   a  n =1  n =1 a a ∞ ∑ un ( x ) = S ( x ) trên ( a ; b ) , các hàm un ( x ) kh nh lí 3. vi liên t c trên ( a ; b ) , n =1 ∞ ∑ un ( x ) h u trên ( a ; b ) ⇒ S ( x ) kh vi trên ( a ; b ) và có ′ it n =1 ′ ∞ ∞ ∑ ∑ S ′ ( x ) =  un ( x )  = un ( x ) ′    n =1  n =1
  19. PGS. TS. Nguy n Xuân Th o thaonx-fami@mail.hut.edu.vn Ví d 6. Xét tính kh vi c a các hàm sau ( −1)n x ∞ ∞ ∞ n2 x ∑ ∑ ∑ n4 + x2 , a) f ( x ) = b) f ( x ) = (f ′(x) = ; arctan 2 x ∈») n+x n n =1 n =1 n =1 Hư ng d n. a) +) x ≠ −n là chu i an d u h i t theo Leibnitz ∞ n ∑ un h +) un ( x ) = ′ ′ liên t c ∀ x ≠ −n, it u theo Dirichlet ( n + x )2 n =1 ∞ n ∑ ( −1)n +) f ′ ( x ) = , x ≠ −n ( n + x )2 n =1 Ví d 7 a) Tìm mi n h i t và tính t ng 3n + 2 ∞ n ( x − 1) 1 π x 1 2x − 3 ∑ ( −1) 1) ( (0 ; 2] , S = ( x − 1)  ln ) arctan + + 6 3 3n + 1 3 2 3 3   x − 3x + 3 n =0 3n + 2 ∞ n ( x + 1) 1 π x+2 1 2x + 1 ∑ ( −1) 2) ( ( −2 ; 0) , S = ( x + 1)  ln ) arctan + + 6 3 3n + 1 3 2 3 3   x + x +1 n =0 b) Tìm mi n h i t và tính t ng ( −1)n −1 ∞ ∞ x2 − 1 ∑ ∑ ( −1) ( x + 1)n ; n −1 n ( n + 1)( x − 1) ( (0 ; 2) , S = ) 1) 2) x2 n n =1 n =1 Hư ng d n. [ −2 ; 0 ] b1) H i t v i x + 1 < 1 và t i x + 1 = 1 ⇒ mi n h i t ∞ ∞ tn 1 ∑ ∑ ⇒ s′ ( t ) = − t n −1 = − t t = −( x + 1) ⇒ s = − +) n 1− t n =1 n =1 t t ∫ s′ ( u ) du = ln u − 1 0 ⇒ s ( t ) − s ( 0 ) = ln t − 1 +) 0 +) s ( 0 ) = 0 ⇒ s ( x ) = ln ( x + 2 ) HAVE A GOOD UNDERSTANDING!
  20. PGS. TS. Nguy n Xuân Th o thaonx-fami@mail.hut.edu.vn PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUY T CHU I BÀI 4 § 5 Chu i lu th a • • Các tính ch t • Khai tri n thành chu i lu th a nh nghĩa tv n • nh nghĩa. a0 + a1x + a2 x 2 + + an x n + 1. (1) ∞ ∑ an x n , Ký hi u là ó an là các s th c, x là bi n s . n =0 ∞ ∑ an x0n Ta b o chu i lu th a h i t (phân kỳ) t i x0 ⇔ chu i s h i t (phân kỳ), n =0 ∞ ∞ ∑ an x n ∑ an x0n h i t trên kho ng ( a ; b ) ⇔ chu i s h i t , x0 tuỳ ý ∈ (a; b ) . chu i n =0 n =0 ∞ ∑ xn = 1+ x + x2 + Ví d 1. n =0 ∞ 1 ∑ xn = 1− x ã bi t h i t khi x < 1, có n =0 Phân kỳ khi x ≥ 1 ∞ ∑ an x n nh lí 1 (Abel). h i t t i x0 ≠ 0 ⇒ h i t tuy t i t i x : x < x0 n =0 ∞ ∑ an x0n h i t n n Ch ng minh. +) ⇒ lim an x0 = 0 ⇒ an x0 ≤ M, ∀ n ≥ N0 n →∞ n =1 n n x x n n = ≤M +) an x0 an x0 x  x0  0 n ∞ ∞ x x ∑ ∑ an x n x0 nh lí Abel suy ra: N u n =0 an +1 nh lý 2. N u lim n = ρ (ho c lim an = ρ ) thì bán kính h i t R c a chu i lu an n →∞ n →∞ 1 0

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản