BÀI GIẢNG HỌC VỀ HỌC PHẦN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Chia sẻ: Lan Lan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:59

Thêm vào BST

Báo xấu

339
lượt xem 154
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tần suất bạch tạng là 0,6 % với nam và 0,36% với nữ. Tìm xác suẩt để trong một làng có số nam = ½ số nữ ta gặp được. 1. Trong làng 1 người bị bệnh bạch tạng. 2. Trong nhóm bạch tạng một người là nam. b. Sinh đôi đòng trứng thì cùng giới, khác trứng thì sác xuẩt cùng giới bằng xác suẩt khác giới. Xác suất sinh dôi đồng trứng là . Tìm xác suất để một cặp trẻ sinh đôi cùng giới là đồng trứng. ...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: BÀI GIẢNG HỌC VỀ HỌC PHẦN XÁC SUẤT THỐNG KÊ

BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ
M cl c —1— M cl c 1 Chương 1 Gi i tích t h p 2 1.1 Hoán v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Ch nh h p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 T hp................................... 3 1.4 Công th c nh th c Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.5 Tích đ các . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Bài t p chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 2 Bi n c và xác su t c a bi n c 6 2.1 Phép th ng u nhiên và không gian m u . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Quan h gi a các bi n c và các phép toán . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Xác su t c a các bi n c ......................... 8 2.4 Các Công th c tính xác su t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.5 Công th c Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.6 Công th c xác su t đ y đ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.7 Công th c Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Bài t p chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 3 Đ i lư ng ng u nhiên và quy lu t phân ph i xác su t 21 3.1 Đ nh nghĩa và phân lo i các đ i lư ng ng u nhiên . . . . . . . . . . . 21 3.2 Qui lu t phân ph i xác su t c a ĐLNN . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3 Các tham s đ c trưng c a đ i lư ng ng u nhiên . . . . . . . . . . . 24 3.4 M t s qui lu t phân ph i xác su t thông d ng . . . . . . . . . . . . 28 Bài t p chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Chương 4 Đ i cương v th ng kê toán 34 4.1 T ng th và m u ng u nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.2 Các đ c trưng tương ng c a t ng th và m u . . . . . . . . . . . . . 35 4.3 Ư c lư ng đi m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.4 Ư c lư ng kho ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.5 Ki m đ nh gi thi t th ng kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Bài t p chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Tài li u tham kh o 58 Bài gi ng xác su t th ng kê Th.s Phan Tr ng Ti n
Chương 1 —2— GI I TÍCH T HP 1.1 HOÁN V Cho t p h p M g m n(n ≥ 1) ph n t . + M i cách s p x p c a n ph n t c a M theo m t th t nh t đ nh g i là m t hoán v c a n ph n t đã cho. + Kí hi u s các hoán v khác nhau c a n ph n t là Pn + Pn = n! Ví d 1.1.1. Có bao nhiêu cách khác nhau đ s p x p 4 em h c sinh vào 4 gh ng i. Gi i: Có P4 = 4! = 24 cách. 1.2 Ch nh h p 1.2.1 Ch nh h p không l p Cho t p M g m n(n ≥ 1) ph n t và k là m t s nguyên dương + M i cách s p x p k ph n t c a t p h p M theo m t t t nh t đ nh đư c g i là m t ch nh h p không l p ch p k c a n ph n t đã cho. + Ký hi u s các ch nh h p không l p ch p k khác nhau c a n ph n t đã cho là Ak . n + Hai ch nh h p không l p ch p k khác nhau khi chúng có m t ph n t khác nhau ho c chúng có th t khác nhau. n! Ak = = n(n − 1)...(n − k + 1) n (n − k )! Ví d 1.2.1. Có bao nhiêu s khác nhau g m 3 ch s đư c thi t l p t {1, 2, 3, 4, 5}. Gi i: M t s có 3 ch s đư c l p t {1, 2, 3, 4, 5} tương ng v i m t ch nh h p không l p ch p 3 c a 5 s 1, 2, 3, 4, 5. V y các s khác nhau g m 3 ch s đư c thi t l p t 1, 2, 3, 4, 5 b ng: 5! 5.4.3.2.1 A3 = = = 60 5 (5 − 3)! 2.1 1.2.2 Ch nh h p l p + G i ch nh h p l p ch p k c a n ph n t c a t p M là m t t p h p có th t g m k ph n t l y t t p M , mà m i ph n t c a nó có th có m t t i k l n. Bài gi ng xác su t th ng kê Th.s Phan Tr ng Ti n
—3— + S các ch nh h p l p ch p k c a n ph n t là nk . Ví d 1.2.2. L p t t c các ch nh h p l p ch p 3 c a 2 ph n t {1, 2}. Gi i: {1, 1, 1}; {1, 1, 2}; {1, 2, 1}; {1, 2, 2}; {2, 1, 1}; {2, 1, 2}; {2, 2, 1}; {2, 2, 2}. Nghĩa là có 23 = 8 ch nh h p l p ch p 3 khác nhau c a 2 ph n t . Ví d 1.2.3. Có bao nhiêu cách trao 15 ph n thư ng cho 5 ngư i d thi. Gi i: M i cách phân 15 s n ph m cho 5 ngư i là m t ch nh h p ch p 15 c a 5. V y s cách đ phân ng u nhiên 15 ph n thư ng cho 5 ngư i là: 515 . 1.3 T hp Cho t p M g m n ph n t . + M t t h p (không k th t ) g m k ph n t (k ≤ n) c a t p M đư c g i là m t t h p ch p k c a n ph n t đã cho. + Hai t h p ch p k c a n ph n t đã cho đư c g i là khác nhau n u chúng có m t ph n t khác nhau. k + S các t h p ch p k khác nhau c a n ph n t đã cho đư c kí hi u là: Cn . n! k Cn = k !(n − k )! + Chú ý: 0! = 1. Ví d 1.3.1. Có bao nhiêu cách đ ch n 3 cu n sách trong s 10 cu n. Gi i: m i cách ch n 3 cu n sách trong s 10 cu n là m t t h p ch p 3 c a 10. V y s cách ch n là: 10! 10.9.8 3 C10 = = = 120 3!(10 − 3)! 3.2.1 Ví d 1.3.2. Có bao nhiêu cách đ ch n ra 5 ngư i trong l p có 45 ngư i đ đi lao 45! 5 đ ng. Gi i: C45 = 5!(45 − 5)! 1.4 Công th c nh th c Newton n Cn ak bn−k n k (a + b ) = k=0 1.5 Tích đ các + Tích đ các c a các t p h p A1 , ..., Ak đư c đ nh nghĩa và kí hi u b i A1 × A2 × .... × Ak = {(a1 , ..., ak )|ai ∈ Ai } Bài gi ng xác su t th ng kê Th.s Phan Tr ng Ti n
—4— + N u Ai có ni ph n t thì tích đ các A1 , ..., Ak có n1 ...nk ph n t . Ví d 1.5.1. Có 5 con đư ng đ đi t A đ n B và 6 con đư ng đ đi t B đ n C . H i có bao nhiêu cách đ đi t A đ n C mà qua B. Gi i: M i cách l a ch n là m t ph n t c a tích đ các c a các t p h p tương ng có 5 và 6 ph n t . V y s cách l a ch n là: 5.6 = 30. BÀI T P CHƯƠNG 1 1.1. M t l p có 50 h c sinh, c n b u ra 5 ch c v là: l p trư ng, l p phó h c t p, l p phó văn th , bí thư chi đoàn, phó bí thư chi đoàn. H i có bao nhiêu cách l a ch n n u a) M i ngư i có thê kiêm nhi m t i đa 5 nhi m v . b) M i ngư i có th kiêm nhi m t i đa 3 nhi m v . c) M i ngư i có th kiêm nhi m t i đa 2 nhi m v . d) M i ngư i có th kiêm nhi m t i đa 1 nhi m v . 1.2. Có 14 cu n sách s p đ t trên m t giá sách. H i có bao nhiêu cách s p x p n u: a) Giá ch có m t ngăn đ cho 14 cu n. b) Giá có hai ngăn, m i ngăn đ ch cho 14 cu n. c) Giá có hai ngăn, m i ngăn đ ch cho 7 cu n. d) Giá ch có m t ngăn đ ch cho 10 cu n (4 cu n không đư c đ trên giá). e) Giá ch có hai ngăn, m i ngăn đ ch cho 5 cu n sách (có 4 cu n s không đư c b lên giá). 1.3. Có k ch u hoa và m cái đôn đ đ t ch u hoa. H i có bao nhiêu cách đ đ t ch u hoa lên đôn (m i đôn ch đ t đư c m t ch u hoa) n u: a) k = 6, m = 3. b) k = 3, m = 6. c) k = m = 9. 1.4. M t h c sinh phi thi 4 môn trong 10 ngày (m i ngày thi m t môn). Có bao nhiêu cách đ l p chương trình thi? 1.5. Trong lô 100 s n ph m có 80 s n ph m t t và 20 s n ph m x u. H i a) Có bao nhiêu cách l y ra 10 s n ph m. b) Có bao nhiêu kh năng l y ra 10 s n ph m trong đó có 7 s n ph m t t và 3 s n ph m x u. 1.6. Phân ng u nhiên 18 hành khách lên 5 toa tàu. a) Có bao nhiêu cách phân ng u nhiên 18 hành khách lên 5 toa tàu. b) Có bao nhiêu cách phân ng u nhiên 18 hành khách lên 5 toa tàu mà toa th nh t có đúng 5 ngư i. Bài gi ng xác su t th ng kê Th.s Phan Tr ng Ti n
c) Có bao nhiêu cách phân ng u nhiên 18 hành khách lên 5 toa tàu mà m— 5 — i toa không quá 4 ngư i. 1.7. Trong sàn nh y có 10 nam và 8 n . H i có bao nhiêu cách ch n ra 2 đôi nam n đ nh y. 1.8. T nh A có 5 đ i bóng nam và 3 đ i bóng n , t nh B có 6 đ i bóng nam và 2 đ i bóng n . D đ nh di n ra m t tr n đ u gi a hai đ i bóng nam và m t tr n đ u c a hai đ i bóng n a gi a hai t nh. H i có bao nhiêu phương án khác nhau v l a ch n các đ i thi đ u. 1.9. Có bao nhiêu cách đ chia 16 đ i bóng đá thành 4 bng, m i bng ch có 4 đ i. 1.10. Gi i ngo i h ng Anh có t t c 20 đ i tham d . Trong m t mùa gi t t c các đ i đ u g p nhau 2 tr n (tr n lư t đi và tr n lư t v ). H i trong m t mùa Gi i có bao nhiêu tr n đ u di n ra. Bài gi ng xác su t th ng kê Th.s Phan Tr ng Ti n
Chương 2 —6— BI N C VÀ XÁC SU T C A BI N C 2.1 PHÉP TH NG U NHIÊN VÀ KHÔNG GIAN M U Trong th c t ta thư ng g p r t nhi u hành đ ng mà các k t qu c a nó không th d báo trư c đư c, ch ng h n như làm m t thí nghi m hay quan sát m t hi n tư ng nào đó. Ta g i chúng là các phép th ng u nhiên, ký hi u là T . Các k t qu c a T là ng u nhiên, không th xác đ nh trư c. Tuy nhiên ta có th li t kê ra t c c các k t qu có th c a phép th T . + Không gian m u: T p h p t t c các k t qu có th x y ra c a phép th T , ký hi u là Ω. Bi n c ng u nhiên: M i t p con A ⊂ Ω đư c g i là m t bi n c . + Bi n c sơ c p: M i ph n t ω ∈ Ω đư c g i là bi n c sơ c p. + Bi n c không th là bi n c không bao gi x y ra khi phép th đư c th c hi n, ký hi u ∅. + Bi n c ch c ch n là bi n c luôn luôn x y ra khi phép th đư c th c hi n, ký hi u là Ω. Ví d 2.1.1. Quan sát tình hình ho t đ ng c a m t dây chuy n máy móc là làm m t phép th . Vi c dây chuy n máy móc ho t đ ng t t hay h ng hóc là hai bi n c . Ví d 2.1.2. Gieo m t con xúc s c và quan sát s n t trên m t xu t hi n c a con xúc s c là m t làm m t phép th . Ta không bi t trư c đư c m t nào c a con xúc s c xu t hi n. Không gian m u c a T là Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. + {1} , {2} , {3} , {4} , {5} , {6} là nh ng bi n c sơ c p. + A = {1, 3, 5} là bi n c m t l + B = {2, 4, 6} là bi n c m t ch n. + C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} là bi n c ch c ch n, t c là C = Ω. + D = {7} là bi n c không th có, t c là C = ∅. Ví d 2.1.3. Ki m tra 3 s n ph m. Bi n c "không có quá 3 s n ph m t t có trong 3 s n ph m ki m tra" là bi n c ch c ch n. Bi n c "có 4 ph ph m có trong 3 s n ph m ki m tra" là bi n c không th . Bi n c "có 2 s n ph m t t trong 3 s n ph m ki m tra" là bi n c ng u nhiên. Bài gi ng xác su t th ng kê Th.s Phan Tr ng Ti n
—7— 2.2 Quan h gi a các bi n c và các phép toán Đ gi i các bài toán xác su t, ta thư ng di n t bi n c ph c t p theo các bi n c đơn gi n hơn. + Tương đương: Bi n c A và B đư c g i là hai bi n c tương đương, ký hi u A = B n u bi n c A x y ra thì B cũng x y ra và ngư c l i. Ví d 2.2.1. Tung m t con xúc x c, bi n c "xúc x c ra m t l " và bi n c "xúc x c ra m t trong ba m t: 1, 3, 5" là hai bi n c tương đương. + Xung kh c: Hai bi n c A và B đư c g i là xung kh c n u chúng không th cùng x y ra trong m t phép th . Ví d 2.2.2. Khi ki m tra 5 s n ph m, bi n c "có 1 ph ph m" và bi n c "có 2 ph ph m" là hai bi n c xung kh c nhau. Các bi n c A1 , A2 , , An đư c g i là xung kh c t ng đôi n u 2 bi n c b t kỳ trong s n bi n c này đ u xung kh c v i nhau. + Bi n c đ i l p: Bi n c đư c g i là bi n c đ i c a bi n c A n u nó x y ra ¯ ¯ khi và ch khi A không x y ra, ký hi u là A . Ta có A = Ω\A. Ví d 2.2.3. Ki m tra m t s n ph m, bi n c "s n ph m ki m tra là s n ph m t t" và bi n c "s n ph m ki m tra là s n ph m x u" là hai bi n c đ i l p nhau. Nh n xét: + Đ c bi t, trong trư ng h p A là bi n c ch c ch n thì bi n c đ i l p v i A là bi n không th . + So sánh v i đi u ki n xung kh c ta th y: Hai bi n c đ i l p thì xung kh c nhưng hai bi n c cung kh c chưa ch c đã đ i l p. 2.2.1 Các phép toán c a bi n c a. Phép h p (t ng) + H p c a hai bi n c A và B là bi n c x y ra khi và ch khi có ít nh t m t trong hai bi n c A ho c B x y ra, ký hi u là A ∪ B ho c A + B . T ng quát, bi n c A đư c g i là t ng c a n bi n c A1 , A2 , ..., An n u A x y ra khi và ch khi có ít nh t m t trong n bi n c đó x y ra. Ký hi u A = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An n ho c A = Ai . i=1 Ví d 2.2.4. Xét phép th quan sát hai x th cùng b n vào m t bia (m i x th b n m t viên đ n). G i A là bi n c "x th th nh t b n trúng bia", G i B là bi n c "x th th hai b n trúng bia", và G i C là bi n c "bia trúng đ n". Bài gi ng xác su t th ng kê Th.s Phan Tr ng Ti n
—8— Rõ ràng C = A ∪ B b. Phép giao (tích) + Tích c a hai bi n c A và B là bi n c x y ra n u c A và B đ u x y ra, ký hi u là AB ho c A ∩ B . T ng quát, bi n c A đư c g i là tích c a n bi n c A1 , A2 , ..., An n u A x y ra n u t t c các bi n c A1 , A2 , ..., An đ u x y ra. Ký hi u A = A1 A2 ...An . Ví d 2.2.5. Xét phép th quan sát hai x th cùng b n vào m t bia (m i x th b n m t viên đ n). G i D là bi n c "x th th hai b n tr t". G i E là bi n c "x th th hai b n tr t" và g i F là bi n c "bia không trúng đ n". Rõ ràng F = D ∩ E. c. Nhóm đ y đ các bi n c H n các bi n c A1 , A2 , ..., An là m t h đ y đ và xung kh c t ng đôi n u các bi n c xung kh c t ng đôi và t ng c a chúng là bi n c ch c ch n. Ví d 2.2.6. Ki m tra 3 s n ph m, g i tương ng là các bi n c có "0, 1, 2, 3 s n ph m t t trong 3 s n ph m ki m tra". Các bi n c là m t h đ y đ và xung kh c t ng đôi. d. Phép hi u + Hi u c a bi n c B v i bi n c A là bi n c "B x y ra nhưng A không x y ¯ ra", ký hi u là B \A. Đ c bi t, ta có A = Ω\A . Nh n xét. Khi gi i nhi u bài toán xác su t, ta thư ng bi u di n các bi n c ph c h p thành t ng và tích các bi n c đơn gi n hơn. Ví d 2.2.7. M t nhà máy s n xu t 3 s n ph m. G i Ai , i = 1, 2, 3 là bi n c "s n ¯ ph m th i là s n ph m t t". Khi đó Ai , i = 1, 2, 3 là bi n c "s n ph m th i là ph ph m". N u g i A là bi n c "có 1 s n ph m t t trong 3 s n ph m do nhà máy s n ¯¯ ¯ ¯ ¯¯ xu t" thì A = A1 .A2 .A3 ∪ A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 . N u g i B là bi n c "có 2 s n ph m t t trong 3 s n ph m do nhà máy s n ¯ ¯ ¯ xu t" thì B = A1 .A2 .A3 ∪ A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 . N u g i C là bi n c "có 3 s n ph m t t trong 3 s n ph m do nhà máy s n xu t" thì C = A1 .A2 .A3 . 2.3 Xác su t c a các bi n c 2.3.1 Khái ni m v xác su t Gi s là bi n c c a phép th nào đó. M c dù khi ti n hành phép th ta không th nói trư c bi n c A x y ra hay không nhưng ta th a nh n r ng: có m t s đo Bài gi ng xác su t th ng kê Th.s Phan Tr ng Ti n
kh năng x y ra c a bi n c A, ký hi u p(A). Khi đó p (A) = 1 n u là bi n c —ch — 9c ch n và p(A) = 0 n u A là bi n c không th . V y xác su t c a m t bi n c là m t s bi u th kh năng x y ra c a bi n c đó khi th c hi n phép th . a. Đ nh nghĩa c đi n v xác su t Ph n này chúng ta xây d ng mô hình xác su t cho nh ng phép th "đ i x ng" như tung đ ng xu hay gieo xúc s c ho c ch n ng u nhiên k ph n t t t p h p có h u h n ph n t . Đ nh nghĩa 2.3.1. Xác su t c a bi n c A là t s gi a s trư ng h p thu n l i cho A và s trư ng h p đ ng kh năng có th x y ra khi th c hi n phép th , hay m p (A ) = trong đó, m: là s trư ng h p thu n l i cho n: là s trư ng h p đ ng n kh năng có th x y ra khi th c hi n phép th . b. Tính ch t N u A là bi n c ng u nhiên thì 0 < P (A) < 1: N u A là bi n c ch c ch n thì P (Ω) = 1: N u A là bi n c không th thì P (∅) = 0: Như v y n u A là bi n c b t kỳ thì 0 P (A) 1. c. phương pháp tính xác su t + phương pháp tính xác su t b ng đ nh nghĩa c đi n + phương pháp suy lu n tr c ti p + phương pháp s d ng sơ đ + phương pháp s d ng các khái ni m Gi i tích t h p Ví d 2.3.2. Gieo đ ng th i 3 con xúc s c đư c ch t o cân đ i, đ ng ch t. Tính xác su t đ t ng s n t xu t hi n c a 3 con là 9. Gi i. M i k t qu c a phép th là m t b ba (a, b, c), trong đó a, b, c là các s nguyên dương t 1 đ n 6. V y s trư ng h p đ ng kh năng là n = 63 = 216. Các b ba có t ng bông 9 là: (1, 2, 6) và 5 hoán v c a nó; (1, 3, 5) và 5 hoán v c a nó (1, 4, 4) và 2 hoán v c a nó; (2, 2, 5) và 2 hoán v c a nó (2, 3, 4) và 5 hoán v c a nó; (3, 3, 3). Suy ra s 25 trư ng h p thu n l i là m = 6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 1 = 25. V y p(A) = . 216 Ví d 2.3.3. Trư c c ng trư ng có 3 quán cơm bình dân ch t lư ng ngang nhau. Ba sinh viên H ng, Hà, Hoa đ c l p v i nhau ch n m t quán đ ăn trưa. Tính xác su t đ : a) 3 sinh viên cùng vào m t quán; b) 2 sinh viên cùng vào m t quán, còn ngư i kia thì vào quán khác. Bài gi ng xác su t th ng kê Th.s Phan Tr ng Ti n
Gi i: Ta đánh s ba quán cơm là 1, 2, 3. G i a, b, c là quán cơm mà H ng,10 — — Hà, Hoa ch n. Như v y s trư ng h p đ ng kh năng là n = 33 = 27. G i A là bi n c 3 sinh viên cùng vào m t quán. S trư ng h p thu n l i c a A là (1, 1, 1); (2, 2, 2) và (3, 3, 3). 3 1 V y p(A) = =. 27 9 G i B là bi n c 2 sinh viên cùng vào m t quán, còn sinh viên kia thì vào quán khác. (1, 1, 2) và 2 hoán v c a nó; (1, 1, 3) và 2 hoán v c a nó; (2, 2, 1) và 2 hoán v c a nó; (2, 2, 3) và 2 hoán v c a nó; (3, 3, 1) và 2 hoán v c a nó; (3, 3, 2) và 2 hoán v c a nó; 18 2 S trư ng h p thu n l i c a B là 6.3=18. V y p(B ) = =. 27 3 Ví d 2.3.4. M t túi đ ng 10 qu c u, trong đó có 6 qu màu xanh và 4 qu màu vàng. L y ng u nhiên (không hoàn l i) t túi ra 3 qu c u. a) Tính xác su t đ có 2 qu c u xanh trong 3 qu c u l y ra t túi. b) Tính xác su t đ trong 3 qu c u l y ra có ít nh t 1 qu c u xanh. Gi i. a) G i A là bi n c có 2 qu c u màu xanh trong 3 qu c u l y ra t túi. S trư ng h p đ ng kh năng có th x y ra là m t nhóm g m 3 qu c u (không 3 phân bi t th t ) đư c ch n t 10 qu c u. V y n = C10 = 120. S trư ng h p thu n l i cho A là s nhóm g m 3 qu c u, trong đó có 2 qu 60 2 1 xanh. nên m = C6 .C4 = 60. V y p (A) = = 0.5. 120 b) G i B là bi n c có ít nh t m t qu c u xanh trong 3 qu c u l y ra t túi. G i Bi là bi n c có i qu c u xanh trong 3 qu c u l y ra t túi (0 i 3). Ta có Bi là h xung kh c nên B = B1 ∪ B2 ∪ B3 . Suy ra 1 2 2 1 3 C6 .C4 C6 .C4 C6 36 + 60 + 20 p (B ) = p (B1 ) + p (B2 ) + p (B3 ) = + + 3= . 3 3 C10 C10 C10 120 d. Ưu đi m và h n ch c a đ nh nghĩa c đi n Ưu đi m: Tìm xác su t c a bi n c ta không c n th c hi n phép th (phép th ch th c hi n m t cách gi đ nh). Như c đi m: Ch áp d ng đ tính xác su t khi phép th có tính "đ i x ng" và đòi h i phép th ph i xác đ nh s trư ng h p thu n l i và s trư ng h p đ ng kh năng và đó là nh ng s h u h n nhưng trong th c t đa s các phép th không th a mãn các yêu c u đó. e. Đ nh nghĩa xác su t theo th ng kê. Bài gi ng xác su t th ng kê Th.s Phan Tr ng Ti n
— 11 — T n s - T n su t Xét A là bi n c c a m t thí nghi m ng u nhiên. Ta l p l i thí nghi m này n l n. Khi đó: s l n xu t hi n bi n c A trong n phép th đư c g i là t n s c a A, µn (A) ký hi u là µn (A) và t s f (A) = đư c g i là t n su t c a bi n c A trong n n phép th . Ví d 2.3.5. Khi ki m tra ng u nhiên 60 s n ph m m t lô hàng, ngư i ta phát hi n ra 3 ph ph m. G i A là bi n c "s n ph m ki m tra là ph ph m" thì t n 3 su t xu t hi n bi n c A là f (A) = = 5%. 60 Ví d 2.3.6. Đ nghiên c u kh năng xu t hi n m t s p khi tung đ ng xu, ngư i ta ti n hành tung đ ng xu nhi u l n và thu đư c k t qu sau: Ngư i làm thí nghi m S l n tung S l n đư c m t s p T n su t Buyffon 4040 2048 0.5069 Pearson 1200 6019 0.5016 Pearson 24000 12012 0.5005 T thí nghi m trên ta th y khi phép th tăng lên, t n su t xu t hi n m t s p ti n d n đ n 0.5 (xác su t xu t hi n m t s p khi tung đ ng xu là 0.5). V y t n su t d n đ n xác su t khi s phép th tăng lên. Đ nh nghĩa. T n su t xu t hi n bi n c s h i t v xác su t xu t hi n bi n c khi s phép th tăng lên vô h n. Trong th c t v i s phép th đ l n ta có p (A) ≈ f (A). 2.4 Các Công th c tính xác su t 2.4.1 Công th c c ng xác su t Đ nh lý 2.4.1. N u A và B là hai bi n c xung kh c thì: P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) T ng quát, n u A1 , A2 , ..., An là n bi n c xung kh c t ng đôi thì p (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) = p (A1 ) + p (A2 ) + ... + p (An ) H qu 2.4.2. N u A1 , A2 , ..., An là n bi n c đ y đ và xung kh c t ng đôi thì: n P (Ai ) = 1. i=1 ¯ ¯ H qu 2.4.3. N u A và A là hai bi n c đ i l p v i nhau thì: p (A) = 1 − p A . Bài gi ng xác su t th ng kê Th.s Phan Tr ng Ti n
— 12 — Ví d 2.4.4. M t h p có 10 s n ph m (trong đó có 2 ph ph m). L y ng u nhiên (không hoàn l i) t h p ra 6 s n ph m. Tính xác su t đ có không quá 1 ph ph m trong 6 s n ph m l y ra. Gi i: G i A là bi n c "không có ph ph m nào trong 6 s n ph m l y ra" và g i B là bi n c "có 1 ph ph m trong 6 s n ph m l y ra". G i C là bi n c "có không quá 1 ph ph m trong 6 s n ph m l y ra". Suy ra C = A ∪ B . Do A, B là hai bi n c xung kh c (vì nó không th đ ng th i x y ra trong phép th l y ng u nhiên 6 s n ph m t h p). V y 6 15 C8 C2 C8 14 + 56 2 p (C ) = p (A ∪ B ) = p (A) + p (B ) = 6 + = ≈ 0.66. = 6 C10 C10 105 3 Đ nh lý 2.4.5. N u A và B là hai bi n c b t kỳ thì: p (A ∪ B ) = p (A) + p (B ) − p (AB ) . Ta có th m r ng đ nh lý trên cho trư ng h p 3 bi n c : p (A ∪ B ∪ C ) = p (A) + p (B ) + p (C ) − p (A.B ) − p (AC ) − p (BC ) + p (ABC ) . Ví d 2.4.6. Theo kho sát c a t ch c y t WHO, trong m t vùng dân cư t l ngư i m c b nh tim là 9%, b nh huy t áp là 12% và m c c hai b nh là 7%. Ch n ng u nhiên m t ngư i trong vùng đó. Tính xác su t đ ngư i đó không m c c b nh tim và huy t áp. Gi i. G i A là bi n c "ngư i đó m c b nh tim" và g i B là bi n c "ngư i đó m c b nh huy t áp". Ta có p (A) = 0.09, p (B ) = 0.12, (AB ) = 0.07. G i N là bi n c "ngư i đó không m c c b nh tim và b nh huy t áp". Suy ra ¯ N =A∪B Nên ¯ p N = p (A ∪ B ) = p (A) + p (B ) − p (AB ) = 0.09 + 0.12 + 0.07 = 0.14 ¯ V y p (N ) = 1 − p N = 1 − 0.14 = 0.86. 2.4.2 Công th c nhân xác su t 2.4.2.1 Xác su t có đi u ki n Đ nh nghĩa. Xác su t c a bi n c A đư c tính v i đi u ki n bi n c B đã xãy ra đư c g i là xác su t có đi u ki n c a A, ký hi u P (A/B ) . Ví d 2.4.7. M t túi đ ng 5 qu c u, (trong đó có 2 qu màu tr ng). L y ng u nhiên (không hoàn l i) l n lư t t túi ra 2 qu c u. Tính xác su t đ l n th hai đư c qu c u tr ng bi t rông l n th nh t l y đư c qu c u tr ng. Bài gi ng xác su t th ng kê Th.s Phan Tr ng Ti n
Gi i. G i A là bi n c "l n th hai l y đư c qu c u tr ng" và g i B là bi 13 c —n— "l n th hai nh t l y đư c qu c u tr ng". Ta c n tìm (A/B ) . Ta th y l n th nh t đã l y đư c qu c u tr ng (B đã xãy ra) nên trong túi 1 còn 4 qu c u, trong đó có 1 qu tr ng. V y p(A/B ) = = 0.25 4 P (AB ) Công th c tính: P (A/B ) = P (B ) N u A, B là hai bi n c b t kỳ, ta có: p(AB ) = p(B ).P (A/B ) = p(A).p(B/A) T ng quát ta có: p(A1 A2 ...An ) = p(A1 ).P (A2 /A1 )p(A3 /A1 A2 )....p(An /A1 A2 ...An−1 ). 2.4.2.2 Bi n c đ c l p + Hai bi n c A và B đư c g i là đ c l p v i nhau n u p(A/B ) = p(A) (t c là bi n c B x y ra hay không cũng không nh hư ng đ n kh năng x y ra c a bi n c A). D a vào đ nh nghĩa c a xác su t có đi u ki n, t đi u trên ta có: p(AB ) = p(A).p(B ). ¯ ¯ ¯ ¯ Nh n xét: A và B đ c l p ⇔ A và B đ c l p ⇔ A và B đ c l p ⇔ A và B đ c l p. N u p(C ) = 0 ho c p(C ) = 1 thì C đ c l p v i m i bi n c . Đ nh nghĩa. N u các bi n c A1 , A2 , ..., An đ c l p v i nhau thì p(A1 ...An ) = p(A1 )...p(An ). Ví d 2.4.8. M t phân xư ng có 3 máy. Xác su t các máy b h ng trong ngày tương ng là 0.1; 0.2 và 0.15. Tính các xác su t sau đây: a). Có m t máy b h ng trong ngày. b). Có ít nh t m t máy b h ng trong ngày. Gi i. G i A1 , A2 , A3 tương ng là các bi n c máy th nh t, th hai, th ba b h ng trong ngày. a). G i A là bi n c có m t máy b h ng trong ngày. Khi đó ta có ¯¯ ¯ ¯ ¯¯ A = A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 Vì các bi n c tích xung kh c t ng đôi và đ c l p toàn ph n nên ¯¯ ¯ ¯ ¯¯ p (A) = p A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 ∪ A1 A2 A3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = p (A1 ) p A2 p A3 + p A1 p (A2 ) p A3 + p A1 p A2 p (A3 ) = 0, 1.0, 8.0, 85 + 0, 9.0, 2.0, 85 + 0, 9.0, 8.0, 15 = 0, 329 Bài gi ng xác su t th ng kê Th.s Phan Tr ng Ti n
¯ b). G i B là bi n c "có ít nh t m t máy b h ng trong ngày" nên B là bi n— 14 — c "c ¯ ) = A1 A2 A3 . ¯¯¯ ba máy đ u t t" hay p(B Suy ra ¯ ¯ ¯ ¯ P (B ) = 1 − P B = 1 − P A1 P A2 P A3 = 1 − 0, 9.0, 8.0, 85 = 0, 388. 2.5 Công th c Bernoulli Trong nhi u bài toán th c t , ta thư ng g p cùng m t phép th đư c l p đi l p l i nhi u l n. Trong m i phép th có th x y ra hay không x y ra bi n c A nào đó và ta quan tâm đ n t ng s l n x y ra bi n c A trong dãy phép th đó. Đ nh nghĩa. Các phép th đư c g i là đ c l p v i nhau n u xác su t đ x y ra m t bi n c nào đó trong t ng phép th s không ph thu c vào vi c bi n c đó có x y ra phép th khác hay không. Ví d 2.5.1. Tung nhi u l n m t đ ng xu, l y ng u nhiên (có hoàn l i) n s n ph m t m t lô hàng là các phép th đ c l p. Bài toán. Gi s ti n hành n phép th đ c l p. Trong m i phép th ch có th x y ra hai trư ng h p: ho c bi n c A x y ra, ho c bi n c A không x y ra. Xác su t đ bi n c A x y ra trong m i phép th đ u b ng p và xác su t A không x y ra là q = 1 − p. Ta g i n phép th này đư c g i là dãy phép th Bernoulli. Khi đó xác su t đ trong n phép th đ c l p nói trên bi n c A x y ra đúng k l n là: B (k, n, p) = Cn pk q n−k ; k = 0, 1, .., n k Ví d 2.5.2. M t c u th bóng r có kh năng ném l t r v i xác su t p = 0, 95. Tìm xác su t đ trong 10 l n ném có đúng 8 l n l t r . Gi i. Rõ ràng đây là dãy phép th Bernoulli v i xác su t ném l t r là p = 0, 95. Do đó xác su t c n tìm là B (8; 0, 95; 10) = C10 .(0, 95)8 .(0, 05)2 0, 0746 . 8 2.6 Công th c xác su t đ y đ Gi s B là bi n c b t kỳ có th x y ra đ ng th i v i m t trong các bi n c A1 , A2 , ..., An -h bi n c xung kh c t ng đôi và đ y đ . Khi đó, xác su t c a B là: n p(B ) = p(Ai ).p(B/Ai ). i=1 Các xác su t p (A1 ) , p (A2 ) , ..., p (An ) đư c g i là xác su t c a gi thi t hay còn g i là xác su t tiên nghi m. Ví d 2.6.1. M t cơ s s n xu t mũ g m có 3 t cùng s n xu t mũ (đ c l p nhau) v i t l s n ph m trong t ng s s n ph m l n lư t là 20%, 30% và 50%, trong đó Bài gi ng xác su t th ng kê Th.s Phan Tr ng Ti n
t l ph ph m tương ng là 5%, 2% và 1%. T t c s n ph m làm ra đ u đư—c15 — xp chung vào m t kho. H i t l ph ph m c a kho là bao nhiêu? Gi i. L y ng u nhiên m t mũ t trong kho ra ki m tra. G i B là bi n c g p mũ ph ph m và Ai là bi n c mũ l y ra do t i s n xu t (1 ≤ i ≤ 3), ta có p(B ) = p(A1 ).p(B/A1 ) + p(A2 ).P (B/A2 ) + p(A3 ).P (B/A3 ) 20 5 30 2 50 1 × × × = + + = 0, 021 100 100 100 100 100 100 2.7 Công th c Bayes Gi s B là bi n c b t kỳ có th x y ra đ ng th i v i m t trong các bi n c A1 , A2 , ..., An -h bi n c xung kh c t ng đôi và đ y đ . Gi thi t r ng B đã x y ra khi đó, v i i = 1, ..., n ta có: p(Ai ).p(B/Ai ) p(Ai /B ) = n p(Ai ).p(B/Ai ) i=1 Nh n xét: Các xác su t p(Ai /B ) đư c xác đ nh sau khi đã bi t k t qu c a phép th B đã x y ra nên g i là các xác su t h u nghi m. Như v y công th c Bayes cho phép ta xác đ nh các xác su t tiên nghi m khi bi t thông tin B đã x y ra khi th c hi n phép th . Ví d 2.7.1. Hai máy ti n cùng s n xu t ra m t lo i tr c xe đ p như nhau. Các tr c xe đư c đóng chung vào m t ki n. Năng su t c a máy ti n th hai g p đôi năng su t c a máy ti n th nh t. Máy ti n th nh t s n xu t trung bình đư c 64% tr c lo i t t, còn máy ti n th hai đư c 80% tr c lo i t t. L y ng u nhiên t ki n m t tr c ra ki m tra thì đư c tr c lo i t t. Tìm xác su t đ tr c đó do máy ti n th nh t s n xu t. Gi i. G i B là bi n c tr c đó là tr c lo i t t và A1 , A2 tương ng là các bi n c 1 2 tr c đó do máy th nh t và máy th hai s n xu t ra. Ta có p(A1 ) = ; P (A2 ) = ; 3 3 và p(B/A1 ) = 0, 64; p(B/A2 ) = 0, 8 Theo công th c xác su t đ y đ thì p(B ) = p(A1 ).p(B/A1 ) + p(A2 ).p(B/A2 ) 1 2 = 0, 64 × + 0, 8 × 0, 7467. 3 3 1 0, 64 × p(A1 ).p(B/A1 ) 3 V y p(A1 /B ) = 0, 2857 . p(B ) 0, 7467 Bài gi ng xác su t th ng kê Th.s Phan Tr ng Ti n
— 16 — BÀI T P CHƯƠNG 2 2.1. Ba x th , m i ngư i b n m t phát. G i Ai là bi n c ngư i th i b n trúng. Hãy bi u di n qua các bi n c sau: a. A: ch có ngư i th nh t b n trúng. b. B : ngư i th nh t b n trúng còn ngư i th hai b n tr t. c. C : có ít nh t m t ngư i b n trúng. d. D : c 3 ngư i đ u b n trúng. e. E : có ít nh t hai ngư i b n trúng. f. F : ch có hai ngư i b n trúng. g. G : không có ai b n trúng h. H : không có hơn 2 ngư i b n trúng. i. I : ngư i th nh t b n trúng, ho c ngư i th hai và ngư i th ba cùng b n trúng. j. K : ngư i th nh t b n trúng hay ngư i th hai b n trúng. 2.2. Gieo đ ng th i hai con xúc x c đư c ch t o cân đ i, đ ng ch t. Tìm xác su t đ: a. T ng s n t là 7. b. T ng s n t là 8. 2.3. M t công ty c n tuy n hai nhân viên. Có 6 ngư i n p đơn ( trong đó có 4 n và 2 nam ). Gi s kh năng trúng tuy n c a 6 ngư i là như nhau. Tính xác su t đ: a. c 2 ngư i trúng tuy n đ u là nam. b. c 2 ngư i trúng tuy n đ u là n . c. có ít nh t m t n trúng tuy n. 2.4. Trong 30 đ thi, trong đó có 10 đ khó, 20 đ trung bình. Tìm xác su t đ : a. M t h c sinh b c 1 đ , g p đ trung bình. b. M t h c sinh b c 2 đ , g p ít nh t m t đ trung bình. 2.5. L p X có 60 sinh viên, trong đó có 20 nam và 40 n . Ch n ng u nhiên m t nhóm g m 8 sinh viên đ đi chi n d ch sinh viên tình nguy n. Tính xác su t đ : a. Có 4 nam trong s 8 sinh viên đư c ch n? b. Có nhi u nh t 3 sinh viên nam trong 8 sinh viên đư c ch n? c. Có ít nh t 1 sinh viên nam trong 8 sinh viên đư c ch n? d. Không có sinh viên nam trong 8 sinh viên đư c ch n? Bài gi ng xác su t th ng kê Th.s Phan Tr ng Ti n
2.6. Trên giá sách có 50 cu n sách, trong đó có 3 cu n sách c a cùng m t — 17gi. tác — Tìm xác su t đ không có hai cu n nào trong 3 cu n đ ng c nh nhau. 2.7. T i thành ph Đ ng H i bi t r ng bi n s xe g n máy có 4 ch s . Ch n ng u nhiên m t bi n s xe. Tính xác su t đ ch n đư c bi n s xe: a. Có 4 ch s khác nhau. b. Có 2 ch s gi ng nhau. c. Có 3 ch s gi ng nhau. d. Có 4 ch s gi ng nhau. 2.8. M t dãy gh trong h i trư ng r p chi u phim có 20 ch ng i, x p 20 ngư i vào ng i m t cách ng u nhiên, trong đó có Lan và Đi p. Tính xác su t đ : a. Lan đư c ng i hai đ u dãy gh . b. Lan và Đi p đư c ng i g n nhau. 2.9. Trư ng X có s sinh viên h c h c t t Toán và Anh văn c a l p A và B (bi t m i l p có 45 sinh viên) đư c cho như sau: H ct t lp A B Toán 25 25 Anh văn 30 30 Toán và Anh văn 20 10 Có đoàn ki m đ nh ch t lư ng đ n thanh tra. Theo b n, giáo viên nên m i đoàn vào l p nào đ kh năng g p đư c m t sinh viên h c t t ít nh t m t môn là cao nh t? 2.10. Ba x th A, B, C đ c l p v i nhau cùng n súng vào m t m c tiêu. Xác su t b n trúng c a x th tương ng là 0,4; 0,5 và 0,6. Tính xác su t đ : a. Ch có duy nh t m t x th b n trúng. b. ít nh t m t x th b n trúng. 2.11. Có hai túi đ ng các qu c u. Túi th nh t đ ng 3 qu tr ng, 7 qu đ và 15 qu xanh. Túi th hai đ ng 10 qu tr ng, 6 qu đ và 9 qu xanh. T m i túi ch n ng u nhiên m t qu c u. Tính xác su t đ 2 qu c u đư c ch n đ u có cùng màu. 2.12. M t công ty có 60 nhân viên, trong đó có 20 nam và 40 n . T l nhân viên n có th nói ti ng Anh lưu loát là 15% và t l này đ i v i nam là 20% a. G p ng u nhiên m t nhân viên c a công ty. Tìm xác su t đ g p đư c nhân viên nói ti ng Anh lưu loát? b. G p ng u nhiên hai nhân viên c a công ty. Tìm xác su t đ có ít nh t m t ngư i nói ti ng Anh lưu loát trong s 2 ngư i g p? Bài gi ng xác su t th ng kê Th.s Phan Tr ng Ti n
2.13. Ba sinh viên An, Hùng, Oanh cùng làm bài thi môn Gi i tích. Xác su—t18 — làm đư c bài c a t ng ngư i l n lư t là 0, 7; 0, 6 và 0, 5. Tìm xác su t đ : a. Có hai sinh viên làm đư c bài thi? b. N u có hai sinh viên làm đư c bài thi, tìm xác su t đ An không làm đư c bài? 2.14. Trong h có 10 con cá carnh (trong đó có 3 cá có đuôi màu đ và 7 cá có đuôi màu xanh). B t ng u nhiên t h ra m t con cá. N u b t ra cá có đuôi màu đ thì b vào h m t con cá có đuôi màu xanh. N u b t ra cá có đuôi màu xanh thì b vào m t cá có đuôi màu đ . Sau đó t h b t ti p ra m t con cá. a. Tính xác su t đ cá đư c b t l n sau có đuôi màu đ ? b. N u hai con cá đư c b t ra (l n 1 và l n 2) có đuôi cùng màu. Tính xác su t đ hai con cá này có đuôi cùng màu xanh? 2.15. Trong m t kỳ thi t t nghi p, m i sinh viên phi thi hai môn cơ s và chuyên nghành. Gi s xác su t b n thi đ t môn c s là 80%. N u thi đ t yêu c u môn c s thì xác su t thi đ t môn chuyên nghành là 60%. N u không đ t yêu c u môn c s thì hy v ng thi đ t môn chuyên nghành là 30%. Tìm xác su t đ : a. Thi đ t c hai môn cơ s và chuyên ngành? b. Thi đ t môn chuyên nghành? c. Thi đ t ít nh t m t môn? 2.16. Ch Lan có m t chùm chìa khóa g m 9 chi c b ngoài r t gi ng nhau nhưng trong đó ch có 2 chi c m đư c c a t . Ch Lan th ng u nhiên t ng chìa (chìa nào không đúng thì b ra). Tìm xác su t đ ch Lan m đư c c a l n th th 3. 2.17. Hai anh em Hùng và An chi trò chi như sau: M i ngư i l n lư t rút m t viên bi t m t h p đ ng 2 bi đ và 4 bi xanh. Bi đư c rút ra không tr l i vào h p. Ngư i nào l y đư c bi đ trư c thì th ng cu c. Tính xác su t th ng cu c c a ngư i rút trư c. 2.18. Có 3 sinh viên nhưng ch có 2 vé đi xem phim. H làm 3 lá thăm, trong đó có 2 thăm có đánh d u. M i ngư i l n lư t rút m t thăm. N u ai rút đư c thăm có đánh d u thì đư c vé đi xem phim. Hãy ch ng minh s công bông c a cách làm này. 2.19. Trong m t nhà máy có ba phân xư ng I, II, III tương ng làm ra 25%, 35% và 40% t ng s n ph m c a nhà máy. Gi s xác su t làm ra ph ph m c a phân xư ng I là 0,01, c a phân xư ng II là 0,02 và phân xưng III là 0,025. Ch n ng u nhiên m t s n ph m c a nhà máy. Tính xác su t đ đó là ph ph m? 2.20. M t phân xư ng có 3 máy. Xác su t đ m i máy s n xu t ra s n ph m đ t tiêu chu n k thu t l n lư t là 0,9 ; 0,8 và 0,7. Trong m t gi m i máy s n su t Bài gi ng xác su t th ng kê Th.s Phan Tr ng Ti n
đư c 5 s n ph m. Tìm xác su t đ trong m t gi c 3 máy s n xu t đư c ít nh 19 14 —t— s n ph m đ t tiêu chu n k thu t? 2.21. Có hai h p s n ph m, bi t r ng: H p th 1: có 7 chính ph m và 3 ph ph m. H p th 2 : có 5 chính ph m và 3 ph ph m. L y ng u nhiên m t s n ph m h p th 1 b vào h p th 2 r i sau đó t h p th 2 l y ng u nhiên ra m t s n ph m thì đư c chính ph m. Tính xác su t đ s n ph m l y ra t h p t h p th 2 là s n ph m c a h p th nh t b vào? 2.22. Có hai ki n hàng: Ki n th nh t: có 5 s n ph m lo i A, 1 s n ph m lo i B. Ki n th hai : có 2 s n ph m lo i A, 4 s n ph m lo i B. T m i ki n hàng ch n ng u nhiên ra 1 s n ph m đem giao cho khách hàng. Sau đó các s n ph m còn l i đư c d n vào ki n th ba (tr ng). a. Ch n ng u nhiên m t s n ph m t ki n hàng th ba. Tính xác su t đ l y đư c là s n ph m lo i B? b. N u ta ch n ng u nhiên 2 s n ph m t ki n ba. Tính xác su t đ có ít nh t m t s n ph m lo i B t 2 s n ph m đã ch n. 2.23. Có ba h p đ ng các qu c u: H p th 1 có 10 qu c u màu đ . H p th 2 có 5 qu c u màu đ và 5 qu c u màu xanh. H p th 3 có 10 qu c u màu xanh. Ch n ng u nhiên m t h p r i t h p đó l y ng u nhiên (không hoàn l i) ra 2 qu c u thì đư c qu c u màu xanh. Sau đó cũng t h p này l y ng u nhiên ra m t qu c u. Tính xác su t đ l y đư c qu c u màu xanh? 2.24. M t h p có 10 s n ph m (hoàn toàn không bi t ch t lư ng c a các s n ph m trong h p này). M i gi thi t v s s n ph m t t có trong h p đư c xem là đ ng kh năng. L y ng u nhiên(không hoàn l i) t h p ra 3 s n ph m đ ki m tra thì th y có c 3 s n ph m t t. Theo b n, có bao nhiêu s n ph m t t có trong 7 s n ph m còn l i trong h p? vì sao? 2.25. M t nhà máy có 3 phân xư ng cùng s n xu t m t lo i s n ph m. Phân xư ng 1 s n xu t 25%; phân xư ng 2 s n xu t 25% và phân xư ng 3 s n xu t 50% s n ph m c a toàn nhà máy. T l ph ph m c a các phân xư ng 1, 2 và 3 l n lư t là: 1%, 5% và 10%. L y ng u nhiên m t s n ph m t lô hàng do nhà máy s n xu t. a. Tìm xác su t đ l y đư c ph ph m? nêu ý nghĩa th c t c a xác su t này? b. N u l y đư c m t chính ph m, theo b n s n ph m đó do phân xư ng nào s n xu t? t i sao? Bài gi ng xác su t th ng kê Th.s Phan Tr ng Ti n