intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng học về môn Xác suất thống kê

Chia sẻ: Tulip_12 Tulip_12 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:33

Thêm vào BST
Báo xấu
62
lượt xem 4
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Những hiện tượng mà khi được thực hiện trong cùng một điều kiện sẽ cho ra kết quả như nhau được gọi là những hiện tượng tất nhiên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng học về môn Xác suất thống kê

  1. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, November 29, 2011 dvntailieu.wordpress.com PHẦN II. LÝ THUYẾT THỐNG KÊ XÁC SU T & TH NG KÊ TH NG (Statistical theory) CAO Đ NG NG Chương 4. Mẫu thống kê và Ước lượng tham số Chương 5. Kiểm định Giả thuyết Thống kê Chương 6. Bài toán Tương quan và Hồi quy PHÂN PH I CHƯƠNG TRÌNH CH S ti t: 30 ti Tài liệu tham khảo --------------------- 1. Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Xác suất – Thống kê PHẦN I. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT và Ứng dụng – NXB Thống kê. (Probability theory) 2. Đinh Ngọc Thanh – Giáo trình Xác suất Thống kê – ĐH Tôn Đức Thắng Tp.HCM. Chương 1. Xác suất của Biến cố 3. Đặng Hùng Thắng – Bài tập Xác suất; Thống kê Chương 2. Biến ngẫu nhiên – NXB Giáo dục. Chương 3. Phân phối Xác suất thông dụng 4. Lê Sĩ Đồng – Xác suất – Thống kê và Ứng dụng – NXB Giáo dục. 5. Đào Hữu Hồ – Xác suất Thống kê PHẦN I. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT – NXB Khoa học & Kỹ thuật. (Probability theory) 6. Đậu Thế Cấp – Xác suất Thống kê – Lý thuyết và các bài tập – NXB Giáo dục. Chương 1. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 7. Phạm Xuân Kiều – Giáo trình Xác suất và Thống kê §1. Biến cố ngẫu nhiên – NXB Giáo dục. §2. Xác suất của biến cố 8. Nguyễn Cao Văn – Giáo trình Lý thuyết Xác suất §3. Công thức tính xác suất & Thống kê – NXB Ktế Quốc dân. ………………………………………………………………………… 9. F.M. Dekking – A modern introduction to Probability §1. BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN and Statistics – Springer Publication (2005). 1.1. Hiện tượng ngẫu nhiên Biên so n: ThS. Đoàn Vương Nguyên Người ta chia các hiện tượng xảy ra trong đời sống Download Slide bài gi ng XSTK_CĐ t i Download ng hàng này thành hai loại: tất nhiên và ngẫu nhiên. dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. • Những hiện tượng mà khi được thực hiện trong cùng 1.2. Phép thử và biến cố một điều kiện sẽ cho ra kết quả như nhau được gọi là • Để quan sát các hiện tượng ngẫu nhiên, người ta cho những hiện tượng tất nhiên. các hiện tượng này xuất hiện nhiều lần. Việc thực hiện Chẳng hạn, đun nước ở điều kiện bình thường đến một quan sát về một hiện tượng ngẫu nhiên nào đó, để 1000C thì nước sẽ bốc hơi; một người nhảy ra khỏi máy xem hiện tượng này có xảy ra hay không được gọi là bay đang bay thì người đó sẽ rơi xuống là tất nhiên. một phép thử (test). • Những hiện tượng mà cho dù khi được thực hiện trong • Khi thực hiện một phép thử, ta không thể dự đoán được cùng một điều kiện vẫn có thể sẽ cho ra các kết quả kết quả xảy ra. Tuy nhiên, ta có thể liệt kê tất cả các kết khác nhau được gọi là những hiện tượng ngẫu nhiên. quả có thể xảy ra. Chẳng hạn, gieo một hạt lúa ở điều kiện bình thường Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của một thì hạt lúa có thể nảy mầm cũng có thể không nảy mầm. phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử Hiện tượng ngẫu nhiên chính là đối tượng khảo sát của đó. Ký hiệu là . lý thuyết xác suất. Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 1
  2. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, November 29, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. A = {4; 4, 5;...; 10} , B = {0; 0, 5;...; 3, 5} ,… Mỗi phần tử ω ∈ được gọi là một biến cố sơ cấp. Mỗi tập A ⊂ được gọi là một biến cố (events). là các biến cố. Các biến cố A, B có thể được phát biểu lại là: VD 1. Xét một sinh viên thi hết môn XSTK, thì hành A : “sinh viên này thi đạt môn XSTK”; động của sinh viên này là một phép thử. B : “sinh viên này thi hỏng môn XSTK”. Tập hợp tất cả các điểm số: = {0; 0, 5; 1; 1, 5;...; 9, 5; 10} • Trong một phép thử, biến cố mà chắc chắn sẽ xảy ra được gọi là biến cố chắc chắn. Ký hiệu là . mà sinh viên này có thể đạt là không gian mẫu. Biến cố không thể xảy ra được gọi là biến cố rỗng. Các phần tử: Ký hiệu là ∅. ω1 = 0 ∈ , ω2 = 0, 5 ∈ ,…, ω21 = 10 ∈ VD 2. Từ nhóm có 6 nam và 4 nữ, ta chọn ngẫu nhiên là các biến cố sơ cấp. ra 5 người. Khi đó, biến cố “chọn được ít nhất 1 nam” Các tập con của : là chắc chắn; biến cố “chọn được 5 người nữ” là rỗng. Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. 1.3. Quan hệ giữa các biến cố b) Tổng và tích của hai biến cố a) Quan hệ tương đương • Tổng của hai biến cố A và B là một biến cố, biến cố này xảy ra khi A xảy ra hay B xảy ra trong một phép Trong 1 phép thử, biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B nếu khi A xảy ra thì B xảy ra. Ký hiệu là A ⊂ B . thử (ít nhất một trong hai biến cố xảy ra). Ký hiệu là A ∪ B hay A + B . Hai biến cố A và B được gọi là tương đương với nhau nếu A ⊂ B và B ⊂ A . Ký hiệu là A = B . • Tích của hai biến cố A và B là một biến cố, biến cố này xảy ra khi cả A và B cùng xảy ra trong một phép VD 3. Quan sát 4 con gà mái đẻ trứng trong 1 ngày. Gọi thử. Ký hiệu là A ∩ B hay AB . Ai : “có i con gà mái đẻ trứng trong 1 ngày”, i = 0, 4 . VD 4. Một người thợ săn bắn hai viên đạn vào một con A: “có 3 hoặc 4 con gà mái đẻ trứng trong 1 ngày”. thú và con thú sẽ chết nếu nó bị trúng cả hai viên đạn. B : “có nhiều hơn 2 con gà mái đẻ trứng trong 1 ngày”. Gọi Ai : “viên đạn thứ i trúng con thú” (i = 1, 2); Khi đó, ta có: A3 ⊂ B , A2 ⊄ B , B ⊂ A và A = B . A : “con thú bị trúng đạn”; B : “con thú bị chết”. Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. Khi đó, ta có: A = A1 ∪ A2 và B = A1 ∩ A2 . c) Biến cố đối lập Trong 1 phép thử, biến cố A được gọi là biến cố đối lập VD 5. Xét phép thử gieo hai hạt lúa. (hay biến cố bù) của biến cố A nếu và chỉ nếu khi A Gọi N i : “hạt lúa thứ i nảy mầm”; xảy ra thì A không xảy ra và ngược lại, khi A không K i : “hạt lúa thứ i không nảy mầm” (i = 1, 2); xảy ra thì A xảy ra. A : “có 1 hạt lúa nảy mầm”. Vậy ta có: A = \ A. Khi đó, không gian mẫu của phép thử là: VD 6. Từ 1 lô hàng chứa 12 chính phẩm và 6 phế phẩm, = {K1K 2 ; N 1K 2 ; K1N 2 ; N 1N 2 }. người ta chọn ngẫu nhiên ra 15 sản phẩm. Gọi Ai : “chọn được i chính phẩm”, i = 9,10,11,12 . Các biến cố tích sau đây là các biến cố sơ cấp: ω1 = K1K 2, ω2 = N 1K 2, ω3 = K1N 2 , ω4 = N 1N 2 . Ta có không gian mẫu là: = A9 ∪ A10 ∪ A11 ∪ A12 , Biến cố A không phải là sơ cấp vì A = N 1K 2 ∪ K1N 2 . và A10 = \ A10 = A9 ∪ A11 ∪ A12 . Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 2
  3. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, November 29, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. 1.4. Hệ đầy đủ các biến cố b) Hệ đầy đủ các biến cố Trong một phép thử, họ gồm n biến cố {Ai } , i = 1, n a) Hai biến cố xung khắc Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc với nhau được gọi là hệ đầy đủ khi và chỉ khi có duy nhất biến cố Ai , i0 ∈ {1; 2;...; n } của họ xảy ra. Nghĩa là: trong một phép thử nếu A và B không cùng xảy ra. 0 1) Ai ∩ Aj = ∅, ∀ i ≠ j và 2) A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = VD 7. Hai sinh viên A và B cùng thi môn XSTK. . Gọi A : “sinh viên A thi đỗ”; VD 8. Trộn lẫn 4 bao lúa vào nhau rồi bốc ra 1 hạt. B : “chỉ có sinh viên B thi đỗ”; Gọi Ai : “hạt lúa bốc được là của bao thứ i ”, i = 1, 4 . C : “chỉ có 1 sinh viên thi đỗ”. Khi đó, A và B là xung khắc; B và C không xung khắc. Khi đó, hệ {A1; A2 ; A3 ; A4 } là đầy đủ. Chú ý Chú ý Trong 1 phép thử, hệ {A; A} là đầy đủ với A tùy ý. Trong VD 7, A và B xung khắc nhưng không đối lập. …………………………………………………………………………………… Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. 2.1. Định nghĩa xác suất dạng cổ điển §2. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Xét một phép thử với không gian mẫu = {ω1;...; ωn } Quan sát các biến cố đối với một phép thử, mặc dù và biến cố A ⊂ có k phần tử. Nếu n biến cố sơ cấp không thể khẳng định một biến cố có xảy ra hay không nhưng người ta có thể phỏng đoán khả năng xảy ra của có cùng khả năng xảy ra (đồng khả năng) thì xác suất các biến cố này là ít hay nhiều. Khả năng xảy ra khách của biến cố A được định nghĩa là: quan của một biến cố được gọi là xác suất (probability) Soá tröôøng hôïp A xaûy ra k của biến cố đó. P (A) = =. Soá tröôøng hôïp coù theå xaûy ra n Xác suất của biến cố A, ký hiệu là P (A), có thể được định nghĩa bằng nhiều dạng sau: VD 1. Một công ty cần tuyển hai nhân viên. Có 4 người dạng cổ điển; nữ và 2 người nam nộp đơn ngẫu nhiên (khả năng trúng dạng thống kê; tuyển của 6 người là như nhau). Tính xác suất để: dạng tiên đề Kolmogorov; 1) cả hai người trúng tuyển đều là nữ; dạng hình học. 2) có ít nhất một người nữ trúng tuyển. Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. 2.2. Định nghĩa xác suất dạng thống kê VD 2. Từ một hộp chứa 6 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm • Nếu khi thực hiện một phép thử nào đó n lần, thấy có người ta chọn ngẫu nhiên ra 5 sản phẩm. k Tính xác suất để có: k lần biến cố A xuất hiện thì tỉ số được gọi là tần 1) cả 5 sản phẩm đều tốt; 2) đúng 2 phế phẩm. n suất của biến cố A. • Khi n thay đổi, tần suất cũng thay đổi theo nhưng luôn k VD 3. Tại một bệnh viện có 50 người đang chờ kết quả dao động quanh một số cố định p = lim . n →∞ n khám bệnh. Trong đó có 12 người chờ kết quả nội soi, 15 người chờ kết quả siêu âm, 7 người chờ kết quả cả • Số p cố định này được gọi là xác suất của biến cố A nội soi và siêu âm. Gọi tên ngẫu nhiên một người trong theo nghĩa thống kê. 50 người này, hãy tính xác suất gọi được người đang k Trong thực tế, khi n đủ lớn thì P (A) ≈ . chờ kết quả nội soi hoặc siêu âm? n Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 3
  4. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, November 29, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. VD 4. §3. CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT • Pearson đã gieo một đồng tiền cân đối, đồng chất 3.1. Công thức cộng xác suất 12.000 lần thấy có 6.019 lần xuất hiện mặt sấp (tần Xét một phép thử, ta có các công thức cộng xác suất sau suất là 0,5016); gieo 24.000 lần thấy có 12.012 lần xuất hiện mặt sấp (tần suất là 0,5005). • Nếu A và B là hai biến cố tùy ý: P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ) − P (A ∩ B ). • Laplace đã nghiên cứu tỉ lệ sinh trai – gái ở London, Petecbua và Berlin trong 10 năm và đưa ra tần suất • Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì: sinh bé gái là 21/43. P (A ∪ B ) = P (A) + P (B ). 2.3. Tính chất của xác suất • Nếu họ {Ai } (i = 1,..., n ) xung khắc từng đôi thì: 1) Nếu A là biến cố tùy ý thì 0 ≤ P (A) ≤ 1 . P (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An ) =P (A1 )+P (A2 )+...+P (An ). 2) P (∅) = 0 ; 3) P ( ) = 1. 4) Nếu A ⊂ B thì P(A) ≤ P(B ). …………………………………………………………………………… Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. VD 1. Một nhóm có 30 nhà đầu tư các loại, trong đó có: Chú ý 13 nhà đầu tư vàng; 17 nhà đầu tư chứng khoán và 10 A ∩ B = A ∪ B; A ∪ B = A ∩ B. nhà đầu tư cả vàng lẫn chứng khoán. Một đối tác gặp ngẫu nhiên một nhà đầu tư trong nhóm. Tìm xác suất để người đó gặp được nhà đầu tư vàng hoặc chứng khoán? VD 3. Trong một vùng dân cư, tỉ lệ người mắc bệnh tim Đặc biệt là 9%; mắc bệnh huyết áp là 12%; mắc cả bệnh tim và P (A) = 1 − P (A); P (A) = P (A.B ) + P (A.B ). huyết áp là 7%. Chọn ngẫu nhiên 1 người trong vùng đó. Tính xác suất để người này không mắc bệnh tim và không mắc bệnh huyết áp? VD 2. Một hộp phấn có 10 viên trong đó có 3 viên màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 viên phấn. Tính xác suất để lấy được ít nhất 1 viên phấn màu đỏ. Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. 3.2. XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN Lúc này, biến cố: “2 người thi đỗ trong đó có A ” là: 2 • Xét phép thử: 3 người A , B và C thi tuyển vào một AH = {ABC , ABC } và P (AH ) = . công ty. Gọi 8 A : “người A thi đỗ”, B : “người B thi đỗ”, • Bây giờ, ta xét phép thử là: A , B , C thi tuyển vào một C : “người C thi đỗ”, H : “có 2 người thi đỗ”. công ty và biết thêm thông tin có 2 người thi đỗ. Khi đó, không gian mẫu là: {ABC , ABC , ABC , ABC , ABC , ABC , ABC , ABC }. Không gian mẫu trở thành H và A trở thành AH . Ta có: Gọi A H : “A thi đỗ biết rằng có 2 người thi đỗ” thì ta 4 A = {ABC , ABC , ABC , ABC } ⇒ P (A) = ; 8 ( ) 2 P (AH ) được: P A H = = . 3 H = {ABC , ABC , ABC } ⇒ P (H ) = . 3 P (H ) 8 Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 4
  5. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, November 29, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. 3.2.1. Định nghĩa xác suất có điều kiện Nhận xét ( ) Trong một phép thử, xét hai biến cố bất kỳ A và B với Khi tính P A B với điều kiện B đã xảy ra, nghĩa là ta P (B ) > 0 . Xác suất có điều kiện của A với điều kiện B xuống còn B và hạn chế đã hạn chế không gian mẫu đã xảy ra được ký hiệu và định nghĩa là: A xuống còn A ∩ B . ( ) P (A ∩ B ) P AB = . P (B ) Tính chất ( ) 1) 0 ≤ P A B ≤ 1 , ∀ A ⊂ ; VD 4. Một nhóm 10 sinh viên gồm 3 nam và 7 nữ trong đó có 2 nam 18 tuổi và 3 nữ 18 tuổi. Chọn ngẫu nhiên 1 () ( ) 2) nếu A ⊂ C thì P A B ≤ P C B ; sinh viên từ nhóm đó. Gọi A : “sinh viên được chọn là nữ”, 3) P (A B ) = 1 − P (A B ). B : “sinh viên được chọn là 18 tuổi”. ( )( ) Hãy tính P A B , P B A ? Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. 3.2.2. Công thức nhân xác suất Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì: P (A ∩ B ) = P (A).P (B ). a) Sự độc lập của hai biến cố • Nếu n biến cố Ai , i = 1,..., n không độc lập thì: Trong một phép thử, hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu B có xảy ra hay không cũng không ảnh ( )( ) P (A1A2 ...An ) = P (A1 ) P A2 A1 ...P An A1...An −1 . hưởng đến khả năng xảy ra A và ngược lại. Chú ý Nếu A và B độc lập với nhau thì các cặp biến cố: A và B , A và B , A và B cũng độc lập với nhau. VD 5. Một người có 5 bóng đèn trong đó có 2 bóng bị b) Công thức nhân hỏng. Người đó thử ngẫu nhiên lần lượt từng bóng đèn • Nếu A và B là hai biến cố không độc lập thì: (không hoàn lại) cho đến khi chọn được 1 bóng tốt. ( ) ( ) P (A ∩ B ) = P (B )P A B = P (A)P B A . Tính xác suất để người đó thử đến lần thứ 2. Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. VD 8. Trong dịp tết, ông A đem bán 1 cây mai lớn và 1 VD 6. Một sinh viên học hệ niên chế được thi lại 1 lần cây mai nhỏ. Xác suất bán được cây mai lớn là 0,9. Nếu nếu lần thi thứ nhất bị rớt (2 lần thi độc lập). Biết rằng bán được cây mai lớn thì xác suất bán được cây mai xác suất để sinh viên này thi đỗ lần 1 và lần 2 tương nhỏ là 0,7. Nếu cây mai lớn không bán được thì xác ứng là 60% và 80%. Tính xác suất sinh viên này thi đỗ? suất bán được cây mai nhỏ là 0,2. Biết rằng ông A bán được ít nhất 1 cây mai, xác suất để ông A bán được cả hai cây mai là: VD 7. Có hai người A và B cùng đặt lệnh (độc lập) để A. 0,6342; B. 0,6848; C. 0,4796; D. 0,8791. mua cổ phiếu của một công ty với xác suất mua được tương ứng là 0,8 và 0,7. Biết rằng có người mua được, VD 9. Hai người A và B cùng chơi trò chơi như sau: xác suất để người A mua được cổ phiếu này là: Cả hai luân phiên lấy mỗi lần 1 viên bi từ một hộp đựng 19 40 12 10 2 bi trắng và 4 bi đen (bi được lấy ra không trả lại hộp). A. ; B. ; C. ; D. . Người nào lấy được bi trắng trước thì thắng cuộc. 19 19 47 47 Giả sử A lấy trước, tính xác suất A thắng cuộc ? Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 5
  6. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, November 29, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. Chú ý 3.2.3. Công thức xác suất đầy đủ và Bayes. Trong trắc nghiệm ta dùng sơ đồ giải nhanh như sau: a) Công thức xác suất đầy đủ Xét họ n biến cố {Ai } (i = 1,2,..., n ) đầy đủ và B là Nhánh 1: P(đèn tốt màu trắng) = 0,7.0,99. một biến cố bất kỳ trong phép thử, ta có: Nhánh 2: P(đèn tốt màu vàng) = 0,3.0,98. n ( ) P (B ) = ∑ P (Ai )P B Ai Suy ra: P(đèn tốt) = tổng xác suất của 2 nhánh = 0,987. i =1 ( ) ( ) = P (A1 )P B A1 + ... + P (An )P B An . VD 11. Chuồng thỏ 1 có 3 con thỏ trắng và 4 con thỏ VD 10. Một cửa hàng bán hai loại bóng đèn cùng kích đen; chuồng 2 có 5 thỏ trắng và 3 thỏ đen. Quan sát cỡ gồm: 70 bóng màu trắng với tỉ lệ bóng hỏng là 1% thấy có 1 con thỏ chạy từ chuồng 1 sang chuồng 2, sau và 30 bóng màu vàng với tỉ lệ hỏng 2%. Một khách đó có 1 con thỏ chạy ra từ chuồng 2. Tính xác suất để hàng chọn mua ngẫu nhiên 1 bóng đèn từ cửa hàng này. con thỏ chạy ra từ chuồng 2 là thỏ trắng ? Tính xác suất để người này mua được bóng đèn tốt ? Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. Phân bi t các bài toán áp d ng công th c b) Công thức Bayes Nhân – Đ y ñ – Bayes Xét họ n biến cố {Ai } (i = 1,2,..., n ) đầy đủ và B là A1, A2 , B. Trong 1 bài toán, ta xét 3 bi n c một biến cố bất kỳ trong phép thử. Khi đó, xác suất để biến cố Ai xảy ra sau khi B đã xảy ra là: 1) N u bài toán yêu c u tìm xác su t c a A1 ∩ B, ( ) ( ). P (Ai )P B Ai P (Ai )P B Ai A2 ∩ B thì ñây là bài toán công th c nhân. ( ) P Ai B = = Xác su t là xác su t tích c a t ng nhánh. n P (B ) ∑ P(Ai )P (B Ai ) i =1 B và 2) N u bài toán yêu c u tìm xác su t c a {A1, A2 } ñ y ñ thì ñây là bài toán áp d ng VD 12. Xét tiếp VD 10. Giả sử khách hàng chọn mua được bóng đèn tốt. Tính xác suất để người này mua công th c ñ y ñ . Xác su t b ng t ng 2 nhánh. được bóng đèn màu vàng ? Chương 1. Xác su t c a Bi n c Chương 1. Xác su t c a Bi n c Ch 1. Ch 1. A1, A2 3) N u bài toán yêu c u tìm xác su t c a 3) Biết rằng sản phẩm được chọn là hỏng, tính xác suất sản phẩm này là do phân xưởng A sản xuất ra ? và cho bi t B ñã x y ra, ñ ng th i h {A1, A2 } ñ y ñ thì ñây là bài toán áp d ng công th c VD 14. Tỉ lệ ôtô tải, ôtô con và xe máy đi qua đường X Bayes. Xác su t là t s gi a nhánh c n tìm có trạm bơm dầu là 5 : 2 : 13. Xác suất để ôtô tải, ôtô v i t ng c a hai nhánh. con và xe máy đi qua đường này vào bơm dầu lần lượt là 0,1; 0,2 và 0,15. Biết rằng có 1 xe đi qua đường X VD 13. Nhà máy X có 3 phân xưởng A, B , C tương vào bơm dầu, tính xác suất để đó là ôtô con ? ứng sản xuất ra 20%, 30% và 50% tổng sản phẩm của nhà máy. Giả sử tỉ lệ sản phẩm hỏng do các phân xưởng 11 10 8 7 A. ; B. ; C. ; D. . A, B , C tương ứng sản xuất ra là 1%, 2% và 3%. 57 57 57 57 Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm do nhà máy X sản xuất ra. ……………………………………………………………………………………… 1) Tính xác suất (tỉ lệ) sản phẩm này là hỏng ? 2) Tính xác suất sản phẩm này hỏng và do phân xưởng A sản xuất ra ? Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 6
  7. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, November 29, 2011 dvntailieu.wordpress.com Câu 3. Có 3 sinh viên A , B và C cùng thi môn XSTK. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG I Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” (i = 0,1, 2, 3 ); Câu 1. Có 3 sinh viên A, B và C cùng thi môn XSTK. B : “sinh viên B thi đỗ”. Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” (i = 0,1,2, 3 ); Biến cố A1B là: C : “sinh viên C thi đỗ”. A. Sinh viên B thi hỏng; Biến cố AC là: 1 B. Chỉ có 1 sinh viên thi đỗ; A. Sinh viên C thi đỗ; B. Chỉ có sinh viên C thi đỗ; C. Sinh viên A hoặc C thi đỗ; C. Có 1 sinh viên thi đỗ; D. Sinh viên C thi không đỗ. D. Chỉ có 1 sinh viên hoặc A hoặc C thi đỗ. Câu 4. Có 3 sinh viên A, B và C cùng thi môn XSTK. Câu 2. Có 3 sinh viên A, B và C cùng thi môn XSTK. Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” (i = 0,1,2, 3 ); Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” (i = 0,1,2, 3 ); A: “sinh viên A thi đỗ”. C : “sinh viên C thi đỗ”. Biến cố A2A là: Biến cố A0C là: A. Sinh viên A thi hỏng; B. Chỉ có sinh viên A thi đỗ; A. Sinh viên C thi hỏng; B. Chỉ có sinh viênC thi hỏng; C. Có 2 sinh viên thi đỗ; D. Chỉ có sinh viênA thi hỏng. C. Có 2 sinh viên thi đỗ; D. Cả 3 sinh viên thi hỏng. Câu 5. Có 3 sinh viên A , B và C cùng thi môn XSTK. Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” (i = 0,1, 2, 3 ); Câu 7. Có 3 sinh viên A1 , A2 , A3 cùng thi môn XSTK. B : “sinh viên B thi đỗ”. Gọi biến cố Ai : “sinh viên Ai thi đỗ” (i = 1,2, 3 ); Biến cố A0B là: H : “có sinh viên thi hỏng”. A. Sinh viên B thi hỏng; Hãy chọn đáp án đúng ? B. Có 2 sinh viên thi đỗ; A. A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; C. Sinh viên A hoặc C thi đỗ; B. A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; D. Sinh viên A và C thi đỗ. Câu 6. Có 3 sinh viên A , B và C cùng thi môn XSTK. C. A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; Gọi biến cố Ai : “có i sinh viên thi đỗ” (i = 0,1, 2, 3 ); D. A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 . B : “sinh viên B thi đỗ”. Hãy chọn đáp án đúng ? A. A0B ⊂ A1B ; B. A1B ⊂ A2 ; C. A0B = A1B ; D. A3B ⊂ A3 . Câu 8. Có 3 sinh viên A1 , A2 , A3 cùng thi môn XSTK. Câu 9. Có 3 sinh viên A1 , A2 , A3 cùng thi môn XSTK. Gọi biến cố Ai : “sinh viên Ai thi đỗ” (i = 1,2, 3 ); Gọi biến cố Ai : “sinh viên Ai thi đỗ” (i = 1,2, 3 ); H : “2 sinh viên thi hỏng trong đó có A1 ”. H : “có 1 sinh viên thi hỏng”. Hãy chọn đáp án đúng ? Hãy chọn đáp án đúng ? ( )( ) A. P A1A2A3 H ≥ P A1A2 H ; A. A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ⊂ H ; B. P (A A H ) = P (A A A H ); B. H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; 1 2 1 2 3 C. H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ; C. P (A A H ) ≥ P (A A A H ); D. H ⊂ A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 . 1 2 1 2 3 D. A1H = A1A2A3 ∪ A1A2A3 ∪ A1A2A3 . Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 7
  8. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, November 29, 2011 dvntailieu.wordpress.com Câu 12. Một hộp đựng 10 quả cầu gồm: 2 quả màu đỏ, Câu 10. Có 3 sinh viên A1 , A2 , A3 cùng thi môn XSTK. 3 quả vàng và 5 quả xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp đó Gọi biến cố Ai : “sinh viên Ai thi đỗ” (i = 1,2, 3 ); ra 4 quả cầu. Xác suất chọn được 2 quả màu xanh là: H : “có 1 sinh viên thi hỏng”. A. 0,2894 ; B. 0, 4762 ; C. 0, 0952 ; D. 0, 0476 . Hãy chọn đáp án đúng ? Câu 13. Một hộp đựng 10 quả cầu gồm: 2 quả màu đỏ, A. A1 = H ; B. A2A3 ⊂ H ; 3 quả vàng và 5 quả xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp đó C. A1A2A3 ⊂ H ; D. A1A2A3 = H . ra 4 quả cầu thì thấy có 3 quả màu xanh. Xác suất chọn được 1 quả màu đỏ là: A. 40% ; B. 50% ; C. 60% ; D. 80% . Câu 11. Một hộp đựng 10 quả cầu gồm: 2 quả màu đỏ, 3 quả vàng và 5 quả xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp đó Câu 14. Một hộp đựng 10 quả cầu gồm: 2 quả màu đỏ, ra 4 quả cầu. Xác suất chọn được 1 quả màu đỏ, 1 quả 3 quả vàng và 5 quả xanh. Chọn ngẫu nhiên từ hộp đó vàng và 2 quả xanh là: ra 4 quả cầu thì thấy có 2 quả màu xanh. Xác suất chọn A. 0,2857 ; B. 0,1793 ; C. 0,1097 ; D. 0, 0973 . được ít nhất 1 quả màu đỏ là: A. 40% ; B. 70% ; C. 26% ; D. 28% . Câu 17. Một xạ thủ bắn lần lượt 2 viên đạn vào một con Câu 15. Một cầu thủ ném lần lượt 3 quả bóng vào rỗ thú và con thú chỉ chết khi bị trúng 2 viên đạn. Xác suất một cách độc lập với xác suất vào rỗ tương ứng là 0,7; viên đạn thứ nhất trúng con thú là 0,8. Nếu viên thứ 0,8; 0,9. Biết rằng có 2 quả bóng vào rỗ. Xác suất để nhất trúng con thú thì xác suất trúng của viên thứ hai là quả bóng thứ nhất vào rỗ là: 0,7 và nếu trượt thì xác suất trúng của viên thứ hai là A. 0, 5437 ; B. 0, 5473 ; C. 0, 4753 ; D. 0, 4573 . 0,1. Biết rằng con thú còn sống. Xác suất để viên thứ hai trúng con thú là: A. 0, 0714 ; B. 0, 0741; C. 0, 0455 ; D. 0, 0271. Câu 18. Một trung tâm Tai–Mũi–Họng có tỉ lệ bịnh Câu 16. Một cầu thủ ném lần lượt 3 quả bóng vào rỗ nhân Tai, Mũi, Họng tương ứng là 25%, 40%, 35%; tỉ một cách độc lập với xác suất vào rỗ tương ứng là 0,7; lệ bịnh nặng phải mổ tương ứng là 1%, 2%, 3%. Xác 0,8; 0,9. Biết rằng quả bóng thứ nhất vào rỗ. Xác suất suất để chọn ngẫu nhiên được một bịnh nhân bị bịnh để có 2 quả bóng vào rỗ là: Mũi phải mổ từ trung tâm này là: A. 20% ; B. 24% ; C. 26% ; D. 28% . A. 0, 008 ; B. 0, 021; C. 0, 312 ; D. 0, 381. Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Câu 19. Một trung tâm Tai–Mũi–Họng có tỉ lệ bịnh §1. Biến ngẫu nhiên và hàm mật độ nhân Tai, Mũi, Họng tương ứng là 25%, 40%, 35%; tỉ §2. Hàm phân phối xác suất §3. Tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên lệ bịnh nặng phải mổ tương ứng là 1%, 2%, 3%. …………………………………………………………………………… Xác suất để chọn ngẫu nhiên được một bịnh nhân phải §1. BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ HÀM MẬT ĐỘ mổ từ trung tâm này là: 1.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên A. 0, 008 ; B. 0, 021; C. 0, 312 ; D. 0, 381. • Xét một phép thử với không gian mẫu . Giả sử, ứng Câu 20. Một trung tâm Tai–Mũi–Họng có tỉ lệ bịnh với mỗi biến cố sơ cấp ω ∈ , ta liên kết với 1 số thực nhân Tai, Mũi, Họng tương ứng là 25%, 40%, 35%; tỉ X (ω) ∈ ℝ , thì X được gọi là một biến ngẫu nhiên. lệ bịnh nặng phải mổ tương ứng là 1%, 2%, 3%. Chọn Tổng quát, biến ngẫu nhiên (BNN) X của một phép ngẫu nhiên một bịnh nhân từ trung tâm này thì được thử với không gian mẫu là một ánh xạ người bị mổ. Xác suất để bịnh nhân được chọn bị bịnh X: →ℝ Mũi là: ω ֏ X (ω) = x . A. 0, 008 ; B. 0, 021; C. 0, 312 ; D. 0, 381. ………………………………………………………………………………………………… Giá trị x được gọi là một giá trị của biến ngẫu nhiên X . Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 8
  9. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, November 29, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi • Nếu X ( ) là 1 khoảng của ℝ (hay cả ℝ ) thì X được VD 1. Người A mua một loại bảo hiểm tai nạn trong 1 năm với phí là 70 ngàn đồng. Nếu bị tai nạn thì công ty gọi là biến ngẫu nhiên liên tục. sẽ chi trả 3 triệu đồng. Gọi X là số tiền người A có Chú ý được sau 1 năm mua bảo hiểm này. Khi đó, ta có Trong thực nghiệm, các biến ngẫu nhiên thường là rời Phép thử là: “mua bảo hiểm tai nạn”. rạc. Khi biến ngẫu nhiên rời rạc X có các giá trị đủ Biến cố là T : “người A bị tai nạn”. nhiều trên 1 khoảng của ℝ , thì ta xem X là biến ngẫu Không gian mẫu là = {T , T }. nhiên liên tục. Thực chất là, các biến ngẫu nhiên liên tục được dùng làm xấp xỉ cho các biến ngẫu nhiên rời Vậy X (T ) = 2, 93 (triệu), X (T ) = −0, 07 (triệu). rạc khi tập giá trị của biến ngẫu nhiên rời rạc đủ lớn. • Cho biến ngẫu nhiên X và hàm số y = ϕ(x ). • Nếu X ( ) là 1 tập hữu hạn {x 1, x 2,..., x n } hay vô hạn Khi đó, biến ngẫu nhiên Y = ϕ(X ) được gọi là hàm đếm được thì X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc. Để cho gọn, ta viết là X = {x1, x 2 ,..., x n ,...}. của biến ngẫu nhiên X . Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi 1.2. Hàm mật độ Chú ý ∑ pi = 1, i = 1, 2,... pi ≥ 0 ; a) Biến ngẫu nhiên rời rạc Cho BNN rời rạc X : → ℝ , X = {x 1, x 2 ,..., x n ,...} . Nếu x ∉ {x 1, x 2 ,..., x n ,...} thì P (X = x ) = 0 . Giả sử x 1 < x 2 < ... < x n < ... với xác suất tương ứng là P ({ω : X (ω) = x i }) ≡ P (X = x i ) = pi , i = 1, 2,... ∑ P (a < X ≤ b ) = pi . Ta định nghĩa a
  10. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, November 29, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi a +ε 4x 3 , x ∈ [0; 1] ∫  ⇒ P (X = a ) = lim f (x )dx = 0 . VD 5. Chứng tỏ f (x ) =  ε→ 0  là hàm mật độ a −ε  0, x ∉ [0; 1]    Vậy P (a ≤ X < b ) = P (a < X ≤ b) của biến ngẫu nhiên X và tính P (0, 5 ≤ X < 3)? b ∫ f (x )dx . = P (a < X < b) = a b Ý nghĩa hình học, xác suất P (a ≤ X ≤ b) = ∫ f (x )dx của biến ngẫu nhiên X VD 6. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ: a  0, x < 2 nhận giá trị trong [a; b ]   f (x ) =  k Tính P (−3 < X < 5) ? bằng diện tích hình thang f (x )   , x ≥ 2. S 2 cong giới hạn bởi x   x = a, x = b, y = f (x ) và Ox . Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi §2. HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Nhận xét 2 2.1. Định nghĩa. Hàm phân phối xác suất (hay hàm • Giả sử BNN rời rạc X nhận các giá trị trong [x1; x n ] và phân phối tích lũy) của BNN X , ký hiệu F (x ), là xác x1 < x 2 < ... < x n , P (X = x i ) = pi (i = 1,2,..., n ). suất để X nhận giá trị nhỏ hơn x với mọi x ∈ ℝ . F (x ) = P (X < x ), ∀x ∈ ℝ . Nghĩa là: Ta có hàm phân phối của X là: 0  x ≤ x1 khi Nhận xét 1   p Nếu biến ngẫu nhiên X là rời rạc với phân phối khi x1 < x ≤ x 2 1 xác suất P (X = x i ) = pi thì: F (x ) = ∑ pi .  p + p khi x 2 < x ≤ x 3  F (x ) =  1 x i
  11. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, November 29, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi VD 1. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất là: • Giả sử BNN liên tục X có hàm mật độ X −2 1 3 4 ϕ(x ), x ≤ a  P 0,1 0,2 0, 2 0, 5 f (x ) =   Hãy lập hàm phân phối của X và vẽ đồ thị của F (x )? 0, x > a.   Đồ thị của F (x ): F ( x) Ta có hàm phân phối của X là: 1 x    ∫ ϕ(t )dt khi x ≤ a  F (x ) = −∞  0, 5  •  1 khi x > a.  0, 3   • 0,1 • • −2 x 3 1 O 4 Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi VD 2. Cho BNN X có hàm mật độ là: VD 3. Cho BNN X có hàm mật độ là: 0, x ∈ [0; 1] 0,   / x < 100  f (x ) =  2 f (x ) = 100   3x , x ∈ [0; 1].    2 , x ≥ 100.   x   Tìm hàm phân phối của X và vẽ đồ thị của F (x )? Tìm hàm phân phối F (x ) của X ? Đồ thị của F (x ): 2.2. Tính chất của hàm phân phối xác suất 1) Hàm F (x ) xác định với mọi x ∈ ℝ . 2) 0 ≤ F (x ) ≤ 1, ∀x ∈ ℝ ; F (−∞) = 0; F (+∞) = 1 . 3) F (x ) không giảm và liên tục trái tại mọi x ∈ ℝ . Đặc biệt, với X liên tục thì F (x ) liên tục ∀x ∈ ℝ . 4) P (a ≤ X < b ) = F (b ) − F (a ). Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi Đặc biệt VD 5. Cho BNN X có hàm mật độ 3 2  • Nếu X là BNN rời rạc thì:  x , x ∈ [−1; 3] f (x ) =  28  pi = F (x i +1 ) − F (x i ), ∀i. 0,  x ∈ [−1; 3]. /   • Nếu X là BNN liên tục thì: Hàm phân phối xác suất của X là: P (a ≤ X ≤ b ) = P (a ≤ X < b ) = P (a < X ≤ b ) = P (a < X < b ) = F (b) − F (a ). 0, 0,   x ≤ −1 x < −1   3 3 x x   • Nếu X là BNN liên tục có hàm mật độ f (x ) thì: A. F (x ) =  , −1 < x ≤ 3 B. F (x ) =  , −1 ≤ x ≤ 3  28  28 F ′(x ) = f (x ).   1, 1, 3 < x. 3 < x.         VD 4. Tính xác suất P (X ≥ 400) trong VD 3? Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 11
  12. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, November 29, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi 0, §3. THAM SỐ ĐẶC TRƯNG  x < −1  3 CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN x 1 C. F (x ) =  − , −1 ≤ x ≤ 3  Những thông tin cô đọng phản ánh từng phần về biến  28 28  ngẫu nhiên giúp ta so sánh giữa các đại lượng với nhau 1, 3 < x.   được gọi là các đặc trưng số.   Có 3 loại đặc trưng số là 0,  x < −1 Các đặc trưng số cho xu hướng trung tâm của BNN:  3 x Trung vị, Mode, Kỳ vọng,… 1 D. F (x ) =  + , −1 ≤ x ≤ 3  Các đặc trưng số cho độ phân tán của BNN:  28 28  1, 3 < x. Phương sai, Độ lệch chuẩn,…     Các đặc trưng số cho dạng phân phối xác suất. ………………………………………………………………………………………… Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi VD 1. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất: 3.1. MODE 0 1 4 5 8 2 X Mode của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu ModX , là giá trị x 0 ∈ X thỏa: P 0,10 0,20 0,30 0,05 0,25 0,10 Ta có: Mod X = 2 . P (X = x 0 ) max nếu X là rời rạc, và VD 2. Tìm Mod X , biết X có bảng phân phối xác suất: f (x 0 ) max nếu X liên tục có hàm mật độ f (x ). 1 2 4 5 8 X P 1 − 3p 0,18 0,07 0,25 p VD 3. Tìm Mod X , biết X có hàm mật độ xác suất: Chú ý 3 2  ModX còn được gọi là giá trị tin chắc nhất của X .  x (4 − x ), x ∈ [0; 4] f (x ) =  64 Biến ngẫu nhiên X có thể có nhiều ModX .    0, x ∉ [0; 4].   Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi Đặc biệt 3.2. KỲ VỌNG Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X = {x1; x 2 ;...; x n } với 3.2.1. Định nghĩa xác suất tương ứng là p1, p2,..., pn thì: Kỳ vọng (Expectation) của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu EX hay M (X ), là một số thực được xác định như sau: EX = x1p1 + x 2 p2 + ... + x n pn . Nếu X là rời rạc với xác suất P (X = x i ) = pi thì: VD 4. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất: EX = ∑ x i pi . X –1 0 2 3 P 0,1 0,2 0,4 0,3 i Tính kỳ vọng của X ? Nếu X là liên tục có hàm mật độ f (x ) thì: +∞ VD 5. Một lô hàng gồm 10 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm. ∫ EX = x .f (x )dx . Lấy ngẫu nhiên 4 sản phẩm từ lô hàng đó, gọi X là số sản phẩm tốt trong 4 sản phẩm lấy ra. −∞ Tìm phân phối xác suất và tính kỳ vọng của X ? Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 12
  13. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, November 29, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi VD 6. Tìm kỳ vọng của BNN X có hàm mật độ: VD 8. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ: 3 2  ax + bx 2 , x ∈ [0; 1]   (x + 2x ), x ∈ [0; 1] f (x ) =  f (x ) =  4     0, x ∉ [0; 1].  0, x ∉ [0; 1].      Cho biết EX = 0, 6 . Hãy tính P (X < 0, 5)? Chú ý Nếu X là BNN liên tục trên [a; b ] thì EX ∈ [a; b ]. 3.2.2. Tính chất của Kỳ vọng Nếu X = {x 1,..., x n } thì: 1) EC = C , C ∈ ℝ . EX ∈ [min{x1,..., x n }; max{x1,..., x n }]. 2) E (CX ) = C .EX , C ∈ ℝ . VD 7. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất: 3) E (X ± Y ) = EX ± EY . X12 4 5 7 P a 0,2 b 0,2 0,1 4) E (X . ) = EX .EY nếu X , Y độc lập. Y Tìm giá trị của tham số a và b để EX = 3, 5 ? Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi 3.2.3. Ý nghĩa của Kỳ vọng VD 10. Ông A tham gia một trò chơi đỏ, đen như sau: Trong một hộp có 4 bi đỏ và 6 bi đen. Mỗi lần ông A • Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là giá trị trung bình lấy ra 1 bi: nếu là đỏ thì được thưởng 100 (ngàn đồng), (tính theo xác suất) mà X nhận được, nó phản ánh giá nếu là đen thì bị mất 70 (ngàn đồng). Hỏi trung bình trị trung tâm phân phối xác suất của X . mỗi lần lấy bi ông A nhận được bao nhiêu tiền? • Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh, khi cần chọn VD 11. Người thợ chép tranh mỗi tuần chép hai bức phương án cho năng suất hay lợi nhuận cao, người ta thường chọn phương án sao cho kỳ vọng năng suất tranh độc lập A và B với xác suất hỏng tương ứng là hay kỳ vọng lợi nhuận cao. 0,03 và 0,05. Nếu thành công thì người thợ sẽ kiếm lời từ bức tranh A là 1,3 triệu đồng và B là 0,9 triệu đồng, VD 9. Một thống kê cho biết tỉ lệ tai nạn xe máy ở nhưng nếu hỏng thì bị lỗ do bức tranh A là 0,8 triệu thành phố H là 0,001. Công ty bảo hiểm A đề nghị bán đồng và do B là 0,6 triệu đồng. Hỏi trung bình người loại bảo hiểm tai nạn xe máy cho ông B ở thành phố H trong 1 năm với số tiền chi trả là 10 (triệu đồng), phí thợ nhận được bao nhiêu tiền chép tranh mỗi tuần? bảo hiểm là 0,1 (triệu đồng). Hỏi trung bình công ty A A. 2,185 triệu đồng; B. 2,148 triệu đồng. lãi bao nhiêu khi bán bảo hiểm cho ông B ? C. 2,116 triệu đồng; D. 2,062 triệu đồng. Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi 3.2.3. Kỳ vọng của hàm của biến ngẫu nhiên VD 13. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất: Giả sử Y = ϕ(X ) là hàm của biến ngẫu nhiên X . X –1 0 1 2 0,1 0,3 0,35 0,25 P Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc thì: EY = ∑ yi .pi = ∑ ϕ(xi ).pi Tính EY với Y = X 2 − 3 ? i i VD 14. Cho BNN X có hàm mật độ xác suất: Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì: 2  +∞ +∞  , x ∈ [1; 2] f (x ) = x 2 ∫ ∫ EY = y.f (x )dx = ϕ(x ).f (x )dx    0, x ∉ [1; 2]. −∞ −∞    Chú ý 2 Tính EY với Y = X 5 − Khi biến ngẫu nhiên X là rời rạc thì ta nên lập bảng ? X phân phối xác suất của Y , rồi tính EY . Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 13
  14. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, November 29, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi 3.3. PHƯƠNG SAI Nếu BNN X là liên tục và có hàm mật độ f (x ) thì: 2 3.3.1. Định nghĩa +∞ +∞    x .f (x )dx  . VarX = ∫ x .f (x )dx −  ∫ Phương sai (Variance hay Dispersion) của biến ngẫu 2     −∞ nhiên X , ký hiệu VarX hay D(X ), là một số thực   −∞ không âm được xác định bởi: VarX = E (X − EX )2 = E (X 2 ) − (EX )2 . VD 15. Cho BNN X có bảng phân phối xác suất: X1 2 3 Nếu BNN X là rời rạc và P(X = xi ) = pi thì: P 0,2 0,7 0,1 2  Ta có: VarX = (12.0, 2 + 22.0, 7 + 32.0,1) VarX = ∑ x i 2 .pi − ∑ x i .pi  .      −(1.0, 2 + 2.0, 7 + 3.0,1)2 = 0, 29 . i  i Chương 2. Bi n ng u nhiên Chương 2. Bi n ng u nhiên Ch 2. Bi Ch 2. Bi VD 16. Tính phương sai của X , biết hàm mật độ: • Trong kỹ thuật, phương sai đặc trưng cho độ sai số của 3 2   (x + 2x ), x ∈ [0; 1] thiết bị. Trong kinh doanh, phương sai đặc trưng cho f (x ) =  4  độ rủi ro đầu tư. 0,  x ∉ [0; 1].   • Do đơn vị đo của VarX bằng bình phương đơn vị đo của X nên để so sánh được với các đặc trưng khác, 3.3.2. Ý nghĩa của Phương sai người ta đưa vào khái niệm độ lệch tiêu chuẩn (standard deviation) là: • (X − EX )2 là bình phương sai biệt giữa giá trị của X σ = VarX . so với trung bình của nó. Và phương sai là trung bình của sai biệt này, nên phương sai cho ta hình ảnh về sự ………………………………………………………………………………………… phân tán của các số liệu: phương sai càng nhỏ thì số liệu càng tập trung xung quanh trung bình của chúng. Câu 3. Cho BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất: BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Chương 2 X1 2 3 4 P 0,15 0,25 0,40 0,20 Câu 1. Cho BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất: Giá trị phương sai của X là: X –1 0 2 4 5 A. 5,3; B. 7,0225; C. 7,95 ; D. 0,9275. P 0,15 0,10 0,45 0,05 0,25 Giá trị của P[(−1 < X ≤ 2) ∪ (X = 5)] là: Câu 4. Một kiện hàng có 6 sản phẩm tốt và 4 phế phẩm. Chọn ngẫu nhiên từ kiện hàng đó ra 2 sản phẩm. Gọi X A. 0,9; B. 0,8; C. 0,7; D. 0,6. là số phế phẩm trong 2 sản phẩm chọn ra. Bảng phân phối xác suất của X là: Câu 2. Cho BNN rời rạc X có bảng phân phối xác suất: A) B) X1 2 3 4 X012 X01 2 0,15 0,25 0,40 0,20 P 281 182 Giá trị kỳ vọng của X là: P P 15 15 3 3 15 15 A. 2,6; B. 2,8; C. 2,65 ; D. 1,97. Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 14
  15. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, November 29, 2011 dvntailieu.wordpress.com C) D) C) D) X1 2 X1 2 X01 2 X01 2 0,29 0,71 0,19 0,81 P P 173 142 P P 3 15 15 3 15 5 Câu 6. Lô hàng I có 3 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm, lô Câu 5. Cho BNN rời rạc X có hàm phân phối xác suất: hàng II có 2 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm. Chọn ngẫu 0  x ≤1 nhiên từ lô hàng I ra 1 sản phẩm và bỏ vào lô hàng II, khi   0,19 khi 1 < x ≤ 2 sau đó từ lô hàng II chọn ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Gọi F (x ) =   X là số sản phẩm tốt chọn được từ lô hàng II. 1 khi 2 < x .  Bảng phân phối xác suất của X là:   A) B) Bảng phân phối xác suất của X là: X012 X012 A) B) 11 30 9 11 9 30 01 2 X0 12 X P P 0 0,19 0,81 0,19 0,51 0,3 50 50 50 50 50 50 P P 0,  x ≤0 C) D)   1 X012 X012  , 0
  16. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, November 29, 2011 dvntailieu.wordpress.com Câu 9. Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất: Hỏi trong 1 năm lợi nhuận trung bình thu được của công 3 2   x , x ∈ (−2; 2) ty về loại bảo hiểm này là bao nhiêu ? f (x ) = 16  A. 1,2 tỉ đồng; B. 1,5 tỉ đồng;   0, x ∉ (−2; 2) C. 12 tỉ đồng; D. 15 tỉ đồng.   ( ) Giá trị của P 2 < Y ≤ 5 với Y = X 2 + 1 là: Câu 11. Theo thống kê trung bình cứ 1.000 người đi xe A. 0, 3125 ; B. 0, 4375 ; C. 0, 875 ; D. 0, 625 . máy thì có 25 người bị tai nạn trong 1 năm. Một công Câu 10. Theo thống kê trung bình cứ 1.000 người dân ở ty bảo hiểm bán bảo hiểm loại này cho 20.000 người độ tuổi 40 thì sau 1 năm có 996 người còn sống. Một trong 1 năm với giá 98 ngàn đồng và mức chi trả khi bị công ty bảo hiểm nhân thọ bán bảo hiểm 1 năm cho tai nạn là 3 triệu đồng. những người ở độ tuổi này với giá 1,5 triệu đồng, nếu Hỏi trong 1 năm lợi nhuận trung bình thu được của công người mua bảo hiểm chết thì số tiền bồi thường là 300 ty về loại bảo hiểm này là bao nhiêu ? triệu đồng. Giả sử công ty bán được 40.000 hợp đồng A. 445 triệu đồng; B. 450 triệu đồng; bảo hiểm loại này (mỗi hợp đồng ứng với 1 người mua C. 455 triệu đồng; D. 460 triệu đồng. bảo hiểm) trong 1 năm. Câu 14. Cho BNN liên tục X có hàm mật độ xác suất: Câu 12. Một cửa hàng điện máy bán 1 chiếc máy lạnh a(3x − x 2 ), 0 ≤ x ≤ 3  A thì lời 850.000 đồng nhưng nếu chiếc máy lạnh đó f (x ) =   . phải bảo hành thì lỗ 1.000.000 đồng. Biết xác suất máy  0, x ∉ [0; 3]  lạnh A phải bảo hành của cửa hàng là p = 15% , tính  Giá trị trung bình của X là: mức lời trung bình khi bán 1 chiếc máy lạnh A ? A. EX = 1,2 ; B. EX = 1, 4 ; A. 722.500 đồng; B. 675.500 đồng; C. EX = 1, 5 ; D. EX = 2, 4 . C. 605.500 đồng; D. 572.500 đồng. Câu 15. Cho BNN liên tục X có hàm mật độ xác suất: Câu 13. Một cửa hàng điện máy bán 1 chiếc tivi thì lời a(3x − x 2 ), 0 ≤ x ≤ 3  f (x ) =  500.000 đồng nhưng nếu chiếc tivi đó phải bảo hành thì  .  0, x ∉ [0; 3] lỗ 700.000 đồng. Tính xác suất tivi phải bảo hành của   cửa hàng để mức lời trung bình khi bán 1 chiếc tivi là Giá trị phương sai của X là: 356.000 đồng ? A. VarX = 0, 64 ; B. VarX = 1, 5 ; A. 10% ; B. 12% ; C. 15% ; D. 23% . C. VarX = 2, 7 ; D. VarX = 0, 45 . Câu 18. Cho BNN liên tục X có hàm mật độ xác suất: Câu 16. Cho BNN liên tục X có hàm mật độ xác suất: a(3x − x 2 ), 0 ≤ x ≤ 3 a(3x − x 2 ), 0 ≤ x ≤ 3   f (x ) =  f (x ) =   .  .  0, x ∉ [0; 3]  0, x ∉ [0; 3]     Giá trị của ModX là: Giá trị trung bình của Y với Y = 3X 2 là: B. ModX = 0 ; A. ModX = 1, 5 ; A. EY = 8,1; B. EY = 7, 9 ; C. ModX = 1; D. ModX = 3 . C. EY = 4, 5 ; D. EY = 5, 4 . Câu 19. Cho BNN liên tục X có hàm mật độ xác suất: Câu 17. Cho BNN liên tục X có hàm mật độ xác suất: a(3x − x 2 ), 0 ≤ x ≤ 3 a (3x − x 2 ), 0 ≤ x ≤ 3   f (x ) =  f (x ) =    . .  0, x ∉ [0; 3]  0, x ∉ [0; 3]     Giá trị của xác suất p = P (1 < X ≤ 2) là: Giá trị phương sai của Y với Y = 3X 2 là: A. p = 0, 4815 ; B. p = 0, 4915 ; A. VarY = 38, 0329 ; B. VarY = 38, 5329 ; C. p = 0, 5015 ; D. p = 0, 5115 . C. VarY = 38, 9672 ; D. VarY = 39, 0075 . Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 16
  17. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, November 29, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Ch 3. Phân ng Câu 20. BNN liên tục X có hàm phân phối xác suất: Phân phối Siêu bội §1.  Phân phối Nhị thức  §2. 0, x ≤ 1  Phân phối Poisson §3.  x − 1 Phân phối Chuẩn §4. F (x ) =  , 1
  18. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, November 29, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Ch 3. Phân ng Ch 3. Phân ng b) Các số đặc trưng của X ~ B(p) 2.2. Phân phối Nhị thức EX = p; VarX = pq. a) Định nghĩa • Xét dãy n phép thử Bernoulli độc lập. Với phép thử VD 1. Một câu hỏi trắc nghiệm có 4 phương án trả lời, thứ i , ta xét biến ngẫu nhiên Xi ∈ B(p) (i = 1,..., n ). trong đó chỉ có 1 phương án đúng. Một sinh viên chọn 1 khi laàn thöù i A xuaát hieän, ngẫu nhiên 1 phương án để trả lời câu hỏi đó.  Nghĩa là: Xi =   Gọi A: “sinh viên này trả lời đúng”. 0 khi laàn thöù i A xuaát hieän.   Khi đó, việc trả lời câu hỏi của sinh viên này là một • Gọi X là số lần biến cố A xuất hiện trong n phép thử. phép thử Bernoulli và p = P (A) = 0,25 , q = 0, 75 . Khi đó, X = X1 + ... + Xn và ta nói X có phân phối 1 khi sinh vieân naøy traû lôøi ñuùng,  Gọi BNN X =  Nhị thức (Binomial distribution) với tham số n , p .  0 khi sinh vieân naøy traû lôøi sai, Ký hiệu là X ∈ B(n, p) hay X ∼ B(n, p).   thì X ∈ B(0,25) và EX = 0, 25, VarX = 0,1875 . Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Ch 3. Phân ng Ch 3. Phân ng • Xác suất trong n lần thử có k lần A xuất hiện là: VD 3. Ông B trồng 100 cây bạch đàn với xác suất cây chết là 0,02. Gọi X là số cây bạch đàn chết. pk = P (X = k ) = C n pkq n −k (k = 0,1,..., n ). k 1) Tính xác suất có từ 3 đến 5 cây bạch đàn chết ? 2) Tính trung bình số cây bạch đàn chết và VarX ? VD 2. Một đề thi XSTK gồm 20 câu hỏi trắc nghiệm 3) Hỏi ông B cần phải trồng tối thiểu mấy cây bạch đàn như trong VD 1. Sinh viên B làm bài một cách ngẫu để xác suất có ít nhất 1 cây chết lớn hơn 10% ? nhiên. Biết rằng, nếu trả lời đúng 1 câu thì sinh viên B được 0,5 điểm và nếu trả lời sai 1 câu thì bị trừ 0,125 điểm. Tính xác suất để sinh viên B đạt điểm 5 ? VD 4. Một nhà vườn trồng 126 cây lan quý, xác suất nở hoa của mỗi cây trong 1 năm là 0,67. b) Các số đặc trưng của X ~ B(n, p) 1) Giá bán 1 cây lan quý nở hoa là 2 triệu đồng. Giả sử EX = np; VarX = npq ; nhà vườn bán hết những cây lan nở hoa thì mỗi năm ModX = x 0 : np − q ≤ x 0 ≤ np − q + 1. nhà vườn thu được chắc chắn nhất là bao nhiêu tiền? Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Ch 3. Phân ng Ch 3. Phân ng §3. PHÂN PHỐI POISSON 2) Nếu muốn trung bình mỗi năm có nhiều hơn 100 cây 3.1. Định nghĩa lan quý nở hoa thì nhà vườn phải trồng tối thiểu mấy cây lan quý ? Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson tham số λ > 0 , ký hiệu là X ∈ P (λ) hay X ∼ P (λ), nếu X nhận các giá trị 0, 1, 2,…, n ,… với xác suất: VD 5. Một nhà tuyển dụng kiểm tra kiến thức lần lượt e −λ .λk pk = P (X = k ) = (k = 0,1,..., n,...). các ứng viên, xác suất được chọn của mỗi ứng viên đều k! bằng 0,56. Biết xác suất để nhà tuyển dụng chọn đúng 8 Trong đó, λ là trung bình số lần xuất hiện biến cố nào ứng viên là 0,0843. Số người cần phải kiểm tra là: đó mà ta quan tâm. A. 9 người; B. 10 người; 3.2. Các số đặc trưng của X ~ P(λ) C. 12 người; D. 13 người. EX = VarX = λ; ModX = x 0 : λ − 1 ≤ x 0 ≤ λ. ………………………………………………………………………… Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 18
  19. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, November 29, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Ch 3. Phân ng Ch 3. Phân ng VD 1. Quan sát tại siêu thị A thấy trung bình 5 phút có §4. PHÂN PHỐI CHUẨN 18 khách đến mua hàng. 4.1. Phân phối Chuẩn đơn giản 1) Tính xác suất để trong 7 phút có 25 khách đến siêu a) Định nghĩa thị A ? 2) Tính xác suất để trong 2 phút có từ 3 đến 5 khách đến Biến ngẫu nhiên liên tục T được gọi là có phân phối siêu thị A ? Chuẩn đơn giản (hay phân phối Gauss), ký hiệu là 3) Tính số khách chắc chắn nhất sẽ đến siêu thị A trong T ∈ N (0; 1) hay T ∼ N (0; 1), nếu hàm mật độ xác 1 giờ ? suất của T có dạng: VD 2. Quan sát thấy trung bình 1 phút có 3 ôtô đi qua t2 − 1 trạm thu phí. Biết xác suất có ít nhất 1 ôtô đi qua trạm f (t ) = t ∈ ℝ. 2, e thu phí trong t phút bằng 0,9. Giá trị của t là: 2π A. 0,9082 phút; B. 0,8591 phút; (Giá trị hàm f (t ) được cho trong bảng phụ lục A). C. 0,8514 phút; D. 0,7675 phút. ………………………………………………………………………………………… Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Ch 3. Phân ng Ch 3. Phân ng • Tính chất của hàm Laplace b) Các số đặc trưng của T ~ N(0; 1) Hàm ϕ(x ) đồng biến trên ℝ ; ModT = ET = 0; VarT = 1. ϕ(−x ) = −ϕ(x ) (hàm ϕ(x ) lẻ); ϕ(−∞) = −0, 5 ; ϕ(+∞) = 0, 5 . c) Xác suất của T ~ N(0; 1) • Công thức tính xác suất b • Hàm Laplace ∫ f (t )dt = ϕ(b) − ϕ(a ). P (a ≤ T ≤ b ) = x a ∫ f (t )dt (t ≥ 0) được gọi là hàm Laplace. Hàm ϕ(x ) = 0 Chú ý P (T < b) = 0, 5 + ϕ(b ); P (T > a ) = 0, 5 − ϕ(a ) . (Giá trị hàm ϕ(x ) được cho trong bảng phụ lục B ). Nếu x ≥ 4 thì ϕ(x ) ≈ 0, 5 . Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Ch 3. Phân ng Ch 3. Phân ng c) Xác suất của X ~ N(µ, σ2) 4.2. Phân phối Chuẩn X −µ Nếu X ∈ N (µ; σ2 ) thì T = a) Định nghĩa ∈ N (0; 1) . σ Biến ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối Vậy, ta có công thức tính xác suất: Chuẩn (Normal distribution) tham số µ và σ2 (σ > 0), b − µ     − ϕ a − µ  . P (a ≤ X ≤ b ) = ϕ  ký hiệu là X ∈ N (µ; σ2 ) hay X ∼ N (µ; σ2 ), nếu hàm     σ σ       mật độ xác suất của X có dạng: (x −µ )2 − 1 VD 1. Tốc độ chuyển dữ liệu từ máy chủ của ký túc xá 2σ2 f (x ) = , x ∈ ℝ. e đến máy tính của sinh viên vào buổi sáng chủ nhật có σ 2π phân phối chuẩn với trung bình 60Kbits/s và độ lệch b) Các số đặc trưng của X ~ N(µ, σ2) chuẩn 4Kbits/s. Xác suất để tốc độ chuyển dữ liệu lớn hơn 63Kbits/s là: ModX = EX = µ; VarX = σ2 . A. 0,2266; B. 0,2144; C. 0,1313; D. 0,1060. Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 19
  20. ĐH Công nghi p Tp.HCM Tuesday, November 29, 2011 dvntailieu.wordpress.com Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Ch 3. Phân ng Ch 3. Phân ng VD 2. Một kỳ thi đầu vào ở trường chuyên A quy định §5. CÁC LOẠI XẤP XỈ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT điểm đỗ là tổng số điểm các môn thi không được thấp 5.1. Xấp xỉ phân phối Siêu bội bởi Nhị thức hơn 15 điểm. Giả sử tổng điểm các môn thi của học Xét BNN X có phân phối Siêu bội H (N ; N A ; n ) . sinh là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 12 điểm. Biết rằng tỉ lệ học sinh thi đỗ là 25,14%. NA • Nếu p cố định, N → ∞ và → p = 1 − q thì: Độ lệch chuẩn là: N A. 4 điểm; B. 4,5 điểm; C. 5 điểm; D. 5,5 điểm. C N C N−kN k n −A VD 3. Giả sử thời gian khách phải chờ để được phục vụ  →C n pkq n −k . d k A tại một cửa hàng là BNN X (phút), X ∈ N (4, 5; 1,21). n CN 1) Tính xác suất khách phải chờ từ 3,5 phút đến 5 phút. • Ứng dụng, nếu N khá lớn và n rất nhỏ so với N thì: 2) Tính thời gian tối thiểu t nếu xác suất khách phải chờ vượt quá t là không quá 5%. N X ∼ B(n; p ), p = A . VD 4. Cho BNN X có phân phối chuẩn với EX = 10 N và P (10 < X < 20) = 0, 3 . Tính P (0 < X ≤ 15) ? Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Ch 3. Phân ng Ch 3. Phân ng 5.2. Xấp xỉ phân phối Nhị thức bởi Poisson Chú ý Xét biến ngẫu nhiên X có phân phối Nhị thức B(n; p ). Khi cỡ mẫu n khá nhỏ so với kích thước N (khoảng • Khi n → ∞ , nếu p → 0 và np → λ thì: 5%N ) của tổng thể thì việc lấy mẫu có hoàn lại hay e −λ .λk không hoàn lại là như nhau. C n pkq n −k  → d k . k! • Ứng dụng, đặt λ = np . VD 1. Một vườn lan có 10.000 cây sắp nở hoa, trong đó có 1.000 cây hoa màu đỏ. Nếu n đủ lớn và p gần bằng 0 (hoặc gần bằng 1) thì: 1) Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 20 cây lan thì X ∼ P (λ). Chú ý được 5 cây có hoa màu đỏ. Xấp xỉ trên sẽ có hiệu quả khi np < 5 hay nq < 5 . 2) Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 50 cây lan thì được 10 cây có hoa màu đỏ. VD 2. Một lô hàng thịt đông lạnh đóng gói nhập khẩu 3) Có thể tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 200 cây có chứa 0,4% bị nhiễm khuẩn. Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 1.000 gói thịt từ lô hàng này có: lan thì có 50 cây hoa màu đỏ được không ? 1) không quá 2 gói bị nhiễm khuẩn; Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Chương 3. Phân ph i xác su t thông d ng Ch 3. Phân ng Ch 3. Phân ng 2) đúng 34 gói bị nhiễm khuẩn. 5.3. Xấp xỉ phân phối Nhị thức bởi phân phối Chuẩn Cho X ∈ B(n; p ). Nếu n khá lớn, np ≥ 5 và nq ≥ 5 VD 3. Giải câu 3) trong VD 1. thì X ∼ N (µ; σ2 ) với µ = np, σ2 = npq . Tóm t t các lo i x p x r i r c Khi đó: N p= A 1 k − µ   P (X = k ) = .f  N .  σ X ∈ H (N , N A, n ) X ∈ B(n, p)  σ  (n < 5%N ) np < 5 (giá trị được cho trong bảng A với f (−x ) = f (x )).  nq < 5 NA k − µ     − ϕ  k1 − µ  . λ = n.  P (k1 ≤ X ≤ k2 ) = ϕ  2       σ  N  λ = np   σ   X ∈ P (λ) Sai s r t l n (giá trị được cho trong bảng B với ϕ(−x ) = −ϕ(x )). Xác su t - Th ng kê Cao đ ng 20
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2