Bài giảng Lý thuyết mạch điện 2: Chương 6

Phần 3: Mạch điện phi tuyến

➢ Các phần tử phi tuyến và các hiện tượng cơ bản trong

mạch điện phi tuyến

▪ Khái niệm mô hình mạch phi tuyến

▪ Tính chất mạch phi tuyến

▪ Các phần tử phi tuyến

➢ Mạch điện phi tuyến ở chế độ xác lập

▪ Một chiều (Nguồn DC)

▪ Xoay chiều (Nguồn AC)

▪ Chu kỳ (Nguồn DC+AC)

➢ Mạch điện phi tuyến ở chế độ quá độ

▪ Khái niệm

▪ Các phương pháp cơ bản

Chương 6: Mạch điện phi tuyến ở chế độ quá độ

❑ Khái niệm

❑ Phương pháp

❑ Một số bài toán cơ bản

Khái niệm (1)

❑ Quá trình quá độ xảy ra khi: ▪ Có thay đổi về cấu trúc của mạch

❑ Phần tử “quán tính” : tụ điện, cuộn dây ▪ Định luật bảo toàn điện tích và bảo toàn từ thông

❑ Phương pháp chung ▪

Phương trình vi tích phân+ sơ kiện

▪ Giải gần đúng: giải tích, phương pháp số

❑ Phương pháp thường dùng ▪

Tuyến tính hóa từng đoạn

▪

Tham số bé/nhiễu loạn

▪ Các bước sai phân liên tiếp

Khái niệm (2)

❑ Quá trình quá độ xảy ra khi: ▪ Có thay đổi về cấu trúc (và thông số) của mạch: do đóng/cắt

• Ví dụ mạch ở QTQĐ:

Đóng khóa K

Mở khóa K

Chuyển khóa K từ vị trí 2 sang 1

Khái niệm (3)

▪ Một số giả thiết đơn giản hóa:

- Động tác đóng mở lý tưởng

- Thời gian đóng mở bằng 0

- Luật Kirchhoff luôn đúng

❑ Phần tử “quán tính” : tụ điện, cuộn dây ▪ Định luật bảo toàn điện tích và bảo toàn từ thông

Khái niệm (4)

❑ Phương pháp chung ▪

Phương trình vi tích phân+ sơ kiện

▪ Giải gần đúng: giải tích, phương pháp số

❑ Phương pháp thường dùng ▪

Tuyến tính hóa từng đoạn

▪

Tham số bé/nhiễu loạn

▪ Các bước sai phân liên tiếp

Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn

▪ Chia đặc tính phi tuyến ra làm nhiều đoạn.

Thay đường cong bởi một số đoạn thẳng

▪ Hằng số tích phân được xác định bằng:

điều kiện đầu, điều kiện nối các đoạn

▪ Đưa bài toán phi tuyến về bài toán tuyến tính tương đương

và dùng các công cụ/phương pháp giải mạch tuyến tính.

Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn

▪ Ví dụ 1 :

-Chia đặc tính phi tuyến ra làm

hai đoạn: AB và BC

Sơ kiện:

i0=i(-0)=0

Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn

-Xét đoạn AB: dùng phương pháp toán tử Laplace

với:

-Nghiệm quá độ trên đoạn AB:

Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn

Thời điểm làm việc của cuộn dây tới điểm cuối của đoạn AB:

-Xét đoạn BC: với sơ kiện

Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn

❖ Phương pháp toán tử

Phương pháp tuyến tính hóa từng đoạn

-Tổng hợp:

→ Có sai số do tuyến tính hóa

Khái niệm

❑ Quá trình quá độ xảy ra khi:

▪ Có thay đổi về cấu trúc của mạch

❑ Phần tử “quán tính” : cuộn dây tụ điện

▪ Định luật bảo toàn điện tích và bảo toàn từ thông

❑ Phương pháp chung

▪ Phương trình vi tích phân+ sơ kiện

▪ Giải gần đúng: giải tích, phương pháp số

❑ Phương pháp thường dùng

▪ Tuyến tính hóa từng đoạn

▪ Tham số bé/nhiễu loạn

▪ Các bước sai phân liên tiếp

Phương pháp tham số bé

▪ Còn gọi là phương pháp nhiễu loạn/thông số nhỏ

▪ Phương trình mô tả mạch:

hoặc:

▪ Đặt nghiệm dưới dạng:

và thay vào phương trình mô tả mạch, được dạng:

▪ Giải hệ:

Phương pháp tham số bé

Sơ kiện:

▪ Ví dụ 2 :

i0=i(-0)=0

Đặt nghiệm:

Bằng phương pháp toán tử Laplace:

Phương pháp tham số bé

Bằng phương pháp toán tử Laplace:

Phương pháp tham số bé

Tổng hợp kết quả:

So sánh với tuyến tính hóa từng đoạn

→ Có sai số do tuyến

tính hóa

Khái niệm

❑ Quá trình quá độ xảy ra khi:

▪ Có thay đổi về cấu trúc của mạch

❑ Phần tử “quán tính” : cuộn dây tụ điện

▪ Định luật bảo toàn điện tích và bảo toàn từ thông

❑ Phương pháp chung

▪ Phương trình vi tích phân+ sơ kiện

▪ Giải gần đúng: giải tích, phương pháp số

❑ Phương pháp thường dùng

▪ Tuyến tính hóa từng đoạn

▪ Tham số bé/nhiễu loạn

▪ Các bước sai phân liên tiếp

Phương pháp các bước sai phân liên tiếp

▪ Ước lượng giá trị tín hiệu tại một số điểm rời rạc tk

với bước sai phân

▪ Chuyển hệ phương trình vi phân thành hệ sai phân gần đúng

• Vi phân bậc một: các dạng ước lượng

(forward, backward, center):

Forward difference:

Backward difference:

Central difference:

→ Có sai số do xấp xỉ hóa

Phương pháp các bước sai phân liên tiếp (2)

• Vi phân bậc 2

Thường dùng:

▪ Giải hệ phương trính sai phân, sử dụng các sơ kiện.

Phương pháp các bước sai phân liên tiếp (3)

▪ Ví dụ 3:

Sơ kiện: i0=i(-0)=0

Đặt bước sai phân h=0,05 (50ms)

Phương pháp các bước sai phân liên tiếp (4)

So sánh với tuyến tính hóa từng đoạn và tham số bé

Phương pháp các bước sai phân liên tiếp

▪ Ví dụ 4:

Tại t = 0 khóa K mở ra. Tính uc. Cho bước tính h = 2ms.

Sơ kiện:

Quá độ:

Phương pháp các bước sai phân liên tiếp

▪ Ví dụ 5:

E0 = 10 V; E1 = 40 V ; R0 = 100 Ω , R1 = 30 Ω; R2 = 40 Ω; C=10-4F, Ψ(i) = 1,75i – 2,8i3

Tìm dòng qua cuộn dây sau khi quá K chuyển từ 1

sang 2. (Biết rằng trước khi chuyển khóa K, mạch ở

chế độ xác lập)

- Chế độ xác lập cũ: i0 = i(-0) = E0/R0 =0,1A

uC(-0) = 0 V

- Chế độ quá độ: Biến đổi Thevenin-Norton

cho cụm phần tử tuyến tính nhóm 1 và 2

Phương pháp các bước sai phân liên tiếp

Phương trình vi tích phân mô tả mạch:

Cách 1: Lập phương trình vi phân bậc hai:

Đạo hàm hai vế của phương trình :

Phương pháp các bước sai phân liên tiếp

Sai phân hóa (h=0,01):

Đã có sơ kiện: i0 = i(0)= 0,1A, cần tìm i1 (tính từ i’(0))

Thay tại t=0 ở phương trình:

Với i(0) = i(-0) =0,1A; uc(0)= uc(-0)= 0V

Phương pháp các bước sai phân liên tiếp

→ i1 = 0,1 + 0,01.12,693 = 0,2269A

Cách 2: Lập hệ phương trình vi phân (bậc một- giống ví dụ 4):

Bài tập (1)

R2 = 20 ; R3 = 15 ; C = 3.10-3 F; E =100 V; J = 3 A; (i) = 0,15i+0,01i3 h = 2ms, tính 5 giá trị đầu tiên của dòng quá độ i qua cuộn dây L?

Đ/S: Lập hệ phương trình sai phân với cặp biến (uc, iL)

k

0

1

2

3

4

5

i (A)

1,1429

1,1531

1,1725

1,1999

1,2341

u (V)

82,8571

80,8571

78,9238

77,0618

75,2747

73,5655

Bài tập (2)

Biến đổi tương đương sơ đồ, ta có:

Thời điểm đóng khóa K là gốc thời gian tính dòng quá độ qua cuộn dây phi tuyến. Sau khi đóng K ta có hệ phương trình mô tả mạch:

(*)

Từ phương trình thứ hai của hệ (*) ta có:

Sai phân hóa thu được:

(*)

Từ phương trình thứ 3 của hệ (*), ta có:

Sai phân hóa phương trình trên thu được:

Trong đó,

(do mạch đã ở trạng thái xác lập khi đóng K)

Vậy, từ (1) và (2) ta có hệ sai phân:

với

(**)

t(ms)

1

2

3

4

5

0,2000

0,3020

0,3585

0,3976

0,4276

iL,k+1 (A)

100

79,8980

72,0252

66,1325

uC,k+1 (V)

Bài tập (3)

Cho mạch điện như Hình . Đặc tính phi tuyến của điện trở được biểu diễn bằng đồ thị. E1 = 150V (DC); e2 = 50e–10t V; R = 20Ω; L = 0,2H; đặc tính phi tuyến của tụ điện q = 0,005u3 + 0,01u (q tính theo mC, u tính theo V). Trước thời điểm t = 0, khóa ở tiếp điểm 1, mạch ở trạng thái ổn định. Ở thời điểm t = 0, khóa chuyển sang tiếp điểm 2. Cho bước sai phân h = 0,003s, tính 4 giá trị đầu tiên của iL?

Khi mạch ở chế độ xác lập cũ (khóa ở tiếp điểm 1), từ đồ thị tìm được dòng qua cuộn dây:

Khi khóa chuyển sang tiếp điểm 2, ta có hệ phương trình:

0 8,1 0 1 6,42 2,43 2 5,19 2,63 3 4,30 2,76 k ik (A) uk (V)