Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc và phân phối xác suất

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:23

Thêm vào BST

Báo xấu

2
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc và phân phối xác suất" trình bày các nội dung: Khái niệm biến ngẫu nhiên; bảng phân phối xác suất; hàm phân phối xác suất; các tham số đặc trưng; phân phối không một; phân phối nhị thức; phân phối poisson. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 3: Biến ngẫu nhiên rời rạc và phân phối xác suất

BÀI 3 – BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ▪ 3.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên ▪ 3.2. Bảng phân phối xác suất ▪ 3.3. Hàm phân phối xác suất ▪ 3.4. Các tham số đặc trưng ▪ 3.5. Phân phối Không-Một ▪ 3.6. Phân phối Nhị thức ▪ 3.7. Phân phối Poisson [1] Chương 2, trang 79 – 146; Chương 3, trang 147 – 166 [2] Mục 2, trang 5 – 9; [3] Chapter 4, pp. 146 -196 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 79
3.1. KHÁI NIỆM BIẾN NGẪU NHIÊN ▪ Ví dụ 3.1. • Tung 1 con xúc xắc. Gọi 𝑋 là số chấm xuất hiện 𝑋 có thể nhận 1, 2, 3, 4, 5, 6 • Gọi 𝑌 là số khách vào siêu thị trong một ngày 𝑌 nhận các giá trị 0, 1, 2, … , 𝑛 , … • Gọi 𝑍 là lợi suất khi đầu tư cổ phiếu 𝑍 nhận các giá trị trong khoảng (−∞; +∞) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 80
Khái niệm biến ngẫu nhiên ▪ Biến ngẫu nhiên (random variable) là biến số mà trong kết quả phép thử nó chỉ nhận 1 và chỉ 1 trong các giá trị có thể có của nó ▪ Kí hiệu: 𝑋, 𝑌, 𝑍, 𝑋1, 𝑋2, … ▪ Giá trị có thể có của 𝑋: 𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥 𝑛 ) ▪ Quan tâm tới các biến cố: (𝑋 = 𝑥 𝑖 ); (𝑋 > 𝑎); (𝑋 < 𝑏); (𝑎 < 𝑋 < 𝑏) ▪ Mục đích: tính xác suất và hỗ trợ ra quyết định LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 81
Phân loại biến ngẫu nhiên ▪ Biến ngẫu nhiên rời rạc (discrete): Các giá trị có thể có là một tập hợp hữu hạn hoặc đếm được. Biến 𝑋 và 𝑌 trong ví dụ 3.1 ▪ Biến ngẫu nhiên liên tục (continuous): Các giá trị có thể có lấp đầy một khoảng trên trục số. Biến 𝑍 trong ví dụ 3.1 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 82
3.2. BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ▪ Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là sự tương ứng giữa các giá trị có thể có và các xác suất tương ứng. ▪ Các phương pháp mô tả phân phối xác suất: • Bảng phân phối xác suất (Probability distribution table) • Hàm phân phối xác suất (Probability distribution function/Cumulative distribution function - CDF) • Hàm mật độ xác suất (Probability density function –PDF) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 83
Bảng phân phối xác suất Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc 𝑋 nhận các giá trị 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥 𝑛 với xác suất tương ứng 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝 𝑛 𝑝 𝑖 = 𝑃(𝑋 = 𝑥 𝑖 ) 𝑋 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛 𝑃 𝑝1 𝑝2 … 𝑝𝑛 1 0 ≤ 𝑝𝑖 ≤ 1 𝑛 ∑ 𝑖=1 𝑝 𝑖 = 1 2 3 𝑥0 ∉ {𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥 𝑛 } → 𝑃 𝑋 = 𝑥0 = 0 (4) 𝑃 𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 = ∑ 𝑎≤𝑥 𝑖 ≤𝑏 𝑝 𝑖 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 84
Bảng phân phối xác suất Ví dụ 3.2. Hộp có 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu. Lấy đồng thời 2 sản phẩm. Gọi 𝑋 số sản phẩm tốt lấy được. Lập bảng phân phối xác suất của 𝑋 Gọi 𝑋 là số sản phẩm tốt lấy được; 𝑋 = 0, 1, 2 𝑋 0 1 2 𝑃 ? ? ? LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 85
Bảng phân phối xác suất Ví dụ 3.3. Số hợp đồng kí được trong một ngày (𝑋) của một công ty cung cấp dịch vụ có bảng phân phối xác suất 𝑋 1 2 3 4 5 𝑃 0,1 0,4 0,25 0,2 0,05 a) Tính xác suất một ngày bất kì kí được trên 3 hợp đồng. b) Tính xác suất để trong 5 ngày bất kì có 3 ngày kí được dưới 2 hợp đồng. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 86
3.3. HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên, kí hiệu 𝐹(𝑥), là xác suất để biến ngẫu nhiên 𝑋 nhận giá trị nhỏ hơn 𝑥, với 𝑥 là số thực bất kì 𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 < 𝑥) ▪ Ý nghĩa: Hàm phân bố xác suất 𝐹(𝑥) phản ánh mức độ tập trung xác suất ở bên trái số thực 𝑥. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 87
Tính chất hàm phân phối xác suất ▪ Tính chất 1: 0 ≤ 𝐹(𝑥) ≤ 1 ▪ Tính chất 2: 𝐹(𝑥) là hàm không giảm 𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏) = 𝐹(𝑏) – 𝐹(𝑎) ▪ Tính chất 3: 𝐹 𝑥 = 0 𝑛ế𝑢 𝑥 ≤ 𝑥 𝑚𝑖𝑛 𝐹(𝑥) = 1 𝑛ế𝑢 𝑥 > 𝑥 𝑚𝑎𝑥 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 88
3.4. CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG ▪ Kì vọng (Expected value) ▪ Kì vọng của biến ngẫu nhiên 𝑋, kí hiệu 𝐸(𝑋) 𝒏 𝑬 𝑿 = ∑ 𝒊=𝟏 𝒙 𝒊 𝒑 𝒊 ▪ Ví dụ 3.4. Tính kì vọng của số hợp đồng kí được trong ngày của một công ty dịch vụ có bảng phân phối xác suất như sau: 𝑋 1 2 3 4 5 𝑃 0,1 0,4 0,25 0,2 0,05 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 89
Kì vọng ▪ Kì vọng là trung bình của biến ngẫu nhiên tính theo xác suất ▪ 𝐸(𝑋) có đơn vị trùng với đơn vị của 𝑋 ▪ Tính chất: 𝐸 𝐶 = 𝐶 với 𝐶 là hằng số 𝐸 𝐶 + 𝑋 = 𝐶 + 𝐸(𝑋) 𝐸 𝐶. 𝑋 = 𝐶. 𝐸(𝑋) 𝐸 𝑋 ± 𝑌 = 𝐸(𝑋) ± 𝐸(𝑌) 𝐸 𝑋. 𝑌 = 𝐸 𝑋 . 𝐸 𝑌 nếu 𝑋, 𝑌 độc lập LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 90
Phương sai ▪ Ví dụ 3.5. Tỷ suất sinh lời (%) khi đầu tư vào hai loại cổ phiếu Đơnphiếu A Cổ vị: % 6 7 8 Xác suất 0,4 0,2 0,4 Cổ phiếu B 5 7 9 Xác suất 0,4 0,2 0,4 ▪ Nếu muốn tỷ suất sinh lời kì vọng cao hơn thì chọn cổ phiếu nào? ▪ Nếu muốn rủi ro thấp hơn thì chọn cổ phiếu nào? LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN - BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 91
Phương sai ▪ Phương sai (variance) của 𝑋 kí hiệu là 𝑉(𝑋) 𝑽(𝑿) = 𝑬 𝑿 – 𝑬 𝑿 𝟐 Tương đương: 𝑽(𝑿) = 𝑬(𝑿 𝟐) – 𝑬 𝑿 𝟐 Trong đó: 𝐸 𝑋 2 = ∑𝑥 2 𝑝 𝑖 𝑖 ▪ Chú ý: 𝑉(𝑋) ≥ 0 ▪ Tính chất 𝑉 𝐶 = 0 với 𝐶 là hằng số 𝑉 𝑋+ 𝐶 = 𝑉 𝑋 𝑉 𝐶 ∙ 𝑋 = 𝐶2 ∙ 𝑉 𝑋 𝑉 𝑋 ± 𝑌 = 𝑉 𝑋 + 𝑉 𝑌 với 𝑋 và 𝑌 độc lập LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 92
Độ lệch chuẩn ▪ Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên 𝑋, kí hiệu 𝜎 𝑋 , là căn bậc hai của phương sai: 𝜎𝑋 = 𝑉 𝑋 ▪ Ý nghĩa: Phương sai và độ lệch chuẩn phản ánh độ phân tán, biến động, dao động, rủi ro, bất ổn / ổn định, đồng đều của biến ngẫu nhiên ▪ Đơn vị của phương sai là bình phương đơn vị của 𝑋 ▪ Đơn vị của độ lệch chuẩn là đơn vị của 𝑋 ▪ Tính Phương sai của các biến ngẫu nhiên trong ví dụ 3.5 và kết luận. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 93
Trung vị - Mốt ▪ Trung vị (median) của BNN rời rạc 𝑋 ký hiệu là 𝑚 𝑑 là giá trị nằm ở chính giữa phân phối xác suất. Nếu 𝑚 𝑑 = 𝑥 𝑖 thì 𝐹 𝑥 𝑖 ≤ 0,5 < 𝐹(𝑥 𝑖+1 ) ▪ Mốt (mode) của BNN rời rạc 𝑋, ký hiệu 𝑚0 là giá trị của X có xác suất lớn nhất. BNN có thể không có mốt, có 1 mốt, hoặc nhiều mốt LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 94
3.5. PHÂN PHỐI KHÔNG – MỘT ▪ Biến ngẫu nhiên rời rạc 𝑋 chỉ nhận 2 giá trị 0 và 1 với xác suất 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝑝 𝑥 (1 − 𝑝)1−𝑥 với 𝑥 = 0; 1 gọi là phân phối Không-Một, hay phân phối Bernoulii ▪ Bảng phân phối xác suất 𝑋 0 1 𝑃 1− 𝑝 𝑝 ▪ Kí hiệu: 𝑋 ~ 𝐴(𝑝) ▪ Tham số đặc trưng: 𝐸(𝑋) = 𝑝; 𝑉(𝑋) = 𝑝(1 − 𝑝) LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 95
3.6. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC ▪ Biến ngẫu nhiên rời rạc 𝑋 nhận một trong các giá trị có thể có là 0, 1, 2, … với các xác suất tương ứng là 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 𝐶 𝑛𝑥 𝑝 𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥 ; 𝑥 = 0,1, … , 𝑛 gọi là phân phối Nhị thức (Binomial) với tham số 𝑛 và 𝑝. ▪ Kí hiệu: 𝑋 ~ 𝐵(𝑛; 𝑝) ▪ Nếu bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli (chương 2) và 𝑋 là số lần 𝐴 xảy ra trong 𝑛 phép thử thì 𝑋 ~ 𝐵(𝑛; 𝑝). LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 96
Phân phối Nhị thức Các tham số đặc trưng: ▪ Kì vọng 𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝; ▪ Phương sai 𝑉(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝). ▪ Mốt 𝑚0 (giá trị có khả năng xảy ra lớn nhất) 𝑛𝑝 + 𝑝 – 1 ≤ 𝑚0 ≤ 𝑛𝑝 + 𝑝 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 97
Phân phối Nhị thức Ví dụ 3.6. Một người đi chào hàng với 10 khách hàng độc lập. Xác suất bán được hàng cho mỗi khách hàng đều bằng 0,2. a) Tính xác suất bán được hàng cho đúng 3 khách. b) Tính xác suất bán được hàng cho ít nhất 2 khách. c) Tính kì vọng, phương sai, mốt của số khách mua hàng. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 98