Bài giảng "Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 7: Mẫu ngẫu nhiên" trình bày các nội dung: Luật số lớn, các khái niệm, trung bình mẫu, phương sai mẫu, tỉ lệ mẫu. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 7: Mẫu ngẫu nhiên
- BÀI 6. LUẬT SỐ LỚN
▪ Định lý giới hạn trung tâm
▪ 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑛 là các BNN độc lập có cùng phân phối xác
suất, kỳ vọng và phương sai hữu hạn
𝑛 𝑌−𝐸(𝑌)
▪ Đặt 𝑌= ∑ 𝑖=1 𝑋𝑖 và 𝑍 =
𝑉(𝑌)
▪ Khi 𝑛 → thì 𝑍 sẽ hội tụ về quy luật 𝑁(0, 1)
▪ Trong ứng dụng, 𝑛 ≥ 30 được coi là đủ lớn để áp
dụng quy luật Chuẩn (dù biến ngẫu nhiên gốc không
phân phối Chuẩn)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 143
- BÀI 7 – MẪU NGẪU NHIÊN
▪ 7.1. Các khái niệm
▪ 7.2. Trung bình mẫu
▪ 7.3. Phương sai mẫu
▪ 7.4. Tỉ lệ mẫu
[1] Chương 6, trang 295 – 347, 361 – 363, 367 – 369
[3] Chapter 6, pp.244 - 283
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 144
- 7.1. CÁC KHÁI NIỆM
▪ Tổng thể
▪ Tham số đặc trưng của tổng thể
▪ Mẫu ngẫu nhiên
▪ Mẫu cụ thể
▪ Thống kê (tham số đặc trưng mẫu)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 145
- Tổng thể
▪ Tập hợp toàn bộ các phần tử đồng nhất theo một dấu
hiệu nghiên cứu định tính hay định lượng nào đó được
gọi là tổng thể (population)
▪ Kích thước tổng thể (population size): là số phần tử 𝑵
▪ Dấu hiệu lượng hóa được: 𝑿- Biến ngẫu nhiên gốc
▪ 𝑋 = {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑁 }
▪ Các tham số đặc trưng của 𝑋 là tham số đặc trưng của
tổng thể
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 146
- Mô tả tổng thể
▪ Nếu 𝑋 chỉ gồm k giá trị khác nhau: 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑘
▪ Số lượng tương ứng là 𝑁1, 𝑁2, … , 𝑁 𝑘
▪ gọi là tần số tổng thể của 𝑥 𝑖
𝑁𝑖
▪ Đặt 𝑝 𝑖 = , gọi là tỉ lệ tổng thể
𝑁
0 ≤ 𝑁𝑖 ≤ 𝑁
Giá trị 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑘 ൝ 𝑘
∑ 𝑖=1 𝑁 𝑖 = 𝑁
Tần số 𝑁1 𝑁2 … 𝑁𝑘
0 ≤ 𝑝𝑖 ≤ 1
Tỉ lệ 𝑝1 𝑝2 … 𝑝𝑘 ൝ 𝑘
∑ 𝑖=1 𝑝 𝑖 = 1
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 147
- Tham số đặc trưng của tổng thể
▪ Trung bình tổng thể (population mean): 𝝁 (hoặc 𝑚)
1 𝑁
𝜇= ∑ 𝑖=1 𝑥 𝑖 = 𝐸(𝑋)
𝑁
▪ Phương sai tổng thể (population variance): 𝝈 𝟐
1 𝑁
𝜎2 = ∑ 𝑖=1(𝑥 𝑖 − 𝑚)2 = 𝑉(𝑋)
𝑁
▪ Độ lệch chuẩn tổng thể: 𝜎 = 𝜎 2
▪ Tỉ lệ tổng thể (population proportion): 𝒑
Tần số dấu hiệu (hay biến cố) 𝐴 là 𝑀 𝐴
𝑀𝐴
𝑝= = 𝑃(𝐴)
𝑁
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 148
- Nhận xét
▪ Nghiên cứu Tổng thể: qua tham số đặc trưng tổng thể,
nghiên cứu toàn bộ các phần tử:
• Chi phí lớn, có thể không khả thi
• Sai sót khi thu thập, có thể phá hủy tập hợp
▪ Nghiên cứu một số phần tử đại diện: Mẫu
• Từ tổng thể rút 𝑛 phần tử (mẫu kích thước 𝑛)
• Xác định tham số đặc trưng mẫu (thống kê)
• Rút ra kết luận liên quan đến tổng thể
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 149
- Mẫu ngẫu nhiên
▪ Mẫu ngẫu nhiên kích thước 𝑛 là tập hợp của 𝑛 biến
ngẫu nhiên độc lập 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑛 được thành lập từ
biến ngẫu nhiên gốc 𝑋 và có cùng quy luật phân phối
xác suất với 𝑋.
▪ Ký hiệu: 𝑊 = (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑛)
▪ 𝐸(𝑋 𝑖 ) = 𝐸(𝑋) = 𝑚
▪ 𝑉 𝑋 𝑖 = 𝑉 𝑋 = 𝜎 2 , 𝑖 = 1, 𝑛
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 150
- Mẫu cụ thể
▪ Gồm 𝑛 quan sát (𝑛 con số): 𝑤 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛)
▪ Nếu chỉ gồm 𝑘 giá trị khác nhau: 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑘 với số lần
xuất hiện tương ứng : 𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛 𝑘
▪ 𝑛 𝑖 là tần số mẫu của 𝑥 𝑖 (frequency)
𝑛𝑖
▪ Đặt 𝑝Ƹ 𝑖 = : tỉ lệ mẫu (sample proportion)
𝑛
Giá trị 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑘 𝑘
∑ 𝑖=1 𝑛 𝑖 = 𝑛
Tần số 𝑛1 𝑛2 … 𝑛𝑘 𝑘
∑ 𝑖=1 𝑝Ƹ 𝑖 = 1
Tỉ lệ 𝑝Ƹ 1 𝑝Ƹ 2 … 𝑝Ƹ k
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 151
- Ví dụ
▪ Ví dụ 7.1.
▪ Nghiên cứu về khối lượng sản phẩm (𝑋)
▪ Mẫu ngẫu nhiên kích thước 𝑛 = 10,
▪ 𝑊 = (𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋10)
• 𝐸(𝑋1) = 𝐸(𝑋2) = ⋯ = 𝐸(𝑋10) = 𝐸(𝑋)
• 𝑉(𝑋1) = 𝑉(𝑋2) = ⋯ = 𝑉(𝑋10) = 𝑉(𝑋)
▪ Mẫu cụ thể 𝑤 = (20, 21, 20, 23, 23, 24, 22, 24, 22, 22)
Khối lượng (g) 20 21 22 23 24
Số sản phẩm 2 1 3 2 2
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 152
- Thống kê đặc trưng mẫu
▪ Một hàm của các biến ngẫu nhiên Xi trong mẫu là một
thống kê (statistic)
𝐺 = 𝐺(𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋 𝑛)
▪ Vì mẫu ngẫu nhiên nên 𝐺 là biến ngẫu nhiên với phân
phối xác suất xác định
▪ Mẫu cụ thể: thống kê là số cụ thể, giá trị quan sát
𝐺 𝑞𝑠 = 𝑔 = 𝐺(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝑛)
▪ Thống kê trong mẫu thường tương ứng với một tham
số trong tổng thể
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 153
- 7.2. TRUNG BÌNH MẪU
▪ Trung bình mẫu ngẫu nhiên (sample mean)
𝒏
∑ 𝒊=𝟏 𝑿 𝒊
ഥ=
𝑿
𝒏
▪ ത là biến ngẫu nhiên:
𝑋
𝜎2 𝜎
𝐸 ത = 𝜇; 𝑉 ത =
𝑋 𝑋 ; 𝜎ത =
𝑋
𝑛 𝑛
▪ Nếu 𝑋 ~ 𝑁(𝜇, 𝜎2) thì:
𝜎2 ( ሜ − 𝜇) 𝑛
𝑋
ሜ
𝑋~𝑁 𝜇, ; 𝑍= ~𝑁(0,1)
𝑛 𝜎
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 154
- Ví dụ
▪ Ví dụ 7.2. Chiều dài của một loại sản phẩm là một biến
ngẫu nhiên phân phối Chuẩn với trung bình là 100 cm
và phương sai là 16 cm2 .
Kiểm tra ngẫu nhiên 25 sản phẩm.
▪ a) Tính khả năng để chiều dài trung bình của 25 sản
phẩm này lớn hơn 102 cm.
▪ b) Với xác suất là 0,95 thì chiều dài trung bình của 25
sản phẩm trên tối đa là bao nhiêu?
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 155
- 7.3. PHƯƠNG SAI MẪU
▪ Độ lệch bình phương trung bình (mean of squares)
𝑛
∑ 𝑖=1(𝑋 𝑖 − ሜ 2
𝑋)
𝑀𝑆 =
𝑛
▪ Phương sai mẫu (sample variance) 𝑺 𝟐
𝒏
∑ 𝐢=𝟏(𝑿 𝒊 − ሜ𝑿) 𝟐
𝟐
𝑛
𝑺 = = 𝑀𝑆
𝒏− 𝟏 𝑛−1
▪ Độ lệch chuẩn mẫu: 𝑆= 𝑆2
𝑛−1
▪ Ta có : 𝐸(𝑆2) = 𝜎2 và 𝐸(𝑀𝑆) = 𝜎2
𝑛
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 156
- 7.4. TỈ LỆ MẪU
▪ Trong mẫu kích thước 𝑛 có 𝑋 𝐴 phần tử có dấu hiệu
(biến cố) 𝐴 thì tỉ lệ mẫu
𝑋𝐴
𝑝Ƹ =
𝑛
𝑝(1−𝑝)
▪ Nếu 𝑃(𝐴) = 𝑝 thì: 𝐸 𝑝Ƹ = 𝑝 ; 𝑉( 𝑝) =
Ƹ
𝑛
▪ Mẫu kích thước 𝑛 ≥ 100
𝑝 1−𝑝 (ො
𝑝−𝑝) 𝑛
𝑝Ƹ ∼ 𝑁 𝑝, và 𝑍 = ~𝑁(0,1)
𝑛 𝑝(1−𝑝)
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 157
- Ví dụ
▪ Ví dụ 7.3. Tỉ lệ phế phẩm của nhà máy A là 10%. Lấy
ngẫu nhiên 100 sản phẩm của nhà máy này.
▪ a) Tính xác suất để trong số sản phẩm lấy ra có ít nhất
là 15% phế phẩm.
▪ b) Với xác suất là 0,9 thì trong mẫu trên có tối đa là bao
nhiêu phế phẩm?
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - www.mfe.neu.edu.vn 158
- 7.5. PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
▪ Sử dụng thống kê trong mẫu để phản ánh về tham số
trong tổng thể.
▪ Phân phối xác suất thể hiện mối liên hệ giữa các đại
lượng này, phụ thuộc vào phân phối xác suất của biến
ngẫu nhiên gốc 𝑋
▪ Dấu hiệu định lượng: thường qua biến phân phối
Chuẩn 𝑁(𝜇, 𝜎2)
▪ Dấu hiệu định tính: qua biến Không một 𝐴(𝑝)
▪ Các phân phối xác suất phục vụ suy diễn thống kê,
ước lượng và kiểm định tham số
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 159
- Phân phối xác suất
Ước lượng và kiểm định
Đại lượng Suy đoán về mẫu
tham số
Trung ത− 𝜇
𝑋 𝑛 ത− 𝜇
𝑋 𝑛
bình 𝑍= ~𝑁(0,1) 𝑇= ~𝑇(𝑛 − 1)
𝜎 𝑆
Phương (𝑛 − 1)𝑆 2 (𝑛 − 1)𝑆 2
sai 𝜒2 = ~𝜒 2(𝑛−1) 𝜒2 = ~𝜒 2(𝑛−1)
𝜎2 𝜎2
( 𝑝Ƹ − 𝑝) 𝑛 ( 𝑝Ƹ − 𝑝) 𝑛
Tỉ lệ 𝑍 = ~𝑁(0,1) 𝑍 = ~𝑁(0,1)
𝑛 ≥ 100 𝑝(1 − 𝑝) 𝑝(1 − 𝑝)
Ƹ Ƹ
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 160
- Suy đoán về trung bình mẫu (Tự đọc)
▪ Ta có: 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) rút ra mẫu ngẫu nhiên kích thước
𝜎2
𝑛 xây dựng được thống kê ത và 𝑆
𝑋 2 với ത
𝑋~𝑁(𝜇, )
𝑛
▪ Các công thức suy diễn trung bình mẫu:
𝜎 𝜎
𝑃 𝜇− 𝑧 𝛼/2 < ഥ < 𝜇+
𝑿 𝑧 𝛼/2 = 1 − 𝛼
𝑛 𝑛
𝜎
𝑃 −∞ < ഥ < 𝜇 +
𝑿 𝑧𝛼 =1− 𝛼
𝑛
𝜎
𝑃 𝜇− 𝑧 𝛼 < ഥ < +∞ = 1 − 𝛼
𝑿
𝑛
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN – BỘ MÔN TOÁN KINH TẾ - NEU – www.mfe.edu.vn 161
- Suy đoán về tỉ lệ mẫu (tự đọc)
▪ Các công thức suy diễn trung bình mẫu:
𝑝 1− 𝑝 𝑝(1 − 𝑝)
𝑃 𝑝− 𝑧 𝛼/2 < ෝ < 𝑝 +
𝒑 𝑧 𝛼/2 = 1 − 𝛼
𝑛 𝑛
𝑝(1 − 𝑝)
𝑃 0< ෝ< 𝑝+
𝒑 𝑧𝛼 =1− 𝛼
𝑛
𝑝 1− 𝑝
𝑃 𝑝− 𝑧𝛼 < ෝ
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
