Bài giảng Thiết kế thí nghiệm - Chương 6: Tương quan và hồi quy

Chương 6<br /> <br /> Tương quan và h i quy<br /> <br /> Trong chương này chúng ta s xem xét m i quan h gi a hai bi n ñ nh lư ng ñư c kh o sát<br /> ñ ng th i trên m t ñám ñông, ñi u này có nghĩa là khi ta l y ng u nhiên m t cá th c a ñám<br /> ñông ra xem xét thì ph i cân ño, phân tích, th nghi m ñ ng th i hai ñ c tính sinh h c ñ nh<br /> lư ng X và Y.<br /> Ví d cân và ño ñư ng kính c a tr ng gà, cân và ño vòng ng c c a bò, cân kh i lư ng bu ng<br /> tr ng và ño chi u dài c a cá, nhi t ñ môi trư ng và lư ng th c ăn thu nh n; hàm lư ng lysin<br /> và protein trong th c ăn, ñ dày m lưng và t l n c l n . . .<br /> Sau khi kh o sát m t m u g m n cá th ta thu ñư c n c p s (xi, yi), m t câu h i r t t nhiên<br /> là hai bi n X và Y có quan h v i nhau hay không ? n u có thì khi X thay ñ i Y s thay ñ i<br /> theo như th nào?<br /> Câu h i ñ u: X và Y có quan h v i nhau hay không ñư c trình b y m c h s tương quan,<br /> câu h i sau khi X thay ñ i Y s thay ñ i theo như th nào ñư c trình b y m c h i quy.<br /> <br /> 6.1.<br /> <br /> S p x p s li u<br /> <br /> Khi có ít s li u có th ñ dãy n c p s dưói d ng c t hay hàng, n u nhi u hơn thì có th s p<br /> dư i d ng có t n s , n u nhi u n a thì chia kho ng c X và Y ñ s p thành b ng hai chi u.<br /> 1) S p thành hàng<br /> X<br /> x1<br /> Y<br /> y1<br /> 2) S p thành hàng có t n s<br /> X<br /> x1<br /> x2<br /> Y<br /> y1<br /> y2<br /> m<br /> m1<br /> m2<br /> 3) S p thành c t ho c thành c t có t n s<br /> X<br /> x1<br /> x2<br /> ...<br /> xn<br /> <br /> Y<br /> y1<br /> y2<br /> ...<br /> yn<br /> <br /> x2<br /> y2<br /> <br /> ...<br /> ...<br /> <br /> ...<br /> ...<br /> ...<br /> X<br /> x1<br /> x2<br /> ...<br /> xk<br /> <br /> xn<br /> yn<br /> <br /> xk<br /> yk<br /> mk<br /> <br /> n<br /> <br /> Y<br /> y1<br /> y2<br /> ...<br /> yk<br /> T ng<br /> <br /> m<br /> m1<br /> m2<br /> ...<br /> mk<br /> n<br /> <br /> Chương 6 Tương quan và h i quy 89<br /> <br /> 4) S p thành b ng, X g m k l p, Y g m l l p v i các ñi m gi a xi và yj<br /> y1<br /> <br /> y2<br /> <br /> ...<br /> <br /> yl<br /> <br /> x1<br /> x2<br /> ...<br /> <br /> m11<br /> m21<br /> ...<br /> <br /> m12<br /> m22<br /> ...<br /> <br /> ...<br /> ...<br /> ...<br /> <br /> m1l<br /> m2l<br /> ...<br /> <br /> xk<br /> <br /> mk1<br /> <br /> mk2<br /> <br /> ...<br /> <br /> mkl<br /> <br /> T d ng b ng có th d dàng chuy n thành d ng c t hay hàng có t n s và ngư c tr l i<br /> chuy n t d ng c t hay hàng có t n s thành b ng.<br /> ph n sau các công th c tính toán ñưa ra ch ñúng khi s li u vi t dư i d ng hai c t không<br /> có t n s , khi có t n s thì ph i thêm t n s vào các công th c.<br /> <br /> 6.2.<br /> <br /> H s tương quan.<br /> <br /> Trong toán h c khi có hai dãy s xi và yi ngư i ta có th kh o sát m i quan h gi a X và Y<br /> b ng khái ni m hàm s .<br /> Trong th ng kê xi và yi là các giá tr thu ñư c trong m u quan sát c a hai bi n ng u nhiên X,<br /> Y và ngư i ta mu n ñưa ra m t con s ñ ñánh giá hai bi n ng u nhiên X và Y có quan h v i<br /> nhau hay không.<br /> Có khá nhi u con s ñư c dùng ñ ñánh giá X và Y có quan h hay không nhưng không có<br /> con s nào tho mãn ñư c m i mong mu n c a chúng ta. Trong th c t , các nhà nghiên c u<br /> thư ng quan tâm ñ n m i quan h tuy n tính gi a 2 tính tr ng. M c ñ quan h này ñư c th<br /> hi n b ng h s tương quan. H s tương quan ñư c ñánh giá là ñơn gi n, d dùng và có<br /> nhi u ưu ñi m, nhưng ch th hi n ñư c m i quan h tuy n tính gi a X và Y ch không th<br /> dùng ñ ñánh giá m i quan h nói chung c a hai bi n.<br /> 6.2.1.<br /> <br /> Tính h s tương quan<br /> <br /> D a trên lý thuy t xác su t v h s tương quan chúng ta có công th c sau ñ tính h s tương<br /> quan m u rXY gi a hai bi n ng u nhiên X và Y<br /> n<br /> <br /> ∑(x<br /> <br /> rXY =<br /> <br /> i<br /> <br /> − x )( yi − y )<br /> <br /> 1<br /> n<br /> <br /> ∑<br /> <br /> ( xi − x )<br /> <br /> 1<br /> <br /> n<br /> <br /> 2<br /> <br /> ∑<br /> <br /> (6.1)<br /> <br /> ( yi − y )<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1<br /> <br /> Khai tri n công th c này ñư c công th c (6.2) thu n ti n hơn v m t tính toán<br /> n<br /> <br /> n<br /> <br /> ∑ xi yi −<br /> <br /> rXY =<br /> <br /> n<br /> <br /> 1<br /> <br /> 1<br /> <br /> ∑ xi ∑ yi<br /> n<br /> <br /> 1<br /> n<br /> <br /> (x −<br /> <br /> (∑ xi )<br /> <br /> n<br /> <br /> =<br /> <br /> n<br /> <br /> ( ∑ yi )<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> _ _<br /> <br /> ∑ xi yi − n x y<br /> 1<br /> _<br /> <br /> _<br /> <br /> (6.2)<br /> <br /> ( x − n( x) )( y − n( y ) )<br /> 2<br /> i<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2<br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> )( y − 1<br /> )<br /> n<br /> n<br /> N u tính tu n t các tham s thì có th l n lư t tính phương sai m u c a bi n X, phương sai<br /> m u c a bi n Y, hi p phương sai m u c a X và Y.<br /> 2<br /> i<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> 1<br /> <br /> 90 Thi t k thí nghi m<br /> <br /> rXY =<br /> <br /> Cov XY<br /> s X sY<br /> <br /> (6.3)<br /> <br /> n<br /> <br /> Trong ñó: s =<br /> 2<br /> x<br /> <br /> 6.2.2.<br /> <br /> 1<br /> <br /> (n − 1)<br /> <br /> n<br /> <br /> n<br /> <br /> ∑ ( xi − x )2<br /> ;<br /> <br /> s =<br /> 2<br /> y<br /> <br /> ∑ ( yi − y )2<br /> 1<br /> <br /> (n − 1)<br /> <br /> ; cov XY =<br /> <br /> ∑ ( x − x )( y<br /> i<br /> <br /> i<br /> <br /> − y)<br /> <br /> 1<br /> <br /> (n − 1)<br /> <br /> Tính ch t c a h s tương quan m u<br /> <br /> 1) Là m t s n m gi a -1 và + 1, nói cách khác rXY  ≤ 1<br /> 2) N u Y và X có quan h tuy n tính Y = a + bX thì rXY= 1 và ngư c l i n u rXY= 1 thì<br /> Y và X có quan h tuy n tính Y = a + bX<br /> 3) N u X và Y ñ c l p v xác su t thì rXY = 0 nhưng ngư c l i không ñúng, n u rXY = 0 (g i<br /> là không tương quan) thì chưa th k t lu n X và Y ñ c l p v xác suât. (Như v y ñ c l p v<br /> xác su t suy ra không tương quan nhưng không tương quan không suy ra ñ c l p v xác su t).<br /> 4) N u th c hi n hai phép bi n ñ i tuy n tính<br /> U= aX + b;<br /> <br /> V = cY + d<br /> <br /> thì rUV = rXY<br /> <br /> Tính ch t này ñư c phát bi u dư i d ng: H s tương quan b t bi n ñ i v i phép bi n ñ i<br /> tuy n tính.<br /> Trong th ng kê thư ng dùng cách ch n g c ño m i và ñơn vi ño m i. N u g i xo là g c m i,<br /> h là ñơn v m i, s ño x c a bi n X bây gi là u:<br /> u=<br /> <br /> (x − xo<br /> )<br /> hay x= xo + hu<br /> h<br /> <br /> như v y ta ñã th c hi n phép bi n ñ i tuy n tính X = xo + hU. Tương t ñ i v i Y ta bi n ñ i<br /> Y = yo + kV<br /> B n tính ch t này có th ch ng minh ch t ch nh các b t ñ ng th c toán h c ñ i v i 2 dãy s<br /> nhưng ñây chúng ta th a nh n không ch ng minh.<br /> H s tương quan ñư c coi là m t s ño m i quan h hay liên h tuy n tính gi a X và Y vì<br /> khi rXY g n v phía 1 (thư ng g i là tương quan m nh) thì có th k t lu n X và Y có quan<br /> h g n v i quan h tuy n tính, còn n u rXYg n v phía 0 ( thư ng g i là tương quan y u)<br /> thì không k t lu n ñư c gì vì có th X và Y ñ c l p ho c có th có quan h , nhưng n u có thì<br /> quan h này không th là quan h tuy n tính.<br /> V d u thì n u rXY > 0 ta có tương quan dương, n u < 0 thì tương quan âm<br /> <br /> H6 r = 1<br /> <br /> H 7 r > 0 m nh<br /> <br /> Chương 6 Tương quan và h i quy 91<br /> <br /> H8 r0y u<br /> <br /> Ví d 6.1: Nghiên c u m i quan h tuy n tính gi a ñư ng kính l n x (mm) và kh i lư ng y<br /> (gram) c a m t lo i tr ng gà. Ti n hàn ño ñư ng kính l n và cân kh i lư ng c a 10 qu<br /> tr ng. S li u thu th p ñư c như sau:<br /> Qu tr ng<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> 4<br /> <br /> 5<br /> <br /> 6<br /> <br /> 7<br /> <br /> 8<br /> <br /> 9<br /> <br /> 10<br /> <br /> ðư ng kính l n (x)<br /> <br /> 57<br /> <br /> 54<br /> <br /> 55<br /> <br /> 52<br /> <br /> 55<br /> <br /> 60<br /> <br /> 56<br /> <br /> 56<br /> <br /> 57<br /> <br /> 58<br /> <br /> Kh i lư ng (y)<br /> <br /> 61<br /> <br /> 59<br /> <br /> 58<br /> <br /> 56<br /> <br /> 57<br /> <br /> 59<br /> <br /> 56<br /> <br /> 58<br /> <br /> 56<br /> <br /> 60<br /> <br /> D a vào công th c 6.1 ta có th tính ñư c h s tương quan như sau:<br /> _<br /> <br /> _<br /> <br /> _<br /> <br /> _<br /> <br /> _<br /> <br /> _<br /> <br /> x<br /> <br /> y<br /> <br /> (x- x )<br /> <br /> (y- y )<br /> <br /> (x- x )²<br /> <br /> (y- y )²<br /> <br /> (x- x )(y- y )<br /> <br /> 57<br /> <br /> 61<br /> <br /> 1<br /> <br /> 3<br /> <br /> 1<br /> <br /> 9<br /> <br /> 3<br /> <br /> 54<br /> <br /> 59<br /> <br /> -2<br /> <br /> 1<br /> <br /> 4<br /> <br /> 1<br /> <br /> -2<br /> <br /> 55<br /> <br /> 58<br /> <br /> -1<br /> <br /> 0<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0<br /> <br /> 0<br /> <br /> 52<br /> 55<br /> 60<br /> 56<br /> 56<br /> 57<br /> 58<br /> 560<br /> <br /> 56<br /> 57<br /> 59<br /> 56<br /> 58<br /> 56<br /> 60<br /> 580<br /> <br /> -4<br /> -1<br /> 4<br /> 0<br /> 0<br /> 1<br /> 2<br /> 0<br /> <br /> -2<br /> -1<br /> 1<br /> -2<br /> 0<br /> -2<br /> 2<br /> 0<br /> <br /> 16<br /> 1<br /> 16<br /> 0<br /> 0<br /> 1<br /> 4<br /> 44<br /> <br /> 4<br /> 1<br /> 1<br /> 4<br /> 0<br /> 4<br /> 4<br /> 28<br /> <br /> 8<br /> 1<br /> 4<br /> 0<br /> 0<br /> -2<br /> 4<br /> 16<br /> <br /> _<br /> <br /> _<br /> <br /> Ta có: n = 10; Σxi = 560; Σyi = 580 ; x = 56; y = 58.<br /> N u tính theo (6.1)<br /> <br /> rXY =<br /> <br /> 16<br /> 44 × 28<br /> <br /> = 0,4558<br /> <br /> N u tính theo (6.2) thì<br /> _<br /> <br /> _<br /> <br /> Σxi2 = 31404; Σyi2 = 33668; ( x )2 = 3136; Σxi2- n( x )2= 44<br /> _<br /> <br /> _<br /> <br /> _<br /> <br /> Σxiyi = 32496; Σxiyi - n× x × y = 16; Σyi2 - n( y )2 = 28<br /> rXY =<br /> <br /> 16<br /> = 0,4558<br /> 44 × 28<br /> <br /> 92 Thi t k thí nghi m<br /> <br /> N u tính tu n t theo (8.3) thì:<br /> 2<br /> sX =<br /> <br /> 44<br /> 28<br /> 16<br /> 2<br /> = 1,7778<br /> = 4,8889 ; sY =<br /> = 3,1111 ; cov XY =<br /> 9<br /> 9<br /> 9<br /> <br /> rXY =<br /> <br /> 6.3.<br /> <br /> 1,7778<br /> = 0,4558<br /> 4,8889 × 3,1111<br /> <br /> H i quy tuy n tính<br /> <br /> V các ñi m quan sát Mi(xi,yi) trên h to ñ vuông góc, các ñi m này h p thành m t ñám<br /> mây quan sát nhìn chung có d ng m t elíp (tr m t vài ñi m tách ra xa g i là ñi m ngo i lai),<br /> n u rXY g n b ng 1 thì elíp r t d t, n u  rXYv a ph i thì elíp b u bĩnh, n urXY g n<br /> b ng không thì có 2 kh năng: ho c ñám mây quan sát t n m n trên m t ph m vi r ng (không<br /> quan h ), ho c ñám mây quan sát không còn d ng elíp mà t p trung thành m t hình cong (phi<br /> tuy n).<br /> Trư ng h p rXY g n 1 elíp ñám mây quan sát khá d t. ð gi i thích s thay ñ i c a Y khi<br /> cho X thay ñ i ngư i ta thư ng ñưa ra mô hình h i quy tuy n tính Y = a + bX.<br /> Có th tìm hi u mô hình h i quy tuy n tính theo hai cách sau ñây:<br /> <br /> 6.3.1.<br /> <br /> ðư ng trung bình c a bi n ng u nhiên Y theo X trong phân ph i chu n 2 chi u<br /> <br /> Kh o sát ñ ng th i 2 bi n ng u nhiên ñ nh lư ng (như ñã làm t ñ u chương này). C p bi n<br /> X,Y thư ng tuân theo lu t chu n hai chi u, khi y n u theo dõi bi n X trư c thì ng v i m i<br /> giá tr x c a bi n ng u nhiên X có vô s giá tr c a bi n Y, các giá tr này có giá tr trung bình<br /> lý thuy t là kỳ v ng M(Y/ x).<br /> Khi x thay ñ i kỳ v ng M(Y/x) thay ñ i theo và các ñi m P(x,M(Y/ x)) ch y trên m t ñư ng<br /> th ng g i là ñư ng h i quy tuy n tính Y theo X.<br /> N u theo dõi bi n Y trư c thì ng v i m t giá tr y c a Y có vô s giá tr c a bi n X có trung<br /> bình là kỳ v ng M(X/ y). ði m Q(y, M(X/ y) ch y trên m t ñư ng th ng g i là ñư ng h i quy<br /> tuy n tính X theo Y.<br /> Như v y, v m t lý thuy t, khi có phân ph i chu n hai chi u các ñư ng h i quy tuy n tính Y<br /> theo X và h i quy tuy n tính X theo Y chính là các ñư ng kỳ v ng có ñi u ki n M(Y/x) và<br /> M(X/y).<br /> Trong trư ng h p t ng quát c a phân ph i hai chi u các ñư ng kỳ v ng có ñi u ki n có th là<br /> ñư ng th ng ho c ñư ng cong và ñư c g i là h i quy Y theo X (hay X theo Y). Trong th c<br /> nghi m chúng ta kh o sát 2 bi n ñ nh lư ng b ng cách l y m u v i dung lư ng n khá l n.<br /> Thay cho ñư ng h i quy tuy n tính lý thuy t có ñư ng h i quy th c nghi m. G i (x, y) là to<br /> _<br /> <br /> _<br /> <br /> ñ c a m t ñi m ch y trên ñư ng th ng h i quy, x và y là trung bình c ng c a X và Y, sx và<br /> sy là ñ l ch chu n c a X và Y, phương trình h i quy tuy n tính th c nghi m có d ng:<br /> s<br /> y − y = rXY Y ( x − x )<br /> (6.4)<br /> sX<br /> <br />