Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Chương 4 (Lecture 7) - Trần Quang Việt

Chia sẻ: Star Star | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

111
lượt xem 13
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 4: Biểu diễn tín hiệu dùng biến đổi Fourier. Nội dung chính trong bài này gồm: Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng biến đổi Fourier, các tính chất của biến đổi Fourier, biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Chương 4 (Lecture 7) - Trần Quang Việt

Ch-4: Biểu diễn tín hiệu dùng biến đổi Fourier Lecture-7 4.1. Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng biến đổi Fourier 4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier 4.3. Biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.1. Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng biến đổi Fourier 4.1.1. Biến đổi Fourier 4.1.2. Điều kiện tồn tại biến đổi Fourier 4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 1
4.1.1. Biến đổi Fourier Tín hiệu không tuần hoàn được xem như tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ dài vô hạn Xét f(t) là tín hiệu không tuần hoàn: f (t ) và fT0(t) là tín hiệu tuần hoàn được tạo thành do sự lặp lại f(t) với chu kỳ T0: f (t ) T0 T0 Ta có quan hệ giữa f(t) và fT0(t) như sau: f(t)= lim  f T0 (t)  T0 →∞ Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.1.1. Biến đổi Fourier Biểu diễn fT0(t) dùng chuỗi Fourier 1 T0 /2 1 S 2 sinnω0S Dn = T0 ∫ -T0 /2 f T0 (t)e-jnω0 t dt= T0 ∫ -S e-jnω0 t dt= T0 nω0 T0 Dn 2sin ω S 2π ω = nω0 = n ω T0 nω0 ω0 = 2π /T0 Gấp đôi T0: T0 Dn 2sin ω S 2π ω = nω0 = n ω T0 nω0 ω0 = 2π /T0 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 2
4.1.1. Biến đổi Fourier Tiếp tục tăng T0 T0 Dn 2sin ω S 2π ω = nω0 = n ω T0 nω0 ω0 = 2π / T0 Khi T0∞, T0Dn hàm liên tục lim [ T0 .D n ] = lim  ∫ f T0 (t)e-jnω0t dt  = ∫ f(t)e-jωt dt=F(ω) T0 /2 ∞ T0 →∞ T0 →∞   -T0/2  -∞ Phổ của tín hiệu không tuần hoàn: F(nω0 ) 1 D(ω)= lim [D n ] = lim = F(ω) lim [∆ω] = 0 T0 →∞ T0 →∞ T0 2π ∆ω→0 Phổ của tín hiệu không tuần hoàn có tính chất phân bố Hàm mật độ phổ tín hiệu, F(ω), được xem là phổ tín hiệu Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.1.1. Biến đổi Fourier Tích phân Fourier ∞ ∞ f(t) = lim f T0 (t) = lim T 0 →∞ T 0 →∞ ∑De n =−∞ n jnω0 t = lim ∆ω →∞ 1 ∑ 2π F(n∆ω)e jn ∆ωt ∆ω n =−∞ 1 ∞ f(t) = 2π ∫−∞ F(ω)e jωt dω Tóm lại ta có kết quả: f(t) ↔ F(ω) ∞ Phương trình phân tích – Biến F(ω )= ∫ f(t)e − jω t dt đổi Fourier thuận −∞ 1 ∞ ∫ Phương trình tổng hợp – Biến f(t)= F(ω)e jωt dω đổi Fourier ngược 2π −∞ Cho phép phân tích/tổng hợp tín hiệu f(t) thành/từ các thành phần tần số, ejωωt Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 3
4.1.2. Điều kiện tồn tại biến đổi Fourier Tín hiệu f(t) có năng lượng hữu hạn đều tồn tại F(ω) hữu hạn và năng lượng sai số bằng 0. Điều kiện Dirichlet: Điều kiện 1: ∫ |f(t)|dt0: ∞ ∞ ∞ 1 − (a+jω)t 1 F(ω)= ∫ e u(t)e − at − jωt dt= ∫ e − (a+jω)t dt= − e = −∞ 0 a+jω 0 a+jω 1 e−at u(t); a>0 ↔ a+jω Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4
4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản 1 F (ω ) = a2 + ω 2 ∠F (ω ) = − tan −1 (ω / a ) F (ω ) ∠F (ω ) 1/ a π /2 ω ω −π / 2 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản f(t)=u(t): +∞ +∞ +∞ 1 − jωt F (ω ) = ∫ u (t )e − jωt dt = ∫ e − jωt dt = − e =? −∞ 0 jω 0 u (t ) 1 e − at u (t ) u (t ) = lim e − at u (t ) a →0 t 0 +∞ 1  a − jω  ⇒ F (ω ) = lim ∫ e − at u (t )e − jωt dt = lim = lim  2  a + ω  2 a →0 −∞ a →0 a + jω a →0 a 1 ⇒ F (ω ) = lim 22 + a →0 a + ω jω Diện tích bằng π 1 ⇒ F (ω ) = πδ (ω ) + jω u(t ) ↔ πδ (ω) + 1/ jω Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 5
4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản f(t) xung cổng đơn vị: 0 t >τ / 2 r e ct ( τt ) = 1 t
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier Ví dụ: −ωτ / 2 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier Phép dịch tần số (điều chế): ∞ f(t) ↔ F(ω)= ∫ f(t)e − jωt dt −∞ ∞ ∞ f1 (t)=f(t)e jω0t ↔ F1 (ω)= ∫ f(t)e jω0 t e − jωt dt = ∫ f(t)e − j(ω−ω0 )t dt = F(ω − ω0 ) −∞ −∞ f(t)e jω0t ↔ F(ω − ω0 ) 1 1 Ví dụ: f(t)cosω0 t ↔ F(ω − ω0 ) + F(ω+ω0 ) 2 2 1 1 f(t)sinω0 t ↔ F(ω − ω0 ) − F(ω+ω0 ) j2 j2 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 7
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier Tính đối ngẫu: ∞ f(t) ↔ F(ω)= ∫ f(t)e − jωt dt −∞ 1 ∞ 1 ∞ f(t)= 2π ∫−∞ F(ω)e jωt dω f( − t)= 2π ∫−∞ F(ω)e − jωt dω 1 ∞ ∞ f( − ω)= ∫ F(t)e − jωt dt 2πf( − ω)= ∫ F(t)e − jωt dt −∞ 2π −∞ F(t) ↔ 2πf( − ω) Ví dụ: δ(t) ↔ 1 1 ↔ 2πδ( − ω)=2πδ(ω) t  ωτ  π  ω  rect   ↔ τsinc   sinc ( ω0 t ) ↔ rect   τ  2  ω0  2ω0  Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier Phép tỷ lệ thời gian: ∞ ∞ f(t) ↔ F(ω)= ∫ f(t)e − jωt dt f1 (t)=f(at) ↔ F1 (ω)= ∫ f(at)e − jωt dt −∞ −∞ ω 1 ∞ 1 ω−j τ a ∫−∞ a > 0 : F1 (ω)= f(τ)e dτ = F   a a a 1 ω f(at) ↔ F  1 ∞ ω −j τ 1 ω |a|  a  a < 0 : F1 (ω)= ∫ f(τ)e a dτ = F   −a −∞ −a  a  Phép đảo thời gian: ∞ f(t) ↔ F(ω)= ∫ f(t)e − jωt dt f( − t) ↔ F( − ω) −∞ Ví dụ: e − at u(t) ↔ 1/(a + jω) eat u( − t) ↔ 1/(a − jω) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 8
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier Tích chập trong miền thời gian: f1 (t) ↔ F1 (ω); f 2 (t) ↔ F2 (ω) +∞ f(t)=f1 (t) ∗ f 2 (t) ↔ F(ω)= ∫ f1 (t) ∗ f 2 (t)e − jωt dt −∞ F(ω)= ∫  ∫ f1 (τ)f 2 (t − τ)dτ  e − jωt dt +∞ +∞ −∞   −∞  = ∫ f1 (τ)  ∫ f 2 (t − τ)e − jωt dt  dτ = ∫ f1 (τ)F2 (ω)e − jωτ dτ +∞ +∞ +∞ -∞  -∞  −∞ +∞ = F2 (ω) ∫ f1 (τ)e − jωτ dτ = F1 (ω)F2 (ω) −∞ f1 (t) ∗ f 2 (t) ↔ F1 (ω)F2 (ω) Ví dụ: rect( 2tT ) ↔ T2 sinc ( ωT4 ) T2 Có: rect( 2tT ) ∗ rect( 2tT )= T2 ∆ ( Tt ) ↔ 4 sinc 2 ( ωT 4 ) ∆ ( Tt ) ↔ T 2 sinc 2 ( ωT 4 ) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier Tích chập trong miền tần số: f1 (t) ↔ F1 (ω); f 2 (t) ↔ F2 (ω) 1 +∞ f(t)= ∫ [F1 (ω) ∗ F2 (ω)]e jωt dω 2π −∞ 1 +∞ +∞ = 2π ∫ −∞ [ ∫ F1 (τ)F2 (ω-τ)dτ]e jωt dω −∞ 1 +∞ +∞ = 2π ∫−∞ F1 (τ )[ ∫−∞ F2 (ω-τ)e jωt dω]dτ 1 +∞ +∞ = 2π ∫−∞ F1 (τ)e jτt [ ∫ F2 (x)e jxt dx]dτ −∞ +∞ = f 2 (t) ∫ F1 (τ)e jτt dτ = 2πf1 (t)f 2 (t) −∞ 2πf1 (t)f2 (t) ↔ F1 (ω) ∗ F2 (ω) Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 9
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier Đạo hàm trong miền thời gian: +∞ f(t) ↔ F(ω) f(t) = 1 2π ∫ −∞ F(ω)e jωt dω df(t) +∞ df(t) dt = 1 2π ∫ −∞ jωF(ω)e jωt dω dt ↔ jωF(ω) d n f(t) n ↔ (jω) n F(ω) dt Tích phân trong miền thời gian: +∞ t f(t) ∗ u(t) = ∫ f(τ)u(t − τ)dτ = ∫ f(τ)dτ −∞ −∞ f(t) ∗ u(t) ↔ F(ω)[πδ(ω)+1/jω] = πF(0)δ(ω)+F(ω)/jω t ∫−∞ f(τ)dτ ↔ πF(0)δ(ω)+F(ω)/jω Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier Liên hiệp phức và tính đối xứng liên hiệp phức: ∞ +∞ f(t) ↔ F(ω)= ∫ f(t)e − jωt dt −∞ f(t) = 1 2π ∫ −∞ F(ω)e jωt dω +∞ +∞ f * (t) = [ 2π1 ∫ F(ω)e jωt dω]* = 2π1 ∫ F* (ω)e − jωt dω −∞ −∞ +∞ = 1 2π ∫−∞ F* ( − ω)e jωt dω f * (t) ↔ F* ( − ω) F( − ω)=F* (ω) f(t):Real |F(ω)| : even function of ω ∠F(ω) : odd function of ω Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 10
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier Định lý Parseval: +∞ +∞ +∞ +∞ E f = ∫ |f(t)|2 dt = ∫ f(t)f * (t)dt = ∫ f(t)[ 21π ∫ F(ω)e jωt dω]∗dt −∞ −∞ −∞ −∞ +∞ +∞ +∞ = 1 2π ∫−∞ F* (ω)[ ∫ f(t)e-jωt dt]dω = −∞ 1 2π ∫ −∞ F* (ω)F(ω)dω +∞ E f = 2π1 ∫ |F(ω)|2dω Định lý Parseval −∞ |F(ω)|2 Mật độ phổ năng lượng Ví dụ: f(t)=sinc(t) ↔ F(ω)=2πrect( ω2 ) +∞ 1 Ef = 1 2π ∫ −∞ 4π 2 rect 2 ( ω2 )dω = 2π ∫ dω = 4π −1 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.3. Biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn dùng chuỗi Fourier: +∞ 1 f(t)= ∑ D n e jnω0t với: D n = ∫ f(t)e − jnω0t dt n= −∞ T0 T0 Biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn: +∞ f(t) ↔ F(ω)= ∑ 2πD n δ(ω − nω0 ) n= −∞ Ví dụ 1: f(t) T0=4S T0 +∞ 1 nπ nπ D n = sinc( ) F(ω)= ∑ πsinc( )δ(ω − nω0 ) 2 2 n= −∞ 2 Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 11
4.3. Biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn F(ω) π 2 2 ω −ω 0 ω0 ∞ Ví dụ 2: xác định phổ của hàm phân bố lược f(t)= ∑ δ(t − kT) k= −∞ f(t) 1 t -2T -T 0 T 2T Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 4.3. Biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn +∞ 1 2π 2nπ Dn = F(ω)= ∑ δ(ω − ) T n= −∞ T T F(ω) 2π T 4π 2π 0 2π 4π ω − − T T T T Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11 12