Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Chương 5 - Nguyễn Phước Bảo Duy

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

4
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Tín hiệu và hệ thống" Chương 5 - Chuỗi Fourier và Biến đổi Fourier, được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Không gian tín hiệu trực giao; Chuỗi Fourier lượng giác; Chuỗi Fourier phức; Biến đổi Fourier; Các tính chất của Biến đổi Fourier. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Chương 5 - Nguyễn Phước Bảo Duy

Chương 5: Chuỗi Fourier và Biến đổi Fourier 1. Không gian tín hiệu trực giao  2. Chuỗi Fourier lượng giác 3. Chuỗi Fourier phức 4. Biến đổi Fourier 5. Các tính chất của Biến đổi Fourier Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy HCMC University of Technology
Component of a Vector:  f  cx : component of f along x  f  cx  e    e  f  cx : error  1 • The error is minimized when: c  2 f .x x • The two vectors are orthogonal when: c  0  f .x  0 Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy HCMC University of Technology
Component of a Signal: • Approximating a real signal f(t) in terms of other real signal x(t) over an interval [t1, t2]: f (t )  c.x(t )  e(t )  f (t )  c.x(t ) : component of f (t ) in term of x(t )   e(t )  f (t )  c.x(t ) : error • The error is minimized when its energy is minimum. t2 t2  f (t).x(t)dt t1 1 t2 Ee   e (t)dt  min  c  2   f (t).x(t)dt t2 Ex  x (t)dt t1 2 t1 t1 Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy HCMC University of Technology
Orthogonality: • We define the real signals x1(t) and x2(t) to be orthogonal over the interval [t1, t2] if: t2  x (t).x (t)dt  0 t1 1 2 • Orthogonality in complex signals: t2 t2  t1 x1* (t ).x2 (t )dt  0 or  t1 x1 (t ).x2 * (t )dt  0 Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy HCMC University of Technology
Orthogonality: • Example 5.01: How many of the following pairs of functions are orthogonal over [0, 3]? a. cos 2 t and sin 2 t b. cos 2 t and cos 4 t c. cos 2 t and sin  t d. cos 2 t and e j 2 t • Answers: a  b c d Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy HCMC University of Technology
Orthogonal signal set: • A signal set x 1 (t), x 2 (t),…, x n (t) is orthogonal over the interval [t1, t2] if: t2 0 mn  xm (t).xn (t)dt   Em t1  mn Example 5.02: show that {x 1 , x 2 , x 3 , x 4 } is an orthogonal signal set. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy HCMC University of Technology
Orthogonal signal set: • Approximate a signal f(t) over [t1, t2] by orthogonal signal set: N f (t )  c1 x1 (t )  c2 x2 (t )  ...  cN xN (t )   cn xn (t ) n 1 N • The error: e( t )  f ( t )   c n x n ( t ) n 1 • The error’s energy Ee is minimized when: t2  t1 f (t )xn (t )dt 1 t2 cn  t2  En  t1 f ( t) xn( t) dt  xn (t )dt 2 t1 Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy HCMC University of Technology
Complete orthogonal signal set - generalized Fourier series: • The minimum error signal energy: t2 N Ee   f 2 ( t)dt   cn En 2 t1 n 1 • Ee will decreases if N increases, and  0 as N  . When N  , we have a complete orthogonal signal set. And then:  f (t )  c1 x1 (t )  ...  cn xn (t )  ...   cn xn (t ) t1  t  t2 • This series is called the generalized Fourier series of f(t) with n 1 respect to the set {xn(t)}. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy HCMC University of Technology
Chương 5: Chuỗi Fourier và Biến đổi Fourier 1. Không gian tín hiệu trực giao 2. Chuỗi Fourier lượng giác  3. Chuỗi Fourier phức 4. Biến đổi Fourier 5. Các tính chất của Biến đổi Fourier Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy HCMC University of Technology
Tập trực giao đầy đủ dạng lượng giác: • Xét tập các tín hiệu: 1,cos  t ,cos 2 t ,...,cos n t ,...; sin  t ,sin 2 t ,...,sin n t ,... 0 0 0 0 0 0 § 0: tần số cơ bản § n: số nguyên dương § n0: tần số hài bậc n § T0 = 2/0: chu kỳ cơ sở. • Tập tín hiệu trên là tập trực giao đầy đủ với bấc kỳ giá trị nào của T0, được gọi là tập trực giao lượng giác. Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy HCMC University of Technology
Chuỗi Fourier lượng giác: • Biểu diễn tín hiệu f(t) bằng chuỗi Fourier lượng giác trong đoạn [t1, t1 + T0] như sau:  2 f (t )  a0   a n cos n0t  bn sin n0t 0  n 1 T0 1 t1 T0 a0  T0  t1 f ( t) dt 2 t1 T0 an  T0  t1 f ( t) cos n0 tdt 2 t1 T0 bn  T0  t1 f ( t) sin n0 tdt Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy HCMC University of Technology
Chuỗi Fourier dạng sóng hài: an cos n0t  bn sin n0t  Cn cos n0t  n  2 2 Cn  an  bn  bn  1  n  tan     an  • Dạng sóng hài:  f (t )  C 0   C n cos n0t  n  t1  t  t1  T0 n 1 Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy HCMC University of Technology
Chuỗi Fourier lượng giác: • Ví dụ 5.03: Xác định chuỗi Fourier lượng giác của f(t) = t trên đoạn [0, 1]. 1  sin 2 nt f (t )    ; 0t 1 2 n1 n Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy HCMC University of Technology
Tính tuần hoàn của chuỗi Fourier lượng giác:  • Chuỗi Fourier  (t )  a0   a n cos n0t  bn sin n0t n 1 là một hàm tuần hoàn với chu kỳ T0 và chỉ bằng f(t) trên đoạn [t1, t1 + T0], ở ngoài đoạn này thì f(t) ≠ (t). • Nếu f(t) cũng là một tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ T0, khi đó chuỗi Fourier của f(t) trên đoạn [t1, t1 + T0] có giá trị bằng f(t) với mọi giá trị của t. • Ví dụ 5.04:  f (t )  t 0  t  1 1  sin 2 nt   f (t )    for all t  f (t  1)  f ( t) 2 n1 n Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy HCMC University of Technology
Tính tuần hoàn của chuỗi Fourier lượng giác: • Ví dụ 5.04:  f (t )  t 0  t  1 1  sin 2 nt   f (t )    for all t  f (t  1)  f ( t) 2 n1 n Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy HCMC University of Technology
The Fourier spectrum:  • Consider the compact form: f (t )  C 0   C n cos n0t  n  n 1 • Amplitude spectrum: the plot of Cn vs.  • Phase spectrum: the plot of n vs.  Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy HCMC University of Technology
The Fourier spectrum: Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy HCMC University of Technology
In time domain Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy HCMC University of Technology
Spectrum (frequency domain): Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy HCMC University of Technology
Example 5.05: Plot the amplitude and phase spectrum for the periodic square f(t): 1 2 1 1 1  f (t )    cos t  cos 3t    cos 5t  cos 7 t    ... 2  3 5 7  Created and edited by: Nguyen Phuoc Bao Duy HCMC University of Technology