Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Phép biến đổi Fourier - TS. Đặng Quang Hiếu

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:54

Thêm vào BST

Báo xấu

38
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng này cung cấp cho người học những kiến thức cơ bản về các phép biến đổi Fourier. Những nội dung cơ bản được trình bày trong bài gồm có: Vai trò của biến đổi Fourier, tín hiệu trên miền thời gian và miền tần số, chuỗi Fourier (FS), điều kiện tồn tại FS,... Mời các bạn cùng tham khảo để biết thêm các nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Tín hiệu và hệ thống: Phép biến đổi Fourier - TS. Đặng Quang Hiếu

o .c ng ET 2060 - Tín hiệu và hệ thống co Các phép biến đổi Fourier an TS. Đặng Quang Hiếu th Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Điện tử - Viễn thông ng 2015-2016 o du u CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
o Vai trò của biến đổi Fourier .c ng ◮ Quan trọng trong toán học, vật lý và các ngành kỹ thuật đặc biệt là xử lý tín hiệu. co ◮ Khái niệm chuỗi Fourier do Joseph Fourier giới thiệu vào năm 1807, và sau đó được phát triển bởi nhiều nhà khoa học nổi an tiếng khác. Phân loại: ◮ Chuỗi Fourier (FS) ◮ ◮ th Chuỗi Fourier rời rạc theo thời gian (DTFS) Biến đổi Fourier (FT) ng ◮ Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian (DTFT) ◮ Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) có thể được thực hiện nhanh o (các thuật toán FFT). du u CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
o Tín hiệu trên miền thời gian và miền tần số .c x(t) ng 1 co 1 2 3 4 5 t an -1 th |X (f )| ng -3 -2 -1 1 2 3 f o du u CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
o Outline .c ng Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục co Chuỗi Fourier cho tín hiệu rời rạc an Biến đổi Fourier th ng Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian o du u CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
o Chuỗi Fourier (FS) .c Mọi tín hiệu x(t) tuần hoàn với chu kỳ cơ bản T đều có thể được ng biểu diễn bởi chuỗi Fourier (FS) như sau: co ∞ X 2π x(t) = ck e j T kt k=−∞ an trong đó th ck = 1 T Z T x(t)e −j T 2π kt dt 0 ng 2π ◮ ck e jk T t được gọi là thành phần hài bậc k. o ◮ {ck } được gọi là các hệ số chuỗi Fourier hay các hệ số phổ du của tín hiệu x(t). u CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
o Ví dụ về FS .c Hãy tìm khai triển chuỗi Fourier cho các tín hiệu sau với chu kỳ cơ bản T . ng (a) x(t) = cos( 2π T t) (b) Dãy xung đơn vị tuần hoàn co ∞ X x(t) = δ(t − kT ) an k=−∞ (c) Dãy xung vuông tuần hoàn x(t) = th 1, ℓT − T20 ≤ t ≤ ℓT + T0 2 , ℓ∈Z 0, t còn lại o ng x(t) du t u T0 T0 − T2 2 2 T − CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2
o Khai triển chuỗi Fourier của hàm xung vuông tuần hoàn .c ck ng T0 1 0.25 b b b T = 4 co b b b b b b b b b b b b an b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b k b b -20 -16 -12 -8 b b -4 4 b b 8 12 16 20 th ck ng T0 1 T = 8 b b b b b b b b b b b o b b b b b b b b b b b b b b b b b b k du b b b b b b b b b b b b -16 -8 8 16 u CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
o Điều kiện tồn tại FS .c ng Các điều kiện Dirichlet: 1. x(t) bị chặn co 2. x(t) có hữu hạn các cực đại và cực tiểu trong một chu kỳ 3. x(t) có hữu hạn các điểm gián đoạn trong một chu kỳ an th Tín hiệu có năng lượng hữu hạn trên một chu kỳ: ng Z |x(t)|2 dt < ∞ o T du u CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
o Dạng biểu diễn khác của FS .c ng co ∞ a0 X 2π 2π an x(t) = + ak cos(k t) + bk sin(k t) 2 T T k=1 th Quan hệ giữa ak , bk và ck ? o ng du u CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
o Tính chất tuyến tính .c ng Nếu x(t), y (t) cùng chu kỳ co FS (1) x1 (t) ←− −→ ck an FS (2) x2 (t) ←− −→ ck thì th FS (1) (2) ng −→ αck + βck αx1 (t) + βx2 (t) ←− o du u CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
o Tính chất dịch .c ng Dịch theo thời gian: co FS −j 2π −→ e T kt0 ck x(t − t0 ) ←− an Dịch tần số: 2π FS ej T 0 k t x(t) ←− −→ ck−k0 th Ví dụ: Tìm khai triển FS cho tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ T ng 1, ℓT ≤ t ≤ ℓT + T0 , ℓ ∈ Z x(t) = 0, t còn lại o du u CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
o Đảo trục thời gian .c ng co FS x(−t) ←− −→ c−k an ◮ Nếu x(t) chẵn? ◮ Nếu x(t) lẻ? th o ng du u CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
o Tính chất đối xứng .c ng co FS ∗ x ∗ (t) ←− −→ c−k an ◮ Nếu x(t) thực? th ◮ Nếu x(t) ảo? o ng du u CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
o Quan hệ Parseval .c ng co ∞ 1 Z |x(t)|2 dt = |ck |2 an X T T k=−∞ th Ý nghĩa: FS bảo toàn công suất của tín hiệu. o ng du u CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
o Outline .c ng Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục co Chuỗi Fourier cho tín hiệu rời rạc an Biến đổi Fourier th ng Biến đổi Fourier rời rạc theo thời gian o du u CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
o Dãy tuần hoàn và chuỗi Fourier .c Dãy x˜[n] (hoặc x˜[n]N ) tuần hoàn với chu kỳ N: ng x˜[n] = x˜[n + rN], ∀n, r ∈ Z co Khai triển chuỗi Fourier cho dãy x˜[n]: X 2π ck e j N kn an x˜[n] = k th Đặc điểm của các thành phần tần số e j 2π N kn , ∀k ∈ Z? ng 2π 2π (k+rN)n ej N kn = ej N , ∀r ∈ Z o N−1 du X 2π X x˜[n] = c˜k e j N kn , c˜k = ck+rN k=0 r u CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
o Tính c˜k ? .c 2π (i) Nhân cả hai vế với e −j N mn , tính tổng với n = 0, (N − 1) N−1 N−1 X N−1 ng X 2π X 2π x˜[n]e −j N mn = c˜k e j N (k−m)n n=0 n=0 k=0 co (ii) Đổi thứ tự lấy tổng ở vế phải an N−1 N−1 N−1 X 2π X X 2π x˜[n]e −j N mn = c˜k ej N (k−m)n n=0 th k=0 n=0 (iii) Tính trực giao: ng N−1 N, khi X j 2π (k−m)n k − m = rN e = o N 0, khi k − m 6= rN du n=0 N−1 X 2π =⇒ x˜[n]e −j N mn = N · c˜m u n=0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
o Khái niệm chuỗi Fourier rời rạc (DTFS) .c ng N−1 1 X 2π c˜k = x˜[n]e −j N kn N co n=0 c˜k tuần hoàn với chu kỳ N. an DTFS x˜[n] ←−−−→ c˜k th N−1 X 2π x˜[n] = c˜k e j kn ng N k=0 o ◮ Biên độ: |˜ ck | du ◮ Pha: arg{˜ ck }. u CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
o Ví dụ về DTFS .c (1) Tìm khai triển Fourier của dãy ng ∞ 1, n = rN, X ∀r ∈ Z x˜[n] = δ(n − rN) = co 0, n = 6 rN r =−∞ an (2) Cho x˜[n] là dãy tuần hoàn với chu kỳ N x˜[n] = th 1, ℓN ≤ n ≤ ℓN + M − 1, 0, n còn lại ∀n ∈ Z, M < N ng Hãy tìm c˜k , |˜ ck |, arg{˜ ck }. o (3) Dãy x˜[n] tuần hoàn với chu kỳ N cũng có thể coi là một dãy du (N) tuần hoàn có chu kỳ 2N. Nếu c˜k := DTFS{˜ x [n]N } và (2N) (2N) (N) c˜k := DTFS{˜ x [n]2N }. Hãy tính c˜k theo c˜k . u CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
o DTFS của dãy xung chữ nhật tuần hoàn N = 100, M = 10 .c 0.1 0.09 ng 0.08 0.07 0.06 co |X[k]| 0.05 0.04 0.03 an 0.02 0.01 0 −100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 3 th k ng 2 1 o arg{X[k]} 0 du −1 −2 u −3 CuuDuongThanCong.com −100 −80 https://fb.com/tailieudientucntt −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 k