Bài giảng Toán cao cấp 2: Chương 8 - TS. Trịnh Thị Hường

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp 2: Chương 8 cung cấp cho người học những kiến thức như: tích phân bất định; một số tích phân thường gặp; tích phân xác định; tích phân suy rộng;...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 2: Chương 8 - TS. Trịnh Thị Hường

HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 2 CHƯƠNG 8 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN Giảng viên: T.S Trịnh Thị Hường Bộ môn : Toán Email: trinhthihuong@tmu.edu.vn
CÁC NỘI DUNG CHÍNH  TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH  MỘT SỐ TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP  TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH  TÍCH PHÂN SUY RỘNG
BÀI 1. TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1. Khái niệm Định nghĩa 1: Cho hàm số 𝑦 = 𝑓 𝑥 , xác định trên [a; b]. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên [a;b] nếu 𝐹 ′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏
Định lý 1: Hàm F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x) trên đoạn [a,b]. Khi đó i) Hàm F(x)+C, C là hằng số bất kỳ, cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên [a,b]. ii) Mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên [a,b] đều có dạng F(x)+C, C là hằng số nào đó.
Định nghĩa 2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên [a,b] thì biểu thức F(x)+C, C là hằng số bất kỳ, được gọi là tích phân bất định của hàm số f(x). Kí hiệu ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶 .
2. CÁC TÍNH CHẤT a) Nếu A là hằng số thì ∫ 𝐴𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐴∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 b) Nếu f(x), g(x) đều có nguyên hàm thì ∫ 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 c) Nếu ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶 và 𝑢 = 𝑢(𝑥) thì ∫ 𝑓 𝑢 𝑑𝑢 = 𝐹(𝑢) + 𝐶
3. CÁC CÔNG THỨC TÍCH PHÂN CƠ BẢN (TRANG 158 – 159 SGT) 𝑥 𝛼 +1 1. ∫ 𝑥 𝛼 𝑑𝑥 = + 𝐶, 𝛼 ≠ −1 𝛼+1 𝑑𝑥 2. ∫ = ln |𝑥| + 𝐶 𝑥 𝑎𝑥 3. ∫ 𝑎 𝑥 𝑑𝑥 = + 𝐶, 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 ln 𝑎 4. ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶 𝑑𝑥 1 𝑎+𝑥 5. ∫ 2 2 = ln + 𝐶, (𝑎 ≠ 0) 𝑎 −𝑥 2𝑎 𝑎−𝑥 𝑑𝑥 1 𝑥+𝑎 ∫ 𝑥 2 −𝑎 2 = 2𝑎 ln 𝑥−𝑎 + 𝐶, (𝑎 ≠ 0)
6. ∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶 7. ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶 𝑑𝑥 8. ∫ = tan 𝑥 + 𝐶 cos 2 𝑥 𝑑𝑥 9. ∫ = − cot 𝑥 + 𝐶 sin 2 𝑥
𝑑𝑥 1 𝑥 10. ∫ 2 2 = arctan + 𝐶 𝑎 +𝑥 𝑎 𝑎 𝑑𝑥 11. ∫ 1+𝑥 2 = arctan 𝑥 + 𝐶 dx x 12. ∫ = arcsin +C 𝑎 2 −𝑥 2 𝑎 x = − arccos + C1 (a > 0) a dx 13. ∫ = arcsin x + C = − arccos 𝑥 + 𝐶1 1−𝑥 2 dx 14. ∫ = ln x + 𝑥 2 + 𝑏 + C, b∈R 𝑥 2 +𝑏
4. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 4.1. Phương pháp khai triển 4.2. Phương pháp đổi biến số 4.3. Phương pháp tích phân từng phần
4.1. PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN Ví dụ 1. Tích các tích phân sau: 𝑑𝑥 𝐼= 𝑥 2 (𝑥 2 + 1)
4.2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Xét tích phân ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 a) Đặt 𝑡 = 𝑢 𝑥 với 𝑢 𝑥 là một hàm khả vi. Biến đổi 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 về dạng: 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑔(𝑡)𝑑𝑡 Nếu ∫ 𝑔(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐹 𝑡 + 𝐶 thì 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹 𝑢 𝑥 +𝐶 Ví dụ 2: Tính tích phân sau 𝑑𝑥 𝐼= 𝑥 𝑥2 − 1
b) Đặt 𝑥 = 𝜑 𝑡 với 𝜑 𝑡 là một hàm khả vi, đơn điệu thì: dx=𝜑′ 𝑡 𝑑𝑡. Khi đó 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑡 𝜑 ′ (𝑡)𝑑𝑡 Tính tích phân theo biến t rồi trả về theo biến x. Ví dụ 3: Tính tích phân sau 𝐼= 𝑥 2 1 − 𝑥 2 𝑑𝑥
4.3. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Nếu u(x), v(x) là các hàm khả vi, ta có 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢
CHÚ Ý: MỘT SỐ TÍCH PHÂN SỬ DỤNG TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN (TRANG 172 SGT) • Tích phân ∫ 𝑃𝑛 𝑥 𝑒 𝑘𝑥 𝑑𝑥; ∫ 𝑃𝑛 𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑘𝑥𝑑𝑥 𝑃𝑛 (𝑥)𝑥 𝑛 cos 𝑘𝑥𝑑𝑥 (𝑃𝑛 (𝑥) là đa thức bậc n của x). 𝑢 = 𝑃𝑛 (𝑥) Đặt 𝑑𝑣 = phần còn lại • Tích phân ∫ 𝑃𝑛 (𝑥) ln 𝑥 𝑑𝑥. 𝑢 = ln 𝑥 Đặt 𝑑𝑣 = 𝑃𝑛 (𝑥)dx
• Tích phân ∫ 𝑃𝑛 𝑥 arcsin 𝑥 𝑑𝑥; 𝑃𝑛 𝑥 arccos 𝑥 𝑑𝑥; 𝑃𝑛 (𝑥) arctan 𝑥 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑝ℎầ𝑛 𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖 Đặt 𝑑𝑣 = Pn (x)dx Ví dụ 4: Tính các tích phân sau: 𝑥2 + 4 𝐼1 = 𝑥 arctan 𝑥 𝑑𝑥 𝐼2 = 2 𝑑𝑥 𝑥
BÀI 2. MỘT SỐ TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP 1. Tích phân hàm phân thức hữu tỷ Một số công thức thường dùng: 𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 −𝛼+1 𝛼 = + 𝐶 (𝛼 ≠ 1) 𝑥 −𝛼 + 1 𝑑𝑥 1 = ln(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝐶 𝑎𝑥 + 𝑏 a 𝑑𝑥 1 (𝐴𝑥 + 𝐵)−𝛼+1 = . +𝐶 𝐴𝑥 + 𝐵 𝛼 𝐴 −𝛼 + 1 𝑑𝑥 1 𝑥 2 2 = arctan + 𝐶 𝑥 +𝑎 a 𝑎
𝒅𝒙 1.1. Tích phân có dạng ∫ 𝒙𝟐 +𝒑𝒙+𝒒 (𝑴𝒙+𝑵)𝒅𝒙 1.2. Tích phân dạng ∫ 𝒙𝟐 +𝒑𝒙+𝒒 𝑷𝒏 𝒙 𝒅𝒙 𝑷𝒏 𝒙 𝒅𝒙 1.3. Tích phân dạng ∫ ;∫ 𝒂𝒙+𝒃 𝒙𝟐 +𝒑𝒙+𝒒
𝑷𝒏 𝒙 𝒅𝒙 1.4. Tích phân dạng: ∫ (trang 172 SGT) 𝑸𝒎 (𝒙) Trường hợp 𝒏 ≥ 𝒎: Chia tử số cho mẫu số Trường hợp 𝒏 < 𝒎: Phân tích mẫu số thành các nhân tử bậc nhất và bậc hai không có nghiệm thực. Giả sử: 𝑄𝑚 𝑥 = 𝑎0 𝑥 − 𝑥1 𝑛 1 … . 𝑥 2 + 𝑏1 𝑥 + 𝑐1 𝑚 1 …. 𝑃𝑛 𝑥 𝐴1 𝐴2 𝐴𝑛 1 = + 2 + ⋯+ 𝑛 + ⋯+ 𝑄𝑚 𝑥 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2 𝑥 − 𝑥1 1 𝑃1 𝑥 + 𝑄1 𝑃𝑚 1 𝑥 + 𝑄𝑚 1 + 2 1 + ⋯+ 2 𝑚 +⋯ 𝑥 + 𝑏1 𝑥 + 𝑐1 𝑥 + 𝑏1 𝑥 + 𝑐1 1 Các hệ số 𝐴1 , 𝐴2 , … , 𝐴𝑛 1 , … , 𝑃1 , 𝑄1 , … , 𝑃𝑚 1 , 𝑄𝑚 1 , … được xác định bằng phương pháp hệ số bất định.
Ví dụ 5(Bài 9.2 ý 19): Tính tích phân sau 𝒙𝒅𝒙 𝑰= 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 + 𝟐