Chương 3 PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER
PGS.TS.Lê Công Hảo
Năm 1926, nhà vật lý người Áo Erwin
Schrödinger đã đưa ra một phương trình cho phép
xác định được hàm sóng mô tả trạng thái của một
hệ lượng tử.Erwin Schrödinger (1887-1961)
Phương trình này đóng một vai trò căn bản trong cơ học
lượng tử, tương tự như phương trình Newton trong cơ học cổ
điển.
Khi giải phương trình Schrödinger, chúng ta có thể tìm được
hàm sóng và từ đó ta có thể tính được xác suất để hệ có các
tọa độ, động lượng, v.v.. nào đó.
GIỚI THIỆU
3.1. PHƯƠNG TRÌNH SCHRÖDINGER
3.1.1. Phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian
➢Hạt có khối lượng m, di chuyển trong một trường lực
➢Ở mỗi thời điểm và ứng với mỗi vị trí hạt có một thế năng
nào đó, U = U(x, y, z, t).
➢Phương trình Schrödinger cho phép ta tìm được hàm sóng
khi biết hàm thế năng này.
− + =
2
2m x y z t U x y z t i x y z t
t
 ( , , , ) . ( , , , ) ( , , , )
i là số phức. là toán tử Laplace.

= + +
2
2
2
2
2
2
x y z
Trong hệ tọa độ Descartes,
3.1.1. Phương trình Schrödinger phụ thuộc thời gian
Trong trường hợp một chiều, khi hàm sóng chỉ phụ thuộc vào tọa độ x
và thời gian t
− + =
2 2
2
2m
x t
xU x t x t i x t
t

( , ) ( , ) ( , ) ( , )
Khi U(x, t) = 0, hạt chuyển động không chịu tác động của trường thế
nào ta bảo hạt chuyển động tự do:
− =
2 2
2
2m
x t
xix t
t

( , ) ( , )
3.1.2. Điều kiện của hàm sóng
oHữu hạn, nếu không thì điều kiện chuẩn hóa không được thỏa mãn,
oĐơn trị, vì ứng với mỗi trạng thái, tại một vị trí và tại một thời điểm
chỉ có một xác suất tìm thấy hạt,
oĐạo hàm bậc hai của phải hữu hạn, muốn vậy thì và đạo hàm
bậc nhất của nó theo tọa độ phải liên tục.
3.1.3. Phương trình Schrödinger không phụ thuộc thời gian (trạng
thái dừng)
Thế năng Ucủa hạt không phụ thuộc tường minh vào t, thì có thể viết
thế năng dưới dạng U = U(x, y, z).
( ) ( )
−=
iEt
zyxtzyx exp.,,,,,
Tách (x, y, z, t) thành hai thành phần
− + =
2
2m x y z U x y z E x y z( , , ) . ( , , ) ( , , )
Phương trình Schrödinger cho trạng thái dừng
( ) ( ) ( )
xExxU
dx
d
m2 2
22
=+
−
( )
0xUE
m2
dx
d
22
2
=−+
Hạt chuyển động một chiều