Mét ph−¬ng ph¸p x¸c ®Þnh ma trËn
®é cøng trong hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng cña hÖ cã h÷u h¹n bËc tù do
PGS. TS. Lª v¨n doanh Bé m«n §Çu m¸y - Toa xe Khoa C¬ khÝ - Tr−êng §HGTVT ThS. Lª quang h−ng Bé m«n C¬ kÕt cÊu Khoa C«ng tr×nh - Tr−êng §HGTVT
Tãm t¾t: BμI b¸o tr×nh bμy mét ph−¬ng ph¸p x¸c ®Þnh ma trËn ®é cøng trong hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng cña hÖ h÷u h¹n bËc tù do. §©y lμ ph−¬ng ph¸p cã −u ®iÓm lμ ®¬n gi¶n, thuËn lîi cho qu¸ tr×nh tÝnh to¸n.
Trªn c¬ së ph−¬ng ph¸p nμy cã thÓ dÔ dμng x¸c ®Þnh c¸c ma trËn khèi l−îng m vμ ma
trËn qu¸n tÝnh J; ma trËn c¶n cña hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng.
Summary: The article presents the method to define hardness matrix in the system of vibrating differential equations of the free finite system. The advantage of this method is the simplicity and convenience in calculation process. The mass matrix [M] and matrix [β] in the system of vibrating equations can similarly be defined.
x¸c ®Þnh c¸c ma trËn [β] vµ [M].
i. ma trËn ®é cøng
Chóng ta ®· biÕt ph−¬ng tr×nh dao ®éng
cña hÖ cã h÷u h¹n bËc tù do ®−îc biÓu thÞ:
Mét c¸ch tæng qu¸t theo nguyªn lý céng t¸c dông ta cã:
qi = ai1F1 + ai2F2 + ai3F3+…+ainFn
[ ]P
]{ } [ ]{ } [ ]{ } [ qM q qk && &
trong ®ã: β+ + = (1)
- qi lµ biªn ®é do c¸c lùc tæng qu¸t F1 , F2, trong ®ã: … Fn g©y ra. - [M] lµ ma trËn khèi l−îng vµ m« men - ai1 lµ biªn ®é theo ph−¬ng cña qi do lùc qu¸n tÝnh. tæng qu¸t F1 = 1 g©y ra. - [β] lµ ma trËn c¶n - ai2 lµ biªn ®é theo ph−¬ng cña qi do lùc - [k] lµ ma trËn ®é cøng tæng qu¸t F2 = 1 g©y ra. - [P] lµ ma trËn kÝch ®éng - ain lµ biªn ®é theo ph−¬ng cña qi do lùc tæng qu¸t Fn = 1 g©y ra. - {q} lµ ma trËn cét cña biªn ®é tæng qu¸t
Tõ ®ã ta cã thÓ biÓu diÔn c¸c biªn ®é
ë ®©y giíi thiÖu chñ yÕu vÒ c¸ch tÝnh ma trËn ®é cøng tõ ®ã b»ng c¸ch t−¬ng tù cã thÓ
tæng qu¸t qi nh− sau:
kh«ng th× lùc ®µn håi suy réng s¶n sinh trªn k1 lµ k’11; trªn k2 lµ k’12, trªn kn lµ k’1n.
2
... q 1 + + = = + + + + ...
Fa nn1 Fa nn2 .......
n
Khi lÊy qn = 1 cßn c¸c qi kh¸c b»ng kh«ng th× lùc trªn c¸c phÇn tö ®µn håi lµ k’n1, k’n2 , …, k’nn.
Fa 11 1 Fa 21 1 .......... Fa + 11n Fa 2 12 Fa 2 22 .......... .......... Fa ... + + 22n Fa nn n ⎧ ⎪ q ⎪ ⎨ .......... ⎪ ⎪ q = ⎩
Ta qui ®Þnh dÊu nh− sau: khi phÇn tö ®µn
{ } [ ]{ }Fa q =
håi chÞu kÐo lµ ⊕; chÞu nÐn lµ (cid:92).
−
=
F
viÕt d−íi d¹ng ma trËn:
a 1 =−
Khi ®ã ta sÏ ®−îc mét ma trËn [kv] ®−îc gäi lµ ma trËn “c¬ së” mµ c¸c phÇn tö cña ma trËn nµy lµ c¸c lùc ®¬n vÞ, vµ cã thÓ x¸c ®Þnh ®−îc tõ m« h×nh dao ®éng cô thÓ.
F =
®Æt [ ] [ ]K ta cã: { } { }[ ]Kq
Ta cã ma trËn [kv]:
hay:
K
...
K
11
12
n1
K
K
...
K
=
suy ra: { } { }[ ] 1aq
[ k
]
=
v
... ...
K K 22 ..... K
... ... ... ...
K K n2 ..... K
' '11 1 21 ... ' K 1n
' 12 ' 22 ... ' K 2n
' n1 ' n2 ... ' K nn
n
1n
2n
nn
⎡ K ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
q ⎧ 1 ⎪ q ⎪ 2 ⎨ ... ⎪ ⎪ q ⎩
K ⎡ ⎢ K ⎢ 21 ⎢ ..... ⎢ K ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
F ⎧ 1 ⎪ F ⎪ 2 ⎨ ... ⎪ ⎪ F ⎩ n
ë ®©y:
Ki j lµ lùc cÇn thiÕt theo h−íng qi khi biªn
Gäi bii , bi j , bji lµ c¸c hÖ sè cña c¸c phÇn tö K’ii , K’I j , K’ji c¸c hÖ sè nµy víi Ki j kh¸c kh«ng sÏ cã trÞ sè lµ 1 hoÆc -1.
®é qj = 1, c¸c biªn ®é q ≠ qj ®Òu b»ng kh«ng.
Khi ®ã quan hÖ Ki j víi K’I j vµ bi j lµ:
K11 = K’11 .b11 + K’12b12 + …+ k’1nb1n
hay cã thÓ viÕt:
K11 = [K’11 K’12 … K’1n][b11 b12 b1n]T
Tæng qu¸t c¸c phÇn tö cña ®−êng chÐo:
Kii = [K’i1 K’i2 … K’in][bi1 bi2 … bin]T
Tõ ®ã ta cã quy t¾c x¸c ®Þnh c¸c phÇn tö cét bÊt kú nµo ®ã trong ma trËn [K] lµ lÊy biªn ®é qi cña cét nµo ®ã trong ma trËn b»ng 1 cßn c¸c biªn ®é q ≠ qj b»ng kh«ng. ThÝ dô x©y dùng cét thø nhÊt cña ma trËn ®é cøng [K] cho q1 = 1 cßn c¸c q2, q3, …, qn = 0 khi ®ã lùc cÇn thiÕt ®Ó c¸c to¹ ®é tæng qu¸t (biªn ®é) qi biÕn d¹ng do q1 = 1 lÇn l−ît lµ K11, K21, K31, …, Kn1.
C¸c phÇn tö kh¸c:
II. x¸c ®Þnh ma trËn ®é cøng
K12 = [K’11 K’12 … K’1n][b21 b22 … b2n]T K21 = [K’11 K’22 … K’2n][b11 b12 … b1n]T
a. Kh¸i niÖm vÒ ma trËn “c¬ së” - ký
…
… … … … … …. …
hiÖu lµ [Kv]
Ki j = [K’i1 K’i2 … K’in][bj1 bj2 … bjn]T
Khi ®ã ta cã ma trËn ®é cøng viÕt d−íi
d¹ng:
...
...
K
K
K
...
K
K
K
b 21
b 1 n
12
11
n 1
...
...
...
NÕu gäi K1, K2, …, Km lµ ®é cøng cña m phÇn tö ®µn håi trong hÖ thèng dao ®éng. Gäi q1, q2, …, qn lµ c¸c to¹ ®é tæng qu¸t cña hÖ thèng.
=
×
K 21 ...
K n 2 ...
K 22 ...
...
b 22 ...
...
b 2 n ...
...
...
...
K
K
K
...
K
K
K
b 2
n
b nn
nn
n
n 1
2
' 11 ' K 21 ... ' 1 n
' 12 ' K 22 ... ' n
2
' n 1 ' K 2 n ... ' nn
Khi lÊy q1 = 1 cßn c¸c qi kh¸c b»ng
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
b ⎡ 11 ⎢ b ⎢ 12 ⎢ ... ⎢ b ⎣ 1 n
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
NhËn xÐt:
K
−
=
[ ] K
K 1 K
1 K
K
−
+
- Ma trËn
1
2
1
T
1
11
21
b
b
...
b
b
b
...
b
11
21
1n
11
12
n1
=
K − K
0 K
b b
−
1
12
2
22
⎤ ⎥ ⎦
⎤ ⎥ ⎦ b ⎡ ⎢ b ⎣
⎤ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣
=
DÔ dµng t×m ®−îc:
b 22 ... b
... ... ...
b n2 ... b
b 22 ... b
... ... ...
b 2n ... b
n1
n2
nn
1n
2n
nn
⎡ ⎢ b ⎢ 12 ⎢ ... ⎢ b ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
⎡ ⎢ b ⎢ 21 ⎢ ... ⎢ b ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
b11 = -1; b12 = 0; b21 = 1; b22 = -1
nghÜa lµ:
ta gäi lµ [KD]T
T
ma trËn [KD] chÝnh lµ ma trËn hÖ sè cña
11
21
ma trËn [Kv].
12
22
Tõ ®©y ta rót ra ma trËn ®é cøng [k] tÝnh
b b − − = = b b 01 − 0 1 1 ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ ⎥ 1 ⎦
[ K
D
nh− sau:
= 11 − ]T
1
[ K
]v
1
2
− K 0 lµ ma trËn c¬ së. − K K ⎡ ⎢ ⎣ ⎤ =⎥ ⎦
[KD] lµ ma trËn hÖ sè cña [Kv]
[K] = [Kv][KD]T (*) §Ó lµm râ h¬n cho tÝnh ®óng ®¾n cña c«ng thøc (*) chóng ta kiÓm tra l¹i víi hÖ dao ®éng cã 2 bËc tù do víi to¹ ®é lµ Z1 vµ Z2 ; ®é cøng cña hÖ ®µn håi lµ k1 vµ k2. Khi ®ã ma trËn ®é cøng cña hÖ ph−¬ng tr×nh lµ:
tõ ®ã ta cã:
[ ] K =
]T
[ ][ v KK
D
K
−
1
11
12
=
[ ] K
K
1 K
K K
+
21
1
2
21
22
⎤ ⎥ ⎦
K ⎡ ⎢ K ⎣
⎤ =⎥ ⎦
K ⎡ ⎢ K ⎣
gäi:
= T−¬ng tù nh− vËy chóng ta hoµn toµn cã thÓ x¸c ®Þnh c¸c ma trËn [M]; [β] trong hÖ ph−¬ng tr×nh dao ®éng (1). [ ] [ [ β=β
][ β
]T
]
]
[ ][ T ;MMM V
D
D
V
- k’ii lµ lùc t¸c dông bëi phÇn tö ®µn håi I
lªn to¹ ®é Zi do Zi biÕn d¹ng 1 ®¬n vÞ (Zi = 1).
- k’ij lµ lùc t¸c dông bëi phÇn tö ®µn håi I
Ph−¬ng ph¸p trªn gäi t¾t lµ ph−¬ng ph¸p VZ.
III. KÕt luËn
lªn to¹ ®é Zj do Zj biÕn d¹ng 1 ®¬n vÞ (Zj = 1).
Tõ ®Þnh nghÜa vµ tõ hÖ dao ®éng 2 bËc tù
do trªn ta cã thÓ x¸c ®Þnh ma trËn [KV] .
1
=
=
[ K
]
V
0 K
K K
1
2
⎡− K ⎢ K ⎣
⎤ ⎥ ⎦
' 11 ' 21
' 12 ' 22
⎡ K ⎢ K ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎥ ⎦
Sö dông ph−¬ng ph¸p VZ thiÕt lËp hÖ ph−¬ng tr×nh vi ph©n dao ®éng cña hÖ cã h÷u h¹n bËc tù do lµ ®¬n gi¶n, nhanh, thuËn lîi trong tÝnh to¸n.
Gäi c¸c hÖ sè K’ii vµ K’I j lµ bii vµ bi j khi ®ã
ta cã thÓ viÕt ®−îc:
T
=
+
=
K
Ph−¬ng ph¸p trªn kh«ng nh÷ng sö dông cho hÖ tuyÕn tÝnh mµ cßn cã thÓ sö dông ®−îc cho mét sè ph−¬ng tr×nh phi tuyÕn.
]
11
b'K 11
11
b'K 12
12
[ 'K'K 11
12
][ bb 11
12
=
+
=
K
]T
22
b'K 21
21
b'K 22
22
[ 'K'K 21
22
][ bb 21
22
Tµi liÖu tham kh¶o [1]. PGS. TS. Lª V¨n Doanh. æn ®Þnh ®éng lùc häc toa xe. Tµi liÖu gi¶ng d¹y cao häc.
suy ra c¸c phÇn tö ki j
[2] NguyÔn V¨n Khang. Dao ®éng kü thuËt - NXB KHKT, 2001.
K12 = [k’11 k’12][b21 b22]T K21 = [k’21 k’22][b11 b12]T
[3]. versÝnki c. b. §éng lùc häc toa xe (tiÕng Nga) - NXB Matxc¬va, 1999♦
khi ®ã ta cã:
